3.2.1等式的性质
3.2 一元一次方程及其解法(第1课时一元一次方程)(课件)六年级数学上册(沪教版2024)
可以发现，平衡的天平两边物体的质量分别
变为了原来的一半，天平也保持平衡.
新知探究
等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.
如果 = ，那么 = ; 如果 = , 那么 = ≠ 0 .
求方程的解的过程叫作解方程
只含有一个未知数，且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程
一元一次方程的形式为 + = 0 ≠ 0 .
课本例题
例1 判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请说明理由：
1 4 − 36 = 0;
2 − 2 = 56;
3 4 2 − 9 = 2 − 7;
等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.
如果 = ，那么 = ; 如果 = , 那么 = ≠ 0 .
求方程的解的过程叫作解方程
只含有一个未知数，且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程
一元一次方程的形式为 + = 0 ≠ 0 .
9 − − 9 = 5 − 9.
合并同类项，得 − = −4.
根据等式性质2，在等式两边同除以 − 1, 得
− ÷ −1 = −4 ÷ −1
解得
= 4.
所以，原方程的解是 = 4.
分层练习-基础
1．下列方程的变形正确的是( A )
A．3x－6＝0，变形为 3x＝6
B．x＋5＝3－3x，变形为 4x＝2
(1)8＋x＝－7；
解：两边减8得x＝－15；
1
(2)－ x＝16；
2
解：两边乘以－2得x＝－32；
等式的性质1精品公开课教案(大赛一等奖作品)
第三章一元一次方程3.1 从算式到方程等式的性质1.利用等式的基天性质平等式进行变形.2.会用等式的性质解简单的一元一次方程；一、情境导入同学们，你们玩过跷跷板吗?它有什么特色 ?翘翘板的两边增添的量之间究竟知足什么关系时，翘翘板才能保持均衡?二、合作研究研究点一：应用等式的性质平等式进行变形.例 1：用适合的数或整式填空，使所得结果还是等式．（1）假如 2x+7=10 ，那么 2x=10-_______ ；（2）假如 -3x=8 ，那么 x=________ ；（3）假如 x- 2＝ y-2，那么 x=_____ ；3 3（4）假如a＝ 2，那么 a=_______．4分析：（ 1）依据等式的基天性质（1），在等式两边同时减去7 可得 2x=10-7 ；（ 2）依据等式的基天性质（2），在等式两边同时除以-38；可得 x=3（ 3）依据等式的基天性质（1），在等式两边同时加上2可得 x=y ；3（ 4）依据等式的基天性质（2），在等式两边同时乘以4可得 a=8．故答案为： 7， -8 3 ， y， 8．方法总结：运用等式的性质，能够将等式进行变形，变形时等式两边一定同时进行完整同样的四则运算，不然就会损坏本来的相等关系。
例 2：已知 mx=my ，以下结论错误的选项是（）A ． x=yB ．a+mx=a+myC ． mx-y=my-yD ． amx=amy分析： A 、等式的两边都除以m ，依据等式性质 2，m ≠0，而 A 选项没有说明，故A 错误；B 、切合等式的性质 1，正确．C 、切合等式的性质1，正确． D 、切合等式的性质1，正确．应选 A ．方法总结： 此题主要考察等式的基天性质．在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立， 这里的数或字母没有条件限制， 可是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时，这里的数或字母一定不为0．研究点二：利用等式的性质解方程 例 3：用等式的性质解以下方程：（ 1） 4x+7=3 ；（ 2） 1 x- 1x=4．23分析：（ 1）在等式的两边都加或都减7，再在等式的两边都除以4，可得答案；（ 2）在等式的两边都乘以 6，在归并同类项，可得答案．解：（ 1）方程两边都减 7，得 4x=-4 ．方程两边都除以4，得 x=-1 ．（ 2）方程两边都乘以 6，得 3x-2x=24 ， x=24 ．方法总结 ：解方程时，一般先将方程变形为 ax=b 的形式，而后再变形为 x=c 的形式。
18-19 数学新同步课堂必修1第3章 3.2 3.2.1 第2课时 对数的运算
第2课时对数的运算学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易错点、重点)[自主预习·探新知]1．对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；log a(N1·N2·…·N k)＝log a N1＋log a N2＋…＋log a N k(N i＞0，i＝1,2，…，k)；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M__(n∈R)．2．换底公式与自然对数(1)对数换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特别地：log a b·log b a＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．(2)自然对数以e为底的对数叫自然对数，log e N通常记作ln_N.思考：如何准确的应用换底公式？[提示](1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n m log a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n∈R .[基础自测]1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a xy ＝log a x ·log a y .( ) (3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )[解析] (1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ； (3)×.公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．计算log 916·log 881的值为( ) A ．18 B ．118C ．83D ．38C [原式＝log 3224·log 2334＝42log 32·43log 23＝83.] 