高中数学选修2-2第三章 数系的扩充与复数的引入 单元练习
第三章 数系的扩充与复数的引入 单元练习
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一
．．．
项．是符合题目要求的.
1. 复数iz11的共轭复数是 （ B ）
A．i2121 B．i2121 C．i1 D．i1
2. 221111iiii （ D ）
（A）i （B）i （C）1 （D）1
3.
若ibiia)2(，其中a、b∈R，i是虚数单位，则22ba= （ D ）
A．0 B．2 C．25 D．5
4. iii1)21)(1( （ ）
A．i2 B．i2 C．i2 D．i2
【答案】C
5.已知复数z满足（3＋3i）z＝3i，则z＝（ D ）
A．3322i－ B. 3344i－ C. 3322i＋ D.3344i＋
解：33333312433iiiizi（－）＋＝＝＝＋故选D
6. 使iRia()(4为虚数单位）的实数a有 （ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7. 若z为复数，下列结论正确的是
（ D ）
A．若212121,0,zzzzCzz则且
B．22zz
C．若,0zz则z为纯虚数
D．若2z是正实数，那么z一定是非零实数
8. 复数 45(22)(13)ii= ( B)
A.13i B. 13i C. 13i D. 13i
9.设a、b、c、d ∈R,若dicbia为实数，则( C )
A.bc＋ad ≠ 0 B.bc－ad ≠ 0
C bc－ad = 0 D.bc＋ad = 0
10. 设复数z= 1322i（i为虚数单位），则满足等式z n=z且大于 1的正整数n中最小的
是 （ B ）
A.3 B.4 C.6 D.7
二、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
11. 设,xy为实数，且511213xyiii，则xy ．【答案】4
12.非空集合G关于运算满足：（1）对任意,abG，都有abG；
（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；
现给出下列集合和运算：
①,G非负整数为整数的加法 ②,G偶数为整数的乘法
③,G平面向量为平面向量的加法 ④,G二次三项式为多项式的加法
⑤,G虚数为复数的乘法
其中G关于运算为“融洽集”______①，③__________;（写出所有“融洽集”的序号）
13. 已知复数z满足等式：iziz212||2，则z= . －1，－1－2i
14. 若复数z满足||||||zzzi1121，那么的最小值是___________. 1
三、解答题：本大题共5小题，每小题5分，共52分.
15. 已知 z、w为复数，（1＋3i）z为纯虚数，w＝2zi ，且|w|＝52，求 w．
16. 已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝（a＋2z）2.
17. 对任意一个非零复数z，定义集合Mz＝｛w|w＝z2n－1，n∈N｝．
（Ⅰ）设z是方程x+ 1x=0 的一个根，试用列举法表示集合Mz．若在Mz中任取两个数，求x
其和为零的概率P；
（Ⅱ）若集合Mz中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．
18. 已知复数w满足i(i)23(4ww为虚数单位），|2|5wwz，求一个以z为根的实系
数一元二次方程.
19. 证明：在复数范围内，方程255(1)(1)2izizizi（i为虚数单位）无解．
20. 设n是自然数，求证：方程zn+1－zn－1=0有模为1的复根的充分必要条件是n+2可被6
整除.
参考答案
一、选择题：
1.B
2.D
3.D
4.C
5.D
6.C
7.B
8.B
9.C
10.B
二、填空题：
11. 【答案】4
12. 【答案】①，③
13. 【答案】－1，－1－2i
14. 【答案】 1
三、解答题：
15. 解法一：设 z＝a＋bi（a，b∈R），则（1＋3i）z＝a－3b＋（3a＋b）i．
由题意，得 a＝3b≠0．
解法二：由题意，设（1＋3i）z＝ki，k≠0 且k∈R，
16. 解：∵z＝1＋i，
所以，所求实数为 a＝－2，b＝－1或 a＝－4，b＝2．
17.
18. [解法一] i2i21i34,i34)i21(ww，
i3|i|i25z.
若实系数一元二次方程有虚根i3z，则必有共轭虚根i3z.
10,6zzzz，
所求的一个一元二次方程可以是01062xx.
