三 分式
人教版初中数学八年级上册15.1.2分式的基本性质(三)通分 课件
yx 1
4a 3c 5b
(3) 2x , 3y2 , 4xy ; (4) 5b2c , 10a2b , 2ac2;
1
1
(5) x2 xy , xy y2 ;
11 (6) x2 y2 , x y ;
11 (7) x2 x , x2 x ;
1
1
(8) x2 x , x2 2x 1
最简公分母
确定公分母的方法：最简公分母
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）
作业
将下列各组分别进行通分:
(1)
1 2a2b
,
1 3a3b2
;
(2) c , a , b ; ab bc ac
（2）求分式
1
1
4x 2x2 与 x2 4
的最简公分母。
4x 2x2 2x(2 x) 2x(x 2)
x2 4 (x 2)(x 2)
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2x(x 2)(就x 是2)这两个分式的最简公分母。
练习
通分：
1
（1）
讲解与练习
例、 通分
（1）a12b
，
1 ab
2
；
（2） 1
x y
，1
x y
；
（3） x 2
1
y 2 ，x 2
1
xy
.
公分母如何确定呢？
最简公分母
若分母是多项 式时，应先将 各分母分解因 式，再找出最
简公分母。ຫໍສະໝຸດ 1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）
2014数学中考第一轮复习课件_第3讲_分式及其运算
1 n n 【解析】1 米质量为 m 克，则每克长 米，n 克是 米，则原来这卷电线的总长度是 ( ＋ m m m 1)米．
【答案】B
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20
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
x＋1 16．(2010· 哈尔滨 )当 x＝______时，分式 没有意义． x＋2
【解析】x＋2＝0，则 x＝－2. 【答案】－2
D )
3．若分式 A．±1
|x|－1 的值为 0，则 x 的值为( x－1 B．－1 C．1
B ) D ．0
1 2a b ， 2 2， 的最简公分母为( D ) a＋b a －b b－a A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) B．(a2－b2)(a＋b) C．(a2－b2)(b－a) D．a2－b2 4．分式
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4
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5
考点三 分式的运算 1．分式的加减法 a b a± b 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝ . 异分母的分式相加减，先 c c c a c ad± bc 通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ± ＝ . b d bd 2．分式的乘除法 a c ac 分式乘以分式， 用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母， 即 ·＝ . 分式除以分式， b d bd a c a d ad 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ ＝ ·＝ . b d b c bc 3．分式的乘方 n k nk 分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即( ) ＝ k (k 是正整数)． m m 4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算， 遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
1 a 1 17．(2010· 天津)若 a＝ ，则 ＋ 的值为________ ． 2 a＋1 2 a＋1 2
分式的运算法则公式
分式的运算法则公式一、分式的加法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的和可以表示为一个新的分式：a/b + c/d = (ad + bc)/bd例如：1/2+2/3=(1*3+2*2)/(2*3)=7/6二、分式的减法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的差可以表示为一个新的分式：a/b - c/d = (ad - bc)/bd例如：2/3-1/4=(2*4-1*3)/(3*4)=5/12三、分式的乘法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：(a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)例如：1/2*2/3=(1*2)/(2*3)=1/3四、分式的除法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的除法可以表示为一个新的分式：(a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)例如：1/2÷2/3=(1/2)*(3/2)=(1*3)/(2*2)=3/4五、带分数的乘积法则公式设a是一个整数，b/c是一个带分数，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：a*(b/c)=(a*b)/c例如：2*(11/2)=(2*3)/2=3设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的倒数可以表示为一个新的分式：1/(a/b)=b/a例如：1/(2/3)=3/2设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的负数可以表示为一个新的分式：-(a/b)=(-a)/b=a/(-b)例如：-(2/3)=(-2)/3=2/(-3)以上就是关于分式的运算法则公式的详细介绍。
通过运用这些公式，我们可以简化分式的运算，更加方便地求解分式的加减乘除问题。
6-3分式线性映射
证 设 w az b (ad bc 0) 将相异点 cz d
zk (k
1,2,3)
依次映射成
wk
azk czk
b d
(k
1,2,3)
所以
w
wk
(z zk )(ad bc) , (cz d )(czk d )
(k 1,2)
w3
wk
(z3 zk )(ad bc) , (cz3 d )(czk d )
分式线性映射的逆映射, 也是分式线性映射.
3) w ( 0) z ( 0) z
w az b ((ad bc ( )( ) 0))
25
例 2 求实轴在映射w 2i 下的像曲线. zi
在实轴上取三点 z , 0, 1 对应像点分别为 w 0, 2, 1 i 像曲线为 w 1 1
26
w
2i
2(
1
ห้องสมุดไป่ตู้
i
)e 2
zi zi
分解映射
z1 z i,
z2
1 z1
,
z3 2z2 ,
i
w z3e 2
因此, 把z转一个角度 0 就得到 w.
