函数的图象变换及其应用
三角函数的图象变换与性质
三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。
接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。
三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。
平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。
伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。
翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。
通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。
正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。
正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。
余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。
余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。
正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。
正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。
正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们的图象可以通过适当的变换得到。
例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。
第7讲函数的图象
第7讲函数的图象一、基础梳理1．作图：描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)；④画出函数的图象．2．图象变换法(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(3)翻折变换①作为y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象．②作为y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝f(|x|)的图象．(4)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)缩(a＜1时)到原来的a倍．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)缩(a＞1时)到原来的1 a.3．识图：对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．4．用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．一条规律对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减．但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三种方法画函数图象的方法有：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响；(3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．题型精讲题型一作函数的图象【例1】分别画出下列函数的图象．(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1 x＋1；(3)y＝10|lg x|.针对训练分别画出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－4|x |＋3； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|.题型二 函数图象的识辨【例2】(1)下列函数图象中不正确的是( )．(2)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是(3)设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52针对训练(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )．(2)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为( )．题型三 函数图象的应用 【例3】(1)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． （2）函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．(3)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的所有根之和为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 针对训练(1)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1](2)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是(3)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是______．高考中函数图象的考查题型由解析式找图像【示例】函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )．二、图象平移问题【示例】若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．三、图象对称问题【示例】y ＝log 2|x |的图象大致是( )．课时作业7一、选择题1．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )．2．函数f (x )＝log a |x |＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )．3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )．4．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )． A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根二、填空题6．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．7．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________． 三、解答题9．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．10．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，求x ∈[－4,0]时的f (x )的表达式．。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
【公开课课件】函数y=Asin(ωx φ)的图象变换课件-高一下学期北师大版(2019)必修第二册
− 的图象向左平移 个单位
4
3
把所得曲线向右平移 个单位长度，得
3
长度，可得 = + − =
到函数 =
−
4
的图象，则
() = ( )
A.
2
−
7
12
C. 2 −
7
12
B.
2
+
12
D. 2
+
12
+
来的2倍，得到图象的解析式为
纵坐标不变，
= ，则 的值为
横坐标变为原来的2倍
__________.
1
函数 = 的图
2
象，所以 =
1
.
2
4
与x轴的两个相邻交点间的距
为 ,要得到函数() = 的图象，
1 2
3
离为 ⋅ = ，
2
3
只需将（）的图象( )
∴ = 3，∴ () =
A.向左平移 个单位长度
12
B.向右平移 个单位长度
4
C.向左平移 个单位长度
4
3π
D.向右平移 个单位长度
4
3 +
图象
y＝2sin x的图象向右
平移 个单位得到y＝
6
2sin −
6
Байду номын сангаас
的图象
y＝2sin − 的图象所
6
有点的横坐标缩短到原
1
来的 倍得到y＝
函数图象的变换在分式函数中的应用
函数图象的变换在分式函数中的应用在函数的学习过程中，我们经常会遇到形如(00)cx dy a ad bc ax b+=≠-≠+，的函数，下面我们从函数图象变换的角度出发，研究这类函数的性质：对cx d y ax b +=+分离常数，可得2bc ad bcd cx d c c a a y b ax b a ax b a x a--+==+=++++，由于2ad bc a -是常数，所以我们可以把函数cx d y ax b +=+的图象看做由反比例函数2ad bca y x-=的图象经过横、纵坐标的平移变换得到。
由于图象的平移变换不改变图象的形状，所以函数cx dy ax b+=+的图象与反比例函数2ad bca y x-=的图象一样，也是双曲线，只不过双曲线的对称中心由原来反比例函数的坐标原点平移到了（b ca a-，），渐近线方程由原来的x 轴、y 轴变成了现在的b x a =-与cy a=。
我们知道，反比例函数的单调性由反比例系数的正负决定，由于图象的平移变换不改变函数的单调性，只改变函数的单调区间，又因为20a >，反比例系数2ad bca-的正负完全由ad bc -的正负决定，所以当（1）0ad bc ->时，函数cx d y ax b +=+在（,ba-∞-）上为减函数，（,b a -+∞）上为减函数；（2）0ad bc -<时，函数cx d y ax b +=+在（,ba -∞-）上为增函数，（,ba-+∞）上为增函数。
由图象我们还可以看出，函数cx d y ax b +=+的定义域为()()b ba a-∞--+∞，，，值域为()()c c a a-∞+∞，，。
综上我们可以得出，形如(0,0)cx dy a ad bc ax b+=≠-≠+的函数：1.图象为双曲线：（1）双曲线的对称中心为（,b c a a -）；（2）渐近线方程为b x ac y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2.定义域与值域：定义域为()()bb a a -∞--+∞，，，值域为()()c c a a-∞+∞，，。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第7课时 函数的图象精品课件
答案： D
3．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所 有的点( )
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析： 由y＝2x得到y＝2x－3－1，只需向右平移3个单位，向下平 移1个单位． 答案： A
1．(2010·重庆卷)函数f(x)＝4x2＋x 1的图象(
)
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析： ∵f(x)＝4x2＋x 1＝2x＋2－x，∴f(－x)＝f(x)，是偶函数． 答案： D
2．(2009·北京卷)为了得到函数y＝lg
x＋3 10
的图象，只需把函数y＝
答案： A
【变式训练】 3.若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、 一解、无解？
解析： 原方程化为：a＝－x2＋5x－3，① 作出函数 y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图， 显然该图象与直线 y＝a 的交点的横坐标是方程①的解， 由图可知，当 3＜a＜143时，原方程有两解； 当 1＜a≤3 或 a＝143时，原方程有一解； 当 a＞143或 a≤1 时，原方程无解．
分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
lg x x≥1 解析： (1)y＝－lg x 0＜x＜1. 图象如图①. (2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图②.
