含参的二元一次方程组训练题

含参的二元一次方程组训练题

1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。

2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。

3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3-

a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为

2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2.

4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，-

a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为

x+y=2-k/3，所以k=6-2m。

5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。

6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b-

a)y=0，即x-y=0，所以a=b。代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.

7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。由于ad-bc≠0，所

以解唯一，所以k和m都是正整数。若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。

8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10-

a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为

2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10.

9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。已知另一个方程5x+8y=38，

将其也化为矩阵形式Cx=d，其中C为系数矩阵，d为常数向量。由于解相同，所以A和C的行列式相等且A和C的秩相等，即ad-bc=5a-8(2)=0且rank(A)=rank(C)=2.解得a=16/7，

m=2/7.

10.解：设方程组为ax+ay=k，-ax-ay=-k，由于x=y，所以

k=0.若x+y=k/a，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2a，所以

k=2a。

11.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于x+y=1，所

以a+c=k，b+d=m。又因为x+y=1/2(a+b+c+d)，所以

k+m=1/2(a+b+c+d)。解得k=(a+b)/2，即k=1/2.

12.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。由于a≠0，所以A可逆，解

得x=-b/a，y=-c/a，所以a^2+b^2+c^2/a^2.

13.解：将x+y=1代入方程组得到ax+(1-a)y=k，-ax+(1-

a)y=-k，两式相加得到(1-a)(x+y)=0，即a=0或a=2.若a=0，则

方程组为y=-k，x=k-1，解为(k-1.-k)。若a=2，则方程组为2x-

2y=k，解为x=y=k/2，所以k=1.

14.解：将x-2y=-1代入方程组得到ax+(2a-1)y=k，-ax+(1-

2a)y=-k，由于解唯一，所以a≠1/2.若x+y=k/a，则方程组为

2ax+(2a-2)y=k，解为x+y=k/(a+1)，所以a+1=2.

15.解：将2x+6y=9代入方程组得到ax+(3a-1)y=k，-

ax+(1-3a)y=-k，由于解唯一，所以a≠1/3.若x+y=k/a，则方程

组为2ax+(2a-1)y=k，解为x+y=k/(a+1/2)，所以a+1/2=3.

16.解：将x+y<1代入方程组得到ax+by

k/(ad-bc)<1<(m-k)/(ad-bc)，所以k<(a+d-b-c)/2

17.解：将m=1代入方程组得到ax+by=z，cx+dy=z，其中

z为任意实数，所以解有无穷多个。

18.解：将ax+5y=15代入方程组得到(b-a)x+(5d-c)y=15(b-

d)，所以ad-bc=5.若x=3，y=-1，则方程组为3a-5b=15，12-

5b=-2，解得a=-1，b=-3.所以-3d+c=5，4d+c=-2，解得d=-1，c=-2.代入方程组得到-2x-5y=-15，4x-y=10，解得x=5，y=-6，所以a=3，b=-1.

19.解：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为x=3，y=-1，所以3a+5b=15，-12+by=-2，解得a=1，b=3.乙看错了方程②中的b得到方程组的解为x=5，y=4，所以x=-2b+1，y=b-1，解得b=5/2，x=-4，y=3/2.