人教版九年级上学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版九年级上学期期中考试数学试卷（一）一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=02．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：25．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形 B．菱形C．矩形D．正方形6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=5127．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M 处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC= cm．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．（只要写出一种）16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（填序号）三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG 为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．参考答案与试题解析一、选择题：（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个正确选项，请将答案填入答题卷的相应位置）1．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A．x2=0 B．x+﹣2x2=0 C．ax2+bx+c=0 D．x2+2y+3=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、不是整式方程，故错误．C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、方程含有两个未知数，故错误；故选A．2．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形D．对角线相等的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】利用菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，是假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题；C、对角线互相平分且相等、垂直的四边形是正方形，故错误，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题，故选B．3．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现反面的频率是6C．出现反面的频数是60% D．出现反面的频率是60%【考点】频数与频率．【分析】根据频率=频数÷数据总数，分别求出出现正面，反面的频率．【解答】解：∵某人抛硬币抛10次，其中正面朝上4次，反面朝上6次，∴出现正面的频率为=40%；出现反面的频率为60%．故选：D．4．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB=（）A．（+1）：2 B．（3+）：2 C．（﹣1）：2 D．（3﹣）：2【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比是进行解答即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，（AC＞BC），∴AC=AB，∴AC：AB=（﹣1）：2．故选：C．5．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是（）A．平行四边形 B．菱形C．矩形D．正方形【考点】中点四边形．【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH=EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证．【解答】解：菱形，理由为：如图所示，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，∴EF∥HG，且EF=HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵EH=BD，AC=BD，∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形，故选B6．某品牌服装原价800元，连续两次降价x%后售价为512元，下面所列方程中正确的是（）A．512（1+x%）2=800 B．800（1﹣2x%）=512 C．800（1﹣x%）2=512 D．800﹣2x%=512【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据降价后的价格=原价（1﹣降低的百分率），本题可先用800（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为800﹣800x%=800（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为800（1﹣x%）﹣800（1﹣x%）x%=800（1﹣x%）2．∴800（1﹣x%）2=512．故选C．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，，AE=4cm，则AC的长为（）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到∴=，则EC=2AE=8，然后计算AE+EC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴EC=2AE=8，∴AC=AE+EC=4+8=12（cm）．故选D．8．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M 处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处C．Q处D．M处【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：当点R运动到PQ上时，△MNR的面积y达到最大，且保持一段时间不变；到Q点以后，面积y开始减小；故当x=9时，点R应运动到Q处．故选C．9．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选：B．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．二、填空题：（共6小题，每小题4分，满分24分．请将答案填入答题卷的相应位置）11．一个六边形的边长分别为3、4、5、6、7、8，另一个与它相似的六边形的最短边长是6，则其最大边长是16 ．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得．【解答】解：两个相似的六边形，一个最短边长是3，另一个最短边长为6，则相似比是3：6=1：2，根据相似六边形的对应边的比相等，设后一个六边形的最大边长为x，则8：x=1：2，解得：x=16．即后一个六边形的最大边长为16．故答案为16．12．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是﹣1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1．13．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长为4cm ．【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3cm，b=2cm，c=6cm，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4cm．14．已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若BD=3cm，则AC= 6 cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD．【解答】解：∵BD是斜边AC上的中线，∴AC=2BD=2×3=6cm．故答案为：6．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB ．（只要写出一种）【考点】相似三角形的判定．【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时，△ABC∽△ACD．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是①④（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由条件可得∠APE=30°，则∠PEF=∠BEF=60°，可得EF=2BE，PF=PE，EF=2BE=4EQ，从而可判断出正确的结论．【解答】解：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP，∵AE=AB，∴BE=PE=2AE，∴∠APE=30°，∴∠PEF=∠BEF=60°，∴∠EFB=∠EFP=30°，∴EF=2BE，PF=PE，∴①正确，②不正确；又∵EF⊥BP，∴EF=2BE=4EQ，∴③不正确；又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，∴△PBF为等边三角形，∴④正确；所以正确的为①④，故答案为：①④．三、解答题：（共7小题，满分86分.请将解答过程写在答题卷的相应位置.作图或添辅助线用铅笔画完，需用水笔再描黑.）17．解下列方程：（1）x2﹣2x=0（2）2（x+1）2﹣8=0（3）x2﹣4x+3=0（4）（2x+1）2=3（2x+1）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）移项后分解因式，即得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x 1=0，x2=2；（2）2（x+1）2﹣8=0，2（x+1+2）（x+1﹣2）=0，x+1+2=0，x+1﹣2=0，x 1=﹣3，x2=1；（3）x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0，x﹣1=0，x 1=3，x2=1；（4）（2x+1）2=3（2x+1），（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣3）=0，2x+1=0，2x+1﹣3=0，x 1=﹣，x2=1．18．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD ∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．19．三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，将它们洗匀后，背面朝上放置在桌面上．（1）从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为；（2）学校将组织部分学生参加夏令营活动，九年级（1）班只有一个名额，小刚和小芳都想去，于是利用上述三张卡片做游戏决定谁去，游戏规则是：从中任意抽取一张卡片，记下数字放回，洗匀后再任意抽取一张，将抽取的两张卡片上的数字相加，若和等于7，小钢去；若和等于10，小芳去；和是其他数，游戏重新开始．你认为游戏对双方公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．【分析】（1）根据三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，再根据概率公式即可求出答案；（2）根据题意列出图表，再根据概率公式求出和为7和和为10的概率，即可得出游戏的公平性．【解答】解：（1）∵三张卡片的正面分别写有数字2，5，5，卡片除数字外完全相同，∴从中任意抽取一张卡片，该卡片上数字是5的概率为：；故答案为：；（2）根据题意列表如下：2 5 52 （2，2）（4）（2，5）（7）（2，5）（7）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）5 （5，2）（7）（5，5）（10）（5，5）（10）∵共有9种可能的结果，其中数字和为7的共有4种，数字和为10的共有4种，∴P（数字和为7）=，P（数字和为10）=，∴P（数字和为7）=P（数字和为10），∴游戏对双方公平．20．如图，在Rt△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连结EC．（1）求证：AD=EC；（2）求证：四边形ADCE是菱形；（3）若AB=AO，求的值．【考点】四边形综合题；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）先判定四边形ABDE为平行四边形，再判定四边形ADCE为平行四边形，即可得出AD=EC；（2）根据四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，即可得出平行四边形ADCE为菱形；（3）先判定OD为△ABC的中位线，得出，再根据AB=AO，得出即可．【解答】解：（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE=BD，∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的中线，∴AD=CD=BD，∴AE=CD，又∵AE∥CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∴AD=EC；（2）由（1）可知，四边形ADCE为平行四边形，且AD=CD，∴平行四边形ADCE为菱形；（3）∵四边形ADCE为平行四边形，∴AC与ED互相平分，∴点O为AC的中点，∵AD是边BC上的中线，∴点D为BC边中点，∴OD为△ABC的中位线，∴，∵AB=AO，∴，即的值为．21．某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．22．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．①求证：BF∥DE；②若正方形边长为6，求线段AG的长．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质得出∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后由“HL”证明Rt△DGA≌Rt△DGF，由全等三角形对应角相等得出∠3=∠4，得出∠2+∠3=45°即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，再由三角形的外角性质得出∠5=∠DEC，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设AG=x，表示出GF、BG，根据点E是BC的中点求出BE、EF，从而得到GE的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【解答】（1）解：如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，在Rt△DGA和Rt△DGF中，，∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），∴∠3=∠4，∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，=（∠ADF+∠FDC），=×90°，=45°；（2）①证明：如图2所示：∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，∴CE=EF=BE，∠DEF=∠DEC，∴∠5=∠6，∵∠FEC=∠5+∠6，∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6，∴2∠5=2∠DEC，即∠5=∠DEC，∴BF∥DE；②解：设AG=x，则GF=x，BG=6﹣x，∵正方形边长为6，E为BC的中点，∴CE=EF=BE=×6=3，∴GE=EF+GF=3+x，在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32=（3+x）2，解得：x=2，即线段AG的长为2．