2021届高三数学二轮复习《函数与导数》备考策略
最新-2021届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题一 函数与导数、不等式 第5讲 精品
(1)证明 因为对任意x∈R，都有f(－x)＝e－x＋e－(－x) ＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)是R上的偶函数. (2)解 由条件知 m(ex＋e－x－1)≤e－x－1 在(0，＋∞)上恒成立. 令 t＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t2－t－t＋1 1＝－t－1＋1t－1 1＋1对 任意 t>1 成立.因为 t－1＋t－1 1＋1≥2 （t－1）·t－1 1＋1＝3， 所以－t－1＋1t－1 1＋1≥－13，当且仅当 t＝2，即 x＝ln 2 时等号 成立.因此实数 m 的取值范围是(－∞，－13].
[微题型2] 利用导数解决不等式恒成立问题 【例2－2】 (1)已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R.
①讨论函数f(x)的单调区间； ②若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2 恒成立，求实数b的取值范围. (2)设 f(x)＝xx＋ln 1x，若对∀x∈[1，＋∞)，f(x)≤m(x－1) 恒成立，求 m 的取值范围.
真题感悟
(2014·江苏卷)已知函数 f(x)＝ex＋e－x，其中 e 是自然对数的 底数. (1)证明：f(x)是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e－x＋m－1 在(0，＋∞)上恒成 立，求实数 m 的取值范围； (3)已知正数 a 满足：存在 x0∈[1，＋∞)，使得 f(x0)<a(－x30＋ 3x0)成立.试比较 ea－1 与 ae－1 的大小，并证明你的结论.
(1)求a，b的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出 其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短 长度.
解 (1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5， 40)，(20，2.5).将其分别代入 y＝x2＋a b， 得24500a＋a＋b＝b＝402，.5，解得ab＝＝10.000，
2021年高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想,数形结合思想
2021年高考数学二轮复习攻略一函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型．高、中、低档试题都有出现．近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力．函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题．需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决．【例1】(xx·福建高考)已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜c e x.【解】(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x －x 2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g′(x)＞0.所以g(x)在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x.(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x.所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x ＜c e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.2．运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【例2】 已知S n ＝1＋12＋13＋…＋14(n ∈N *)，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n ，不等式f (n )>[log m (m －1)]2－1120·[log (m －1)m ]2恒成立．【解】 由f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，得f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，∴f (n ＋1)＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3.∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋4>0. ∴f (n )>f (n －1)>…>f (3)>f (2)(n ∈N *，n ≥2)．∴f (n )min ＝f (2)＝12＋2＋12＋3＝920.要使对于一切大于1的正整数n ，原不等式恒成立，只需不等式920>[log m (m －1)]2－1120[log (m －1)m ]2成立．设y ＝[log m (m －1)]2，则y >0.于是⎩⎪⎨⎪⎧920>y －1120y ，y >0，解得0<y <1.从而⎩⎪⎨⎪⎧0<[log mm －1]2<1，m >0，m ≠1，m －1≠1，m －1>0，解得m >1＋52且m ≠2. ∴实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，2∪(2，＋∞)．3．运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决．特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．【例3】 (xx·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .(ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；(ⅱ)当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(Ⅰ)【解】 由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(Ⅱ)(ⅰ)【证明】 由(Ⅰ)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－2＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)【解】 由(ⅰ)可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝m 2＋1[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋1m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋32m 2＋1＝124·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124·4＋4＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．二、数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合思想解决讨论方程内解或图象的交点问题用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．【例4】 (xx·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解】 原问题等价于方程f (x )＝a |x －1|恰有4个互异的实数根 解法一：分别画出函数y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象(1)由x 2＋3x ＝a (x －1)得， x 2＋(3－a )x ＋a ＝0， Δ＝(3－a )2－4a ，由Δ＝0得a ＝9或a ＝1(舍)， 此时a >9，(2)由－x 2－3x ＝a (1－x )，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ＝0得a ＝1或a ＝9(舍)， 结合图象知0<a <1，由(1)(2)知0<a <1或a >9，∴a ∈(0,1)∪(9，＋∞)． 解法二：分离参数法a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5， 由平移和对称知 画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5的图象， 由图知a ∈(0,1)∪(9，＋∞)． 【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)3．运用数形结合思想解决有关最后问题“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．(1)把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如①y 2－y 1x 2－x 1看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点(动点在一个区域内)的形式：②a －m 2＋b －n 2或(a －m )2＋(b －n )2：看作是两点(a ，b )和(m ，n )间的距离或距离的平方．(2)其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：①向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；②复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形．【例5】 (1)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ≥0，①求函数z ＝y ＋3x ＋1的值域；②求w ＝x ＋12＋y ＋32的最值．(2)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)①由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x 2＋y 2＝4的右半圆域(含边界)，z ＝y ＋3x ＋1可改写为y ＋3＝z (x ＋1)，把z 看作参数，则此方程表示过定点P (－1，－3)，斜率为z 的直线系．所求问题的几何意义是：求过半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点与点P (－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P 和点A (0,2)的直线斜率最大，z max ＝2－－30－－1＝5.过点P 向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B (a ，b )，则过B 点的切线方程为ax ＋by ＝4.又B 在半圆周上，P 在切线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，－a －3b ＝4.又a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2＋365，b ＝－6－65，因此z min ＝26－33.综上可知函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤26－33，5.②所求问题的几何意义是：求半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点到P (－1，－3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知w max ＝|PO |＋r ＝10＋2，w min ＝|PC |＝12＋－2＋32＝2，即最大值为10＋2，最小值为 2.(2)f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，解得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝4＋2＝6.故选C.【答案】 C4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例6】 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．【解】 根据题意，画出图形如下图，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt△PAC的面积S Rt△PAC ＝12|PA|·|AC|＝12|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|PA|＝|PC|2－|AC|2＝2 2.∴(S四边形PACB)min＝2×12×|PA|×|AC|＝2 2.-33468 82BC 芼27664 6C10 氐 X38295 9597 閗u24177 5E71 幱38742 9756 靖O24092 5E1C 帜836956 905C 遜g29981 751D 甝。
(浙江专用)2021高考数学二轮复习专题五函数与导数、不等式第5讲导数与函数零点、不等式问题课件
当 x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)<0. 故 f(x)在(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)上单 调递增，在(3－2 3，3＋2 3)上单调递减. (2)证明 由于 x2＋x＋1>0，所以 f(x)＝0 等价于x2＋xx3＋1－3a＝0. 设 g(x)＝x2＋xx3＋1－3a，则 g′(x)＝x2（（xx22＋＋x2＋x＋1）3）2 ≥0，仅当 x＝0 时 g′(x)＝0，所以 g(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
当 x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数，则 g(x)min＝g(0)＝1， 所以 e－(a＋1)－ae＜1，解得 a＞ee2－＋21e， 所以 a 的取值范围为ee2－＋21e，1 .
个实根.
综上，当 a≤3－4ln 2 时，对于任意 k>0，直线 y＝kx＋a 与曲线 y＝f(x)有唯一公共
点.
考点整合
1.利用导数研究函数的零点 函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决 这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结 合求解.
故 h(x)在区间(1，e)上单调递增，所以 h(x)>h(1)＝0. 因为 h(x)>0，所以 g′(x)>0，即 g(x)在区间(1，e)上单调递增，则 g(x)<g(e)＝e－1， 即xl－n x1<e－1，所以实数 a 的取值范围为[e－1，＋∞).
[考法 3] 存在性不等式成立问题 【例 2－3】 已知函数 f(x)＝x－(a＋1)ln x－ax(a∈R 且 a<e)，g(x)＝12x2＋ex－xex.