3．若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75等于( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．baD ．abD [log 75＝lg 5lg 7＝ab .]4．lg 20＋lg 50的值为__________.【导学号：60462221】3 [lg 20＋lg 50＝lg 1 000＝3.][合 作 探 究·攻 重 难](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log34273＋lg 25＋lg 4＋7log72；(4)2log32－log3329＋log38－52log53.[思路探究]当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．[解](1)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32(lg 2＋lg 3)＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12.(3)原式＝＝－14＋2＋2＝154.(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．[跟踪训练]1．计算下列各式的值：【导学号：60462222】(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.[解](1)原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 2＋lg(72×5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.33 (2)设a＝lg 2，b＝lg 3，试用a，b表示lg108. [思路探究]对数运算⇒对数运算法则的应用．[解](1)log312＝log3(3×4)＝1＋2log32＝a，所以log32＝a－12，log324＝log3(8×3)＝1＋3log32＝1＋3×a－12＝3a－12.(2)因为108＝4×27＝22×33，所以lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b .[规律方法] 对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，“lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.母题探究：1.(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a ，b 表示lg 95？[解] lg 95＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2) ＝2b ＋a －1.2．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a ，lg 15＝b ”，结果如何？ [解] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋lg 5＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋1－lg 2＝b ，解得⎩⎨⎧lg 2＝a －b ＋12，lg 3＝a ＋b －12，所以lg 108＝12lg 108 ＝12lg(22×33)＝12(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋32lg 3 ＝a －b ＋12＋32×a ＋b －12＝2a －2b ＋2＋3a ＋3b －34＝5a ＋b －14.[探究问题]1．假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？提示：进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23.2．由探究1，你能猜测log c blog ca 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？提示：log c b log ca ＝log ab .假设logc blog ca ＝x ，则log cb ＝x logc a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝ax，则x ＝log a b ，所以log c blog ca ＝log ab .(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值．[思路探究] (1)中两对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，为便于发现关系，可将真数都化为质数进行计算．(2)中各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．[解] (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4(3－a )3＋a.(2)法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法三：原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.[规律方法] 1.在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ，log am b n ＝n m log a b ，log a a n ＝n ，lg 2＋lg 5＝1等，将会达到事半功倍的效果．[跟踪训练]3．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，求log 3645的值．(用a ，b 表示)【导学号：60462223】[解] log 3645＝lg 45lg 36＝lg 5＋lg 9lg 4＋lg 9＝1－lg 2＋2lg 32lg 2＋2lg 3＝1－a ＋2b2a ＋2b.[当 堂 达 标·固 双 基]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a cB [利用对数的换底公式进行验证， log a b ·log c a ＝log c blog ca ·log c a ＝log cb ，则B 正确．]