23．在矩形ABCD中，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A 作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，与边AB相交于点G．（1）如果AD：AB=1：1（如图1），判断△AEF的形状，并说明理由；（2）如果AD：AB=1：2（如图2），当点E在边CD上运动时，判断出线段AE、AF数量关系如何变化，并说明理由；（3）如果AB=3，AD：AB=k，当点E在边CD上运动时，是否存在k值使△AEG 为等边三角形？若存在，请直接写出k的值以及DE的长度．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由AD：AB=1：1可以得出四边形ABCD是正方形，由其性质就可以得出△ABF≌△ADE，从而得出AF=AE，得出△AEF的形状；（2）根据条件可以得出△ABF∽△ADE，由相似三角形的性质就可以得出结论；（3）如图3，当△AEG是等边三角形时，由勾股定理就可以表示出AG、AE、FG，BG的值建立方程求出k值，就可以求出DE的长度．【解答】解：（1）△AEF为等腰直角三角形理由：如图1，∵AD：AB=1：1，∴AD=AB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°．∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴∠FAE﹣∠BAE=∠BAD﹣∠BAE，即∠BAF=∠DAE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△ADE，∴AF=AE，∴△AEF为等腰直角三角形；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°，∴∠FAE=∠BAD，∴△ABF∽△ADE，∴．∵，∴，即AF=2AE；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠ABF=∠BAD=90°∵AF⊥AE，∴∠FAE=90°．∵△AEG是等边三角形，∴AE=AG，∠GAE=∠AEG=60°．∴∠FAG=∠DAE=∠AFE=30°，∴AG=FG．∵AB=3，AD：AB=k，∴AD=3k．在Rt△ADE中由勾股定理，得DE=k，AE=2k，∴AG=FG=2k，∴BG=k．∵AB=3，∴GB=3﹣2k，∴k=3﹣2k，解得：k=，∴DE=1．答：k=，DE=1．人教版九年级上学期期中考试数学试卷（二）一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2﹣22．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=253．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣14．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=25．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B．C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°10．在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C． D．二、填空题：每小题3分，共18分．11．已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是．12．若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b= ．13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．16．观察下列图形规律：当n= 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．三、解答题：8题，共92分．17．计算：﹣（2015+π）0．18．解方程：2x2﹣7x+6=0．19．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．（1）α2+β2（2）．20．在平面直角坐标系xOy中，A点的坐标为（3，4），将OA绕原点O顺时针旋转90°得到OA′，求点A′的坐标．21．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且=．（1）求证：BE=CE；（2）若∠B=50°，求∠AOC的度数．22．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小．23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y=分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标．（2）将△NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积．参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分．1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．C．3（x+1）2=2（x+1） D．2x2+3x=2x2﹣2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0是一元一次方程，故A错误；B、（）2+﹣2=0是分式方程，故B错误；C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C正确；D、2x2+3x=2x2﹣2是一元一次方程，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＞﹣1【考点】根的判别式．【专题】计算题．【分析】根据根的判别式，令△＞0即可求出根的判别式．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×m＞0，∴4﹣4m＞0，解得m＜1．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（）A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1=﹣1，x2=﹣2 D．x1=﹣1，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】因式分解．【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根【解答】解：x2﹣x﹣2=0（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．故选：D．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）。
人教版2022--2023学年度第一学期九年级数学上册期中测试卷及答案(含两套题)
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得
OD= cm，
∵OC=10cm，
∴CD=OC-OD=4cm，故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键．
4. B
【解析】
【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积．
【详解】由勾股定理得：母线 ，
（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，P是MN的中点，连接MB，NA，PC，试探究∠MCP，∠NAB，∠MBA之间的数量关系，并证明.
24.（12分）已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心 ，半径为5，⊙P与抛物线 的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
三、解答题（共9小题，总分72分）
17.（6分）已知△ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
（1）△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A1B1C；
（2）画△A1B1C关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
18.（6分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
人教版2022--2023学年度第一学期期中测试卷
九年级 数学
（满分：120分 时间：100分钟）
题号
一
二
山东省聊城市莘县九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
某某省聊城市莘县2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列说法正确的是( )A．所有的矩形都是相似形B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C．对应角相等的两个多边形相似D．对应边成比例的两个多边形相似2．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是( )A．30米B．40米C．25米D．35米3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为( )A．6.5米B．9米C．13米D．15米4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )A．B．C．D．5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．D．6．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为( )A．（cosα，1）B．（1，sinα）C．（sinα，cosα）D．（cosα，sinα）7．一条弦分圆为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为( )A．30° B．150°C．30°或150°D．不能确定8．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )A．2.4米B．2.8米C．3米D．高度不能确定9．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为( ) A．1cm B．2cm C．cm D．cm10．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是( )A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．4：2：3：1 D．4：2：1：311．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是( ) A．45° B．60° C．75° D．105°12．两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为( )A．B．C．sinαD．1二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6cm，S△ADE：S△ABC=1：4，则DE的长为__________．14．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为__________．15．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为__________．16．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需__________米．17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则三角形内切圆的半径为__________．三、解答题（共8小题，满分69分）18．计算（1）cos60°﹣sin245°+tan230°+cos230°﹣sin30°（2）cos245°﹣．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD=CE．21．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O的切线．23．如图，△ABC是一X锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这X硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H 分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长．24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．求证：AE=BE．25．某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时．（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）2015-2016学年某某省聊城市莘县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列说法正确的是( )A．所有的矩形都是相似形B．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C．对应角相等的两个多边形相似D．对应边成比例的两个多边形相似【考点】相似图形．【分析】利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．【解答】解：A、所有的矩形都是相似形，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项正确；C、对应角相等的两个多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；D、对应边成比例的两个多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．2．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是( )A．30米B．40米C．25米D．35米【考点】相似三角形的应用．【分析】因为学生和旗杆平行，且光的入射角等于反射角，因此△ABO∽△CDO，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠D=∠B=90°，又∵∠COD=∠AOB，∴△ABO∽△CDO，∴=，∴=，∴AB=30m，∴旗杆的高度为30米．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度是解题关键．3．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为( )A．6.5米B．9米C．13米D．15米【考点】垂径定理的应用．【专题】压轴题．【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA．根据垂径定理，得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2故选：A．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．4．