大学物理学(清华C5版)分章配套精品题目及答案(第四章)

第四章 功和能【例题精讲】例4-1 一个质点同时在几个力作用下的位移为：k j i r 654+-=∆ (SI)，其中一个力为恒力k j i F 953+--= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为A. -67 JB. 17 JC. 67 JD. 91 J [ C ] 例4-2 质量为m 的汽车，在水平面上沿x 轴正方向运动，初始位置x 0＝0，从静止开始加速，在其发动机的功率P 维持不变、且不计阻力的条件下，证明：在时刻t 其速度表达式为：m Pt /2=v 。

【证明】 由P ＝Fv 及F ＝ma ，P ＝mav 代入 t a d d v =P =tm d d v v 由此得 P d t ＝mv d v ，两边积分， 则有⎰⎰=ttm t P 0d d v v∴ 221v m Pt = ∴ m Pt /2=v例4-3 质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝ ；且x ＝3 m 时，其速率v ＝ 。

18 J 6 m/s例4-4 一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为j i r t b t a ωωsin cos +=(SI)式中a 、b 、是正值常量，且a ＞b 。

(1) 求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能；(2 )求质点所受的合外力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F 的分力x F 作的功。

解： (1) 位矢j i r t b t a ωωsin cos += (SI)t a x ωcos = t b y ωsin =t a t xx ωωsin d d -==v ，t b ty ωωcos d dy -==v在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ω E KA =2222212121ωmb m m y x =+v v在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ω E KB =2222212121ωma m m y x =+v v(2) j i F y x ma ma +==j i t mb t ma ωωωωsin cos 22--由A →B ⎰⎰-==2d cos d aax x x t a m x F W ωω=⎰=-022221d ama x x m ωω 例4-5 已知地球的半径为R ，质量为M ，现有一质量为m 的物体，在离地面高度为2R 处。

以地球和物体为系统，若取地面为势能零点，则系统的引力势能为 ；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为 。

（G 为万有引力常量） RGmM32RGmM3- 例4-6如图所示，小球沿固定的光滑的1/4圆弧从A 点由静止开始下滑，圆弧半径为R ，则小球在A 点处的切向加速度a t = ，小球在B 点处的法向加速度a n = 。

g 2g例4-7对于一个物体系来说，在下列的哪种情况下系统的机械能守恒？A. 合外力为0B. 合外力不作功C. 外力和非保守内力都不作功D. 外力和保守内力都不作功 [ C ] 例4-8 一物体与斜面间的摩擦系数 = 0.20 ，斜面固定，倾角 = 45°。

现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s ，使它沿斜面向上滑，如图所示。

求：物体能够上升的最大高度h ；该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v 。

【解】 (1)根据功能原理，有 mgh m fs -=2021vααμαμsin cos sin mgh Nh fs ==mgh m mgh -==2021ctg v αμ)ctg 1(220αμ+=g h v =4.5 m(2) 根据功能原理有fs m mgh =-221vαμctg 212mgh mgh m -=v []21)ctg 1(2αμ-=gh v =8.16 m/s例4-9如图所示，在与水平面成角的光滑斜面上放一质量为m 的物体，此物体系于一劲度系数为k 的轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定．设物体最初静止．今使物体获得一沿斜面向下的速度，设起始动能为E K 0，试求物体在弹簧的伸长达到x 时的动能。

【解】 如图所示，设l 为弹簧的原长，O 处为弹性势能零点；x 0为挂上物体后的伸长量，O ＇为物体的平衡位置；取弹簧伸长时物体所达到的O 处为重力势能的零点．由题意得物体在O ＇处的机械能为：αsin )(2102001x x mg kx E E K -++=在O 处，其机械能为： 2222121kx m E +=v 由于只有保守力做功，系统机械能守恒，即：O "O 'x 0xOlmk α例4-9图(a)αh0vABR例4-6图2202002121sin )(21kx m x x mg kx E K +=-++v α 在平衡位置有： mg sin =kx 0 ∴ k mg x αsin 0=代入上式整理得： kmg kx mgx E m K 2)sin (21sin 212202αα--+=v例4-10 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的(A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒．(C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量守恒，动量也守恒． [ A ] 例4-11 如图所示，质量M = 2.0 kg 的笼子，用轻弹簧悬挂起来，静止在平衡位置，弹簧伸长x 0 = 0.10 m ，今有m = 2.0 kg 的油灰由距离笼底高h = 0.30 m 处自由落到笼底上，求笼子向下移动的最大距离。