[解法二] 设ibawR)(ba、
baba2i2i34i，
得 ,23,24abba ,1,2ba
i2w， 以下解法同[解法一].
19. [证明]原方程化简为.31)1()1(||2iziziz
设yixz x(、)Ry，代入上述方程得.312222iyixiyx
)2(322)1(122yx
yx
将（2）代入（1），整理得.051282xx
)(,016xf方程
无实数解，∴原方程在复数范围内无解.
20. 充分性 设n+2=6k (k=1,2,3…)
则zn+1－zn－1=z6k－1－z6k－2－1= (z6k－1－z6k－2+z6k－3)－(z6k－3+1)
z2－z+1| z6k－1－z6k－2+z6k－3, z3+1| z6k－3+1,
z2－z+1| zn+1－zn－1,所以原方程有模为1的根i2321
必要性 若z0为方程zn+1－zn－1=0的模为1的根，则方程z0n+1－zon－1=0 即 z0n(z0－1)=1
两边取模，得|z0n||(z0－1)|=1 , |(z0－1)|=1 , z0=i2321,z03=－1,z06=1 , 令n=6k+r ,
05r, 那么z0n+1－zon－1=z0r+1－z0r－1 ，由r=0，1，2，3，4，5分别检验，r=4时，z
0
n+1
－zon－1=z0r+1－z0r－1=0，
6|n+2
(完整版)高中数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入
第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
数学选修2-2人教A版练习：第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1
第三章 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( A )A ．－2B ．1C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2，故选A ．2．设a －2＋(2a ＋1)i 的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3.故选A ．3．(2019·西安高二检测)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，故选B ．4．以复数52－i x 2＋2x (x 2＋2x >0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点，则该点( B )A ．在圆x 2＋y 2＝2上B ．在圆x 2＋y 2＝2外C ．在圆x 2＋y 2＝2内D ．与圆x 2＋y 2＝2的位置关系不确定[解析] 因为以复数52－i x 2＋2x (x 2＋2x >0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为 (52，－x 2＋2x )．又254＋x 2＋2x ＝(x ＋1)2＋214>2，所以该点在圆x 2＋y 2＝2外，选B ．5．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( B ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D ．k π2＋π4(以上k ∈Z )[解析] 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．6．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为( A ) A ．0 B ．－1 C ．－32D ．16[解析] 由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0.a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0. 二、填空题7．(2019·广元模拟)已知a 是实数，i 是虚数单位，若z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，则a ＝1.[解析] ∵z ＝a 2－1＋(a ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a ＋1≠0，解得a ＝1. 故答案为1.8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2.[解析] ∵a －2＋(a ＋2)i 的实部为0， 故a ＝2. 三、解答题9．已知z 1＝⎝⎛⎭⎫cos α－45＋i ⎝⎛⎭⎫sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值． [解析] 由复数相等的充要条件，知⎩⎨⎧cos α－45＝cos β，sin α－35＝sin β.即⎩⎨⎧cos α－cos β＝45， ①sin α－sin β＝35. ②①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.10．(2019·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m ≠－1且m ≠－2，得m ＝3. (2)当复数对应的点在第二象限时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3m >－1或m <－2， 得－1＜m ＜3.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sin θ ＝4(sin θ－38)2－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sin θ－35)＋(cos θ－45)i(θ∈R )是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎨⎧sin θ＝35，cos θ≠45，因为sin θ＝35且cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.二、填空题3．设i 是虚数单位，a 为实数，若复数a ＋3－i 是纯虚数，则a ＝－3. [解析] a 为实数，若复数a ＋3－i 是纯虚数， 则a ＋3＝0，解得a ＝－3. 故答案为－3.4．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为4. [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1，解得：x ＝4. 三、解答题5．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值． [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10.∴当m ＝3时，原不等式成立．6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值． [解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.由Ruize收集整理。