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )A．B．C．D．【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．5．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A．4 B．8 C．D．【考点】切线长定理；等边三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据切线长定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长．【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B．【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．6．以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为( )A．（cosα，1）B．（1，sinα）C．（sinα，cosα）D．（cosα，sinα）【考点】坐标与图形性质；圆的认识；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】作PA⊥x轴于点A．那么OA是α的邻边，是点P的横坐标，为cosα；PA是α的对边，是点P的纵坐标，为sinα．【解答】解：作PA⊥x轴于点A，则∠POA=α，sinα=，∴PA=OP•sinα，∵cosα=，∴OA=OP•cosα．∵OP=1，∴PA=sinα，OA=cosα．∴P点的坐标为（cosα，sinα）故选D．【点评】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系．7．一条弦分圆为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为( )A．30° B．150°C．30°或150°D．不能确定【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】一条弦把圆分成1：5两部分，可得两条弧的度数，弧的度数与它所对圆心角的度数相等，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．【解答】解：∵一条弦分圆为1：5两部分，∴两条弧分别是60°和300°，由弧的度数等于它所对圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，可知60°的弧所对的圆周角是30°，300°的弧所对的圆周角是150°．∴这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°．故选C．【点评】考查弧的度数与圆心角的度数，同弧所对圆周角与圆心角的关系．8．相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )A．2.4米B．2.8米C．3米D．高度不能确定【考点】相似三角形的应用．【专题】数形结合．【分析】易得△APB∽△CDP，可得对应高CE与BE之比，易得CD∥PE可得△BPE∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可．【解答】解：∵CD∥AB，∴△APB∽△CDP，∴，∴=，∵CD∥PE，∴△BPE∽△BDC，∴=，=，解得PE=2.4．故选A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到CE与BE的比．9．点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为( ) A．1cm B．2cm C．cm D．cm【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解Rt△OPA，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度．【解答】解：过P作AB⊥OP交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最短弦长，由垂径定理可得：AP=PB已知OA=3，OP=2在Rt△OPA中，由勾股定理可得：AP2=OA2﹣OP2∴AP==cm∴AB=2AP=2cm故此题选D．【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用．10．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可以是( )A．1：2：3：4 B．1：3：2：4 C．4：2：3：1 D．4：2：1：3【考点】圆内接四边形的性质；多边形内角与外角．【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质即可求解．【解答】解：根据圆内接四边形的对角互补的性质知，∠A与∠C，∠B与∠D互补，故选D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．11．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是( ) A．45° B．60° C．75° D．105°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C 的度数．【解答】解：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．12．两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为( )A．B．C．sinαD．1【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形．【分析】首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．【解答】解：如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵AD∥CB，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵纸条宽度都为1，∴AE=AF=1，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC=AB，∵=sinα，∴BC=AB=，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=，故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD 是菱形，利用三角函数求出BC的长．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BC=6cm，S△ADE：S△ABC=1：4，则DE的长为3cm．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，求证△ADE∽△ABC，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，∵BC=6cm，∴DE=3cm，故答案为：3cm．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用平行线判断相似三角形，利用相似三角形的性质解题．14．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡度为0.75求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．【解答】解：竖直高度=4×0.75=3，∴由勾股定理得：=5m．故答案为：5m．【点评】本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理的运用．15．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB进行计算即可．【解答】解：过点O作OD⊥AB，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD==30°，∴OD=OA=×2=1，AD===．∴AB=2AD=2，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB=﹣×2×1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB﹣S△AOB 是解答此题的关键．16．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需2+2米．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题．【分析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可．【解答】解：已知直角三角形的高是2米，根据三角函数得到：水平的直角边是2cos30°=2，则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，则地毯的长是（2+2）米．【点评】正确计算地毯的长度是解决本题的关键．17．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则三角形内切圆的半径为2．【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】先根据勾股定理计算出BC，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算．【解答】解：∵∠C=90°，AC=6，AB=10，∴BC===8，∴△ABC的内切圆半径r==2．故答案是：2．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为．三、解答题（共8小题，满分69分）18．计算（1）cos60°﹣sin245°+tan230°+cos230°﹣sin30°（2）cos245°﹣．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：（1）原式=﹣++﹣=；（2）原式=﹣2+++=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD．【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【专题】证明题．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据比例的性质，可得答案；（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．【解答】证明：（1）∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴=，AC2=AB•AD；（2）∵E是AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA．∵AC平分∠DAB，∴∠CAD=∠CAB，∴CAD=∠ECA，∴CE∥AD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质；（2）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD=CE．【考点】切线的性质．【专题】证明题．【分析】连接OD，根据切线性质求出∠ODC=90°，求出∠A+∠AEO=∠ODA+∠EDC=90°，求出∠CED=∠EDC，根据等腰三角形的判定推出即可．【解答】证明：连接OD，∵OA⊥OB，CD切⊙O于D，∴∠AOE=∠ODC=90°，∴∠A+∠AEO=90°，∠ODA+∠CDE=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠AEO=∠EDC，∵∠AEO=∠CED，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE．【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并推出∠EDC=∠CED，题目比较好，难度适中．21．如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°．求该古塔BD的高度（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BC ﹣AB=20m，可求得塔BD的高度．【解答】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m．在Rt△ABD中，∵∠BAD=∠BDA=45°，∴AB=BD．在Rt△BDC中，∵tan∠BCD=，∴=，则BC=BD，又∵BC﹣AB=AC，∴BD﹣BD=20，解得：BD==10+10（m）．答：古塔BD的高度为（）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度．22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O的切线．【考点】切线的判定．【专题】证明题；压轴题．【分析】连接OD，只要证明OD⊥DE即可．【解答】证明：连接OD；∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23．如图，△ABC是一X锐角三角形的硬纸片．AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm．从这X硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH．使它的一边EF在BC上，顶点G，H 分别在AC，AB上．AD与HG的交点为M．（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴∠AHG=∠ABC，又∵∠HAG=∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，MD=HE=xcm，∵AD=30cm，∴AM=（30﹣x）cm，∵HG=2HE，∴HG=（2x）cm，可得，解得，x=12，故HG=2x=24所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．答：矩形EFGH的周长为72cm．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．求证：AE=BE．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题．【分析】首先连接AC，由BC为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，根据等角的余角相等，可得∠BAD=∠C，又由弧AB等于弧AF，证得∠BAD=∠ABF，继而证得结论．【解答】证明：连接AC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∵AD⊥BC，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠C，∵弧AB=弧AF，∴∠C=∠ABF，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE．【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定．注意准确作出辅助线是解此题的关键．25．某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时．（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）【考点】相似三角形的应用；平行投影．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较．（2）超市不受影响，说明30°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和30°的正切值即可计算．【解答】解：（1）如图1所示：过F点作FE⊥AB于点E，∵EF=15米，∠AFE=30°，∴AE=5米，∴EB=FC=米．∵20﹣5＞6，∴超市以上的居民住房采光要受影响；（2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处．∵AB=20米，∠ACB=30°∴BC===20米答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2020-2021学年最新人教版九年级上学期期中考试数学试题1及答案解析-精品试卷