新教材高考数学二轮专题复习第一部分专题攻略专题七函数与导数第三讲函数与导数课件
微专题3
2．证明双变量函数不等式问题的策略 (1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数 的辅助函数证明不等式． (2)整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等 式． (3)若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开， 分离之后的函数结构具有相似性，从而构造函数利用单调性证明．
巩固训练1 1.已知函数f(x)＝x ln x＋ax＋2. (1)当a＝0时，求f(x)的极值； (2)若对任意的x∈[1，e2]，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．
微专题2
提分题 例3 [2022·广东汕头三模]已知函数f(x)＝x－2sin x. (1)求f(x)在(0，π)的极值； (2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在(0，π)有且只有两个零点．
技法领悟 不等式恒成立(能成立)问题的解题策略 1．对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函 数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，
必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化． 2．“恒成立”与“能成立”问题的求解是“互补”关系，即
f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得 f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．应特别关注等号是否取到，注意 端点的取舍．
技法领悟 1．函数零点个数问题的解题策略 (1)直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零 点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． (2)分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出 函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零 点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需 要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
2021-2022年高考数学二轮复习第一部分专题六函数、不等式、导数教学案理
2021年高考数学二轮复习第一部分专题六函数、不等式、导数教学案理主要考查函数的定义域、分段函数求值或已知函数值取值范围求字母的值取值范围等. C ．9D ．12(2)(xx·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] (1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)由题意知，当x ≤0时，原不等式可化为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0；当0<x ≤12时，原不等式可化为2x＋x ＋12>1，显然成立；当x >12时，原不等式可化为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.[答案] (1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[方法技巧]1．函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程 利用函数 性质求值 必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解[演练冲关]1．(xx 届高三·浙江名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －4，x >2，e x，－2≤x ≤2，f －x ，x <－2，则f (－2 017)＝( )A ．1B ．e C.1eD ．e 2解析：选B 由已知可得，当x >2时，f (x )＝f (x －4)，故f (x )在x >－2时的周期为4，则f (－2 017)＝f (2 017)＝f (2 016＋1)＝f (1)＝e.2．(xx·山东高考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝6. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)解析：选B 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.考点(二) 主要考查根据函数的解析式选择图象或利用函数的图象选择解析式、利用函数的图象研究函数的性质、方程的解以及解不等式、比较大小等问题.函数的图象及应用[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )[解析] (1)令函数f (x )＝sin 2x1－cos x，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2. ∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B.[答案] (1)C (2)B[方法技巧]由函数解析式识别函数图象的策略[演练冲关]1．(xx·惠州调研)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：选D 法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2＞0，故排除选项A 、C.故选D.3.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α.在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1.又0≤t ≤1，故选B.考点(三) 主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性以及函数值的取值范围、比较大小等.函数的性质及应用[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m(2)(xx·成都模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝( )A ．－18 B.18C ．－1258 D.1258(3)(xx·四川模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足下列三个条件： ①对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )； ②对任意的0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)<f (x 2)； ③f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系是________．(用“<”连接)[解析] (1)因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .(2)由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. (3)由①可知，f (x )是一个周期为4的函数；由②可知，f (x )在[0,2]上是增函数；由③可知，f (x )的图象关于直线x ＝2对称．故f (4.5)＝f (0.5)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (1.5)，f (7)＝f (3)＝f (1)，f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．[答案] (1)B (2)B (3)f (4.5)<f (7)<f (6.5)[方法技巧] 函数3个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[演练冲关]1．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，函数y ＝g (x )为 R 上的奇函数，f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，则g (x )可以是( )A ．4tan πx8B ．－4sin πx2C ．4sin πx4D ．－4sin πx4解析：选D ∵f (x )＝g (x ＋2)，f (0)＝－4，∴g (2)＝－4.而4tan 2π8＝4tan π4＝4，－4sin2π2＝－4sin π＝0,4sin 2π4＝4sin π2＝4，－4sin 2π4＝－4，∴y ＝g (x )可以是g (x )＝－4sin πx4，经检验，选项D 符合题干条件．故选D.2．(xx·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－x ，x ≠12，0，x ＝12，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．增函数且f (x )>0B ．增函数且f (x )<0C ．减函数且f (x )>0D ．减函数且f (x )<0解析：选D 由f (x )为奇函数，f (x ＋1)＝f (－x )得，f (x )＝－f (x ＋1)＝f (x ＋2)，∴f (x )是周期为2的周期函数．根据条件，当x ∈12，1时，f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x －2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，－(x －2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴f (x )＝f (x －2)＝－f (2－x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.设2－x ＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，x ＝2－t ，∴－f (t )＝log 1232－t ，∴f (t )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－t ，∴f (x )＝－log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，可以看出当x 增大时，32－x 减小，log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 增大，f (x )减小，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内，f (x )是减函数．而由1<x <32得0<32－x <12.∴log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x >1，∴f (x )<0.故选D.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．(二) 二级结论要用好1．函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当f (x )，g (x )同为增(减)函数时，f (x )＋g (x )为增(减)函数．(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．(3)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f (0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f (x )＝0.(6)f (x )＋f (－x )＝0⇔f (x )为奇函数；f (x )－f (－x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，T ＝2a . ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，T ＝2a .(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．3．函数图象平移变换的相关结论(1)把y ＝f (x )的图象沿x 轴左右平移|c |个单位(c ＞0时向左移，c ＜0时向右移)得到函数y ＝f (x ＋c )的图象(c 为常数)．(2)把y ＝f (x )的图象沿y 轴上下平移|b |个单位(b ＞0时向上移，b ＜0时向下移)得到函数y ＝f (x )＋b 的图象(b 为常数)．(三) 易错易混要明了1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [针对练1] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝cos x ，且t ∈[－1,1]，则f (t )＝1－t 2，t ∈[－1，1]，即f (x )＝1－x 2，x ∈[－1,1]．答案：1－x 2，x ∈[－1,1]5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[针对练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .答案：1e[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题 1．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos 6π＋x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )是偶函数B ．函数f (x )是减函数C ．函数f (x )是周期函数D ．函数f (x )的值域为[－1，＋∞)解析：选D 由函数f (x )的解析式，知f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数．当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x ) ∈[－1,1]．所以函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.3．(xx·合肥模拟) 函数y ＝x 2ln |x ||x |的图象大致是( )解析：选D 易知函数y ＝x 2ln |x ||x |是偶函数，可排除B ，当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝ln x＋1，令y ′>0，得x >e －1，所以当x >0时，函数在(e －1，＋∞)上单调递增，结合图象可知D 正确，故选D.4．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选B 函数f (x －1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f (x )的图象．因为函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，所以函数f (x －1)的图象关于原点对称，所以函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，故选B.5．(xx·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选D 选项A ，B 是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．故选D.6．(xx·陕西质检)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为偶函数，则f (8)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－2解析：选B 由奇函数f (x )的定义域为R ，可得f (0)＝0，由f (x ＋2)为偶函数，可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，故f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f [－(x ＋2)＋2]＝f (－x )＝－f (x )，则f (x ＋8)＝f [(x ＋4)＋4]＝－f (x ＋4)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以f (8)＝f (0)＝0，故选B.7．函数y ＝ln |x |x 2＋1x2在[－2,2]上的图象大致为( )解析：选B 当x ∈(0,2]时，函数y ＝ln |x |＋1x 2＝ln x ＋1x2，x 2>0恒成立，令g (x )＝ln x ＋1，则g (x )在(0,2]上单调递增，当x ＝1e 时，y ＝0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，y ＝ln x ＋1x 2<0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2时，y ＝ln x ＋1x 2>0，∴函数y ＝ln x ＋1x 2在(0,2]上只有一个零点1e ，排除A ，C ，D ，只有选项B 符合题意．