(z) (w)
w
0 z
o
9
3. w rz 相似映射 设 z ei 那末 w rei ,
因此，将 z 伸长(缩短)到
z的r倍后, 就得到w.
(z) (w)
w
z o
10
4. w 1 反演映射 z
初中数学人教版八年级上册《15.1.3分式的约分、通分》课件
15.1.3
分式的约分、 通分
分式的基本性质
基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式， 分式的值不变.
式子表示 A AC , A = A÷C (C≠0)，其中A，B，C是整式. B BC B B÷C
注意事项 (1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算； (2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
a 2x2 y
a 3z 2x2 y 3z
3az 6x2 yz
b 3xyz
b2x 3xyz 2x
2bx 6x2 yz
通分：
（1）
a 2x2 y
与b 3xyz
（2）
x 与 x-y 3a - 3b (a - b)2
解析：（2）最简公分母是 3(a - b)2.
x 3a - 3b
x(a - b) 3(a - b)(a -
-15 x - 25
约分：
（1） 6a2b3c - 8abc2
（2） mx 2 - my 2 nx + ny
（3）
4- a2
a2b - 4ab+4b
解析：（1）中分子、分母都是单项式，可直接约分（注意：分母中含有负 号，可以将负号提到分式的前面）； （2）（3）中分子、分母都是多项式，应先将分子、分母分别分解因式， 再约分.
nx + ny
n(x+ y)
n
n
（3）
4- a2 a2b - 4ab+ 4b
=
(2 - a)(2+ a) b(2 - a)2
=
2+a b(2 - a)
=
2+a 2b - ab
通分：
上海统编教材——2.2.3分式不等式的解法
四、 课堂小结 布置作业
8
(1) x 5 0 x 1
(2) x 5 0 x 1
(二)解型如 ax b k的分式不等式 cx d
例2．解下列分式不等式
(1) x 5 2 (2) x 5 2
x 1
x 1
例3．解不等式：
(1)x+3 x2
2
（2） x
2
x5 x
1
2
分式不等式解法小结 课堂练习：书P42练习2.2（4）
2.2.3分式不等式的求解
一、复习旧知 引入课题
求解下列不等式：
(1)（x+5)(-x+1) 0 (2)2x2 3x 3 0
如何利用一元二次不等式的解法 求解一些简单的含有分式的不等式呢？
二、形成概念 理解辨析
(一)解型如ax b 0 ( 0)的分式不等式 cx d
例1．解下列分式不等式
三 综合运用 融会贯通
例题4.某服装公司生产的衬衫每件定价80元，在某城市年销 售8万件。现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降 低管理和营销成本。已知代理商要收取的代理费为总销售金 额的r%（即每100元销售额收取r元），为确保单件衬衫的利 润保持不变，服装公司将每件衬衫的价格提高到（80/1-r%） 元，但提价后每年的销量会减少0.62r万件。求r的取值范围， 以确保代理商每年收取的代理费不少于16万元。
分式必须满足的三个条件
分式必须满足的三个条件分式是数学中常见的一种表示形式，它是由分子和分母组成的表达式。
在使用分式时，需要满足以下三个条件：1. 分母不能为零分式中的分母表示除数，而除数不能为零。
这是因为在数学中，除以零是没有定义的，所以分式的分母不能为零。
如果分式的分母为零，那么这个分式就没有意义。
2. 分式的分子和分母应为整数分式中的分子和分母应该是整数，而不是其他形式的表达式。
这是因为分式是用来表示两个整数之间的关系，所以分子和分母应该是整数。
3. 分式应尽可能简化分式应尽可能简化，即分子和分母应该没有公因数。
简化分式可以使得分式的表示更加简洁，方便进行运算和理解。
要简化一个分式，可以将分子和分母同时除以它们的最大公因数。
分式在数学中有广泛的应用，特别是在代数和方程中。
分式可以表示除法、比例关系、比率和百分比等概念。
在代数中，分式可以表示未知数的比例关系，用于求解方程。
在几何中，分式可以表示长度、面积和体积等的比例关系。
在实际生活中，分式也有很多应用，比如用分式表示车速、百分比、税率等。
需要注意的是，分式在运算中有一些特殊的性质。
比如，两个分式相乘时，可以将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；两个分式相除时，可以将一个分式的分子和另一个分式的分母相乘得到新的分子，将一个分式的分母和另一个分式的分子相乘得到新的分母；两个分式相加或相减时，需要先找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减得到新的分子，分母保持不变。