上学期期中质量检测九年数学试题（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）一、选择题(每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A ．B ．C ．D ．2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是A ． x 2+1=0 B ． x 2+x+1=0 C ． x 2﹣x+1=0 D ． x 2﹣x ﹣1=03．如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是A ．4 B ．8 C ．7 D ．6来源：/tiku/4．抛物线y=x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是 A ． y=（x+1）2+3 B ． y=（x+1）2﹣3 C ． y=（x ﹣1）2﹣3 D ． y=（x ﹣1）2+3 5．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为 A ．40° B ．80° C ．160° D ．1206．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等 且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2， 则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为 A ． 100×80﹣100x ﹣80x=7644 B ． （100﹣x ）（80﹣x ）+x 2=7644 C ． （100﹣x ）（80﹣x ）=7644 D ． 100x+80x=356 7．若点A （2，m ）在抛物线y=x 2上，则m 的值为 A ．4 B ．±2C ．2D ．±48．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子3题8题OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为 A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 9．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置 如图所示，对称轴是直线．则下列结论中，正确的是A ． a ＜0B ． c ＜﹣1C ． a ﹣b+c ＜0D ． 2a+3b=0 10．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ， 将△BCE 绕点C 按顺时针方向旋转90°得到△DCF ， 连接EF ，则∠EFC 的度数为 A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°二、填空题（每小题3分，共24分.）11.已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m = 时，它是二次函数.12.抛物线3842-+-=x x y 对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
厦门市同安区六校2020届新人教版九年级上期中联考数学试题含答案(全套样卷)
2020-2021学年度第一学期期中联考数学科试卷满分:150 分；考试时间:12020 分钟联考学校:竹坝学校、莲美中学、凤南中学、梧侣学校、澳溪中学、厦门市第二外国语学校一、选择题(本大题10小题，每小题4分，共40分)1、下列关于x的方程中，是一元二次方程的有()A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2﹣1=0 D．x2+=12、方程x2﹣2x=0的根是( )A．x1=x2=0 B．x1=x2=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=﹣23、关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是()A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4、已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于()A．4 B．1 C．0 D．﹣15、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(x-3)(x-4)=0的根，则这个三角形的周长( )A．13 B．11或13 C．11 D．11和136、用配方法解下列方程时，配方有错误的是()A．2m2+m﹣1=0化为B．x2﹣6x+4=0化为(x﹣3)2=5C．2t2﹣3t﹣2=0化为D．3y2﹣4y+1=0化为7、抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8．如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC 于点M，以下结论正确的是()A．BE=CE B．FM=MC C．AM⊥FC D．BF⊥CF9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高() A．4元或6元B．4元C．6元D．8元10．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论:①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a+b+c＞0．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11.抛物线y=2(x+3)2+1的顶点坐标是___________12．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=．13．如果函数y=(k﹣3)+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．14．已知抛物线y=x2﹣2(k+1)x+16的顶点在x轴上，则k的值是．15．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．16．如图，Rt△OAB的顶点A(﹣2，4)在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为．三、解答题(共86分)17．(7分)解方程:x2﹣6x﹣16=018．(7分)解方程:2x2+3=7x；19．(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20207分)求抛物线y=-2x2+8x-8的开口方向、对称轴和顶点坐标。
山东省菏泽市单县九年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人教版-新人教版初中九年级全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市单县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来并填在该题相应的括号内）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：12．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．15° B．30° C．60° D．75°4．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形6．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA=4，PB=2，那么线段BC的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．①②③④ C．②③④D．①③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分）9．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为．10．弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则该弧所在圆的半径是．11．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．12．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，则=．13．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC=度．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．三、解答题（本大题共7个小题，共78分）解答应写出必要的证明过程或演算步骤15．计算：tan30°•sin60°+cos230°﹣sin245°•tan45°．16．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的长．17．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的长．18．如图，△ABC的三顶点分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．请画出一个以原点O为位似中心，且与△ABC相似比为的位似图形△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标．（只需画出一种情况，A1B1：AB=）19．如图1表示一个时钟的钟面垂直固定与水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直与桌面，A点距桌面的高度为10公分．如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距离桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分？20．如图，小明为测量某铁塔AB的高度，他在离塔底B的10米C处测得塔顶的仰角α=43°，已知小明的测角仪高CD=，求铁塔AB的高．（精确到）（参考数据：sin43°=0.6820，cos43°=0.7314，tan43°=0.9325）21．如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，cosC=，BC=2．（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．22．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，斜边BC=12，∠C=30°，D为BC的中点，△ABD的外接圆⊙O与AC交于F点，过A作⊙O的切线AE交DF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）计算：AC•AF的值．2015-2016学年某某省某某市单县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案(含2套题)
密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x 2﹣4x ﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A ．3和4 B ．3和﹣4 C ．3和﹣1 D ．3和1 2．二次函数y=x 2﹣2x+2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3） 3．将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130° B ．50° C ．40° D ．60°4．用配方法解方程x 2+6x+4=0，下列变形正确的是（ ） A ．（x+3）2=﹣4 B ．（x ﹣3）2=4 C ．（x+3）2=5 D ．（x+3）2=± 5．下列方程中没有实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1=0 B ．x 2+3x+2=0 C ．2015x 2+11x ﹣20=0 D ．x 2+x+2=06．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）7．如图，⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC=3：5，则AB 的长为（ ）A ． cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm8．已知抛物线C 的解析式为y=ax 2+bx+c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．a 确定抛物线的形状与开口方向B ．若将抛物线C 沿y 轴平移，则a ，b 的值不变 C ．若将抛物线C 沿x 轴平移，则a 的值不变D ．若将抛物线C 沿直线l ：y=x+2平移，则a 、b 、c 的值全变 9．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD 的面积最大值是（ ）A ．64B ．16C ．24D ．32封线内不得10．已知二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列说法：①b2﹣4ac＜0；②ab+ac＜0；③方程ax2+bx+c=0有两个不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；④二次函数的图象与坐标轴有三个不同交点，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x2﹣x﹣1的对称轴是_________．12．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为_________．13．⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．则AB和CD之间的距离_________．14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC•AB，AD2=CD•AC，AE2=DE•AD，则AE的长为_________．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_________．16．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E点，则DE长度的取值范围是_________．三、解答题（共8小题，共72分）17．解方程：x2+x﹣2=0．18．已知抛物线的顶点坐标是（3，﹣1），与y轴的交点是（﹣4），求这个二次函数的解析式．19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的两实数根（1）求x1+x2，x1x2的值；（2）求2x12+6x2﹣2015的值．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题20．如图所示，△ABC 与点O 在10×10的网格中的位置如图所示（1）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的图形； （2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转180°后的图形；（2）若⊙M 能盖住△ABC ，则⊙M 的半径最小值为_________．21．