广东省广州市八区2019学年第一学期期末教学质量监测高二数学试题

2019学年第一学期期末教学质量监测

高二数学（试题）

本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁

一、选择题：本大题共12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的. 1.设集合{

}

2

340A x x x =+-<，{}

230B x x =+≥，则A B =I （ ）. A.34,2

??-- ??

?

B.3,12??

-

-????

C.3,12??

-

????

D.3,42??????

2.已知向量()3,1,2a =-r ，()6,2,b t =-r

，且a b r r P ，则t =（ ）.

A.10

B.10-

C.4

D.4-

3.已知双曲线C 的方程为：

22

1169

x y -=，则双曲线的焦距长为（ ）.

B. C.5 D.10

4.设命题p ：[]0,1x ?∈，都有2

10x -≤，则p ?为（ ）. A.[]00,1x ?∈，使2

010x -≤

B.[]0,1x ?∈，都有2

10x -≤

C.[]00,1x ?∈，使2

010x ->

D.[]0,1x ?∈，都有2

10x ->

5.若a ，b ，c ，d 为实数，则下列命题正确的是（ ）.

A.若a b <，则a c b c <

B.若22

ac bc <，则a b < C.若a b <，c d <，则a c b d -<-

D.若a b <，c d <，则ac bd <

6.已知n r 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥r

”是“l αP ”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==

，1AA =，则异面直线

1AC 与1CD 所成角的余弦值为（ ）. A.

1

5

8.已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若337S a =，且2a 与4a 的等差中项为5，则5S =（ ）. A.29

B.31

C.33

D.35

9.命题“若{}n a 是等比数列，则

n n k n k n

a a

a a +-=（n k >且n 、k *∈N ）”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ）. A.0

B.1

C.2

D.3

10.双曲线C ：2

2

13

y x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若PO PF ⊥，则PFO ?的面积为（ ）.

A.

4

B.

2

C.

12

D.

2

11.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111A B C D ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为2

1000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）

.当整个项目占地1111A B C D 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（ ）.

A.20m

B.50m

C.1010m

D.100m

12.在三棱锥D ABC

-中，22AB BC ==，4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面

ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM 所成角的正弦值为

3

4

，则AM =（ ）. A.

453

B.10

C.23

D.

2

263

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.

13.已知实数x ，y 满足约束条件1010330x x y x y -≥??

-+≥??--≤?

，则2z x y =+的最大值为________.

14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是________.

15.已知1F ，2F 是椭圆C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左，右焦点，点P 为C 上一点，O

为坐标原点，2POF ?为正三角形，则C 的离心率为________. 16.如图，平行六面体

1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，

1160BAD DAA BAA ∠=∠=∠=?，则1BD =________.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）

记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知22

19a a =，618S =.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S 的最大值及对应n 的大小. 18.（本小题满分12分）

已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .

（1）求抛物线C 的方程；

（2）过F

且斜率为3的直线h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积. 19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.

（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；

（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=?，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值. 20.（本小题满分12分）

数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =（n *

∈N ），数列{}n b 满足12b =，132

n n b b -=+（2n ≥，n *

∈N ）.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：数列{}1n b +是等比数列； （3）设数列{}n c 满足1

n

n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 21.（本小题满分12分）

如图，已知圆A ：()2

2116x y ++=，点()1,0B 是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，

线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线C .

（1）求曲线C 的方程；

（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于M ，N 两点（点M 在D ，N 两点之间）.是否

存在直线2l 使得2DN DM =u u u r u u u u r ？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.

22.（本小题满分12分）

已知函数()()2f x x mx m n =-++（m ，n ∈R ）.

（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数m ，n 的值；

（2）设2m =-，若不等式()23f x n n >-+对x ?∈R 都成立，求实数n 的取值范围； （3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点.