2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4D ．lg 5A [法一：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝(lg 25－lg 16)－2(lg 5－lg 9)＋(lg 32－lg 81)＝2lg 5－4lg 2－2lg 5＋4lg 3＋5lg 2－4lg 3＝lg 2.法二：lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.] 3．下列结论正确的是( ) A ．log a (x －y )＝log a x －log a y B ．log a xlog ay ＝log a x －log a yC ．log a xy ＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a xlog ayC [由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确．] 4．求值：log 225·log 3116·log 519＝________. 16 [原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16.]5．计算下列各式的值： 【导学号：60462224】 (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎪⎫322. [解] (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2lg 5＋lg 2－3lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1.(2)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎪⎫3222＝log 78×989＝log 71＝0.。
等式的性质
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探索新知
2a＝6b
2a÷2＝6b÷2
等式的两边同时除以同一个数（0除外）， 左右两边仍然相等。
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探索新知
等式的性质1 等式两边同时加上(或
减去)同一个数,等式两边仍然相等。 等式的性质2 等式两边同时乘同一个 数(或除以同一个不为0的数),等式两 边仍然相等。
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学以致用
a÷（ 10 ）＝b÷10
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学以致用
要保持天平平衡，右边应该添加什么 物品？
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学以致用
判断：
1.如果a=b，那么a+5=b+5。(√ ) 2.如果6+a=b-6，那么a=b。(× ) 3.如果a=b，那么a×5=b×5。( √ )
4.如果a=b，那么a÷3=3÷b。( × )
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学以致用
观察下面的天平,列出式子。
x+20=50+20
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三、如果x＝y，根据等式性质填一填。 1.x＋6.5＝y＋( 6.5) x－a＝y－( a) x×1.2＝y×(1.2) x÷20＝y÷( 20 ) x + 3.2＝y＋( 3.2 ) 8x＝y (8 ) x ( 4.8 )＝y÷4.8
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课堂小结
你学会了哪 些知识？
同时加或减必须是同 一个数；同时乘或除 以也是同一个数，但 是除以的数不能是0。
1. 等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍 然相等。 2.等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的 数,左右两边仍然相等。
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第5单元
简易方程
5
等式的性质
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判断下列各式 ，在等式的后面打√
课件3：3.2.1 倍角公式
所以 T＝22π＝π，ymin＝－2. 由 2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋32π，k∈Z， 得 kπ＋π3≤x≤kπ＋56π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，所以令 k＝0， 得函数的单调递减区间为3π，56π.
课堂检测
1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( )
2 A. 2
2 B. 4
(2)sin α(或 cos α) 二―倍――角―公→式cos 2α＝1－2sin2 α(或 2cos2 α－1).
(3)sin
α(或
cos
α)同―角―三―角―函―数―的―关→系cos tan
α 或sin α ， α二―倍――角―公→式tan
2α.
跟踪训练 2.(1)已知 α∈2π，π，sin α＝ 55，则 sin 2α＝______，cos 2α ＝________，tan 2α＝________. (2)已知 sin4π＋αsinπ4－α＝16，且 α∈2π，π，求 tan 4α 的值.
1.求下列各式的值：
(1)sin
π 12cos
1π2；
(2)1－2tatnan125105°0°；
(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
ππ
π
2sin 解：(1)原式＝
12cos 2
12＝sin2 6＝14.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)
C.－
2 2
1 D.2
【解析】
原式＝12sin
45°＝
2 4.
【答案】 B
2.已知 sin x＝14，则 cos 2x 的值为( )
7
1
A.8
B.8
1 C.2 【解析】
苏教版必修一：第三章 指数函数、对数函数和幂函数3.2.1 第1课时