8．(xx·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 20．8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3， 所以b <a <c .9．已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故当x >0时，f (x )是周期函数，f (x )的图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．11．(xx 届高三·广西三市联考)已知函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤4，4e 5－x，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，则m 的取值范围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：选D 作出函数y 1＝e|x －2|和y ＝g (x )的图象，如图所示，由图可知当x ＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e5－x，得e2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.12．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1.若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(－∞，2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 依题意，当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x 单调递增，f (x )＝1＋log 2x 在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f (x )的值域是R ，则需函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ⊇(－∞，1)．①当a －1<0，即a <1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－a ＋3，＋∞)，显然此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a <1不满足题意；②当a －1＝0，即a ＝1时，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝{2}，此时不能满足M ⊇(－∞，1)，因此a ＝1不满足题意；③当a －1>0，即a >1时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，函数f (x )在(－∞，1)上的值域M ＝(－∞，－a ＋3)，由M ⊇(－∞，1)得{ a >1，－a ＋3≥1，解得1<a ≤2.综上所述，满足题意的实数a 的取值范围是(1,2]，故选A.二、填空题13．(xx·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.解析：∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：614．(xx·陕西质检)已知函数f (x )＝1|x |－1，下列关于函数f (x )的结论：①y ＝f (x )的值域为R ；②y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点． 其中正确结论的序号是________．解析：函数f (x )＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ≥0，1－x －1，x <0，其图象如图所示，由图象可知f (x )的值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，故①错；f (x )在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，而在(0，＋∞)上不是单调的，故②错；f (x )的图象关于y轴对称，故③正确；由于f (x )在每个象限都有图象，所以与过原点的直线y ＝ax (a ≠0)至少有一个交点，故④正确．答案：③④15．(xx·惠州调研)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件fx ＋32＝－f (x )，且函数y ＝fx－34为奇函数，给出以下四个结论： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中正确结论的序号为________．解析：f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确；函数fx－34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f －32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝－f (x )，所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误．故正确结论的序号为①②③.答案：①②③16．(xx·合肥质检)函数f (x )＝－x 3＋3x 2－ax －2a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)>0，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )>0可得，a (x ＋2)<－x 3＋3x 2，原问题等价于不等式a (x ＋2)<－x 3＋3x 2的解集中只包含唯一的正整数，结合函数g (x )＝a (x ＋2)，h (x )＝－x 3＋3x 2的图象(图略)可知唯一的正整数只可能是1或2.若x 0＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g 2≥h 2，g 1<h 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a ≥4，3a <2，解得a ∈∅；若x 0＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，g 2<h 2，g 1≥h 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a <4，解得23≤a <1，3a ≥2，答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B 组——能力小题保分练1．(xx·郑州质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C 依题意，f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x1－2－x 2x1＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x <0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，故选C.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．3．(xx·成都模拟)已知函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12.若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，有g (x )＝f (x )，且函数g (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．g (π)<g (3)<g (2)B ．g (π)<g (2)<g (3)C ．g (2)<g (3)<g (π)D ．g (2)<g (π)<g (3)解析：选C 因为函数f (x )的反函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以a 12＝22，即a ＝12，函数f (x )在R 上单调递减．函数g (x ＋2)为偶函数，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )且g (x )单调递减，所以x ∈[2,6]时，g (x )单调递增，根据对称性，可知在[－2,6]上距离对称轴x ＝2越远的自变量，对应的函数值越大，所以g (2)<g (3)<g (π)．故选C.4．(xx·广州模拟)已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18，则∑k ＝12 016f ⎝⎛⎭⎪⎫k 2 017的值为( )A ．0B ．504C ．1 008D ．2 016解析：选B 因为f (1－x )＝(1－x )3－32(1－x )2＋34(1－x )＋18＝－x 3＋32x 2－34x ＋38，所以f (x )＋f (1－x )＝x 3－32x 2＋34x ＋18－x 3＋32x 2－34x ＋38＝12，所以∑k ＝12 016f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2 017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＝1 008×12＝504.故选B.5．设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝________.解析：依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (y <0)，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，解得a ＝23.答案：236.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④∫20f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．(写出所有正确的序号)解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每过4个单位长度图象重复出现一次，且在区间[2,3]上其函数值随x 增大而增大，所以①②正确，③错误；又函数图象与直线x ＝0，x ＝2，x 轴围成的图形由一个半径为2、圆心角为π4的扇形，一个半径为1、圆心角为π2的扇形和一个直角边长为1的等腰直角三角形组成，其面积S ＝18×π×2＋14×π＋12＝π＋12，所以④正确．答案：①②④第二讲 小题考法——基本初等函数、函数与方程考点(一)主要考查指数函数、对数函数、幂函数的图象辨析以及比较大小问题.基本初等函数的图象与性质[典例感悟][典例] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)(xx·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z[解析] (1)由a|x|≤1(x∈R)，知0<a<1，又函数y＝log a(x＋1)的图象是由y＝log a x的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2log k2－3log k3＝2log k3－3log k2 log k2·log k3＝log k32－log k23 log k2·log k3＝log k98log k2·log k3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3log k3－5log k5＝3log k5－5log k3log k3·log k5＝log k53－log k35log k3·log k5＝log k125243log k3·log k5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2log k2－5log k5＝2log k5－5log k2log k2·log k5＝log k52－log k25log k2·log k5＝log k2532log k2·log k5<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y.[答案] (1)C (2)D[方法技巧]3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较． (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．[演练冲关]1．(xx·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．2．(xx·洛阳统考)已知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (c )<f (b )<f (a )B ．f (c )<f (a )<f (b )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )解析：选C 依题意，注意到21.2>20.8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8>1＝log 55>log 54＝2log 52>0，又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，于是有f (21.2)<f (20.8)<f (2log 52)，由函数f (x )是偶函数得f (a )＝f (21.2)，因此f (a )<f (b )<f (c )，故选C.3.(xx 届高三·西安八校联考)如图所示，已知函数y ＝log 24x 图象上的两点A ，B 和函数y ＝log 2x 图象上的点C ，线段AC 平行于y 轴，当△ABC 为正三角形时，点B 的横坐标为________．解析：依题意，当AC ∥y 轴，△ABC 为正三角形时，|AC |＝log 24x－log 2x ＝2，点B 到直线AC 的距离为3，设点B (x 0,2＋log 2x 0)，则点A (x 0＋3，3＋log 2x 0)．由点A 在函数y ＝log 24x 的图象上，得log 24(x 0＋3)＝3＋log 2x 0＝log 28x 0，则4(x 0＋3)＝8x 0，x 0＝3，即点B 的横坐标是 3. 答案： 3考点(二)主要考查利用函数零点存在性定理或数形结合函 数 的 零 点法确定函数零点的个数或其存在范围，以及应用零点求参数的值或范围.[典例感悟][典例] (1)(xx·南昌模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(xx·成都模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1(3)(xx·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13C.12D ．1[解析] (1)当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x－1＝1－xx，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象，如图，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x(e 为自然对数的底数)有2个零点．故选C.(2)因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，如图所示．由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A. (3)由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时等号成立．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时等号成立． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.[答案] (1)C (2)A (3)C[方法技巧]1．判断函数零点个数的方法 直接法 直接求零点，令f (x )＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数 定理法 利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 数形 结合法 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2．利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[演练冲关]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A 由已知条件得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0，函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的个数，分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的草图，观察发现有2个交点．