人教A版高中数学选修2-2作业：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 课后
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。
人教A版数学选修2-2习题 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末复习课 Word版含答案
章末复习课．复数代数形式为＝＋，、∈，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式＝＋(、∈)．为纯虚数的条件为＝且≠，注意虚数与纯虚数的区别．．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．．≥是在实数范围内的性质，在复数范围内≥不一定成立，≠.．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．．不全为实数的两个复数不能比较大小．．复平面的虚轴包括原点．专题一复数的概念熟练掌握复数的代数形式、复数相等及复数表示各类数的条件是熟练解答复数问题的前提．已知复数＝(－)＋(＋－)，当取何实数值时，复数是零、纯虚数、＋?解：()由题意可得即所以＝.即当＝时，复数为零．()由题意可得解得所以＝，即＝时，为纯虚数．()由题意可得解得所以＝，所以当＝时，复数为＋.归纳升华当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当＋没有说明，∈时，也要分情况讨论．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为( )．．－．－解析：＝＝为纯虚数，所以－＝，所以＝.答案：专题二复数的四则运算复数的加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意＝－.()计算：＋()＋；()已知＝＋，化简.解：()原式＝＋)＋＝＋(－)＋＝＋.()＝＝＝＝＝＋.归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：()(±)＝±＋；()(＋)(－)＝－；()(±)＝±；()＝－；()＝，＝－；()＋＝(－)．。
高中数学人教A版选修2-2_第三章_数系的扩充与复数的引入(有答案) (2)
高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算 (1)一、单选题1. 若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是()A. B. C. D.2. 若复数z满足其中i为虚数单位，则z=A.1+2iB.12iC.D.3. i是虚数单位，若，则乘积的值是()A.−15B.−3C.3D.15二、填空题设x, y为实数,且+=,则x+y=________.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为________.三、解答题设是虚数，是实数，且．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若，求证：为纯虚数．参考答案与试题解析高中数学人教A 版选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入3.2.2 复数代数形式的乘除运算 (1)一、单选题 1.【答案】 A【考点】复数的代数表示法及其几何意义 复数的运算幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】先由复数的几何意义得到复数二，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解详解：由复数的几何意义，得z =2+i 则z 1+i=2+i 1+i=(2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=32−12i则该复数对应的点为(32,−12)，即点H ． 【解答】 此题暂无解答 2. 【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】试题分析：设z =a +bi ，则2z +z ¯=3a +bi =3−2i ，故a =1,b =−2，则z =1−2i ，选B ．【考点】注意共轭复数的概念 【解答】 此题暂无解答 3.【答案】 B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义 勾股定理【解析】1+7i 2−i =(1+7i)(2+i)5=−1+3i，∴a=−1,b=3,ab=−3，选B．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】4【考点】集合的相等方根与根式及根式的化简运算函数的求值【解析】由x1−i +y1−2i=x(1+i)2+y(1+2i)5=(x2+y5)+(x2+2y5)}而51−3i =5(1+3i)10=12+32i，所以x2+y5=12且x2+2y5=32解得x=−1,y=5，所以x+y=4【解答】此题暂无解答【答案】—2【考点】复数的基本概念复数的运算虚数单位i及其性质【解析】试题分析：由复数的运算可知(1−2i)(a+i)=a+2+(1−2a)i(1−2i)(a+i)是纯虚数，则其实部必为零，即a+2=0，所以a=−2【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】(1))[−12,12 ]；（2）略【考点】复数的基本概念复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】（1）证z1=a+b|,(a,b=R，且b≠0)，则z2=z1+1z1=(a+aa2+b2)+(b−ba2+b2)，由z，是实数，得|a2+b2=1，由此求出z1的实部的取值范围为[−12,1 2 ]（2）ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=ba+1i，由此能证明ω=1−z11+z1是纯虚数．