【解】 油灰与笼底碰前的速度 gh 2=v 0/x Mg k =碰撞后油灰与笼共同运动的速度为V ，应用动量守恒定律 V M m m )(+=v ① 油灰与笼一起向下运动，机械能守恒，下移最大距离x ，则x g m M kx V m M x x k ∆∆++++=+)(21)(21)(2120220 ② 联立解得： 3.0)(20222020=+++=∆m M M hx m Mx m x M mx mh 例4-11图【习题精练】4-1 质量为10kg 的质点在力F ＝(7＋5x )i (SI)的作用下沿x 轴从静止开始作直线运动，从x ＝0到x ＝10 m 的过程中，力F 所做的功为 ，质点末态的速度为 。

320J 8 m/s4-2质量m ＝2 kg 的质点在力i t F ρρ12= (SI)的作用下，从静止出发沿x 轴正向作直线运动，前三秒内该力作用的冲量大小为 ；前三秒内该力所作的功为 。

54 N ·s 729 J4-3 当重物减速下降时，合外力对它做的功A. 为正值B. 为负值C. 为零D. 先为正值，后为负值 [ B ] 4-4 速度为v 的子弹，打穿一块不动的木板后速度变为零，设木板对子弹的阻力是恒定的。

那么，当子弹射入木板的深度等于其厚度的一半时，子弹的速度是A.v 41 B. v 31 C. v 21D.v 21 [ D ] 4-5 对功的概念以下几种说法中正确的是 （1）保守力作正功时，系统内相应的势能增加（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零 A. （1）、（2）是正确的 B. （2）、（3）是正确的C. 只有（2）是正确的D. 只有（3）是正确的 [ C ] 4-6 劲度系数为k 的弹簧，上端固定，下端悬挂重物，当弹簧伸长x 0 ，重物在O 处达到平衡，取重物在O 处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，系统的重力势能为 ；系统的弹性势能为 。

（答案用k 和x 0表示） 20kx 2021kx -4-7 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A ，远地点为B ，A 、B 两点距地心分别为r 1 、r 2 ，设卫星质量为m ，地球质量为M ，万有引力常量为G ，则卫星在A 、B 两点处的万有引力势能之差E PB E PA = ；卫星在A 、B 两点的动能之差E PB －E PA ＝ 。

2112r r r r GMm-2121r r r r GMm- 4-8 有人把一物体由静止开始举高h 时，物体获得速度v ，在此过程中，若人对物体作功为W ，则有mgh m W +=2/2v ，这可以理解为“合外力对物体所作的功等于物体动能的增量与势能的增量之和”A r 1r 2 地心 习题3-5图吗？为什么？【答】W 并不是合外力所作的功。

因为物体所受的力除了人的作用力F 外，还有重力P ＝mg ， 根据动能定理，合外力所作的功等于物体动能的增量，则可写为221v m mgh Fh =- 即 021)(2+=-v m h P F 所以 mgh m Fh W +==221vW 是人对物体所作的功，而不是物体所受合外力所作的功。

4-9 假设在最好的刹车情况下，汽车轮子不在路面上滚动，而仅有滑动，试从功、能的观点出发，证明质量为m 的汽车以速率v 沿着水平道路运动时，刹车后，要它停下来所需要的最短距离为gS k μ22v =（μk 为车轮与路面之间的滑动摩擦系数）【证明】由动能定理2210v m S f r-=- 而 mg f k r μ=221v m mgS k =μgS k μ22v =4-10 如图所示，劲度系数为k 的弹簧，一端固定于墙上，另一端与一质量为m 1的木块A 相接，A 又与质量为m 2的木块B 用不可伸长的轻绳相连，整个系统放在光滑水平面上．现在以不变的力F 向右拉m 2，使m 2自平衡位置由静止开始运动，求木块A 、B 系统所受合外力为零时的速度，以及此过程中绳的拉力T 对m 2所作的功。

【解】设弹簧伸长x 1时，木块A 、B 所受合外力为零，即有F kx 1 = 0 x 1 = F /k设绳的拉力T 对m 2所作的功为W T 2 ，恒力F 对m 2所作的功为为W F ，木块A 、B 系统所受合外力为零时的速度为v ，弹簧在此过程中所作的功为W K 。

对m 1、m 2系统，由动能定理有 W F ＋W K ＝221)(21v m m + ① 对m 2有 W F ＋W T 2＝2221v m ②而 W K ＝k F kx 221221-=-， W F ＝Fx 1＝kF 2 代入①式可求得 )(21m m k F +=v由②式可得 +-=F T W W 22221v m ])(21[2122m m m k F +--=)(2)2(21212m m k m m F ++-= 4-11 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B ．用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有m 1m 2A F ρkxTB 习题4-10图(A) L A >L B ，E KA >E kB (B) L A =L B ，E KA <E KB(C) L A =L B ，E KA >E KB (D) L A <L B ，E KA <E KB [ C ] 4-12质量m 的小球，以水平速度v 0与光滑桌面上质量为M 的静止斜劈作完全弹性碰撞后竖直弹起，则碰后斜劈的运动速度值v =_____________；小球上升的高度h =_____________。