初中数学中求极值的几种常见的方法

初中数学中求最值的几种常见方法

仪陇县实验学校 李洪泉

在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。

一 、根据绝对值的几何意义求最值

实数的绝对值具有非负性，0a ≥，即a 的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。

例1：已知13M x x =-++，则M 的最小值是 。

【思路点拨】用分类讨论法求出13x x -++的最小值是4,此时31x -≤≤。如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点1和点3-的距离之和为最短。显然,若3x <-,距离之和为[1(3)]2(3)4x --+-->;若31x -≤≤,距离之和为1(3)4--=;若1x >,距离之和为[1(3)]2(1)4x --+->。所以, 当31x -≤≤时,距离之和最短,最小值为4。故M 的最小值为4。

二、利用配方法求最值

完全平方式具有非负性，即2()0a b +≥。一个代数式若能配方成2()m a b k ++的形式，则这个代数式的最小值就为k 。

例2：设,a b 为实数，求2

2

2a ab b a b ++--的最小值。

【思路点拨】一是将原式直接配方成与,a b 的完全平方式有关的式子可以求出最小值。二是引入参数设2

2

2a ab b a b t ++--=，将等式整理成关于a 的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。

解：(方法一) 配方得：

当10,10,2

b a b -+

=-=即0,1a b ==时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值

22222222

2(1)21331

()2424

13()(1)11

24

a a

b b a b

a b a b b

b a b b b a b ++--=+-+--=++--

-=++--≥-

为1-。

（方法二）令222a ab b a b t ++--=，整理得22(1)(2)0a b a b b t +-+--=，由题可知此关于a 的二次方程有实数解，∴

当1b =时，上式中不等号的等式成立，故t 的最小值为1-，即原式的最小值为1-。 例3：若1212

3y z x +--==

，则222x y z ++的最小值为（ ）

A ．3 B.

5914

C.92

D. 6

【思路点拨】引入参数设1212

3

y z x k +--===，则2

2

2

x y

z

++就可用含k 的代数式

表示，再通过配方求最小值。

解：令1212

3

y z x k +--=

=

=，则1,21,32x k y k z k =+=-=+，

∴

当514

k =-时，上式中不等号的等式成立。故222x y z ++的最小值为

5914

。

三、利用对称图形求最值

根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值。若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值。

例4、如下图，已知边长为8cm 的正方形A B C D ，点E 在A B 上，且2A E cm =。在对角线B D 上求作一点P ，使AP EP +最短，并求出它的最小值。

【思路点拨】此题是要在B D 上找一点P ，使AP EP +的和最小。根据“两点之间线段最短”，只需把A P 和E P 转化到一条线段上，这就需要找到E 点关于B D 的对称点。正方形是轴对称图形，对角线B D 所在的直线是它的对称轴，而点E 的对称点E '在正方形的

22

2

22

(1)4(2)03641033142

4

3(1)1

4b b b t b b t t b b t b ?=----≥-+++≥≥-

-

≥

--2

2

2

2

22

2

(1)(21)(32)5595914()1414

14

x y z

k k k k ++=++-++=+

+

≥

边B C 上，连结AE '交B D 于点P ，连结P E ，所以PE PE '=，AE AP E P AP EP ''=+=+，则点P 就是所求作的点。要想求AP EP +的最小值，只要求AE '的长即可。与该图形类似的还有菱形、圆。

解：如上图，作出点E 关于B D 的对称点E '，在连接AE '交B D 于点P ，则点P 就是所求作的点。

由图可知10AP PE AE '+==

=,即AP EP +的最小值为10。

例5、如下图，在平面直角坐标系中，已知点(2,4)A ,点(6,3)B ，分别在x 轴、y 轴上求作点,C D ，使四边形A B C D 的周长最短？并求出周长的最小值。

【思路点拨】已知点,A B 为定点，所以A B 的长固定不变，这样只要求出

A D D C C

B ++的最小值即可。要想求出它的最小值，设法把这三条线段构造在一条线段

上，分别作出点,A B 的对称点,A B ''，连接A B '' ，与x 轴和y 轴分别交于点,C D ，则

A B A D D C C B A D D C C B ''''=++=++，于是点,C D 就是所求作的点。然后分别以

,A B A B ''为斜边构造R t A B E 和Rt A B F '' ，易知点E 坐标为（6，4）

，点F 坐标为

(2,3)--，4,1AE BE ==，所以AB =

=A B ''=，

则四边形A B C D 的周长的最小值是17＋113。

四、根据垂线段最短求最值

例6、（2011年南充中考）如图，等腰梯形A B C D 中，//,2,60,AD BC AD AB CD C ===∠=?M 是B C 的中点。（1）求证：M D C 是等边三角形；（2）将MDC 绕点M 旋转，当M D (即

M D ')与A B 交于一点E ,M C （即M C ')同时与AD 交于一点F 时，点,E F 和点A 构成AEF .试探究AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计

算出AEF 周长的最小值。

【思路点拨】易证B M E A M F ? .由此可推出2,AE AF AB +==同时可推出M E F 为等边三角形，

进而得到EF M F =,根据“垂线段最短”可得M F 的最小值为点M

到A D 的距离3,即E F 的最小值是3。由此可得到AEF 周长的最小值为2+

。

解：（1）略

(2)AEF 的周长存在最小值. 理由如下：

连接A M ,由（1）可得ABM D 是菱形，,,MAB MAD MC D '' 是等边三角形，

60BM A BM E AM E ∠=∠+∠=?,60EM F AM F AM E ∠=∠+∠=?