详解：（1）解：设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0)．则z2=a+bi+1a+bi =a+aa2+b2+(b−ba2+b2)i，因为z2∈R．所以b−ba2+b2=0，又b≠0，所以a2+b2=1．所以|z1|=1所以z2=a+bi+1a+bi =a+aa2+b2+(b−ba2+b2)=2a又|z2|≤1．即2a≤1．解得−12≤a≤12所以z1的实部的取值范围的取值范围为|12,1 2 ]（2）证明ω=1−z11+z1=1−a−bi1+a+bi=1−a2−b2−2bi(1+a)2+b2=−b1+a因为b≠0．所以−b1+a≠0所以ω为纯虚数．。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充习题 苏教版选修22
1 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充习题 苏教版选修2-2 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi. (2)复数集 ①定义：全体复数所组成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C表示． 2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝虚数b 纯虚数a＝非纯虚数a (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
[情境导学] 2
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念 思考1 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i2＝－1. (2)i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i2＝－1，那么i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 答 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答 对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 思考5 复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？ 答 不一定，只有当m∈R，n∈R，则m、n才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 反思与感悟 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理 3
人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。
新版高中数学选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2
3.2.2复数代数形式的乘除运算课时过关·能力提升基础巩固1若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于()A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析由z1=1+i,z2=3-i,所以z1·z2=(1+i)(3-i)=3-i2+2i=4+2i.答案A2已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于()A.-1B.1C.2D.3解析∵=b+i,∴a+2i=-1+b i.∴a=-1,b=2.∴a+b=1.答案B(i为虚数单位)的虚部是()3复数-A.iB.-C.-iD.=-i,其虚部为,故选D.解析-答案D4若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为()A.-3+iB.3+iC.-3-iD.3-i解析由(3+z)i=1,得3+z==-i,所以z=-3-i,故选C.答案C5若复数z=1+i,为z的共轭复数,则z-z-1=()A.-2iB.-iC.iD.2i解析∵z=1+i,∴=1-i,∴z·=|z|2=2,∴z·-z-1=2-(1+i)-1=-i.答案B6已知a=--,则a4=.解析∵a=-----=-1+i,∴a4=[(-1+i)2]2=(-2i)2=-4.答案-47已知复数z=a+3i(i为虚数单位,a>0),若z2是纯虚数,则a=.解析z2=(a+3i)2=a2+6a i+9i2=(a2-9)+6a i,由题易知-解得a=3.答案38若复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为.解析由z(2-3i)=6+4i,得z=--=2i,所以|z|=2.答案29设复数z满足|z|=1,且(3+4i)·z是纯虚数,求.分析利用复数问题实数化的思想,设z=a+b i(a,b∈R),利用已知条件建立关于a,b的方程组,求解即可.解设z=a+b i(a,b∈R),由|z|=1,得=1.由题意,得(3+4i)·z=(3+4i)(a+b i)=3a-4b+(4a+3b)i是纯虚数,则-由-解得或--所以z=i或z=-i.故i或=-i.能力提升1若复数z满足(z-i)(2-i)=5,则z等于()A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i解析由题意可得,z-i==2+i,--所以z=2+2i.答案D=()2-A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D3是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i解析设z=a+b i(a∈R,b∈R),则=a-b i.由z+=2,得2a=2,即a=1.又由(z-)i=2,得2b i·i=2,即b=-1.故z=1-i.答案D★4已知复数z1=a+2i,z2=a+(a+3)i,且z1z2>0,则实数a的值为()A.0B.0或-5C.-5D.以上均不对解析z1z2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a2-2a-6)+(a2+5a)i,由z1z2>0知z1z2为实数,且为正实数,因此应满足--解得a=-5(a=0舍去).