直线的斜率与倾斜角
直线倾斜角与斜率课件(选择性必修一)
关系为 k2>k3>k1
l2
l3
讲 课
l1
人
：
邢
启 强
16
典型例题
例1 如下图，已知A(3,2),B(-4,1),C（0,-1）,求直线
AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是
纯角.
解：（1）kAB
1 2 4 3
1 7
锐角
y
11 1 kBC 0 (4) 2 钝角
B
O
A x
C升
高 量
A
B
前进量
1、定义:
一条直线的倾斜角
的正切值叫做这条直线的斜率.
讲 课
用小写字母 k 表示，即：
人
：
邢
启 强
8
学习新知
y o
l
x
y l3 yl2 l Ｐ
o x
l1
y
o
l
x
ly
o x
ＱO
x
l
１、直线的倾斜角
当直线 l与x轴相交时，我们取 x 轴为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所形成的角 叫做直线l的倾斜角。
(1)规定：当直线与x轴平行或重合时，倾斜 角为0o；
讲 (2)倾斜角的取值范围为0o 180o；
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y
o x
y
y
o
x o
y
x
o
x
（1）
（2）
（3）
问题3：一条直线有几个倾斜角？
一个倾斜角对应几条直线？
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
第二章 1.1 直线的倾斜角和斜率
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课时活页训练
基础知识梳理
三基能力强化
核心要点突破
第 二 章 解 析 几 何 初 步
【名师点评】 (1)应用斜率公式的前提条 件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直； (2) 斜率公式应用时要注意顺序，即 k ＝ y2－y1 y1－y2 ＝ ； x2－x1 x1－ x2 (3)当直线倾斜角为锐角时， 斜率为正，直 线从左向右呈上升趋势； 当直线倾斜角为钝角 时，斜率为负，直线从左向右呈下降趋势．
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第 二 章 解 析 几 何 初 步
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1．直线的倾斜角和斜率 倾斜角 在平面直角坐标系中，对 于一条与x轴相交的直线 l，把 x轴(正方向) 按逆时 定义 针 方向绕着交点旋转到 和直线l重合所成的角， 叫作直线l的倾斜角. 斜率 把一条直线的倾斜角α 的正切值 叫作这条直 线的斜率，通常用k表 示，即k＝ tanα(α≠90°) ．
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第 二 章 解 析 几 何 初 步
4．直线y＝3的斜率为________，倾斜角 为________． 答案：0 0°
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第 二 章 解 析 几 何 初 步
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高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
关于求直线斜率和倾斜角的公式
关于求直线斜率和倾斜角的公式
直线的斜率可以通过以下公式求得：
$$k=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$其中，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是直线上任意两点的坐标。
斜率$k$表示直线在平面直角坐标系中与$x$轴正方向的夹角的正切值，也可以表示为直线在垂直于$x$轴的直线上移动的单位长度所对应的$x$轴方向上的单位长度。
倾斜角可以通过以下公式求得：$$ theta=arctan(k) $$ 其中，$k$是直线的斜率，$theta$表示直线与$x$轴正方向的夹角，单位为弧度。
该公式中使用了反正切函数$arctan$，将斜率$k$作为输入，输出直线与$x$轴正方向的夹角。
在计算中，需要注意斜率$k$可能为正、负或零，需要特别处理。
若斜率$k$为正，则$theta$为锐角；若斜率$k$为负，则$theta$为钝角；若斜率$k$为零，则直线与$x$轴平行，$theta=0$或$theta=pi$。
- 1 -。
倾斜角与斜率知识点总结--2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.1.1 倾斜角与斜率知识点总结知识点一、倾斜角1.当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（简记：交右上）2.规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°3.范围：0°≤α<180°4.作用：(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可5.强调：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.6.考查题型：题型1.倾斜角的定义；2.倾斜角的范围；3.已知x=数，求倾斜角；4.已知y=数，求倾斜角 典型例题题型1.倾斜角的定义例1：求图中各直线的倾斜角．题型2.倾斜角的范围例2：判断下列是否正确： 1．任意一条直线都有倾斜角 2．直线倾斜角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭3．直线倾解角的范围是(0,)π题型3.已知x=数，求倾斜角例3：直线1x =的倾斜角是____________， 题型4.已知y=数，求倾斜角例4：直线y=-2的倾斜角是____________，知识点二、斜率1. 定义：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率2. 当α=90°时，直线斜率不存在3. 常用小写字母k 表示,当已知直线的倾斜角是，k=tan α4. 范围：R5. 作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度6. 直线经过两点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，x 1≠x 2,则直线的斜率公式为k=y 2-y 1x 2-x 1注意：运用公式的前提是x 1≠x 2,即直线不与x 轴垂直.