故选A.2．(xx·洛阳统考)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋e e 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x有两个不等的正实数根．记g (x )＝ln xx，则g ′(x )＝1－ln x x2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1－ln xx 2，a 1x 0－1＝ln x 0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在坐标平面内画出直线y ＝ax －1与函数g (x )的大致图象，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)，故选B.3．(xx·山东高考)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0， 2 ]∪[23，＋∞)D ．(0， 2 ]∪[3，＋∞)解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0<m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m >1时，0<1m<1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢1．指数函数与对数函数的对比表解析式y ＝a x (a ＞0与a ≠1) y ＝log a x (a ＞0与a ≠1)图象定义域 R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0＜a ＜1时，在R 上是减函数；a＞1时，在R 上是增函数0＜a ＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a ＞1时，在(0，＋∞)上是增函数两图象的对称性 关于直线y ＝x 对称2.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(2)函数零点的存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f (a )·f (b )<0，那么函数f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的实数根．[针对练1] 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选C 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.(二) 易错易混要明了1．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如讨论函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的单调性时忽视字母a 的取值范围，忽视a x>0；研究对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有且只有一个零点，要注意讨论a 是否为零．[针对练2] 函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围为________．解析：当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋1，则x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝4－4m ＝0，即当m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点． 若Δ＝4－4m ≠0，即m ≠1时，显然x ＝0不是函数的零点．这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f (x )＝mx 2－2x ＋1有一个正根一个负根． 因此1m<0.则m <0.综上知实数m 的取值范围是(－∞，0]∪{1}．答案：(－∞，0]∪{1}[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(xx·沈阳质检)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析：选A 函数f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝ln[(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )知函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，排除C ；又由f (0)＝ln 1＝0，可排除B ，D.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523.∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .3．(xx·陕西质检)已知a ＝2－13，b ＝(2log 23)－12，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a解析：选C 依题意得，a ＝2－13，b ＝3－12，c ＝－14cos x π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，则a 6>b 6>c 6，即a>b>c ，故选C . 4．函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选C ∵f(0)＝e 0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e 1＋1－2＝e －1>0，∴f(0)·f(1)<0，故函数f(x)＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，故选C .5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司xx 年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年解析：选B 设xx 年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．6．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x≤0，2x －6＋ln x ，x>0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 当x≤0时，f(x)＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x －6＋ln x ，f′(x)＝2＋1x ，由x>0知f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f(1)＝－4<0，f(e )＝2e －5>0，f(1)·f(e )<0，从而f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．故函数f(x)的零点个数是2.7．(xx·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x ＋ln (2－x)，则( )A ．f(x)在(0,2)单调递增B ．f(x)在(0,2)单调递减C ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析：选C 由题易知，f(x)＝ln x ＋ln (2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x ＋ln (2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A 、B ；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝ln 34，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 32＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝ln 34， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝ln 34，所以排除D .故选C .8．(xx·贵阳检测)已知函数f(x)＝ln (x 2－4x －a)，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.9．(xx 届高三·河北五校联考)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，其中m >0，n >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．2 2B ．4 C.52D.92解析：选D 由函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)知，当x ＝－2时，y ＝－1，所以A 点的坐标为(－2，－1)，又因为点A 在直线mx ＋ny ＋2＝0上，所以－2m －n ＋2＝0，即2m ＋n ＝2，所以2m ＋1n ＝2m ＋n m ＋2m ＋n 2n ＝2＋n m ＋m n ＋12≥52＋2n m ·m n ＝92，当且仅当m ＝n ＝23时等号成立．所以2m ＋1n 的最小值为92，故选D. 10．(xx·长春质检)已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log 2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)。
【高三】2021届高考数学第二轮三角函数备考复习
【高三】2021届高考数学第二轮三角函数备考复习2021届高考数学二轮复习资料专题四三角函数（教师版）【考纲解读】1.了解任意角度和弧度系统的概念，并能与弧度和角度交互；理解任意角度的三角函数（正弦、余弦、切线）的定义2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.3.能够绘制y=SiNx，y=cosx，y=TaNx的图像，了解三角函数的周期性；2.了解区间[0,2]中正弦函数和余弦函数的性质（如单调性、最大值和最小值、与x轴相交等），了解区间（-，）中切线函数的单调性4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.5.能用矢量的量积推导出两个角差的余弦公式；能够使用两个角度差的余弦公式推导出两个角度和差的正弦、余弦和切线公式，并理解它们之间的内在关系6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).[试验场地预测]从近几年高考试题看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预计明年的考试形式将保持不变。
选择题和填空题主要考察三角函数的性质和公式的应用。
解题以向量为载体考察三角函数的图像和性质，或结合函数的奇偶性、周期性和最大值性，以小综合题的形式出现【要点梳理】1.知识点：弧度系、象限角、同边角、任意角度三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、归纳公式、三角函数线、三角函数图像及性质；和、差、角倍增公式、正弦和余弦定理及其变形公式2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:（1）等式思想：在三者中，知道一个可以得到两个；(2)“1”的替换:;（3）切线和弦互惠化：弦的同质形式可以转化为切线形式；(4)角的替换:,;（5）公式变形：，，;（6）结构辅助角（主要是特殊角）：.3.功能问题：(1)“五点法”画图:分别令、、、、，求出五个特殊点；（2）在计算某些给定图像的函数表达式时，很难发现通常将靠近轴的已知点替换为“五点法”的突破点；(3)求对称轴方程:令,找到对称的中心：；(4)求单调区间:分别令;同时，注意符号a和B4.解三角形:（1）基本公式：正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式；(2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化.[测试网站在线]考点1三角函数的求值与化简主要有以下类型的问题：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.（2）检查通过使用归纳公式、角度倍增公式、两个角度之和的正弦公式以及三角函数的有界性得到的值，因此F（x）的定义域是（ⅱ）由已知条得因此=＝＝【名师点评】本课题主要探讨三角函数的定义域、两个角度差的公式、三角函数与其他基础知识的关系、运算推理能力、找角的基础知识【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.练习1：（2022年福建高考卷9）如果∈ （0，），然后的值等于（）a.b.c.d.[答：]d【解析】因为∈（0，），且，所以,也就是说，so=or（四舍五入），所以，也就是说，选择D考点2考查的图象与性质在掌握三角函数图像的基础上，考查三角函数的图像和性质是高考的重点题型，要求考生灵活运用三角函数的性质，能用数形结合的思想解决问题【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2（江苏高考9卷2022）的函数是常数，并且一些图像的函数显示在图中，然后【答案】【分析】我们从图中知道函数的周期是，周期是，所以我们从五点画法中知道：解，a=，所以函数，所以考点3三角函数与向量等知识的综合在三角函数与平面向量的合成中，向量的运算往往为三角函数提供等量的条例3.（2021年高考江苏卷第15题）集合向量（1）若与垂直，求的值；（2）找出最大值；（3）若，求证：∥.[分析]【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.【准备提示】：掌握三角公式和平面向量的基本知识是解决这类问题的关键练习3.（天津市十二区县重点中学2021年高三联考二理）（本小题满分13分）给定向量（i）若,求值；（二）在中，角的对边分别为和相交，求函数的取值范围.[分析]（一）——1分=----------------3分=-------------4分∵∴∴=-------6分（二）∵，由正弦定理得-----------------8分∴∴-----------------9分∵ 和∴∵∴----------------10分——11分∴----------------12分‡13分考点4.解三角形为了解决这类问题，我们应该根据已知的条件灵活地使用正弦定理或余弦定理来计算边角或将边角相互转换例4.(2021年高考安徽卷科16)在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c所对的边长，a=，b=，，求边bc上的高.[分析]∵ a+B+C=180°，所以B+C=a，又，∴，也就是说，0°<a<180°，所以a=60°在△abc中，由正弦定理得，和∵ 所以B<A，B=45°，C=75°，∴bc边上的高ad＝acsinc＝.【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【准备提示】：解决三角形问题的必要知识点是三个定理“内角和定理、正弦定理和余弦定理”。
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考数学二轮复习 专题知识突破 解答题六大题型解答策略 2136 函数与导数课件(文、理)新人教A版
[标准解答] (1)由已知得 f′(x)＝－sin1θ·x2＋1x≥0 在[1，＋∞) 上恒成立，
即sisniθn·θx·－x21≥0 在[1，＋∞)上恒成立． ∵θ∈(0，π)， ∴sinθ>0， ∴sinθ·x－1≥在[1，＋∞)上恒成立， 只需 sinθ·1－1≥0，
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易知 m(x)max＝m(1)＝－1e，(11 分) 从而对一切 x∈(0，＋∞)，都有 lnx>e1x－e2x成立．(12 分)
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对点训练 2.(2014·沈阳二模)已知函数 f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b. (1)若 f(x)与 g(x)在 x＝1 处相切，试求 g(x)的表达式； (2)若 φ(x)＝mxx＋－11－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数 m 的 取值范围；
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解 (1)f′(x)＝(x＋a＋1)ex，x∈R. 因为函数 f(x)是区间[－3，＋∞)上的增函数， 所以 f′(x)≥0， 即 x＋a＋1≥0 在[－3，＋∞)上恒成立． 因为 y＝x＋a＋1 是增函数， 所以满足题意只需－3＋a＋1≥0， 即 a≥2.