故a=-5.答案C5设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则|z|等于.解析因为z2=3+4i,所以|z2|==5,所以|z|=.答案6若关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,则纯虚数m=.解析设m=b i(b∈R,且b≠0),x0为方程的一个实根,由题意得+(1+2i)x0-(3b i-1)i=0,∴(+x0+3b)+(2x0+1)i=0,∴解得-∴m=i.答案i7计算下列各题:(1)---;(2)i)5+-;(3)---;(4)--.解(1)原式=[(1+i)2]3-+[(1-i)2]3·---=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-=8+8-16-16i=-16i.(2)i)5+-=-i·()5·[(1+i)2]2·(1+i)++i7 =16(-1+i)--i=-+(16-1)i.(3)---=(-i)12·---=---=-+(-8+8i)=1-8+8i=-7+8i.(4)方法一:原式==i6+-=-1+i.方法二:原式=-=i6+=-1+i.★8已知复数z1=2+i,2z2=-.(1)求z2;(2)若△ABC三内角A,B,C依次成等差数列,且u=cos A+2icos2,求|u+z2|的取值范围.解(1)z2=---=-i.(2)在△ABC中,∵A,B,C依次成等差数列, ∴2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°.∵u+z2=cos A+2icos2-i=cos A+i-=cos A+icos C,∴|u+z2|2=cos2A+cos2C=cos2A+1-sin2C=1+(sin2C+cos2C)cos2A-(sin2A+cos2A)sin2C =1+cos2A cos2C-sin2A sin2C=1+cos(A+C)cos(A-C)=1+cos 120°cos(A-C)=1-cos(A-C).由A+C=120°,得A-C=120°-2C,∴-120°<A-C<120°,∴-<cos(A-C)≤1.∴≤1-cos(A-C)<.∴|u+z2|的取值范围是.。
高中数学人教A版选修2-2_第三章_数系的扩充与复数的引入_(有答案)
高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义 (2)一、单选题1. 若，则复数在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆3. 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()A. B. C. D.4. 已知复数的模为,则的最大值为：()A.1B.2C.D.3二、填空题若为非零实数，则下列四个命题都成立：①②③若，则④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是．三、解答题已知复数，求的最大值和最小值.试卷第1页，总3页参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义 (2)一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】cosθ+sinθ=√2sin(θ+π4)×0【解答】因为θ∈(34π,54π)，所以sinθ−cosθ=√2sin(θ−π4 )>0因此复数(cosθ+sinθ)+(sinθ−cosθ)在复平面内所对应的点在第二象限故选：B．2.【答案】C【考点】复数的运算二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】因为|z−i|=|3+4i，所以|z−i|=5,x2+(y−1)2=25因此复数？在复平面上对应点的轨迹是圆，选C．【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义相等向量与相反向量单位向量【解析】复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，则旋转后的向量为(3−3i)[cos(−π3)+试卷第2页，总3页i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√32)=−2√3，故选B．【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】因为|z−i|≤|z|+|=2+1=3，所以最大值为3，选D．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】②④【考点】数列的概念及简单表示法演绎推理的基本方法四种命题的定义【解析】对于ω：解方程a+1a =0得ai所以非零复数aⅰ使得a+1a=0，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，/1]=\l，则|a|=|b|a=±b，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的所有序号是②④【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】最大值．，最小值、2．【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用三角函数的最值【解析】试题分析：先根据复数乘法法则，再根据复数的模的定义将|z1⋅z2|化为三角函数形式，最后根据三角函数有界性确定最值．试题解析：|z|z2|=|θcossin+(cosβ−sinβ−sin=√1+sinθcosθ2+(cosθ−sinθ)2=√2+sin2cos2θ=√2+12sin2θ故|z1⋅z2|的最大值为32，最小值为√2【解答】此题暂无解答试卷第3页，总3页。
新版高中数学选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 检测B