3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？★★答案★★不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？★★答案★★设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)21)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为21)log -)13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)43log 81；(3)345log 625.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝345log 625，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． ★★答案★★ b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. ★★答案★★ a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. ★★答案★★ 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． ★★答案★★ 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. ★★答案★★ －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．3log＝________.★★答案★★ 8 解析 设3log＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．★★答案★★ 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．★★答案★★ 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.★★答案★★2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． ★★答案★★ x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. ★★答案★★107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.★★答案★★ 13 解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a . ②由6a ＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.★★答案★★－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
3.2均值不等式(1)教学设计中档程度
3.2.1均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）课型新授课课时第1课时学情分析学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.教学目标1、知识与技能：（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。
2、过程与方法：（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界.教学重点均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件.教学难点均值不等式成立的条件.教学策略选择与设计本节课采用探究、归纳、启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以均值不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索.以现代信息技术作为教学辅助手段，加深学生对均值不等式的理解.教学资源与手段导纲、教科书，ppt.教学过程设计一 、复习不等式的性质：1.(对称性）a>b ⇔b<a2.（传递性）a>b,b>c ⇒a>c3.（可加性）a>b ⇒a+c>b+c4.(移项法则)a+b>c ⇒a>c-b5.（加法法则）a>b,c>d ⇒a+c>b+d6.（减法法则）a>b,c>d ⇒a-c>b-d7、（可积性）若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.8.（乘法法则）若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd9.（乘方法则）若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)10.（开方法则）若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)设计意图：巩固前面所学，为本节课所学打下基础.二、概念引入1.证明：如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab证明：作差法： 222)(2b a ab b a -=-+ 0≥∴a 2+b 2≥2ab思考：何时等号成立？当且仅当""b a =时，取“=”（式中等号成立）设计意图:不仅为了复习证明不等式的基本方法：作差法.还为下面证明均值不等式以及与其关系做下铺垫.2. 证明均值不等式：若,0a b >，则ab b a ≥+2.（当且仅当b a =时，等号成立） 证明:方法一：作差法：ab b a -+2 22ab b a -+=ab a+b 2b a O D C B A 2)(2b a -= 0≥∴ab b a ≥+2当且仅当b a =时，等号成立 设计意图:按照教材，通过作差法进行证明，简单明了，直接切入主题. 深化认识： 特征：和的形式≥积的形式项数：左边两项，右边一项,项数比2：1.次数：左边一次，右边一次，次数比1：1.本质：代数意义： 称数2b a +为b a ,的算术平均值；称数ab 为b a ,的几何平均值； 语言叙述：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.功能：和化积或积化和.变式1： 若,0a b >，则ab b a 2≥+.（当且仅当b a =时，等号成立） 思考： 1.