x2－2x－1 x≥0 (3)y＝x2＋2x－1 x＜0 .图象如图③.
有两个不同实根，则a的取值范围为( )
函数图像的变换法则
（ 0,1 ）和（ 0,1 ） （ 2,0 ）和（ 2， 2 ）
三﹑对称变换
y
(-x,y) .
(-x,-y) .
(y,x) . .(x,y)
x
.(x,-y)
函数图象对称变换的规律:
1. y f ( x) y f ( x)
关于x轴对称
2. y f ( x) y f ( x)
函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
(2)方程 f(x)－a＝x 的根的个数等价于 y＝f(x)与 y＝x－a 的交点的个数，所以可以借助图像进行分析．
规范解答 解
2 x－2 －1， x∈－∞，1]∪[3，＋∞ f(x)＝ 2 －x－2 ＋1， x∈1，3
作出图像如图所示．
[2 分]
(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)， 递减区间为(－∞，1]，[2,3]． [4 分] (2)原方程变形为 |x2－4x＋3|＝x＋a， 于是，设 y＝x＋a，在同一坐标系下再作出 y＝x＋a 的图 像．如图． 则当直线 y＝x＋a 过点(1,0)时，a＝－1； [6 分]
a a
1 x
a
a ax a a a
x
ax a ax
1 y 1
a a a
x
a
x
x
a a
f (1 x)
所以，函数y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称
（2）由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3。
对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足 f(x)= f(2a-x)或f(a+x)= f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是 指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.
函数图像及其变换
1． f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 ( )
【解析】 【答案】 B
2. （湖北卷）函数 y e |ln x| | x 1 |的图象大致是
D
（ D
）
（D ）
3．为了得到函数 y＝2 －1 的图象，只需 把函数 y＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法； 二是图象变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式， 列出函数中x,y的一些对应值表，在坐标系内描出 点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .作图时， 要与研究函数的性质结合起来
图象变换法：常用变换方法有4种，即平移变换、 翻折变换、伸缩变换和对称变换
y f (2a x)
a 对称的解析式为
④函数 y f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称的解析式为
y f (2a x)
1 ⑤函数 y f ( x) 和 y f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称 .
【例1】 作出下列函数的大致图象
(1) y ( x 1) 1 (2) y log 2 ( x ) 1 (3) y 2
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法； 二是图象变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式， 列出函数中x,y的一些对应值表，在坐标系内描出 点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .作图时， 要与研究函数的性质结合起来
中考复习函数专题30 函数图象的平移与变换(老师版)
专题30 函数图象的平移与变换知识对接考点一、函数图象的变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种：①沿水平方向左右平行移动②沿竖直方向上下平行移动1．利用描点法作函数的图象的基本步骤：①确定函数的定义域②简化函数的解析式③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、最值等)④画出函数的图象2．图象的平移变换①)0)((>-=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到；)0)((>+=a a x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到②)0()(>±=h h x f y 的图象可由)(x f y =的图象沿y 轴向上或向下平移h 个单位得到注意：（1）可以将平移变换化简成口诀：左加右减，上加下减（2）谁向谁变换是)(x f y =→)(a x f y -=还是)(a x f y -=→)(x f y =二、对称变换图象的对称性是函数在对称区间上值域具有不同特点的直观反应，函数图象的对称性反应在两个方面，一是两个函数图象间的对称情况，二是一个函数图象本身的对称情况。
两个函数图象间的对称情况有两种形式：一是两图关于某条直线对称，二是两图象关于某点呈中心对称。
①)(x f y =与)(x y -=)的图象关于y 轴对称②)(x f y =与)(x y -=的图象关于x 轴对称③)(x f y =与)(x y -=的图象关于原点对称 ④)(x f y =的图象是保留)(x f y =的图象中位于上半平面内的部分，及与x 轴的交点，将)(x f y =的)图象中位于下半平面内的部分以x 轴为对称翻折到上半面中去而得到。
⑤()x f y =图象是保留中位于右半面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分，而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到。
函数图像的变换技巧例题和知识点总结
函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。
下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。
一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。
例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。
例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。
解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。
当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。
例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。
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数学·必修1
函数的图象变换及其应用
【知识概述】
1.函数图象变换
（1）平移变换 函数()fx与()fxab的图象间的关系
自变量加减函数图象左右移，函数加减图象上下移
（2）对称变换 奇函数、偶函数
2.函数图象的应用
（1）利用图象处理方程问题
（2）利用图象处理不等式问题
【学前诊断】
1. [难度]易
函数2logyx的图象大致是（ ）
A B C D
2. [难度]中
为了得到函数3lg10xy的图象，只需把函数lgyx的图象上所有的点（ ）．
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2
数学·必修1
3. [难度]中
画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|31|xk 无解？
有一解？有两解？
【经典例题】
例1. 已知函数()yfx是偶函数，()ygx是奇函数，它们的定义域均为π,π，
且它们在0,πx上的图象如图所示，则不等式()0()fxgx的解集是______.