第三章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1复数z是实数的充分不必要条件为()A.|z|=zB.z=C.z2是实数D.z+是实数解析若|z|=z,则z一定是实数,而z是实数,|z|不一定等于z.故选A.答案A2设复数z=(a+i)2在复平面上对应的点在虚轴负半轴上,则实数a的值是()A.-1B.1C.D.-解析z=(a+i)2=(a2-1)+2a i,根据条件有-解得a=-1.答案A3复数z=-的模为()A. B. C. D.2解析∵z=------=-i,∴|z|=--,故选B.答案B4复数-的虚部为()A.iB.-iC.1D.-1解析∵--=1-i,∴复数-的虚部为-1.答案D5复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为() A.2+i B.2-i C.5+i D.5-i解析由题意得z-3==2+i,所以z=5+i.-故=5-i,应选D.答案D6当z=-时,z100+z50+1的值是()A.1B.-1C.iD.-i解析原式=+1=+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.答案D=i,其中i为虚数单位,则z=()7若复数z满足-A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i答案A8复数z=--1,在复平面内z所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限-1=-1+i.解析z=--1=--答案B9若z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是() A. B. C. D.解析∵z2=(cos θ+isin θ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isin θcos θ=cos 2θ+isin 2θ=-1, ∴∴2θ=2kπ+π(k∈Z).-∴θ=kπ+(k∈Z),令k=0知选D.答案D10设复数z=lg(m2-1)+-i(m∈R),则z在复平面内的对应点()A.一定不在第一、二象限B.一定不在第二、三象限C.一定不在第三、四象限D.一定不在第二、三、四象限解析因为--所以m<-1,此时lg(m2-1)可正、可负,-,故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知-=1+i(i为虚数单位),则复数z=.答案-1-i12若复数(a∈R,i是虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为.解析---.∵复数是纯虚数,∴-解得a=-6.答案-613设复数a+b i(a,b∈R)的模为,则(a+b i)(a-b i)=.答案314若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数x,y的值分别为.解析原式可以化为(3y-2x)+(x-10y)i=1-9i,根据复数相等的充要条件,有---解得答案1,115复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,则实数c 的取值范围为.解析在复平面内与z1,z2,z3对应的三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得<0,且B,A,C不共线,即(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0,解得c>.其中当c=9时,=(6,8)=-2,三点共线,故c≠9.答案且三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)设复数z=-,若z2+az+b=1+i,求实数a,b的值.解z=--=---=1-i.-将z=1-i代入z2+az+b=1+i,得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即(a+b)-(a+2)i=1+i,-∴-17(8分)已知(2+i)=7+i,求z及.解设z=a+b i(a,b∈R),则=a-b i.∴(2+i)(a-b i)=7+i.∴(2a+b)+(a-2b)i=7+i.∴∴z=3+i.-∴=3-i.故i.-18(9分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.解(1)设z=a+b i(a,b∈R),由已知条件得,a2+b2=2, ①又z2=a2-b2+2ab i,∴2ab=2.②由①②解得a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,∴点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴S△ABC=·|AC|·1=×2×1=1.当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.∴点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),∴S△ABC=·|AC|·1=×2×1=1.故△ABC的面积为1.19(10分)已知w=z+i(z∈C),且-为纯虚数,求M=|w+1|2+|w-1|2的最大值及M取最大值时w的值.解设z=x+y i(x,y∈R),则---.∵-为纯虚数,∴x2+y2-4=0,且y≠0.∴M=|w+1|2+|w-1|2=(x+1)2+(y+1)2+(x-1)2+(y+1)2=12+4y.∵x2+y2-4=0,且y≠0,∴x2=4-y2≥0,且y≠0.∴-2≤y<0或0<y≤2.当y=2时,M取得最大值,且为20,此时w=3i.20(10分)复数z和w满足zw+2i z-2i w+1=0,其中i为虚数单位.(1)若z和w满足-z=2i,求z和w的值;(2)求证:如果|z|=,那么|w-4i|的值是一个常数,并求这个常数.(1)解设z=a+b i,w=c+d i(a,b,c,d∈R),由zw+2i z-2i w+1=0得(a+b i)(c+d i)+2i(a+b i)-2i(c+d i)+1=0,即(ac-bd-2b+2d+1)+(ad+bc+2a-2c)i=0.∴ac-bd-2b+2d+1=0, ①ad+bc+2a-2c=0.②又-z=2i,∴c-d i-(a+b i)=2i,即(c-a)-(b+d)i=2i.∴c-a=0, ③b+d=-2.④解①②③④组成的方程组,得a=0,c=0,d=-1,b=-1或a=0,c=0,d=-5,b=3.∴z=-i,w=-i或z=3i,w=-5i.(2)证明∵zw+2i z-2i w+1=0,∴z(w+2i)=2i w-1.∴|z(w+2i)|=|2i w-1|,即|z|·|w+2i|=|2i w-1|.又|z|=,∴|w+2i|=|2i w-1|.设w=x+y i(x,y∈R),代入上式整理得,两边平方得3x2+3y2+12y+12=4x2+4y2+4y+1,化简得x2+y2-8y=11.∴|w-4i|=|x+y i-4i|=--=3是一个常数.故|w-4i|的值是一个常数,且这个常数为3.。