如图，在⊙O 中，半径OA 垂直于弦BC ，垂足为E ，点D 在CA 的延长线上，若∠DAB+ ∠AOB=60°（1）求∠AOB 的度数； （2）若AE=1，求BC 的长．22．飞机着陆后滑行的距离S （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是：S=60t ﹣1.5t 2（1）直接指出飞机着陆时的速度； （2）直接指出t 的取值范围；（3）画出函数S 的图象并指出飞机着陆后滑行多远才能停来？23．如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，点D 从B 点出发沿B →A 方向在线段BA 上以a cm/s 速度运动，与此同时，点E 从线段BC 的某个端点出发，以b cm/s 速度在线段BC 上运动，当D 到达A 点后，D 、E 运动停止，运动时间为t （秒）（1）如图1，若a=b=1，点E 从C 出发沿C →B 方向运动，连AE 、CD ，AE 、CD 交于F ，连BF ．当0＜t ＜6时：密封 线 内 不 得①求∠AFC 的度数； ②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E 从B 点出发沿B →C 方向运动，E 点到达C 点后再沿C →B 方向运动．当t ≥3时，连DE ，以DE 为边作等边△DEM ，使M 、B 在DE 两侧，求M 点所经历的路径长．24．定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹（满足条件的所有点所组成的图形）叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．（1）已知抛物线的焦点F （0，），准线l ：，求抛物线的解析式；（2）已知抛物线的解析式为：y=x 2﹣n 2，点A （0，）（n ≠0），B （1，2﹣n 2），P 为抛物线上一点，求PA+PB 的最小值及此时P 点坐标；（3）若（2）中抛物线的顶点为C ，抛物线与x 轴的两个交点分别是D 、E ，过C 、D 、E 三点作⊙M ，⊙M 上是否存在定点N ？若存在，求出N 点坐标并指出这样的定点N 有几个；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．B ． 2．A ． 3． B ．4.C ．5.D ．6.D ．7.B ．8.D ． 9. D ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10.C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．抛物线y=﹣x 2﹣x ﹣1的对称轴是 直线x=﹣ ． 12．已知x=（b 2﹣4c ＞0），则x 2+bx+c 的值为 0 ．13．⊙O 的半径为13cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，AB=24cm ，CD=10cm ．则AB 和CD 之间的距离 7cn 或17cm ．14．如图，线段AB 的长为1，C 在AB 上，D 在AC 上，且AC 2=BC •AB ，AD 2=CD •AC ，AE 2=DE •AD ，则AE 的长为 ﹣2 ．15．抛物线的部分图象如图所示，则当y ＜0时，x 的取值范围是 x ＞3或x ＜﹣1 ．16．如图，△ABC 是边长为a 的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A 重合，三角板30°角的两边与BC 交于D 、E 两点，则DE 长度的取值范围是 （2﹣3）a ≤DE ≤a ． ．三、解答题（共8小题，共72分）17． 解：分解因式得：（x ﹣1）（x+2）=0， 可得x ﹣1=0或x+2=0，题解得：x 1=1，x 2=﹣2．18.解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a ﹣1，即a=﹣， 则抛物线解析式为y=﹣（x ﹣3）2﹣1．19.解：（1）∵∴x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣5，；（2）∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣5=0的两实数根， ∴x 12﹣3x 1﹣5=0， ∴x 12=3x 1+5，∴2x 12+6x 2﹣2015=2（3x 1+5）+6x 2﹣2015=6（x 1+x 2）﹣2015=﹣1987．20.解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作； （2）如图，△A ″B ″C ″为所求；（3）如图，点M 为△ABC 的外接圆的圆心，此时⊙M 是能盖住△ABC 的最小的圆，⊙M 的半径为=．故答案为．21.解：（1）连接OC ， ∵OA ⊥BC ，OC=OB ，∴∠AOC=∠AOB ，∠ACO=∠ABO ，∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB ，∠ACO=∠OAB ， ∴∠DAB=∠AOC ，∴∠DAB=∠AOB ，又∠DAB+∠AOB=60°， ∴∠AOB=30°； （2）∵∠AOB=30°， ∴BE=OB ，设⊙O 的半径为r ，则BE=r ，OE=r ﹣1， 由勾股定理得，r 2=（r ）2+（r ﹣1）2， 解得r=4，∵OB=OC ，∠BOC=2∠AOB=60°， ∴BC=r=4．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22.解：（1）飞机着陆时的速度V=60； （2）当S 取得最大值时，飞机停下来，则S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600， 此时t=20因此t 的取值范围是0≤t ≤20； （3）如图，S=60t ﹣1.5t 2=﹣1.5（x ﹣20）2+600． 飞机着陆后滑行600米才能停下来．23.解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t ． ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC ，∠B=∠ECA=60°． 在△BDC 和△CEA 中，，∴△BDC ≌△CEA ， ∴∠BCD=∠CAE ，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°， ∴∠AFC=120°；②延长FD 到G ，使得FG=FA ，连接GA 、GB ，过点B 作BH ⊥FG于H ，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA ，密 封 内∴△FAG 是等边三角形，∴AG=AF=FG ，∠AGF=∠GAF=60°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC ，∠BAC=60°， ∴∠GAF=∠BAC ， ∴∠GAB=∠FAC ． 在△AGB 和△AFC 中，，∴△AGB ≌△AFC ，∴GB=FC ，∠AGB=∠AFC=120°， ∴∠BGF=60°． 设AF=x ，FC=y ，则有FG=AF=x ，BG=CF=y ． 在Rt △BHG 中，BH=BG •sin ∠BGH=BG •sin60°=y ，GH=BG •cos ∠BGH=BG •cos60°=y ， ∴FH=FG ﹣GH=x ﹣y ． 在Rt △BHF 中，BF 2=BH 2+FH 2 =（y ）2+（x ﹣y ）2=x 2﹣xy+y 2．∴==1；（2）过点E 作EN ⊥AB 于N ，连接MC ，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t ，CE=2（t ﹣3）=2t ﹣∴BE=6﹣（2t ﹣6）=12﹣2t ，BN=BE •cosB=BE=6﹣t ， ∴DN=t ﹣（6﹣t ）=2t ﹣6， ∴DN=EC ．∵△DEM 是等边三角形， ∴DE=EM ，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°∴∠NDE=∠MEC ． 在△DNE 和△ECM 中，，∴△DNE ≌△ECM ， ∴∠DNE=∠ECM=90°，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∴M 点运动的路径为过点C 垂直于BC 的一条线段．当t=3时，E 在点B ，D 在AB 的中点， 此时CM=EN=CD=BC •sinB=6×=3；当t=6时，E 在点C ，D 在点A ， 此时点M 在点C ．∴当3≤t ≤6时，M 点所经历的路径长为3．24.解：（1）设抛物线上有一点（x ，y ）， 由定义知：x 2+（y ﹣）2=|y+|2，解得y=ax 2；（2）如图1，由（1）得抛物线y=x 2的焦点为（0，），准线为y=﹣，∴y=x 2﹣n 2由y=x 2向下平移n 2个单位所得， ∴其焦点为A （0，﹣n 2），准线为y=﹣﹣n 2， 由定义知P 为抛物线上的点，则PA=PH ， ∴PA+PH 最短为P 、B 、A 共线，此时P 在P ′处， ∵x=1，∴y=1﹣n 2＜2﹣n 2， ∴点B 在抛物线内，∴BI=y B ﹣y I =2﹣n 2﹣（﹣﹣n 2）=，∴PA+PB 的最小值为，此时P 点坐标为（1，1﹣n 2）； （3）由（2）知E （|n|，0），C （0，n 2），设OQ=m （m ＞0），则CQ=QE=n 2﹣m ，在Rt △OQE 中，由勾股定理得|n|2+m 2=（n 2﹣m ）2， 解得m=﹣， 则QC=+=QN ，∴ON=QN ﹣m=1， 即点N （0，1）， 故AM 过定点N （0，1）．密 封 线 得 人教版2020---2021学年度上学期九年级数学期中考试卷及答案（满分：120分 时间：120分钟）一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．方程x 2=3x 的解是（ ）A ．x=﹣3B ．x=3C ．x 1=0，x 2=3D ．x 1=0，x 2=﹣3 3．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．13C ．11或13D ．11和134．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ．1D ．45．若a 为方程x 2+x ﹣5=0的解，则a 2+a+1的值为（ ）A ．12B ．6C ．9D ．166．关于x 的一元二次方程9x 2﹣6x+k=0则k 的范围是（ ）A ．k ＜1B ．k ＞1C ．k ≤1D ．k ≥17．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC A 逆时针旋转60°后得到的△AB ′C ′，则∠BAC ′等于（A ．105°B ．120°C ．135°D ．150°8．与y=2（x ﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ A ．y=1+x 2 B ．y=（2x+1）2 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=2x 2 9．将抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向上平移3到的抛物线，其解析式是（ ）A ．y=2（x+1）2+3B ．y=2（x ﹣1）2﹣3C ．y=2（x+1）2﹣3D ．y=2（x ﹣1）2+3 10．抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（﹣2，1） C ．（2，﹣1） D ．（﹣2，﹣1）11．函数y=﹣x 2﹣4x ﹣3图象顶点坐标是（ ） A ．（2，﹣1） B ．（﹣2，1） C ．（﹣2，﹣1） D ．2，1）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题12．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的x 、y 的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 2 3y51﹣1 ﹣1 1则该二次函数图象的对称轴为（ ）A ．y 轴B ．直线x=C ．直线x=2D ．直线x= 13．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 、b 、c满足（ ）A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞014．已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．已知0≤x ≤，那么函数y=﹣2x 2+8x ﹣6的最大值是（ ） A ．﹣10.5 B ．2 C ．﹣2.5 D ．﹣6 二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解方程：x 2﹣4x+2=0．17．已知抛物线的顶点为A （1，﹣4），且过点B （3，0）．求该抛物线的解析式．18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ． （1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由．19．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x （元）取整数，用y （元）表示该店日净收入．（ 日净收入=每天的销售额﹣套餐成本﹣每天固定支出 ）（1）当5＜x ≤10时，y= ；当x ＞10时， y= ；（2）若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？20．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．21．已知关于x的一元二次方程．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．22．某房地产开放商欲开发某一楼盘，于2010年初以每亩100万的价格买下面积为15亩的空地，由于后续资金迟迟没有到位，一直闲置，因此每年需上交的管理费为购买土地费用的10%，2012年初，该开发商个人融资1500万，向银行贷款3500万后开始动工（已知银行贷款的年利率为5%，且开发商预计在2014年初完工并还清银行贷款），同时开始房屋出售，总面积为5万平方米，费用的5%开发商聘请调查公司进行了市场调研，发现在该片区，定位每平方米3000100元，则会少卖1000平方米，且卖房时间会延长2.5房地产开发商预计售房净利润为8660万．（1）问：该房地产开发商总的投资成本是多少万？（2）若售房时间定为2年（2发商不再出售，准备作为商业用房对外出租）每平方米多少元？23．正方形ABCD中，将一个直角三角板的直角顶点与点A 合，一条直角边与边BC交于点E（点E不与点B和点C另一条直角边与边CD的延长线交于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，此直角三角板有一个角是45°，它的斜边与边CD交于G，且点G是斜边MN的中点，连接EGEG=BE+DG；（3）在（2）的条件下，如果=，那么点G是否一定是边CD的中点？请说明你的理由．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题24．如图，已知点A （0，1），C （4，3），E （，），P 是以AC 为对角线的矩形ABCD 内部（不在各边上）的一动点，点D 在y 轴上，抛物线y=ax 2+bx+1以P 为顶点． （1）说明点A ，C ，E 在一条直线上；（2）能否判断抛物线y=ax 2+bx+1的开口方向？请说明理由； （3）设抛物线y=ax 2+bx+1与x 轴有交点F 、G （F 在G 的左侧），△GAO 与△FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，这时能确定a 、b 的值吗？若能，请求出a ，b 的值；若不能，请确定a 、b 的取值范围．参考答案一、选择题（共15题，每题3分共45分）1．B ．2. C ．3. B ．4. C ．5．B ．6．A ．7．A ．8．D ．9．A ． 10.B ．11.B ．12.D ．13.A ．14.D ．15.C ．二、解答题（本大题共9小题，共75分） 16．解：x 2﹣4x=﹣2 x 2﹣4x+4=2 （x ﹣2）2=2或 ∴，．