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即 sinθ≥1， ∴sinθ＝1，由 θ∈(0，π)，知 θ＝2π.(3 分) (2)∵t＝0， ∴g(x)＝－－1＋ x 2e－lnx，x∈(0，＋∞)．(4 分) ∴g′(x)＝2ex－2 1－1x＝2e－x12 －x， 令 g′(x)＝0， 则 x＝2e－1∈(0，＋∞)， 当 x 变化时，g′(x)和 g(x)的变化情况如下表：
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当 x＝3 时，ln13<12×42， 当 x＝4 时，ln14<12×53， …… 当 x＝n＋1 时，lnn1＋1<12·n＋n 2，n∈N*，n≥2， 上述不等式相加得：
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列五(函数与导数存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列五函数与导数存在问题及应对策略（福建省2024届高三复习备考指导组研制， 李云锦-王陈勇执笔整理）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中指出：函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用．函数是贯穿高中数学课程的主线．人教A 版《普通高中教科书·数学》（以下统称“人教A 版教材”） 必修第一册第三章“函数的概念与性质”的章引言中进一步明确：客观世界中有各种各样的运动变化现象， 所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述；函数是解决数学问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思想已渗透到数学的各个领域；函数知识有广泛的实际应用．由此可见，充分了解高中阶段函数与导数知识的逻辑体系和目标要求，确立函数的观点，运用导数研究函数或解决实际问题，是高中数学教学的核心任务．函数作为新课程四大主线之一，是高考考查数学思想方法和能力、考查核心素养的主要载体．对函数和导数考查，主要考查的核心知识为：函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用．函数概念主要考查函数的定义域、值域、解析式；函数性质主要考查函数奇偶性、单调性、对称性、周期性；函数图象包含显性与隐性考查；导数应用主要考查导数的概念及其几何意义，利用导数求单调区间、极值、最值与零点，结合函数的单调性解不等式或证明不等式，求参数范围．一、存在的问题及原因分析（一）函数性质理解不透彻高中阶段函数的性质围绕着单调性，奇偶性（对称性），周期性展开．函数性质的考查，主要有显性考查与隐性考查、单一考查与综合考查，学生的难点主要体现在隐性考查或综合考查方面．【例1】【2023年新高考2卷4】若()()21ln21x f x x a x -=++为偶函数，则=a A ．1- B ．0 C ．12D ．1 【解析】解法一：因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln 21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-， 则其定义域为11{|}22x x x ><-或，关于原点对称． ()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数．故选：B ．解法二：因为因为()f x 为偶函数，所以在定义域关于原点对称的前提下，函数()h x x a =+，21()ln 21x g x x -=+的奇偶性一致．因为函数21()ln 21x g x x -=+在定义域内是奇函数，所以()h x x a =+必为奇函数，所以0a =，故选：B ．【评析】本题易错的主要原因：首先，对奇偶性的定义不会应用；其次，对数的运算不熟悉．本题函数的形式较为复杂，在实际解题中，要求学生思维灵活，在熟悉概念的基础上分解问题，进而逐一击破．此题着重考查学生对函数的奇偶性的理解和应用，以及转化与划归思想和运算能力．【例2】 【2022全国甲卷卷理5】 函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A ．B ．C ．D ．【解析】令()()ππ33cos ,,22x x f x x x -⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C ． 故选：A ． 【评析】本题综合考查函数性质，易错的主要原因为不能由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除求解．【例3】【2023年全国乙卷文8】函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()3,0-【解析】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则0a <，令2()30f x x a '=+=，解得x =，且当,,3a x ⎛⎛⎫-∈-∞+∞ ⎪⎪⎝⎝⎭时，()0f x '>，当x ⎛∈⎝，()0f x '<，故()f x 的极大值为f ⎛⎝，极小值为f，若()f x 要存在3个零点，则00f f ⎧⎛>⎪⎪⎝⎨⎪<⎪⎩，即2020>+<，解得3a <-，故选：B ．【评析】本题失误的原因是对三次函数的图象与性质的掌握不扎实，特别是本题函数含参问题也是学生的一个难点．（二）抽象问题掌握不到位抽象问题形象化，利于发现解题策略，优化解题过程．给出具体函数，我们要抽象出解题需要的函数的性质；给出抽象函数，我们要能够找到具体模型与之对应，或者作示意图．如指数函数()x f x a =满足()1212()()f x x f x f x +=；对数函数()log a f x x =满足()1212()()f x x f x f x =+；幂函数()f x x α=满足()1212()()f x x f x f x =．【例4】【2023新高考I 卷11】已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则 A ．()00f = B ．()10f = C ．()f x 是偶函数 D ．0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A ，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B ，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C ，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；选项D ，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x y x y=+，----“方程具有齐次性” 令()2()f x g x x =，则()()()g xy g x g y =+，联系()ln g x k x =均符合题意故可设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩， 当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+， 令()0f x '>，解得12e x ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减．()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误．故选ABC ．【评析】本题易错的主要原因：怎样合理的赋值，有时候需要多次赋值，才能达到选项需要的答案，对极值点的概念理解不到位．本题可以利用常规的解法，对变量进行赋值解题，也可以根据题目本身，寻找一个合适的函数来辅助答题．【例5】【2022新高考I 卷12】已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则 A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -= 【解析】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A错误．故选：BC．【评析】本题易错的主要原因：对于原函数和导函数的性质的关联性理解不到位，并且对抽象函数的性质的研究的不够．本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解．（三）含参问题破解不得法含参问题是研究函数模型经常遇到的问题，也是考查学生分类讨论与分清参变量关系的重要手段，含参问题的破解基本点其一，转化为恒成立问题；其二，对参数进行分类讨论．解题过程往往涉及函数与方程思想、数形结合的思想及分类与整合思想．)()()0,11,+∞．【评析】本题易错的主要原因：对于分类讨论的切入点不明确，不知道要先从去绝对值开始研究，再从根的分布研究问题．本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．【例7】 【2022年全国乙卷理16】 已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是_______．【解析】()2ln 2e x f x a a x '=⋅-，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞时，()0f x '<，当()12,x x x ∈时，()0f x '>．若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ⋅><，则此时()0f x '>，与前面矛盾，故1a >不符合题意， 若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ， 即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<， 设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a ⋅， 则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -⋅=⋅-，则有0020ln ln x x a a x a a -⋅=-⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=， 因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<， 综上所述，a 的范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．【评析】本题易错的主要原因：其一，分类与与整合思想掌握不到位，未能将参数a 分1a >和01a <<两种情况进行讨论，从而无法求解；其二，化归与转化意识不浓，方程的根、零点问题、两个函数图象的交点个数问题的转化掌握不到位，不能将方程2ln 2e 0x a a x ⋅-=的两个根为12,x x ，转化为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点．（四）隐含条件挖掘不充分挖掘数学本质特征，从某种意义上说就是挖掘隐含条件．所谓隐含条件，是指题中若暗若明，含而不露的条件．一般来说，它们常是巧妙地隐蔽在题设或结论的背后，不易为人们所觉察．在数学解题中，隐含条件具有干扰性、迷惑性，常给问题解决带来消极因素．但隐含条件往往也具有有利于人们解题的潜在功能．问题解决过程中，若能注意到题中隐含条件，往往会使解题结果更具有完整性，准确性；若能充分挖掘并利用题中的隐含条件，它能使题设明朗化和具体化，以便明确解题方向．