斜率公式与P 1,P 2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序7. 考查题型：题型1.已知倾斜角求斜率；2.已知斜率求倾斜角；3.已知两点求斜率；4.已知两点求倾斜角 典型例题题型1.已知倾斜角求斜率 例5：判断下列是否正确：1.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α2.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率3.若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α4.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率5.若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小6.倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度7.若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；8.若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；9.若两条直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，其倾斜角也大． 题型2.已知斜率求倾斜角例6：图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2题型3.已知两点求斜率例7：下列两点确定的直线的斜率不存在的是（ ） A ．(42)，，(41)-， B ．(0)2，，(2)0， C ．(4)1-，，(3)1-， D ．(22)--，，(23)--，例8：已知直线经过两点(A ，(),0B a 且直线的倾斜角为6π，则a =（ ） A ．2-B ．4C ．0D ．不存在例9：经过点M （﹣2，m 2）、N （m ，4）的直线的斜率等于2，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或﹣2 C ．﹣2D ．0或2例10：如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 2＜k 1C ．α1＜α3＜α2D ．α3＜α2＜α1题型4.已知两点求倾斜角例11：已知()1,A a ，()4,0B ，其中()a ∈，则直线AB 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．π3π0,,π64⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．πππ3π,,6224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．ππ,46⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π3π,64⎛⎫ ⎪⎝⎭练习：1．下列说法中，正确的是（ ）A ．直线的倾斜角为α，且tan 0α>，则α为锐角B ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D ．任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α2．直线1l ，2l ，3l 在平面直角坐标系中的位置如图所示，记直线m l 的倾斜角和斜率分别为mα和m k ，其中1m =，2，3，则1α，2α，3α中最大的是________；3.过点P (m )，Q ，4)的直线的倾斜角为60°，则m 的值为（ ） A ．12 B ．13C ．14D ．154.已知点A （2，0），(3,B ，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．45°C ．120°D ．135°5.已知直线l 过不同的两点A (5，6)，B (5，y )，则l 的斜率（ ） A ．等于0B ．等于5C ．不存在D ．与y 的取值有关6.若直线经过A (1，0)，B (4，两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°7．过点()2,P m -和(),4Q m 的直线的斜率是1，则m =_______.8．若斜率(,[1,)k ∈-∞+∞，求倾斜角α的范围_________________.2.1.1 倾斜角与斜率知识点总结例题和练习答案例1：【答案】（1）60︒；（2）135︒；（3）150︒． 【详解】（1）如图①，可知OAB ∠为直线1l 的倾斜角，因为30ABO ∠=︒，所以60OAB ∠=︒，即直线1l 的倾斜角为60︒． （2）如图②，可知xAB ∠为直线2l 的倾斜角，45OBA ︒∠=，45︒∴∠=OAB ，135xAB ︒∴∠=，即直线2l 的倾斜角为135︒．（3）如图③，可知OAC ∠为直线3l 的倾斜角， 18012060ABO ︒︒︒∠=-=，30BAO ︒∴∠=，150OAC ︒∴∠=，即直线3l 的倾斜角为150︒．① ② ③ 例2：1.对；2.错；3.错 例3：【答案】2π【详解】解：直线1x =垂直于x 轴，所以倾斜角为2π，故答案为：2π； 例4：【答案】0 【详解】解：直线y=-2平行于x 轴，所以倾斜角为0 故答案为：0例5：1.×2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.9.× 例6：【答案】D【详解】由题可得，直线l 1的倾斜角为钝角， ∴直线l 1的斜率k 1＜0，由于l 2、l 3的倾斜角为锐角，且l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角， ∴k 2＞k 3＞0， ∴k 1＜k 3＜k 2， 故选：D ． 例7：【答案】D 【详解】当两个点横坐标相同时，过这两点的直线斜率不存在， D 选项中的两个点横坐标相同，过这两点的直线斜率不存在. ABC 中两点确定的直线斜率存在. 故选：D 例8：【答案】A 【详解】由题设，直线的斜率6tan πk ==k ==，=2a =-. 故选：A 例9：【答案】A 【详解】经过点M （﹣2，m 2）、N （m ，4）的直线的斜率等于2，可得：2422m m -=+，解得m =0或m =﹣2（舍去）． 故选:A ．例10：【答案】AD 【详解】如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3， 则k 2＞k 3＞0，k 1＜0，3202παα<<<，α1为钝角，所以k 1＜k 3＜k 2，α3＜α2＜α1. 