17．解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣4， ∵抛物线经过点B （3，0）， ∴a （3﹣1）2﹣4=0， 解得：a=1，∴y=（x ﹣1）2﹣4，即y=x 2﹣2x ﹣3．18．（1）证明：∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，∴∠OCD=60°，CO=CD ， ∴△OCD 是等边三角形； （2）解：△AOD 为直角三角形． 理由：∵△COD 是等边三角形．答 题∴∠ODC=60°，∵将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ， ∴∠ADC=∠BOC=α， ∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC ﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD 是直角三角形．19.解：（1）由题意得：当5＜x ≤10时，y=400（x ﹣5）﹣600； 当x ＞10时，y=（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=﹣40x 2+100x ﹣4600．即y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10）．故答案是：400（x ﹣5）﹣600；﹣40x 2+100x ﹣4600； （2）由（1）知，y=﹣40x 2+100x ﹣4600（x ＞10） 当y=1560时，（x ﹣5）[400﹣40（x ﹣10）]﹣600=1560， 解得：x 1=11，x 2=14，答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元；20．解：（1）作图如右：△A 1B 1C 1即为所求；（2）作图如右：△A 2B 2C 2即为所求；（3）x 的值为6或7．21.解：（1）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以，方程有两个实数根；（2）若腰=3，则x=3是方程的一个根，代入后得：k=2， 原方程为x 2﹣5x+6=0⇒x 1=2，x 2=3即，等腰三角形的三边为3，3，2． 则周长为8，面积为若底为3，则原方程为x 2﹣4x+4=0⇒x 1=x 2=2 即，等腰三角形的三边为2，2，3． 则周长为7，面积为22.解：（1）15×100=1500万， 1500×10%×2=300万，1500+3500+3500×5%×2=5350万， 1500×5%×2=150万，四者相加1500+300+5350+150=7300万． 答：该房地产开发商总的投资成本是7300万；（2）设房价每平方米上涨x 个100元，依题意有 （5﹣0.1x ）=8660+7300， 解得x 1=12，x 2=8，又因为当x 1=12时，卖房时间为30个月，此时超过两年，所以舍去；当x 2=8时，卖房时间为20个月； 则房价为3000+8×100=3800元． 答：房价应定为每平方米3800元．23.解：（1）如图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD ． ∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD ，∴∠EAF ﹣∠EAD=∠BAD ﹣∠EAD ， ∴∠BAE=∠DAF ． 在△ABE 和△ADF 中，∴△ABE ≌△ADF （ASA ） ∴AE=AF ；（2）如图②，连接AG ， ∵∠MAN=90°，∠M=45°， ∴∠N=∠M=45°， ∴AM=AN ．∵点G 是斜边MN 的中点， ∴∠EAG=∠NAG=45°．密 封 题∴∠EAB+∠DAG=45°． ∵△ABE ≌△ADF ， ∴∠BAE=∠DAF ，AE=AF ， ∴∠DAF+∠DAG=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAG=∠FAG ． 在△AGE 和AGF 中，，∴△AGE ≌AGF （SAS ）， ∴EG=GF ． ∵GF=GD+DF ， ∴GF=GD+BE ， ∴EG=BE+DG ；（3）G 不一定是边CD 的中点． 理由：设AB=6k ，GF=5k ，BE=x ， ∴CE=6k ﹣x ，EG=5k ，CF=CD+DF=6k+x ， ∴CG=CF ﹣GF=k+x ，在Rt △ECG 中，由勾股定理，得 （6k ﹣x ）2+（k+x ）2=（5k ）2， 解得：x 1=2k ，x 2=3k ，∴CG=4k 或3k ．∴点G 不一定是边CD 的中点．24.解：（1）由题意，A （0，1）、C （4，3）两点确定的直线解析式为：y=x+1 将点E 的坐标（，），代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=．∵左边=右边∴点E 在直线y=x+1上， 即点A 、C 、E 在一条直线上；（2）解法一：由于动点P 在矩形ABCD 的内部，∴点P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点P 上，且P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下． 解法二：∵抛物线y=ax 2+bx+1的顶点P 的纵坐标为，且P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜＜3，由1＜1﹣得﹣＞0．∴a ＜0．∴抛物线开口向下； （3）连接GA 、FA ．密学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵S △GAO ﹣S △FAO =3∴GO •AO ﹣FO •AO=3． ∵OA=1， ∴GO ﹣FO=6．设F （x 1，0），G （x 2，0），则x 1、x 2是方程ax 2+bx+1=0的两个根，且x 1＜x 2，又∵a ＜0 ∴x 1•x 2=＜0， ∴x 1＜0＜x 2 ∴GO=x 2、FO=﹣x 1∴x 2﹣（﹣x 1）=6，即x 2+x 1=6 ∵x 2+x 1=，∴=6∴b=﹣6a∴抛物线的解析式为：y=ax 2﹣6ax+1，其顶点P 的坐标为（3，1﹣9a ）∵顶点P 在矩形ABCD 的内部， ∴1＜1﹣9a ＜3， ∴﹣＜a ＜0① 由方程组，得ax 2﹣（6a+）x=0， ∴x=0或x==6+，当x=0时，即抛物线与线段AE 交于点A ，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点， 则有：0＜6+≤， 解得：﹣a ＜﹣②，综合①②，得﹣＜a ＜﹣，∵b=﹣6a ， ∴＜b ＜．。
人教版2017-2018学年九年级(上)期中考试数学试卷(含答案)
2017-2018学年上学期期中考试九年级数学试卷（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成；一、选择题 （本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。
1、在﹣5，0，﹣2，1这四个数中，最小的数是（ ）A ．﹣5B ．﹣2C ．0D ．12、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列计算正确的是（ ）A ．532x x x =+B ．2x ·63x x =C ．()532x x =D ．235x x x =÷4、下列调査中，适合采用全面调査（普査）方式的是 ( )A ．对嘉陵江水质情况的调査B ．对端午节期间市场上粽子质量情况的调査C ．对某班50名同学体重情况的调査D ．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调査5、对于二次函数2(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）．A ．开口向下B ．对称轴是1x =-C ．顶点坐标是(1,2)D ．与x 轴有两个交点 6、若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根，且m ≠0，则n m +的值为（ ）A.1-B.1C.21-D.21 7、将抛物线y =(x －4)2＋2向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的 表达式为（ ）A ．y =(x －3)2＋5B ．y =(x －3)2－1C ．y =(x －5)2＋5D ．y =(x －5)2－18、共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，则所列方程正确的为（ ）A ．21000(1)1000440x +=+B ．21000(1)440x +=C ．2440(1)1000x +=D ．1000(12)1000440x +=+9、在同一平面直角坐标系中，函数y =ax 2+bx 与y =bx +a 的图象可能是（ ）A B C D10、下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（ ）A ．50B ．60C ．64D ．7211、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =2,将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连结BM ，则BM 的长是（ ）A.4B. 13+C. 23+D. 712、在﹣2、﹣1、0、1、2、3这六个数中，随机取出一个数，记为a ，若数 a 使关于x 的分式方程3233ax x x+=---的解是正实数，且使得二次函数y =﹣x 2+（2 a ﹣1）x +1的图象，在x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则满足条件的所有a 之和是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上13、据报道，西部地区最大的客运枢纽系统﹣﹣重庆西站，一期工程已经完成90%，预计在年内建成投入使用。
人教版九年级上册数学期中考试试卷含答案 2022年
人教版九年级上册数学期中考试试题2022年7月一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0 B．x2﹣4y＝0 C．x2+3x＝0 D．x+1＝03．若22=-是二次函数，则m的值为（）y m x-(2)mA．2 B．2- D．0- C．2或24．下列说法中正确的是（）A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦5．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）6．如图，⊙O的弦AB＝16，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的直径等于（）A．12 B．16 C．20 D．247．圆的直径为10cm，如果点P到圆心O的距离是d，则( )A．当d=8cm时，点P在⊙O内 B．当d=10cm时，点P在⊙O上C．当d=5cm时，点P在⊙O上 D．当d=6cm时，点P在⊙O内8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（）A． B．C ．D ．9．将抛物线218y x =-先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移所得到的抛物线的解析式是（ ）A ．21(2)38y x =---B ．21(2)38y x =--+ C ．21(2)38y x =-+- D ．21(2)38y x =-++ 10．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +<，③420a b c -+<，④20a b c ++>，其中正确结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．已知，点A （a ﹣1，3）与点B （2，﹣2b ﹣1）关于原点对称，则2a+b ＝_____．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°．13．电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x ，则可列方程为___．14．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y ＝－2125x ，当水面离桥拱的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为______m15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知CD=4，OD=3，求AB 的长是__．=16．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2+bx+c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③3a+c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大；其中结论正确的有_____．三、解答题17．用适当方法解方程：（1）（x ﹣1）2=9．（2）x 2﹣4x ﹣7=0．（3） x 2+4x ﹣5=0（4）3x （x ﹣2）=2（x ﹣2）18．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．19．如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C 的坐标为(-2，-2)．（1）画出△ABC 以y 轴为对称轴的对称图形111A B C △，并写出点C 1的坐标；（2）以原点O 为对称中心，画出111A B C △关于原点O 对称的222A B C △并写出点C 2的坐标；（3）以C 2为旋转中心，把222A B C △顺时针旋转90°，得到△C 2A 3B 3．20．如图，在O 中，AC CB =，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC 的面积．21．某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m 的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m ，满足条件的花园面积能达到120m 2吗？若能，求出此时BC 的值；若不能，说明理由．22．如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=62°，∠APD=86°．（1）求∠B 的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．23．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB=AC．（1）求证：DE平分∠CDF；（2）求证：∠ACD=∠AEB．24．某果品专卖店元旦前后至春节期间主要销售薄壳核桃，采购价为15元/kg，元旦前售价是20元/kg，每天可卖出450kg．市场调查反映：如调整单价，每涨价1元，每天要少卖出50kg；每降价1元，每天可多卖出150kg．（1）若专卖店元旦期间每天获得毛利2400元，可以怎样定价？若调整价格也兼顾顾客利益，应如何确定售价？（2）请你帮店主算一算，春节期间如何确定售价每天获得毛利最大，并求出最大毛利．25．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A（2,1）.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握是解题的关键．2．C【解析】【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是2（次）的方程叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）.【详解】A项，是二元一次方程，故A项错误.B项，是二元二次方程，故B项错误.C项，是一元二次方程，符合题意，C项正确.D项，是一元一次方程，错误.故答案选C.