【例8】【2021年全国乙卷理】设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【解析】ln1.021b c -=-，设()ln(1)1f x x =++，则(0.02)b c f -=，1()1f x x '==+0x ≥时，1x +=0x ≥时，()0f x '=， 所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，即b c <．2ln1.011a c -=-，设()2ln(1)1g x x =+，则(0.01)a c g -=，2()1g x x '==+当02x <≤1x =+，故当02x <≤时，()0g x '≥，所以()g x 在[0,2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故c a <，从而有b c a <<，故选B ．【评析】本题易错的主要原因：比较大小的题目通常是要构造函数解决问题，要明确挖掘题目中隐含的条件，就是要明确自变量，本题易错的主要原因一是不知道如何选择自变量；二是对复合函数的求解不过关．本题解决的关键是以0.01作为自变量，构造函数，利用作差比较法研究问题．【例9】【2020年全国Ⅱ卷理11】若2233x y x y ---<-，则A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -< 【解析】由2233x y x y ---<-，得2323x x y y ---<-，令()23t t f t -=-，因为2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，所以()f t 为R 上的增函数，所以x y <， 因为0y x ->，所以11y x -+>，所以()ln 10y x -+>，则A 正确，B 错误；因为x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定．故选A ．【评析】本题易错的主要原因：其一，观察分析能力欠缺，未能挖掘问题中的隐含条件，即未能从题目中挖掘隐含的函数关系特征；其二，未能挖掘函数()23t tf t -=-的单调性，导致问题无法解决． （五）优化求解意识不够强选择题的考查是由选择题的特殊性决定的，从已知研究未知的角度来看，部分问题只能从较少的信息来判断，无法完全严格地推理，因此“特殊化法”或“排除法”看似投机取巧，实则是解决选择题必要的手段．“特殊化法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊情形（如特殊值、特殊点、特殊函数、特殊图形等），然后通过简单的运算、推理或验证，找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的．用“特殊化法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果．在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化法”，往往能获得解题的重要信息，发现解决问题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用．【例10】【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是A ．3231x x y x -+=+B ．321x x y x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+ 【解析】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B ；设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C ；设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D ．故选：A ．本题易错的主要原因：不会根据函数的性质对选项进行排除法求解．函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【例11】已知∈R a ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩≤若关于x 的不等式()0≥f x 在R 上恒 成立，则a 的取值范围为A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,]eD ．[1,]e【解析】解法一 当0a =时，不等式()0f x ≥恒成立，排除D ；当a e =时，222,1()ln ,1x ex e x f x x e x x ⎧-+=⎨->⎩≤，当1x ≤时，2()22f x x ex e =-+的最小值为(1)10f =>，满足()0f x ≥；当1x >时，由()ln f x x e x =-可得()1e x e f x x x-'=-=， 易得()f x 在x e =处取得极小值(也是最小值)()0f e =，满足()0f x ≥恒成立，排除A ，B ．故选C ．解法二 若1x ≤，222()22()2f x x ax a x a a a =-+=--+，当1a ≤时，可得()f x 的最小值为2()2f a a a =-+，令()0f a ≥，解得02a ≤≤，故01a ≤≤；当1a >时，可得()f x 的最小值为(1)10f =≥，满足条件．所以0a ≥．若1x >，由()ln f x x a x =-可得()1a x a f x x x-'=-=，当1a ≤时，()0f x '>，则()f x 单调递增，故只需(1)0f ≥，显然成立；当1a >时，由()0f x '=可得x a =，易得()f x 的最小值为()ln f a a a a =-，令()0f a ≥，解得a e ≤，故1a e <≤，所以a e ≤．综上，a 的取值范围是[0,]e ．本题易错的主要原因：对于含参函数的研究不够，对分类的切入点不明确，不会利用特殊值法进行排除．（六）综合运用能力尚薄弱导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）导数的概念及其几何意义；（2）利用导数求单调区间、极值、最值与零点；（3）结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．【例12】【2023全国甲卷理科21】已知函数()3sin ,0,cos 2x f x ax x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭． （1）若8a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．【解析】（1）若8a =，()3sin 8,0cos 2x f x x x x π=-<< ，()()322264cos cos sin 3cos sin cos 3sin 88cos cos x x x x x x x f x x x⋅-⋅⋅-+'=-=- ()422422448cos cos 31cos 8cos cos 3sin cos cos x x x x x x x x-----== ()()2242442cos 14cos 38cos 2cos 3cos cos x x x x x x-++-==． 令()0f x '=得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>，()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当42x ππ<<时，()0f x '<，()f x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）()sin 2f x x < 即3sin sin 2,0cos 2x ax x x x π-<<<． 令()3sin sin 2,0cos 2x F x ax x x x π=--<<， ()00F =，()()00F x F <=，则()00F '．又()()422264cos sin 3cos sin cos 3sin 2cos22cos2cos cos x x x x x x F x a x a x x x-⋅⋅-+'=--=--， ()030F a '=-得3a （必要条件）．当3a 时，()3sin 3sin 2cos x F x x x x--． 令()3sin 3sin 2,0cos 2x G x x x x x π=--<<，()00G =， ()()422264cos sin 3cos sin cos 3sin 32cos232cos2cos cos x x x x x x G x x x x x -⋅⋅-+'=--=-- ()()()242224414sin cos 12sin 12sin 14sin cos cos x x x x x x x+-++=+-= ()()()222241sin 14sin 12sin cos x x x x -+-+=． 令2sin t x =，由于π02x <<，所以01t <<． 令()()()()211412,01g t t t t t =-+-+<<，()00g =，()()()()()()()221144122121142g t t t t t t t '=--++--=-⎡--+⎤-⎣⎦， ()()()21162267t t t t =---=-则()0g t '<，()g t 单调递减，因此()()00,01g t g t <=<<，所以()0G x '<，()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()00G x G <=．证毕． 综上，a 的取值范围是(],3-∞．【评注】本题的充分性的证明也可以利用巧妙的放缩来进行．放缩一：当3a 时，()3sin 3sin 2cos x F x x x x --． 令()3sin 3sin 2cos x G x x x x=--， ()22432cos '34cos 2cos x G x x x -=--+222240612612cos 2cos 0cos cos x x x x ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫=--+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 显然此时必有()()00F x F <=，符合题意．综上，当3a 时()sin 2f x x <．放缩二：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由Pade 逼近知 32sin tan sin 2sin 2cos cos x x x x x x+=+． ()223232122326x x x x x ⎛⎫+⎡⎤>⋅+- ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭()()242251233343x x x xx -+=⋅-从而有3a 时()sin 2f x x <．【评析】本题易错的主要原因：一是导数运算能力差，导致问题无法解决；二是，含参函数问题的处理不明确处理路径．本题考察了导数与三角函数的综合，对于结构的变形处理有一定的要求，同时还考察到了高考重难点中的含参取点问题．当遇到复杂结构时，要主动关注函数本体的结构及性质，学会从宏观的角度去简化问题．【例13】【2018年全国Ⅰ卷理21】已知函数． （1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．1()ln f x x a x x =-+()f x ()f x 12,x x ()()12122f x f x a x x -<--【解析】（1）的定义域为，． （i ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减．