分式是数学中常见的一种表示形式，它由分子和分母组成，分子和分母应为整数，分母不能为零，分式应尽可能简化。
分式在代数、几何和实际生活中有广泛的应用，它可以表示除法、比例关系、比率和百分比等概念。
在进行分式的运算时，需要注意一些特殊的性质。
通过学习和理解分式的概念和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
分式的发展历程
分式的发展历程分式是数学中的一个重要概念，它在代数运算和解方程中发挥着重要的作用。
下面将从分式的起源、发展以及应用三个角度，简要介绍一下分式的发展历程。
分式最早可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯所建立的毕达哥拉斯学派。
在毕达哥拉斯的学派中，数被视为符号，而不是量的概念，分式也被视为一种特殊的符号形式。
当时的分式形式为“某个数A/某个数B”，这里A和B为整数，例如3/2、5/7等。
然而，毕达哥拉斯并未深入研究分式的性质和运算规则。
在中世纪的欧洲，分式的研究取得了一定的进展。
意大利数学家费拉里发现了一些关于分式的规律，并将其应用于代数运算中。
费拉里提出了分式的加减、乘除运算法则，并且证明了这些法则的正确性。
他的工作为后来的分数理论的发展奠定了基础。
此外，费拉里还将分式应用于解方程等问题中，推动了数学的发展。
18世纪的法国数学家拉克梅发展了分式的理论，他提出了分式方程的解法，并进行了深入的研究。
拉克梅将分式的概念抽象化，引入了“真分数”和“假分数”的概念，进一步完善了分式的定义和运算规则。
他还研究了连分数的性质和收敛条件，为后来的实分析和数论的发展奠定了基础。
20世纪初，分式的研究进入了一个新的阶段。
随着数学理论的发展，人们开始将分式的概念推广到更一般的域。
分式的定义被拓展到了任意整环和域，使得分式的理论更加丰富和完备。
同时，随着计算机科学的兴起，分式也在计算机科学中得到了广泛应用，例如在有理数的计算和多项式的运算中。
如今，分式的应用已经渗透到数学的各个领域。
它在代数运算、解方程、数论、实分析等方面发挥着重要的作用。
同时，在应用数学、工程、物理等领域，分式也有着广泛的应用。
例如，在比例问题、百分比问题、利息问题等实际生活中的计算中，分式都扮演着重要的角色。
总而言之，分式的发展历程经历了几千年的演进。
它从最初的符号形式，逐渐发展为一个完备的数学理论。
分式的研究和应用推动了数学的发展，丰富了数学理论，并对人类社会的进步做出了巨大贡献。
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三 分式
1、 分式的概念和意义
（1） BA （B≠0，B含分母 ）
（2）分式：有意义 ____________________.
为0 _________________________.
无意义________________________.
2、 分式的性质
（1） 基本性质：
（2） 符号法则：
3、分式的通分和约分 分母是多项 式应把分母先进行因式分解
（1） 分式的约分
（2） 最简分式
（3） 最减公分母
3、 分式的运算
加减，乘除，乘方
考点一 分式的有关概念及基本性质
1、 要使分式21xx有意义，则x的取值范围应满足____________。
2、 分式33//xx的值为0，则x的值为___________。
考点二 分式的运算 分子、分母为多项式应先进行因式分解
1、 化简（1+12xx）÷1221xxx的结果为_____________。
2、（a+343aa）(1-21a)
2、 （xxx21-122xxx）÷11x
考点三 分式的化简求值
先化简，再求值： xxx4222÷(x-2+28xx),其中x=√2-1.
四 二次根式
1、 二次根式的有关概念
（1） 二次根式的形式：
（2） 最简二次根式：
（3） 同类二次根式：
2、性质：①√a2=∣a∣=
②(√a)2=a (a ≥0 )
③√ab=√a *√b (a ≥0, b≥0 )
④√ba = √a ÷√b (a ≥0, b≥0 )
3、 二次根式的运算 （ 结果应化为最简二次根式 ）
（1）加减法 : 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式
（2）乘法 ：
√a *√b =√ab (a ≥0, b≥0 )
（3）除法：√a ÷√b =√ba(a ≥0, b≥0 )
考点一 二次根式有意义的条件
1、 若代数式√x+1 ÷(x-3)2 有意义，则实数x的取值范围是___________。
考点二 二次根式的非负性
若（m-1）2+√n+2 =0，则m+n的值是_______________。
考点三 二次根式的运算
√24 * √31 - 4 * √81 * （1-√2 ）
0
考点四 二次根式的估算
1、 若m =√40 – 4，则估计m的值所在范围是_________。