如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？2.均值不等式与不等式a 2+b 2≥2ab 的关系如何？师生双边活动：均值不等式是不等式a 2+b 2≥2ab 的一种特例，不等式a 2+b 2≥2ab 是均值不等式的推广.变式2：若,0a b >，则2)2(b a ab +≤.（当且仅当b a =时，等号成立） 设计意图:让学生加深对均值不等式的认识.方法二：几何法（用多媒体展示几何图形，给出均值不等式的几何解释） 作线段AB=a+b,使AD=a,BD=b ， 以AB 为直径作半圆O ，过D 点作CD ⊥AB 于D,交半圆于C 连接AC ，BC ， CO . 问1：图中CO ，CD 的长度分别是多少？ B b CD A a CD tan ,tan ==B A ab CD tan tan 2=∴CBAC AC CB ab CD =∴2 ab CD =∴2，即CD=ab问2：CO 与CD 的大小关系如何？问3：等号何时成立？几何意义：半径大于或等于半弦. 设计意图: 通过提问的方式，展示均值不等式的几何直观解释，培养学生数形结合的意识，并使抽象的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解.三、应用举例例1：证明：已知ab >0，求证：2b a a b+≥ ，并推导出式中等号成立的条件. 分析：ab >0，a,b 同号，0,0>>ba ab ，1=b a a b (常数). 证明： ab >0，a,b 同号0,0>>∴ba ab 由均值不等式得，ba ab b a a b 2≥+∴(和化积） 2= 当且仅当ba ab =时，取“=”，即""b a = 设计意图：体会均值不等式的应用：对不等式进行简单的证明。
初中数学大纲
七年级上册第一章有理数 1.1具有相反意义的量（正数和负数） 1.2 有理数(数轴|相反数|绝对值) 1.3 有理数大小的比较 1.4 有理数的加减法1.5有理数的乘除法1.6有理数的乘方(科学计数法) 1.7 有理数的混合运算第二章代数式 2.1用字母表示数 2.2 列代数式 2.3 代数式的值 2.4 整式 2.5 整式的加减法第三章一元一次方程★3.1建立一元一次方程模型3.2 等式的性质3.3一元一次方程的解法3.4一元一次方程模型的应用第四章图形认识 4.1几何图形4.2直线、射线、线段4.3角七年级下册第一章二元一次方程组★ 1.1 建立二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法(代入消元法与加减消元法) 1.3二元一次方程组的应用(1.4 三元一次方程组)第二章整式的乘法 2.1 同底数幂的乘法 2.2 ,幂的乘方与积的乘法. 2.3单项式与多项式的乘法 2.4平法差公式 2.5完全平方公式第三章因式分解★3.1多项式的因式分解 3.2 提公因式法 3.3平方差公式 3.4 完全平方公式第四章相交线与平行线★ 4.1 相交与平行 4.2 平移 4.3 平行线的性质 4.4平行线的判定 4.5点到直线的距离 4.6两条平行线间的距离第五章轴对称与旋转 5.1 轴对称图形 5.2 轴对称变换 5.3 旋转第六章数据的分析 6.1 加权平均数 6.2 平均数 6.3 中位数八年级上册第一章分式1.1 分式 1.2 分式的乘除法 1.3正式指数幂1,4分式的加减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程★第二章三角形★ 2.1三角形 2.2 命题和证明 2.3 等腰三角形★ 2.4 线段的垂直平分线 2.5 全等三角形★ 2.6 用尺规作三角形第三章实数 3.1平方根 3.2立方根 3.3 实数第四章一元一次不等式（组） 4.1 不等式 4.2不等式的基本性质 4.3一元一次不等式的解法 4.4一元一次不等式的应用 4.5一元一次不等式组。
等式的性质
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• 课本P89 练习1、2
2、在下面的括号内填上适当的数或者代数式 （1）如果 a-3=2b-5，那么 a-3+3=2b-5+3，即 a= 。 （2）如果 a+2=b+7，那么 a+2-2=b+7-2，即 a= 。 1 1 （3）如果12 a= 12 b，那么12 a× = 12 b× ，即 4 4 3a= 。 • （4）如果 3a=9b，那么3a÷3= 9a÷3，即 a= 。 • • • •
小结：大家这节课学到了什么？
• 家庭作业： • 课本P89 习题编南郭先生续集，闯关活命，领教第二关，找出2 组等式中的奥秘。 • 第一组5+4=9 • （1）5+4+3=9+3 （2）5+4-3=9-3 • （3）5+4+2x=9+2x （4）5+4-3x=9-3x • 第二组5+4=9 • （1）(5+4)×2=9×2 （2）(5+4)÷3=9÷3 • （3）(5+4)×2x=9×2x （4）(5+4)÷3x=9÷3x（x≠0）
随堂练习
• • • • • • 1.根据等式性质判断对错，并说明理由。 （1）如果x=y，那么 x+1=y+3. ( （2）如果x=y，那么 x+5-a =y+5-a. ( （3）如果x=y≠0，那么 2x=3y. ( （4）如果x=y，那么x/2 =y/2 ( （5）如果x=y，那么x/a =y/a (
等式的性质
制作人：刘洁
教学目标
• 1、学生能抓住关键词来理解等式的2条性质，找到等式仍 然成立的条件，会运用等式的性质对等式进行变形。 • 2、学生在学习和探索的过程中，进一步培养独立思考、 主动与他人合作交流的习惯，获得一些成功的体验，进一 步树立学好数学的信心。
3.2等式的基本性质课时2七年级上册数学湘教版
3 2
，得
32x=3+1, 32x=4,
x=83 .
课堂小结
把方程中的某一项改变符号后， 从等式的一边移到另一边，方程的 这种变形叫作移项.
移项要变号
第3章 一次方程（组）
3.2 等式的基本性质 课时2
七上数学 XJ
学习目标
1.经历探索方程的移项过程，并明白其算理，会通 过移项对方程进行变形. 2.能运用移项把方程化为x=a的形式.
课堂导入
用合并同类项进行化简:
1. 20x – 12x = ____8_x___ 2. x + 7x – 5x = ___3_x____ 3. 1 y 2 y 2 y = ___-_y____
合并同类项，得
4x=-8,
两边都除以4，得
x=-2.
随堂练习
【课本P104 练习】
利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：
(1) 5x-7=8；
(2) -6x+9=-10x+1 ；
(3) 198x+201=200x+208 ； (4) 32x-1=3.