（ii ）若，令得，或． 当时，； 当时，． 所以在单调递减，在单调递增． （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当．由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则．由于 ， 所以等价于． 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，所以，即． 【评析】本题易错的主要原因：其一，对于，为什么要对a 进行讨论、如何讨论、分界点确定的依据均是易错点；其二，化归与转化意识欠缺，不能根据问题特征，将问题转化为证明． 在第（1）问中，分类与整合思想是考查的重点，二次三项式含参讨论要综合考虑到定义域，二次项系数，判别式，根的大小比较等；第（2）问极值点可求，但是注意到根与系数的关系121x x ⋅=，进而将双变量问题转化为单变量，同时要考虑到自变量的范围，再由不等式的等价转化得到第一问函数的特殊类型，题目迎刃而解．二、应对策略()f x (0,)+∞22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-2a ≤()0f x '≤2a =1x =()0f x '=()f x (0,)+∞2a >()0f x '=2a x=2a x +=2(0,(,)22a a a x+∈+∞()0f x '<x ∈()0f x '>()f x(0,),(,)22a a +∞(,22a a ()f x 2a >()f x 12,x x 210x ax -+=121x x =12x x <21x >12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----1212()()2f x f x a x x -<--22212ln 0x x x -+<1()2ln g x x x x =-+()g x (0,)+∞(1)0g =(1,)x ∈+∞()0g x <22212ln 0x x x -+<1212()()2f x f x a x x -<--22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-22212ln 0x x x -+<（一）以函数性质为基本点高中阶段函数的性质围绕着单调性，奇偶性（对称性），周期性展开．当涉及到求函数值或函数不等式问题，都应充分挖掘问题中隐含的函数性质，最终利用性质求解是关键．【例1】【2017年全国Ⅲ卷理15、文16】设函数10,()20,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是 ．【解析】令()())132,0,21112,0,222122,,2x x x x g x f x f x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪⎛⎫=+-=++<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩ 函数()g x 在区间(,0]-∞，1(0,]2，1(,)2+∞内均单调递增，且1()14g -=，012012++>，012)21-⋅>，可知x 的取值范围是1(,)4-+∞．【评析】解决本题的关键在于挖掘问题中隐含的函数性质，发现函数单调递增的特征，进而解决问题． 本题易错的主要原因：对所给的函数表达式及其不等式的含义理解不透彻，不能正确的进行分类讨论，并结合函数性质解决问题．教学中，应强化从题目特征中挖掘隐含的函数性质意识．【例2】 【2021年全国八省联考卷8】已知5a <且5e 5e a a =，4b <且4e 4e b b =，3c <且3e 3e c c =，则A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<【解析】由题意知，05a <<，04b <<，03c <<，且5e e 5a a =，4e e 4b b =，3e e 3cc=，设e ()x f x x =，则2e (1)()x x f x x-'=，所以()f x 在(0,1)是单调递减，在(1,)+∞是单调递增，所以(3)(4)(5)f f f <<，即()()()f c f b f a <<，所以a b c <<． 【评析】解决本题的关键在于从题目中抽象出5e e 5a a =，4e e 4b b =，3e e 3cc=，构造函数e ()xf x x=，进而结合函数的性质解决问题． （二）以抽象问题为关注点问题的抽象性是教学的痛点，也是高考考试的难点．在函数与导数考查中，问题的抽象性主要体现在所给的函数不是具体．解决这类问题的关键在于寻找已知式与待求式之间的差别与联系，合理运用函数的性质进行恒等变形．【例3】【2022年全国乙卷理12】已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-． 因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-． 因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =，因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑．【评析】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题．本题解题思路为，首先根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-；其次，根据条件得到(2)f 的值；最后，由题意得到()36g =从而得到()1f 的值，即可求解．【例4】 【2022年新高考Ⅰ卷12】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则 A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -= D ．(1)(2)g g -= 【解析】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选BC ．【评析】解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，根据函数的性质（必要时结合图象）即可得解．（三）以特殊化法为切入点在“特殊化法”中最常见的是特殊值法、取特殊函数， 使用方法要掌握选值的技巧，当一次取值不能达到目标时，可以考虑多次取值、混合选取，看能否达到目标．“特例法”可以让一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而大大减少计算量．在复习过程中，可以精选不同类型，有意识地强化“特殊化法”的解题能力．【例5】【2021年新高考Ⅰ卷】已知函数32()()2x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =____．解法一 因为32()()2x x x a f x -=⋅-的定义域为R ，且是偶函数，所以()()f x f x -=对任意的x ∈R 恒成立，所以33()(22)(22)x x x x x a x a ---⋅-=⋅-对任意的x ∈R 恒成立，所以3(1)(22)0x x x a --+=对任意的x ∈R 恒成立，所以1a =．解法二 因为32()()2x x x a f x -=⋅-的定义域为R ，且是偶函数，所以(1)(1)f f -=，所以1(2)222a a --=-，解得1a =，经检验，3()(2)2x x f x x -=-为偶函数，所以1a =． 解法三 由题意知32()()2x x x a f x -=⋅-的定义域为R ，且是偶函数，设3()g x x =，()22x x h x a -=⋅-，因为3()g x x =为奇函数，所以()22x x h x a -=⋅-为奇函数，所以00(0)220h a -=⋅-=，解得1a =，经检验，3()(2)2x x f x x -=-为偶函数，所以1a =．【例6】【2023新高考I 卷11】（）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+， 则A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【解析】选项A ，令0x y ==，则()00f =，故A 正确；选项B ，令1x y ==，则()()()111f f f =+，所以()10f =，故B 正确；选项C ，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，因为()10f =，所以()10f -=，令1y =-，则()()()()21f x f x x f f x -=+-=，所以()f x 是偶函数，故C 正确； 选项D ，对式子两边同时除以220x y ≠，得到()()()2222f xy f x f y x y x y=+， 故可以设()20,0ln ,0x f x x x x =⎧⎪=⎨≠⎪⎩， 当0x >时，()2ln f x x x =，()()212ln 2ln 1f x x x x x x x'=+⋅=+， 令()0f x '>，解得12e x ->，令()0f x '<，解得120e x -<<，故()f x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．又()f x 是偶函数，所以()f x 在12e ,0-⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在12,e -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减．()f x 的图像如图所示，所以0x =为()f x 的极大值点，故D 错误．故选ABC ．【评析】采用特殊值法、或者解决问题，达到缩减思维过程、降低推算难度的效果．（四）以大函数观为统领点高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，函数是贯穿高中数学课程的主线．在复习中，应该将三角函数、数列视为函数体系中的一部分．特别在三角函数的复习中，教师应该引导学生根据一般的函数研究思路对三角函数进行探究，这样的研究思路可以使学生对三角函数有一个系统的认识，有利于深化学生对三角函数的理解．【例7】【2018年全国Ⅰ卷理16】已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值为 ．【解析一】()()1cos 1cos 222cos 2cos 2)('+-=+=x x x x x f ，令0)('=x f ，则21cos =x ，或1cos -=x ，所以当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈21,1cos x ，()x f 为减函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21cos x 增函数，所以()min 12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭【解析二】()()()()()223222sin sin 24sin 1cos 41cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+ ()()()()1111081cos 1cos 1cos 1cos 333x x x x =-+++()()()()41111cos 1cos 1cos 1cos 33310864x x x x ⎛⎫-++++++ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭≤,所以()f x ,当3x π=-时, ()f x =成立． 