用数形结合的方法解题

1 引言

数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。

2 文献综述

2.1国外研究现状

数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。

2.2国外研究现状评价

文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。

2.3提出问题

如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不

争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。

3 数形结合思想概述

1、数形结合思想的概念

数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。

以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。

以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。

2、数形结合思想应遵守的原则

（1）等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表示的数不完整。

（2）双向性质原则。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。

（3）简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。

3、数形结合思想的的解题方法

（1）图示法

如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。

（2）区域法

如用不等式的几何意义表示平面区间。

（3）坐标法

如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。

（4）特征法

如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。

4 数形结合思想在解题中的应用

4.1在集合中的应用

集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用数形结合能快速解决集合问题。

例1 若集合?

?????<

???===)0(sin 5cos 5),(πθθθy x y x A ｜，集合{}b x y y x B +==｜

),(且φ≠B A ，则b 的取值围为__＿.

解析：集合A 可以变为{}50,25/),(22≤<=+=y y x y x A ，显然，A 表示以（0，0）为圆心，以5为半径的圆在X 轴的上方的部分，B 表示斜率为1=K ，纵截距为b 的直线，要使φ≠B A ，即使直线b x y +=与圆2522=+y x （x 轴上半部分）有公共点。

图1 由图1知25b 5-≤≤.

4.2在函数中的应用

函数问题是高中数学的一大重难点,然而若注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可使问题迎刃而解。

例2 已知函数34F 2+-=x x x ）（，求函数)(x F 的单调区间，并指出单调性。

解析：当034-2≥+x x 即1≤x 或3≥x 时，34-F 2+=x x x ）

（

当034-2≤+x x 即31<

（ 所以?????<<+≥≤-=）（）（

或）（）（3112--)

31(12-F 2

2

x x x x x x 如图2所示

图2

所以函数)(x F 的单调区间有：(-∞，1]，[1,2]，[2，3]，[3，+∞）.其中增区间是[1,2]与[3，﹢∞﹚，减区间是﹙－∞，1]与[2,3].

4.3在数列中的应用

若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。

例3 若数列{}n a 为等差数列，p q q p ==a a ，求q p +a .

解析：设q p <等差数列n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，

故三点）（q p ,、）（p q ,、）（m q p ,+共线，设m q p =+a ，由已知得三点）（q a p ,，）

（p a q ,，）

（q p a q p ++,共线。

如图3，则BC AB K K =，即

p

-q p p

-m p -q q -p +=

. 由图3知0=m ，即0p =+q a .

4.4在不等式中的应用

数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想。应用数形结合思想解决不等式就是根据问题的在联系或数式的结构特征，通过唤起表象和再造想象，赋予适当的几何意义，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的性质和图形之间的关系来解决问题。 例4 解不等式x x ＞2+.

解析：常规方法：原不等式化为??

?

??>+≥+≥，，，22020x x x x （1）

或???≥+<，

，

020x x （2）

解（1）得20<≤x ；解（2）得02-<≤x .

由（1）（2）可得{x ｜20<≤x 或02-<≤x }={x ｜22-<≤x }. 用数形结合方法可以很直观的从图4中得到答案，解法如下：

图4

令21+=x y ，x y =2，则不等式x x ＞2+的解就是使21+=x y 的图像在x y =2的上方的那段对应的坐标轴，如图4所示，不等式x x ＞2+的解集为{x ｜B A x x x <≤}，

由x x =+2可解得2B =x ，所以有-2A =x .

故不等式的解集为{x ｜22-<≤x }.

4.5在线性规划中的应用

应用线性规划知识判断平面区域,求目标函数的最值、取值围在高考中常以选择或填空的形式出现,都是以中档题为主,解决这类问题的关键是灵活运用数形结合的数学思想,将代数问题转化为几何问题,借助图像的生动直观来阐明枯燥的数的关系。

例 5 设关于x ,y 的不等式组???

??>-<+>+0001-2m y m x y x 表示的平面区域存在点），（00y x p 满足

22-00=y x ，求m 的取值围。

图5

解析：如图5要使可行域存在，必有12+-

1

x y =上的点，只要边界点)21,(m m --在直线1-21x y =

上方，且),(m m -在直线1-2

1

x y =下方，解不等式组???

?

?

?

???

--<><12121-2-12-1m m m m m m 得32-

4.6在向量中的应用

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，在数学学科中具有广泛的应用。平面向量是高考中新增加的最重要容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观。数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了道路。

例6 在平面上，21AB AB ⊥

1==，21AB +=.

（ ）.