(3)移项，得 198x-200x=208-201，
解:(1)移项，得 合并同类项，得 两边都除以5，得
5x=8+7, 5x=15,
x=3.
随堂练习
【课本P104 练习】
利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：
(1) 5x-7=8；
(2) -6x+9=-10x+1 ；
(3) 198x+201=200x+208 ； (4) 32x-1=3.
(2)移项，得 -6x+10x=1-9 ,
33
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◣巩固◢ 习 题 3.1
P85页第4题
作业
等 式 的 性 质
试一试 能否用估算法求出下列方程的解
方程(1)(2)的解可以观察得 方程是含有未知数的等式， 到,但是仅靠观察来解比较 为了讨论解方程，我们先来 (3) 46x=230 复杂的方程(3)(4)就比较困 看看等式有什么性质． 难.因此,我们还要讨论怎样 请问，什么是等式？ (4) 2500+900x = 15000 解方程．
x y 能不能得到 x 5 y 5
y 能不能得到
x y 9 9
呢？ 为什么？
（2）从 x （3）从
呢？为什么？
a 2 b 2能不能得到 a b 呢？为什么？
a+2 -2 =b+2 -2 即：a=bb 能不能得到 a 3a 3b
a
=
b
你能发现什么规律？
b c
a c
左
a a+c
= =
b b+c
右
你能发现什么规律？
b
左
c
c
a
右
a
=
b
你能发现什么规律？
b
左
c
a a
=
b
右
你能发现什么规律？
b
左
c
a a
=
b
右
你能发现什么规律？
b
左
a a
=
b
右
你能发现什么规律？
b
等式的性质１：等式的 性质１用式子可表示为： 两边加（或减）同一个 左 如果a=b ， 那么 数（或式子），结果仍 相等．
b
a
性质２用式子可表示为：
等式的性质２：等式的 如果a=b， 那么 ac=bc (c 0) 左 两边乘同一个数，或除 右 = 以同一个不为０的数， a b 如果a a=bb ，那么 结果仍相等． a b
a
3
b
2
3 2
a b c c (c 0) c c
比一比赛一赛
1、（口答）
（1）从
3 3
b 呢？为什么？
例1
利用等式性质解下列方程
（1）x （2）
7 26
4 x6
解： 两边同时加上6，得
4 6 x66 于是 2 x 即: x 2
随
练习
（）x 5 6 1
（）x 4 9 2
（ ）y 7 1 3
例2
利用等式性质解下列方程
a
右
a=b a±c=b±c a-c = b-c
你能发现什么规律？
b
a
左
右
a
=
b
你能发现什么规律？
b b
a a
左
a=b 2a = 2b
右
你能发现什么规律？
b b b
a a a
左
a=b 3a = 3b
右
你能发现什么规律？
C个
b bbbbb b
aaaa a aa
C个
左
a=b ac = bc
右
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
b
a
左
右
你能发现什么规律？
b a
左
右
你能发现什么规律？
b
a
左
右
a
=
b
你能发现什么规律？
b c
a
左
右
a
=
b
你能发现什么规律？
b c
a
左
右
a
=
b
你能发现什么规律？
a
b c
左
右
a
=
b
你能发现什么规律？
b c
a c
左
右
(1)
(2)
5 x 20
y 1 3
解： 两边同时乘3，得
y 3 1 3 3
化简，得
y 3
随
练习
（） y 2 13
（） 0.3 x 12 2
2 （） 3 y 12 7
课堂小结
• 本节课你学到了什么？
（1）等式的性质。 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数 （或式子），结果仍相等。 等式性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同 一个不为0的数，所的结果仍相等。 （2）等式性质的应用。
(1) 4x=24
(2) x +1= 3
2
什么是等式
(1)下面就让我们一起来讨 x2 4
论等式的性质吧！ n m (3)m n (2)1 2 3
像这样用等号“=”表示相等关系 的式子叫等式． 在等式中，等号左（右）边的式子叫 做这个等式的左（右）边．
3
你能发现什么规律？