BM E AM F ∴∠=∠

在B M E 与AM F 中，,60BM AM EBM FAM =∠=∠=?

()BME AMF ASA ∴?

,,BE AF ME MF AE AF AE BE AB

∴==∴+=+=

60EM F D M C ∠=∠=? ,故E M F 是等边三角形， EF M F ∴=

∵M F 的最小值为点M 到A D 的距离3，即E F 的最小值是3。

A E F 的周长AE AF EF A

B EF =++=+ A E F ∴ 的周长的最小值为2+3.

五、利用一次函数与二次函数的性质求最值

一次函数y kx b =+的图像是一条直线。当自变量x 取一切实数时，函数y 不存在最值。但当自变量x 定义在某一区间内时，x 存在着最值，函数y 也就存在着最值。

二次函数2

y ax bx c =++的图像是一条抛物线。当自变量x 取一切实数时，抛物线顶点的纵坐标就是函数y 的最值。当自变量x 定义在某一区间的条件限制时，函数y 的最值有以下两种情况：(1)当抛物线的顶点在该区间内时，顶点的纵坐标就是函数y 的最值。（2）当抛物线的顶点不在该区间内时，函数y 的最值在区间内两端点处取得。

例7：某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为

单位）？

【思路点拨】根据题意，可分别令生产空调器x 台，彩电y 台，冰箱z 台，总产值

(M 千元）

，易得总产值(M 千元）与冰箱z 台成一次函数关系。60z ≥ ，M ∴存在最值。 解：分别令生产空调器x 台，彩电y 台，冰箱z 台，总产值为(M 千元），由题可得：

360

111120

2

3443260

x y z x y z M x y z

z ++=???++=???=++?≥??整理得：11080(60)2M z z =-+≥，因为10,2k =-

-?+=(千

元). 当60z =时,720330,2702

2

z z

x y -=

==

=.

故：每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最高，最高产值为1050千元。

例8：设12,x x 是方程22242320x mx m m -++-=的两个实根，当m 为何值时，

2

2

12x x +有最小值，并求这个最小值。

【思路点拨】由韦达定理可知22

12x x +是关于m 的二次函数，从判别式入手，根据m 的取值范围可分析出22

12x x +的最小值。

解：由题可知22(4)42(232)0m m m ?=--??+-≥，解得：23

m ≤

.

令22

12y x x =+，则

2

2

2

12124232

()2()22

2

m m m y x x x x -+-=+-=-

-?

2

232m m =-+

即2

2232()3

y m m m =-+≤

.由函数图像可知，当23

m =时，y 有最小值，最小值为

22282()32339

?-?+=.

故：当23

m =

时，22

12x x +有最小值，最小值为

89

.

例9：（2011年南充中考）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y (元/千度))与电价x (元/千度)的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天用电量m (千度)的函数关系为x =10m +500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少千度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

【思路点拨】根据图像易求出每千度电产生利润y （元/千度）与电价x （元/千度）的函数解析式为1300(0)5

y x x =-

+≥。令工厂每天消耗电产生利润为W 元，易得

2

1

1(300)(10500)3002200(060)55W m y m x m m m m m ??==-

+=-++=-+≤≤????

，根据二次函数的性质即可求出W 的最大值。

解：(1)略

（2）设工厂每天消耗电产生利润为W 元，由题意得：

2

1

1(300)(10500)3002200(060)55W m y m x m m m m m ??==-

+=-++=-+≤≤????

化简配方，得：22(50)5000(060)W m m =--+≤≤

∴当50m =时，=5000W 最大。即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润最大为5000元.

六、利用均值定理求最值

当,a b 均为正实数，且a b k +=（定值）时，a b +≥a b =时取等号 ，此定理称为均值定理。运用均值定理求最值要同时满足“一正、二定、三相等”三个条件。多数运用均值定理求最值的问题的条件具有隐蔽性，需要适当地变形才能用均值定理求解。

例10：已知正数,x y 满足

811x y

+=，求2x y +的最小值。

【思路点拨】把2x y +看作(2)1x y +?，1用已知条件整体代换，再用均值定理可以求解。

解：81162(2)1(2)(

)101018x y x y x y x y x y y x

+=+?=++=+

+≥+=，由题可知，当且仅当

16x y y

x

=

，且

811x

y

+

=时等号成立，又 0,0x y >>，解得

12,3x y ==，∴2x y +的最小值为18.

例11：已知5,4

x <

求函数14245

y x x =-+

-的最大值。

【思路点拨】由题可知450x -<，首先需调整符号；又1(42)45

x x -?

- 不是定值，

∴需对42x -进行凑项才能求出定值。

解：1142(54)3323145

54y x x x x

=-+

=--+

+≤-=-+=--

当且仅当1

5454x x

-=

-，即1x =时取“=”。故函数y 的最大值为1.

七、运用三角函数法求最值

例12：已知实数,a b 满足221a ab b ++=，求22y a ab b =-+-的最大值和最小值。

解：由22

1a ab b ++=配方得：

2

2

3()

()

14

4

a b a b +-+

=，

令

2

2

2

2

3()

()

sin ,

cos 4

4

a b a b θθ+-==，

则2

2

2

2

222

()

3()

18[

](sin 3cos )sin 34

4

33

a b a b y a ab b θθθ+-=-+-=-+

=-+=-

2

0sin 1θ≤≤，∴133

y -≤≤-，故y 的最大值为13

-，最小值为3-。