解析：根据已知条件，A ，1B ，p ，2B 构成一个矩形1AB 2PB ，1AB ，2AB 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设b 21==AB a AB ，点O 的坐标为),(y x ,则点P 的坐标为),(b a ，

1==得?????=-+=+-1)(12222b y x y a x ）（，则?????-=--=-2

22

21)(1x

b y y

a x ）（， 21<

，得,41)(22

<-+-b y a x ）（则411-122<-+y x ，即4

722>+y x …………① 又由1)(22=+-y a x ，得22222121x a ax a y x ++≤+=++，则12≤y ；

同理有1)(222=-+b y x ，得12≤x ，即有222≤+y x ………………………………………② 由①②知

24

7

22≤+

22

7

≤<. 4.7在概率统计中的应用

概率统计由于其思维方式与以往的数学课程不同，并且它又蕴含了较广泛的数学知

识，因此概率统计成为很多学生的学习障碍。利用数形结合把线段、平面、空间图形能明确直观地分析、判断事件发生的概率大小。而概率事件的计算正是依据图形的长度、面积和体积来完成的。

例7 有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频率如下：

[12.5，15.5），6；[15.5，18.5），16；[18.5，21.5），18；[21.5 ，24.5），22；[24.5 ,27.5），20；[27.5 ，30.5），10；[30.5，33.5），8. 求数据小于30.5的概率是多少？ 解析：

图7

图8

数据大于等于30.5的频率是0.08所以小于30.5的频率为：1.00-0.08=0.92. 例8 在长度为L 的线段AB 上任意作两点D C ,，求CA CD 的概率。

数据

12.5

18.5

24.5

解析：将线段AB 放在数轴的正上方，以A 为原点，点B 的坐标为L ，设D C ,的坐

标分别为),(y x 、),(y x []L ，0∈.而所有可能的结果都在如图9所示的正方形，CA CD ≤，

即x y x ≤-，故02≥≥y x .

则所求概率为4

34-S S 22

2

===L L L P 正方形

梯形

4.8在导数中的应用

导数是高中数学中重要部分，也是较难的一部分。利用导数研究函数的极值、单调区间、实际应用或证明不等式，尤其是题目中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象的问题更加复杂化，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。然而将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为一种几何形式”的数学化归。 例 9 已知函数k

x e k x x 2

)()(f -=.

（Ⅰ）求）（x f 的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的),0(+∞∈x ，都有e

x 1

)(f ≤，求k 的取值围。

解析：（Ⅰ）函数)(f x 的定义域为),(+∞-∞，)0.()1

(f 2≠-='k e k x k

x k x

）（， 由0f ≥'）（x 求得函数）（x f 的单调递增区间，由0f ≤'）（x 求得函数）

（x f 的单调递减区间，而导函数）（x f '由两个基本函数k x k

x -=2

1)(g 和k x

e x =)(h 的乘积构成，函数

k

x

e x =)(h 的图像，无论0>k 还是0x 恒成立，故影响导函数）（x

f '符号正负的只有函数k x k x -=21)(

g ，而函数k x k

x -=21)(g 的实质是一个二次函数。

①当0>k 时，函数k x k

x -=

2

1)(g 图像是一个开口方向向上的抛物线(如图10) 此时，只需看图10说话了：

当),(k x --∞∈时，0f >'）（x ；当),(k k x -∈时，0f <'）（x ； 当),(+∞∈k x 时，0f >'）（x .

所以，当0>k 时）（x f 的单调递增区间是),(k --∞和),(+∞k ；单调递减区间是

),(k k -.

图10

②当0

x -=2

1)(g 图像是一个开口方向向下的抛物线(如图11) 仍然是看图11说话：

当),(k x -∞∈时，0f <'）（x ；当),(k k x -∈时，0f >'）（x ； 当),(+∞-∈k x 时，0f <'）（x

所以，当0

),(k k -.

图11

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

①当0>k 时，）（x f 的单调递增区间是（),(k --∞）和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -.因此，）（x f 在区间),0(+∞的单调情况是：在区间),0(k 上递减；在区间),(+∞k 上递增，且e

e

k k

k 1

)1(f 1

>

=++，因此，）（x f 在区间),0(+∞上的图如图12 图12 所以不会有e

x x 1)(f ),,0(≤

+∞∈?. ②当0

因此，）（x f 在区间),0(+∞上的草图（如图13）.

图13

因此，）（x f 在）

，（∞+0上的最大值是e k k 2

4)(f =- 所以e

x x 1

)(f ),,0(≤+∞∈?等价于e e k k 14)(f 2≤=- 解得02

1

<≤-

k 故当e

x x 1

)(f ),,0(≤

+∞∈?时，k 的取值围是)0,21[-.

4.9在复数中的应用

复数有四种表示形式：代数形式，几何形式，三角形式及指数形式。由这四种形式所建立起来的复数运算法则，各具特点，通过它们之间的相互转化，我们能灵活地分析和解决问题，尤其是代数形式与几何形式的相互转换，其思想方法是属于数形结合，这为我们解决复数问题拓宽了思路。

例10 复数z 满足条件2211=--+++i z i z 的z 在复平面的对应的点集合是（ ）.