所以()f x的最小值是．【解析三】()()()()()223222sin sin 24sin 1cos 41cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+， 令[]1,1,cos -∈=t t x ，则函数化为()()()311t t t g +-=，再利用导数进行求解．【评析】本题以三角函数为背景，看似与三角函数问题，但用三角函数的知识求解就遇到困难，要求学生灵活运用其他知识解决，求函数最值常见的求解方法：（1）利用基本不等式；（2）利用导数方法；（3）数形结合；（4）换元法等等进行转化．【例8】【2023年全国新高考II 卷第22题】（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围． 【解析】（1）设()sin f x x x =-，01x <<，则()00f =，()'cos 10f x x =-≤，函数()f x 在()0,1上单调递减，则()()00f x f <=，所以sin x x <．设()2sin g x x x x =--，则()00g =，()'12cos g x x x =--，()'00g =．()''2sin 0g x x =-+<,()'g x 在()0,1上单调递减，则()()''00g x g <=，所以()g x 在()0,1上单调递减，因此()()00g x g <=，所以2sin x x x -<．综上，当01x <<时，2sin x x x x -<<．本题还可以让学生证明，对于任意0x >，31sin 6x x x x -<<（泰勒展开）． （2）解法一：由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，且()f x 为偶函数．()2222sin sin 11x x f x a ax a ax x x -'=--=-+--，()f x '是奇函数． 又0是()f x 的极大值点()00f '⇒=，显然成立，且0δ∃>，当(),0x δ∈-，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x δ∈，()0f x '<，()f x 单调递减．又()()()()()()22222222212221cos cos 11x x x x f x a ax a ax x x --⋅-+''=-+=-+--， ()2020f a ''=-+<得a >a <()()()()()()()()2222233432221121243sin 2sin 11x x x x x x x f x a ax a ax x x --+⋅-⋅-+'''=+⋅=+--， ()00f '''=，()()()()4244421261cos 1x x f x a ax x ++=+-．若a >1x a<时，01ax <，则()()40f x >， 则()f x '''在10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00f '''=，因此()0f x '''>，所以()f x ''在10,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，又()2020f a ''=-<， 若10f a ⎛⎫'' ⎪ ⎪⎝⎭，则10,x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x ''<恒成立，则10,x a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x '单调递减，则()()00f x f ''<=， 所以当10x a <<时，()f x 单调递减，又()f x 为偶函数，则1,0x a ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭， ()f x 单调递增，这说明0x =是()f x 的极大值点． 若10f a ⎛⎫''> ⎪ ⎪⎝⎭，010,x a ⎛⎫∃∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00f x ''=， 且当()00,x x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减，则()()00f x f ''<=，则当()00,x x ∈时，()f x 单调递减，由于()f x 是偶函数，则()0,0x x ∈-，()f x 单调递增，这说明0x =是()f x 的极大值点．若()10f ''=得a =()2222sin 11x x f x a ax x x '=-+=+--． 由（1）知，当01x <<时，20sin x x x x <-<<，则有当01x <<时，()32222221222101111x x x f x x x x x x x ⎛⎫'=+>-+=-=> ⎪----⎝⎭， 这说明函数()f x 在()0,1上单调递增，与题意不符，故舍去，综上，a 的取值范围是{a a a ><．【评析】本题主要考查函数的单调性、不等式的证明、函数的极值、参数的取值范围．解题的关键是合理进行分类讨论，事实上，在遇到以三角函数为载体的函数与导数问题中，应特别注意到三角函数的周期性与有界性，并进行合理的分类解决． （五）以变式教学为融汇点对典型问题进行变式教学，是备考复习教学中的一种重要方法，函数问题的变式要在学生的“最近发展区”内进行拓展“源于教材，高于教材”，以原题为源，紧扣教材，突出函数定义、定理、公式的重要价值，突出函数思想在分析解决问题中的重要作用，体现对学生能力培养的重要作用．下面以2012年新课标卷文科第21题改编为例，进行拓展分析，对函数导数进行全面复习，帮助学生更好的理解函数与导数的知识内容，建构知识体系，也为学有余力的同学指引思考问题的方向，同时也强化运算求解能力，化归与转化、分类与整合思想的运用．【例9】【2012年新课标卷文21】设函数()e 2x f x ax =--．（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值．拓展：已知函数()e 2x f x ax =--．（1）求函数()f x 的值域；（2）求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域；（3）若函数()f x 没有极值（或有极值），求a 的取值范围；（4）若()f x 在R 上单调（或不单调），求a 的取值范围；（5）若()f x 在区间(1,2)上单调（或不单调），求a 的取值范围；（6）讨论函数()f x 的零点个数情况．变式一：研究函数()e 2x f x ax =++的单调性、极值、零点等基本情况；研究函数()(2)e x f x ax =+的单调性、极值、零点等基本情况； 研究函数2()ex ax f x +=的单调性、极值、零点等基本情况； 研究函数e ()2xf x ax =+的单调性、极值、零点等基本情况． 变式二：研究函数2()(22)e x f x ax x =++的单调性、极值、零点等基本情况； 研究函数222()ex ax x f x ++=的单调性、极值、零点等基本情况； 研究函数2e ()22xf x ax x =++的单调性、极值、零点等基本情况． 变式三：已知()ln 2f x a x x =-+-．（1）讨论函数()f x 的单调性、极值、最值、零点情况；（2）讨论函数()f x 在区间22(e ,e )-上的单调性；（3）求函数()f x 在区间[1,e]上的值域；（4）若函数()f x 在定义域上有零点，求实数a 的取值范围．【评析】波利亚说：“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”我们知道，中学数学函数与导数的核心内容，就是利用导数研究初等函数——图象特征（包括单调性、函数的凹凸性、图象的切线及两函数图象间的关系）．上述问题是从函数与导数的基本问题出发，从研究函数的本质内容、函数单调性及极值出发，通过拓展、变式探究，将导数在研究函数中的应用作了较为系统的学习，设计是自然而有效的．一题多变，变的是形式，不变的是本质．问题的变式，使学生更清楚地认识了函数与导数的本质，增强了思维的广阔性，提高对数学的兴趣和热情，培养探究精神．（六）以答题策略为突破点函数与导数解答题的呈现形式为，第（1）问为基础题，从知识内容看主要考查函数的单调区间、极值、最值与零点等，从思想方法看主要考查分类与整合思想，因此，应让学生掌握分类与整合思想，弄清分类讨论找“分界点”的解题策略；第（2）问题型结构为利用导数研究零点问题；利用导数研究证明不等式问题；利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数研究多变量等问题．如在解决问题过程中用导数研究函数()f x 的单调性时，往往需要解方程()0f x '=．若该方程不易求解时，如何继续解题呢，因此，应让学生掌握导数零点不可求的解题策略．【例10】【2019年全国Ⅲ卷】已知函数32()2f x x ax b =-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有 值；若不存在，说明理由．【解析】(1)2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或3a x =． 若0a >，则当(,0)(,)3a x ∈-∞+∞时，()0f x '>；当(0,)3ax ∈时，()0f x '<．故()f x 在(,0),(,)3a -∞+∞单调递增，在(0,)3a单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a <，则当(,)(0,)3ax ∈-∞+∞时，()0f x '>；当(,0)3ax ∈时，()0f x '<．故()f x 在(,),(0,)3a -∞+∞单调递增，在(,0)3a单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．(i)当0a ≤时，由(1)知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即0a =，1b =-．(ii)当3a ≥时，由(1)知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为。
【高三学习指导】高三数学备考攻略：函数与导数
【高三学习指导】高三数学备考攻略：函数与导数【摘要】：
高中三年级
高考
函数的观点和思想方法贯穿于整体
高中数学
近年来的高考中，功能测试题在试题中的分数一般为22-35分，一般有2道选择题或
2道填空题和1道解题，且经常被测试和更新。
在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。
在解决问题时，我们通常考察函数、导数和不等式的综合应用。
准备数学函数和导数
高考的策略如下：
1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。
2.在解题考试中，与函数有关的试题往往以综合题的形式出现。
3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。
4.部分省市函数应用题的考试与导数的应用相结合。
5.涌现了一些函数新题型。
6.函数与方程思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，还需要序列、不等式、解析几
何等函数与方程思想的指导。
7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。
8.极值，函数的单调性，应用问题，结合三角函数或向量。
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