解：∵ )(xfy是偶函数，)(xgy是奇函数，则由它们的奇偶性，补画出
0,
上图象．
0)()(
xg
xf
)(xf0)(xg
，
通过观察图象知，
解集为 ),3()0,3( ．
例2． 已知函数12213()2,2()3fxxtaaxR设,则(1)(2.5)()ffft，，的大
小关系是_______________.
解：画出12()2fxx的图象．由图象可
知函数f（x）<0，f（x）的图象关于直线x=2对
称，且在区间,2单调递增，在2,单调
递减.
因为221310102(1)333taaa，
x
y
-1
3
3
o
y
x
3
数学·必修1
故1022122.523t，
所以2.5(1)()ffft．
例3． 确定函数()2fxxxx的单调区间.
解：222, 0,()||2||2, 0.xxxfxxxxxxx
画出函数()fx的图象．由图象可知，函数()fx的增区间是（-∞，0]，[1，+∞），减
区间是[0，1]．
例4. 汽车经过启动、加速行驶、均匀行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的
行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
解：由题意知，汽车的行驶路程s随时间t的变化而变化的趋势是：在启动——加速行
驶这一阶段路程s随时间t的增大而增大，变化的趋势是由慢逐渐加快；在匀速行驶阶段，
路程s也随时间t的增大而增大，变化的趋势是匀速的，其图形是直线型；在减速行驶——
停车这一阶段，尽管路程s仍然随时间t的增大而增大，但变化的趋势是由快逐渐减慢，直
到停车．因此选A．
例5 min,,,,abcabc用表示三个数中的最小值，
设()min2,2,10(0)xfxxxx，则()fx的最大值为（ ）.
4
数学·必修1
A．4 B．5 C．6 D．7
解：画出2xy，2yx，10yx的图象，如右图，
观察图象可知，当02x时，()2xfx，当24x时，
()2fxx，当4x时，()10fxx
．
由图可以看出max()(4)6fxf，故选C．
例6. 已知函数32()fxaxbxcxd的图象如图所示，则（ ）.
A．,0b B．0,1b
C．1,2b D．2,b
解法1：由于()fx有0，1，2三个根，故易得(0)0df，
并且()(0)(1)(2)fxaxxx，
展开得32()32fxaxaxax．
与原式对照，得3ba．
取0x，不妨使02x，
则0000()(0)(1)(2)0fxaxxx．
由于此时000x，010x，020x，故必有0a，因此0b，选A．
解法2：注意到(1)0fabcd，
(1)0fabcd
，
两式相加，得220bd．
由于(0)0df，故0b．
y3=10-x
y2=x+2
y1=2
x
4
2
o
y
x
5
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例7. 函数()yfx的图象为C，而C关于直线1x对称的图象为1C,将1C向左平移1
个单位后得到的图象为2C,则2C对应的函数为（ ）.
A．()yfx B．(1)yfx
C．(2)yfx D．(3)yfx
解：)2(:1xfyC,)1()]1(2([:2xfxfyC，选B．
【本课总结】
1. 函数图象平移变换
（1） yfx的图象向左平移a（a>0）个单位得到函数yfxa的图象；
（2） yfx的图象向右平移a（a>0）个单位得到函数yfxa的图象；
（3） yfx的图象向上平移a（a>0）个单位得到函数yfxa的图象；
（4） yfx的图象向下平移a（a>0）个单位得到函数yfxa的图象.
口诀：左加右减，上加下减.
2. 函数图象对称变换
（1） yfx与yfx的图象关于y轴对称；
（2） yfx与yfx的图象关于x轴对称；
（3） yfx与yfx的图象关于原点对称.
【活学活用】
1. [难度]易
客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后
以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，
最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）．
6
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2. [难度]中
直线1y与曲线axxy||2有四个交点，则a的取值范围是________.
3. [难度]难
如图() (1,2,3,4)ifxi是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任
意的1x和2x，任意[0, 1]，1212[(1)]()(1)()fxxfxfx恒成立”
的是 （ ）．
A．)(),(31xfxf B．)(2xf C．)(),(32xfxf D．)(4xf