A ．圆 B.双曲线 C.椭圆 D.线段 解析： )1()1(11i z i z i z i z +-+---=--+++. 复数i --1与i +1对应的点分别为2,1p p ，如图14，

图14

故)1()1(11i z i z i z i z +-+---=--+++的几何意义是：在复平面，复数z 对应的点到2,1p p 的距离为22.

∵２＝２２１p p

∴满足条件2211=--+++i z i z 的z 对应的点集合为线段2,1p p . 故答案选D.

5 应用数形结合解题时的缺点及注意点

图形在几何学习与解题活动中有着重要的地位，但几何图形也有可能产生负面的影响。[14]哈拉达等人（Harada, Callon-Dumiel & Nondad,2000 ）指出，这些负面的影响至少有三个：（1）图形容易使人产生错误的视觉判断；（2）对图形缺乏动态的观点（dynamic viewpionts ）;(3)过分依赖典型例（prototype example ）.

数形结合思想是一种基本的数学思想，运用其可优化解题过程，然而数形结合思想并不是万能的，只有在解题过程中注意细节的处理，才能真正做到游刃有余。 1、图形未必能作

数形结合思想在数学解题中运用广泛，它为解决数学问题提供了更多更好的途径

与方法。但并不是每个问题都可以通过数形转换的方法解决，因为有些图形是不可以作的。如果没有分析图形能不能作就用数形结合思想解题，不但不能正确解决问题，而且浪费大量的时间。

例11 设函数??

?=为无理数，

为有理数，

）（x x x ,0,1D 则下列结论错误的是（ ）.

A 、)(x D 的值域为{}1,0

B 、)(x D 是偶函数

C 、)(x

D 不是周期函数 D 、)(x D 不是单调函数

解析：本题以狄利克雷函数为背景，答案为C.该函数图像无法做出，因此不能用数形结合思想方法来解决问题。 2、图形未必快

数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一，每年的高考试题（特别是客观题）能够用此方法解决者均占相当大的比例。其主要特点是直观、快捷，因此是高考备考中的重要数学解题方法。但这并不意味着所有题目用数形结合解题都快速，相反的有的题目应用图形解题更慢，使解题过程更复杂，运算量更大。这就要求我们针对不同问题，恰当采用数形结合思想方法。

例12 设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，)(x f '是)(x f 的导函数。当[]π,0∈x 时，0<)(x f <1；当),(πo x ∈且2π

≠

x 时，0)()2

(>'-x f x π

.则函数x x f y sin )(-=在[]ππ2,2-上的零点个数为（ ）.

A 、2

B 、4

C 、5

D 、8

解析：本题若利用图像特征，运用数形结合思想判断零点个数，更费时间。依据题意可直接将函数转变成x x f cos )(=.

解出答案为B. 3、图形未必精准

在数学解题中，形象、直观的数形结合方法为我们分析、简化问题提供了重要途径。但在具体问题的解决中图形的精准性直接影响着解题的正误，有的学生在利用数形结合解题时由于缺乏对图形准确性的认识导致解题错误。因此图形的精准性是数形结合思想的前提条件，即使是草图也应该画准确，必要时要对图形的直观分析给出推理论证。

例13 函数x x x f cos )(-=在),0[+∞（ ）.

A 、没有零点

B 、有且仅有一个零点

C 、有且仅有两个零点

D 、有无穷多个零点

解析：本题判断函数x x x f cos )(-=在),0[+∞是否有零点，可转化为判断x

x f =)(

与x

( 的交点个数，进而借助图像进行分析，得出答案为 B.在分析过程中要做)

f cos

x

到以“数”控“形”，否则容易因图形不准而误解。

6 结论

6.1主要发现

数形结合思想方法在高中数学中应用广泛，其运用主要是数学问题的条件与结论之间的在联系，分析其代数意义，揭示其几何直观，使数量关系的精确度与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起.如在解集合、函数、数列、不等式、线性规划、向量、概率统计、导数、复数问题中，运用数形结合，直观易发现解题途径，进而能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。这在解高考选择题、填空题中更显重要，既省时又省力，能够得到事半功倍的效果。

6.2启示和意义

数学问题的编拟与构造，常常遵循由简到繁的规律，有的将一个简单代数问题和一个几何问题结合后变成一个复杂新问题.在新问题中常常已隐去其“本真”面目，有时变得面目全非，但或多或少总会留下一些刀劈斧凿、精雕细刻的痕迹。解决这些问题要真正掌握数形结合的精髓，必须有雄厚的知识基础和熟练的基本技能，就要注意培养数形结合思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开阔自己的思维视野。

6.3局限性

数形结合思想方法运用非常广泛，本文只介绍了一些简单的方法，没有做更深度的研究。所选例题是一些具有代表性的数形结合的题目，对于陌生的题目该用哪种方法未能一一探讨。

6.4努力方向

在面对不同数学题时，学生能判断出用哪一种方法解题，选择最合适的方法快速解题，真正做到省时省力这是今后研究的努力方向。

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