本题主要考查了一元二次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的最高指数是2，且二次项系数不是0，这是这类题目的考查的重点.3．B【解析】【分析】根据二次函数的定义，令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】解：根据题意的得：222 20 mm⎧-=⎨-≠⎩解得：22 mm=±⎧⎨≠⎩∴m=-2，故选B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．4．D【解析】【详解】试题分析：根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．B、错误．弧是圆上两点间的部分．C、错误．优弧大于半圆．D、正确．直径是圆中最长的弦．故选D．【考点】圆的认识．5．A【解析】【分析】由于抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解：∵抛物线的顶点式为()2y a x h k =-+，顶点为(),h k ∴抛物线()2523y x =--的顶点是坐标为()2,3-． 故选A ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．6．C【解析】【分析】连接OA ，即可证得△OMA 是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM ，根据勾股定理即可求得OA 的长，即⊙O 的半径．【详解】解：连接OA ，∵M 是AB 的中点，∴OM ⊥AB ，且AM=111622AB =⨯=8，在Rt △OAM 中，，∴圆的直径为20．故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得AM 的长，证明△OAM 是直角三角形是解题的关键．7．C【解析】解：∵圆的直径为10cm ，∴圆的半径为5cm ，∴当d>5cm 时，点P 在O 外；当d=5cm 时，点P 在O 上；当d<5cm 时，点P 在O 内． 故选C ．【点睛】点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外．8．D【解析】【分析】观察两图象，分别确定,a c 的取值范围，即可求解．【详解】解：A 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，而一次函数图象自左向右呈上升趋势，则0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、抛物线图象与y 轴交于负半轴，即0c < ，而一次函数图象与y 轴交于正半轴，0c > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、抛物线图象，开口向上，即0a > ，而一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，两图象与y 轴交于同一点，即c 相同，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数20y ax bx c a ++≠＝（）a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点位置是解题的关键．9．C【解析】【分析】直接根据平移的规律即可求得答案．【详解】∵将抛物线218y x =-向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后所得抛物线解析式为y=-18（x+2）2-3， 故选：C ．【点睛】此题考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．10．B【解析】【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点位置，可判断a 、b 、c 的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．【详解】解：∵抛物线开口向下，与y 轴的交点在x 轴上方，∴a ＜0，c ＞0，∵0＜-2b a＜1，∴b ＞0，且b ＜-2a ，∴abc ＜0，2a+b ＜0，故①不正确，②正确； ∵当x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，故③正确；∵当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，又c ＞0，∴a+b+2c ＞0，故④正确；综上可知正确的有②③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．11．-1【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标特点可得a ﹣1＝﹣2，﹣2b ﹣1＝﹣3，解出a 、b 的值，然后可得答案．【详解】解：∵点A （a ﹣1，3）与点B （2，﹣2b ﹣1）关于原点对称，∴a ﹣1＝﹣2，﹣2b ﹣1＝﹣3，解得：a ＝﹣1，b ＝1，∴2a+b＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．12．100【解析】【分析】结合已知条件可以推出∠A＝50°，根据圆周角定理即可推出∠BOD＝100°．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，∴∠A＝180°-∠BCD =50°，∴∠BOD＝2∠A =100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数．13．1.92（1+x）2＝2.61．【解析】【分析】根据增长率算出2天后的票房为1.92（1+x）2，由题目告知两天后的票房为2.61亿元，列出方程即可.【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61．故答案为1.92（1+x）2＝2.61．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中的增长率问题，理解清楚题目意思是解决问题的关键. 14．20【解析】【分析】根据题意，把y=－4直接代入解析式即可解答．【详解】解：根据题意A 、B 的纵坐标为－4，把y=－4代入2125y x =-，得x=±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB=20m ，即水面宽度AB 为20m ．故答案为20．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．15．10【解析】【分析】连接OC ，根据勾股定理求出OC 的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OC ，∵CD ⊥AB ，垂足为D ，CD=4，OD=3，5OC ∴=∴AB=2OC=10故答案为：10．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．①②⑤【解析】【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a ，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【详解】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2-4ac ＞0，∴4ac ＜b 2，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=-1，x 2=3，故②正确；∵x=-2b a =1，即b=-2a ， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，∴当x ＜0时，y 随x 增大而增大，故⑤正确；所以其中结论正确的有①②⑤，故答案为：①②⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．17．（1）x1=4，x2=﹣2；（2）x1x2=2（3）x1=﹣5，x2=1；（4）x1=2，x2=23．【解析】【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．【详解】（1）（x﹣1）2=9．解：两边开方得：x﹣1=±3，解得：x1=4，x2=﹣2；（2）x2﹣4x﹣7=0．解：移项得：x2﹣4x=7，配方得：x2﹣4x+4=7+4，即（x﹣2）2=11，开方得：x﹣2=∴原方程的解是：x1x2（3）x2+4x﹣5=0解：因式分解得（x+5）（x﹣1）=0，∴x+5=0或x﹣1=0，∴x1=﹣5，x2=1；（4）3x（x﹣2）=2（x﹣2）解：3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣2）=0，∴x﹣2=0或3x﹣2=0，∴x1=2，x2=23．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（1）m ＜12；（2）﹣1．【解析】【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出122x x +=-，122x x m =，再结合完全平方公式可得出222121212()2x x x x x x +=+-，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【详解】解：（1）∵一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜12，∴m 的取值范围为m ＜12．（2）∵1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，∴122x x +=-，122x x m =，∴222121212()2x x x x x x +=+-=4﹣4m=8， 解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m 的值为﹣1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=b a-，x 1•x 2=c a． 19．（1）作图见解析，C 1(2，-2)；（2）作图见解析，C 2(-2，2)；（3）作图见解析．【解析】【分析】（1）分别作出A ，B ，C 的关于y 轴的对称点，然后顺次连接即可作出图形；（2）分别作出1A ，1B ，1C 的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形；（3）以2C 为旋转中心，把△222A B C 顺时针旋转90︒，即可得到△233C A B ．【详解】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求，1C 的坐标是(2,2)-；（2）如图所示，△222A B C 即为所求，2C 的坐标是：(2,2)-；（3）如图所示，△233C A B 即为所求．【点睛】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20．（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）连接OC ，由AC=BC ，可得∠AOC=∠BOC ，又CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，由角平分线定理可得CD=CE ；（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC ，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得112OD OC ==，由勾股定理可得CD =可得12CDO S OD CD =⋅△同理可得CBO S △，进而求出CDO CEO CDOE SS S =+=△△四边形．【详解】（1）证明：连接OC ．∵AC=BC ，∴∠AOC=∠BOC ．∵CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴CD=CE ．（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC ，∴∠AOC=60°．∵∠CDO=90°，∴∠OCD=30°，∵OC=OA=2， ∴112OD OC ==．∴CD∴12CDO S OD CD =⋅△同理可得CBO S △，∴CDO CEO CDOE S S S =+=△△四边形．【点睛】 本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．21．花园的面积能达到120m 2，此时BC 的值为12m ．【解析】【分析】设AB=xm ，则BC=(32﹣2x)m ，根据矩形的面积公式结合花园面积为120m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，结合墙的长度可确定x 的值，进而可得出BC 的长度．【详解】设AB=xm，则BC=(32﹣2x)m，依题意，得：x(32﹣2x)=120，整理，得：x2﹣16x+60=0，解得：x1=6，x2=10．∵32﹣2x≤16，∴x≥8，∴x=10，32﹣2x=12．答：花园的面积能达到120m2，此时BC的值为12m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．22．（1）24°；（2）3．【解析】【分析】（1）由三角形的外角性质求出∠C=∠APD-∠CAB=24°，再由圆周角定理即可得出结论；（2）作OE⊥BD于E，由垂径定理得DE=BE，证出OE是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得OE=12AD=3即可．【详解】（1）∵∠APD=∠CAB+∠C，∴∠C=∠APD﹣∠CAB=86°﹣62°=24°，∴∠B=∠C=24°；（2）作OE⊥BD于E，如图所示：则DE=BE，∵OA=OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AD=12×6=3，即圆心O到BD的距离为3．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根据圆周角定理证明．【详解】（1）∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE=∠ABC，由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，∴∠ACB=∠FDE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠FDE=∠CDE，即DE平分∠CDF；（2）∵∠ACB=∠ABC，∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，又∠CAE=∠DBC，∴∠E=∠ABD，∴∠ACD=∠AEB．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．24．（1）21，19；（2）售价为22元时，毛利最大，最大毛利为2450元【解析】【分析】（1）根据销售问题的等量关系：每天获得毛利＝每千克利润×销售量，分涨价和降价两种情况列出一元二次方程确定售价即可；（2）根据销售问题的等量关系：每天获得毛利＝每千克利润×销售量，分涨价和降价两种情况设每天的毛利为w元，涨价和降价两种情况列出二次函数求出售价进行比较即可确定售价和最大毛利．【详解】解：（1）根据题意，得①设售价涨价x元，（20﹣15+x）（450﹣50x）＝2400解得x1＝1，x2＝3，∵调整价格也兼顾顾客利益，∴x＝1，则售价为21元；②设售价降价y元，（20﹣15﹣y）（450+150y）＝2400解得y1＝y2＝1，则售价为19元；答：调整价格也兼顾顾客利益，售价应定为19元．（2）根据题意，得①设售价涨价x元时，每天的毛利为w1元，w1＝（20﹣15+x）（450﹣50x）＝﹣50x2+200x+2250＝﹣50（x﹣2）2+2450．当售价涨价2元，即售价为22元时，毛利最大，最大毛利为2450元；②设售价降价y元时，每天的毛利为w2元，w2＝（20﹣15﹣y）（450+150y）＝﹣150y2+300y+2250＝﹣150（y﹣1）2+2400当降价为1元时，即售价为19元时，毛利最大，最大毛利为2400元．