故选：AD ． 例11：【答案】A 【详解】由斜率公式得3a k =-，当a =AB k = 当3a =时，1AB k =-，所以斜率的取值范围是⎛- ⎝⎭， 由正切函数的图像可知倾斜角的范围是π30,π,π64⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．故选：A 1.【答案】AD 【详解】解：对于A ，因为0180α︒≤<︒，且tan 0α>，则α为锐角，故A 正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0180α︒≤<︒时，α才是此直线的倾斜角，故B 错误；对于C ，因为0180α︒≤<︒，所以sin 0α≥，故C 错误；对于D ，任意直线都有倾斜角α，且90α≠︒时，斜率为tan α，故D 正确. 故选：AD.2.【答案】2α 1k 【详解】由图观察可知2l 的倾斜角最大，2l ，3l 的倾斜角为钝角，斜率为负，1l 倾斜角为锐角，斜率为正，所以1k 最大． 故答案为：2α，1k ． 3.【答案】C 【详解】因过点P (m )，Q ，4)的直线的倾斜角为60°， 于是得直线PQ 斜率tan 603k ===m 14=，所以m 的值为14.故选：C 4.【答案】C 【详解】点A （2，0），(3,B ，则直线AB 的斜k = 则直线的倾斜角120°，故选：C ． 5.【答案】C 【详解】因点A (5，6)，B (5，y )是不同的两点，且A 、B 的横坐标相同，则直线l 与x 轴垂直， 所以l 的斜率不存在. 故选：C 6.【答案】D 【详解】因直线经过A (1，0)，B (4，两点，则直线AB 的斜率等于k ==设直线AB 的倾斜角等于θ，则有tan θ=，而 0180θ≤<，于是得150θ=， 所以直线AB 的倾斜角为150. 故选：D 7.【答案】1. 【详解】 由题知412m m-=--， ∴1m =. 故答案为：1.8.【答案】2[,)(,)4223ππππ【详解】由题意，直线的倾斜角[0,)απ∈，则tan k α=，且斜率(,[1,)k ∈-∞+∞，当(,k ∈-∞时，2,23ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当[1,)∈+∞k 时，[,)42ππα∈，综上可得，倾斜角2[,)(,)4223ππππα∈.故答案为：2[,)(,)4223ππππ.。
直线的倾斜角与斜率知识点
直线的倾斜角与斜率课前复习：初中学过的一次函数新课讲解：一、直线的倾斜角1.定义：平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.2.规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．二、直线的斜率（倾斜角为90度时，斜率不存在，因为tan没有定义）下面讨论的情况都是斜率存在的情况，不存在的情况，画图分析即可，但不可忽略；1.定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．2.斜率公式:过两点、的直线的斜率公式.3.倾斜角与斜率的关系：在和范围内，倾斜角越大则斜率越大4.连结点在斜率三、直线之间的位置关系(先判断直线的斜率是否存在)1.平行2.垂直.注意：1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.题型一：倾斜角与斜率的互求例1．已知直线的倾斜角，求直线的斜率： (1)α＝32π； （2）α＝89°； （3）α＝2变式训练1：已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) α＝0°； （2）α＝60°； (3) α＝90°； (4) α＝43π例2． 若直线l 的倾斜角(,)43ππα∈，则其斜率k 的范围为___________ 例 3．直线123,,l l l 如图所示，则123,,l l l 的斜率123,,k k k 的大小关系为 ，倾斜角123,,ααα的大小关系为 ．1l2l3l题型二：已知两点，求斜率例4．求经过A （－2，0）、B （－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.变式训练1：求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α ①)3,2(1-P 、)8,2(2-P ; ②)2,5(1-P 、)2,2(2--P ; ③)2,1(1-P 、2(3,4)P --变式训练2：直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是( ) A.4π B. 45π C.4π或45π D.－4π例5．过点P (－2,m )和Q(m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 变式训练：1.斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a ,b 的值是( ) A.a =4,b =0 B.a =－4,b =－3 C.a =4,b =－3 D.a =－4,b =32.已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 .3.已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为 ,倾斜角为 .4.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为5.已知直线l 过A (－2,(t +t1)2)、B (2,(t －t1)2)两点，则此直线斜率为 ,倾斜角为___6.已知两点A (x ,－2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21，则x = 7.直线l 过(4,1)A 2,(3,)()B a a R ∈两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为 。
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课题：直线的倾斜角与斜率
一、知识梳理
1、直线倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．．．
.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°。
注：（1）倾斜角α的取值范围是
（2）当直线l 与x 轴垂直时, .