综上所述，售价为22元时，毛利最大，最大毛利为2450元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，解决本题的关键是找到题目中蕴含的等量关系，熟练掌握二次函数的性质，能够将一般式转化为顶点式.25．(1) B（-1.2）;(2) y=57x?66x;(3)见解析.【解析】【分析】（1）过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标；（2）根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P 点的坐标．【详解】（1）如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB为等腰三角形，∴AO=BO，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD，在△ACO和△ODB中AOC OBDACO ODB AO BO＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACO ≌△ODB （AAS ），∵A （2，1），∴OD=AC=1，BD=OC=2，∴B （-1，2）；（2）∵抛物线过O 点，∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得5676a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=56x 2-76x ；（3）∵四边形ABOP ，∴可知点P 在线段OA 的下方，过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，设直线AO 解析式为y=kx ，∵A （2，1），∴k=12，∴直线AO 解析式为y=12x ，设P 点坐标为（t ，56t 2-76t ），则E （t ，12t ），∴PE=12t-（56t 2-76t ）=-56t 2+53t=-56（t-1）2+56，∴S △AOP =12PE ×2=PE ═-56（t-1）2+56，由A（2，1）可求得∴S△AOB=12AO•BO=52，∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-56（t-1）2+56+52=()2510163t--+，∵-56＜0，∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，-13），综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，-13）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．。
2021-2022学年人教版九年级数学上学期期中试题含答案
2021-2022学年九年级上学期期中数学试题一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（）A．4cm，4cm，8cm，8cmB．5cm，5cm，7cm，7cmC．5.5cm，5.5cm，6.5cm，6.5cmD．3cm，3cm，9cm，9cm2．（4分）下列说法正确的是（）A．经过三点可以作一个圆B．顶点在圆周上的角叫做圆周角C．平分弦的直径垂直于弦D．同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等3．（4分）一个盒子装有红、黄、白球分别为2、3、5个，这些球除颜色外都相同，从袋中任抽一个球，则抽到黄球的概率是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，A、B、C三点在⊙O上，若∠ACB＝∠AOB，则∠AOB的度数是（）A．60°B．90°C．100°D．120°5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（）cm．A．32 B．24 C．48 D．646．（4分）将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣27．（4分）如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED 的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（）A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米8．（4分）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2+39．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（）A．2B．4﹣2C．2﹣D．10．（4分）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（）A．﹣1≤m≤0 B．2≤m≤4 C．2≤m＜D．﹣≤m≤二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）已知x：y：z＝1：2：3，且x﹣2y+3z＝4，则x﹣y+z＝．12．（4分）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是．13．（4分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．14．（4分）为了防止输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是．15．（4分）如图，△AOB中，O是坐标原点，A的坐标是（2，0），B的坐标是（3，1），在平面内找一格点C，使O，B，C三点所构成的三角形与△AOB相似，且S△OBC ＝5S△OAB，则C点所有可能的坐标是．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为．三．解答题（共7小题）17．如图，AB为 ⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．18．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的值．19．一只不透明的袋子中有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：摸球总次数102030609012018024023045019142426375882109150“和为7”出现的频数0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33“和为7”出现的频率解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．20．△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠ABC＝30°，点D在⊙O上．（1）如图，若弦CD交直径AB于点E，连接DB，线段CF是点C到BD的垂线段．①问∠CDF的度数和点D的位置有关吗？请说明理由．②若△DFC的面积是△ACB 的面积的倍，求∠CBF的正弦值．（2）若⊙O的半径长为2，CD ＝，求BD的长度．21．某农经公司以40元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调查，发现该产品日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）4050607080日销售量p（千克）120100806040（1）求p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（﹣1，0）和（0，3）．（1）若图象还经过点（3，0），求该二次函数的表达式．（2）若图象的对称轴在y轴的右侧，设S＝﹣4a+2b+c，求S的取值范围．23．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：＝；【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长参考答案一．选择题1． D 2． D 3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．B．9．A．10．B．二．填空题11．．12．6或7．13．y1＞y2＞y3．14．．15．（﹣4，2）或（﹣2，﹣4）或（5，5）或（7，﹣1）．16．2或．三．解答题（共7小题）17．如图，AB为 ⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OM＝3．18．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AB2＝DE•BF；（2）如果OE＝1，EF＝2，求的值．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，∴，∴AB2＝DE•BF；（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴＝，＝，∴1﹣＝1﹣，∴，∴，∴AO ＝，∴＝＝．19．一只不透明的袋子中有4个小球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和．记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：摸球总次数102030609012018024023045019142426375882109150“和为7”出现的频数0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33“和为7”出现的频率解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；（2）根据（1），若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．【答案】见解析【解析】（1）出现和为7的概率是：0.33（或0.31，0.32，0.34均正确）；（2）如图，可知一共有4×3＝12种可能的结果，由（1）知，出现和为7的概率约为0.33，234x2 ﹣562+x35﹣73+x467﹣4+xx2+x3+x4+x﹣∴和为7出现的次数为0.33×12＝3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）；若2+x＝7，则x＝5，此时P（和为7）＝≈0.33，符合题意．若3+x＝7，则x＝4，不符合题意．若4+x＝7，则x＝3，不符合题意．所以x＝5．20．△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠ABC＝30°，点D在⊙O上．（1）如图，若弦CD交直径AB于点E，连接DB，线段CF是点C到BD的垂线段．①问∠CDF的度数和点D的位置有关吗？请说明理由．②若△DFC的面积是△ACB的面积的倍，求∠CBF的正弦值．（2）若⊙O的半径长为2，CD＝，求BD的长度．【答案】见解析【解析】（1）①没有关系，理由如下：如下图：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠CDF＝∠CAB＝60°；②∵CF⊥BD，AB为直径，∴∠ACB＝∠CFD＝90°．由①得：∠CDF＝∠CAB＝60°，∴AC＝＝；DF＝＝；∵S△ABC ＝AC•BC＝；S△CDF＝CF•DF＝；∴＝＝，∴sin∠CBF＝＝．（2）∵⊙O的半径长为2，CD＝∴弧CD所对的圆心角∠COD＝90°．①点D在弦BC上方的圆弧上时，如图，连接OD，过D作DE⊥AB于E，由（1）知∠ABC＝30°，∠CAB＝60°，∴∠AOC＝60°，∠BOD＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵OD＝2，∴OE＝，DE＝1，BE＝2﹣；∴BD＝＝＝＝﹣；②点D在弦BC下方的圆弧上时，如图，连接OD，过点D作DF⊥AB于F此时∠DOA＝90°﹣60°＝30°∴OF＝，DF＝1，BF＝2+∴BD＝＝＝＝+综上所述，BD的长为﹣或+．21．某农经公司以40元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经过市场调查，发现该产品日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如表：销售价格x（元/千克）4050607080日销售量p（千克）120100806040（1）求p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？【答案】见解析【解析】（1）∵p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，可选择x＝40，y＝120和x＝50，y＝100代入，则，解得，∴所求的函数关系为p＝﹣2x+200；（2）设日销售利润为w元，∴w＝p（x﹣40）＝（﹣2x+200）（x﹣40），即w＝﹣2x2+280x﹣8000，∴当x＝﹣＝70时，w有最大值1800，答：这批农产品的销售价格定为70元/千克时日销售利润有最大，这个最大日销售利润为1800元．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（﹣1，0）和（0，3）．（1）若图象还经过点（3，0），求该二次函数的表达式．（2）若图象的对称轴在y轴的右侧，设S＝﹣4a+2b+c，求S的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，3）代入得3＝a×1×（﹣3），解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；（2）把点（﹣1，0）和（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，∴b＝a+3，c＝3，∴S＝﹣4a+2（a+3）+3＝﹣2a+9，∵图象的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，∴b＞0，即a+3＞0，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜0，∴9＜S＜15．23．【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：＝；【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF＝，请求BP的长．【答案】见解析【解析】（1）：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠BAT+∠ABT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，∴∠ABT+∠CBQ＝90°，∴∠BAP＝∠CBQ，∴△ABP∽△BCQ，∴＝，∴＝．（2）如图②中，连接BD．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，∴BD＝＝＝，∵D，B关于EF对称，∴BD⊥EF，∴＝，∴＝，∴EF＝．（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，∴＝，∴DG＝，∴AG＝＝＝1，由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，∴x2＝AG2+AE2，∴x2＝（3﹣x）2+1，∴x＝，∴DE＝EG＝，∵FH⊥EG，∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，∴四边形HGPF是矩形，∴FH＝PG＝CD＝2，∴EH＝＝＝，∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH＝﹣＝1，∵PF∥EG，EA∥FB，∴∠AEG＝∠IPF，∵∠A＝∠FJP＝90°，∴△AEG∽△JFP，∴＝＝，∴＝＝，∴FJ＝，PJ＝，∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝3﹣﹣1＝，在Rt△BJP中，BP＝＝＝．解法二：作PH垂直AB于H，证△AEG～△HGP，求出GH，HP，然后在直角三角形BPH，勾股定理求出BP。