2、确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:
（1）两个点
（2） 一个点．．．P ．和一个倾斜角．．．．．．α．
. 3、直线斜率的定义：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即tan =k α
注：（1）当直线l 与x 轴平行或重合时，α=0°，k = tan0°=0;
（2）当直线l 与x 轴垂直时， α= 90°, k 不存在.
（3）当α为锐角时，0>k
（4）当α为钝角时，0<k
由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点)(11y x A ，，()22y x B ，()21x x ≠，则直线AB 的斜率k =_____________
5、思考：直线1l 与2l 的斜率分别为1k 和2k
（1）若21//l l ，则有________________
（2）若21l l ⊥，则有________________
二、典例精析
【例1】下列说法正确的个数是（ ）
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②倾斜角为030的直线有且仅有一条；
③若直线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ；
④如果两直线平行，则它们的斜率相等
A. 0个
B.1个
C.2个
D.3个
【练习】直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．045,1
B ．0135,1-
C ．090，不存在
D ．0180，不存在
【例2】如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )
A ．ksinα>0
B ．kcosα>0
C ．ksinα≤0
D ．kcosα≤0
【练习】图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )．
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2
【例3】若点()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a 的值为_________________.
【练习】若三点()()()b C a B A ,0,0,2,2， ()0≠ab 共线，则
b a 11+的值为_____________. 【例4】已知点()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232111，
，，B A ，若直线l 过坐标原点且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A ．[]10，
B ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡330， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡133， D ．[]
3,1，
【练习】已知两点()4,3-A ，()2,3B ，过点()1-2，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围
【例5】若4
5ln ,23ln ,12ln ===
c b a ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b << 【练习】求函数1
212+=x x y —的值域
三、课后练习
1、下列命题中，正确的命题是（ ）
A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα
B.直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α
C.任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率
D.直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π
2、直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为( )
A.3
B.－3
C.33
D.－3
3 3、已知点A(cos77 °,sin77°), B(cos17°, sin17°)，则直线AB 的斜率为( )
A.tan47°
B.cot47°
C.－tan47°
D.－cot47°
4、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的
斜率k 的取值范围是（ ）
A ．34k ≥
B ．324k ≤≤
C ．324
k k ≥≤或 D ．2k ≤ 5、函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是( ) A.{}3,4 B.{}2,3,4 C.{}3,4,5 D.{}2,3
6、若A(2, cos 2θ), B(sin 2θ, －3
2), (－4, －4)共线，则θ的值为 . 7、已知直线1m 经过点()()3,23—，，a B a A ，直线2m 经过点()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，则a 的值为_______________________
8、若直线k 的斜率满足－3<k<3
3，则该直线的倾斜角α的范围是 . 9、已知A(－2, 3), B(3, 2)，过点P(0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .
10、若经过点A(1－t, 1+t)和点B(3, 2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .
11、若直线l 的倾斜角是连接P(3, －5), Q(0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .
12、已知矩形ABCD 中, A(－4, 4), D(5, 7)，中心E 在第一象限内，且与y 轴的距离为一个单位，动点P(x, y)沿矩形一边BC 运动，则y x
的取值范围为_________________________。