含参二元一次方程解法
含参二元一次方程解法
二元一次方程的解法是通过联立方程和解方程的方法来确定未知数的值。以下是一种常见的解法：
1. 首先，根据已知条件列出两个方程，形式为ax+by=c。其中，
a、b、c是已知的常数。
2. 对两个方程进行合理的运算，将其中一个方程的未知数表示为另一个方程的未知数的函数。
3. 将上一步得到的表达式代入另一个方程中，消去其中一个未知数，将方程化简为只含有一个未知数的方程。
4. 解这个仅含有一个未知数的方程，得到该未知数的值。
5. 将得到的未知数的值代入任意一个原始方程中，计算另一个未知数的值。
6. 最后，将得到的两个未知数的值表示为一个有序对，即为二元一次方程的解。
通过以上步骤，可以求解二元一次方程的解。需要注意的是，有时方程组可能无解或有无穷多个解。
含参的二元一次方程组训练题
含参的二元一次方程组训练题 1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。 2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。 3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3- a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为 2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2. 4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，- a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为 x+y=2-k/3，所以k=6-2m。 5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。 6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b- a)y=0，即x-y=0，所以a=b。代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.
7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。由于ad-bc≠0，所 以解唯一，所以k和m都是正整数。若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。 8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10- a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为 2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10. 9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。已知另一个方程5x+8y=38， 将其也化为矩阵形式Cx=d，其中C为系数矩阵，d为常数向量。由于解相同，所以A和C的行列式相等且A和C的秩相等，即ad-bc=5a-8(2)=0且rank(A)=rank(C)=2.解得a=16/7， m=2/7. 10.解：设方程组为ax+ay=k，-ax-ay=-k，由于x=y，所以 k=0.若x+y=k/a，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2a，所以 k=2a。 11.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于x+y=1，所 以a+c=k，b+d=m。又因为x+y=1/2(a+b+c+d)，所以 k+m=1/2(a+b+c+d)。解得k=(a+b)/2，即k=1/2.
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题 类型一：方程组的同解问题 【例1】已知关于x ，y 的方程组{ 4x −y =53x +y =9和{ax +by =−13x +4by =18有相同的解． (1)求出它们的相同的解； (2)求(2a ＋3b)2019的值． 【练习】 若关于x ，y 的方程组{ 3x +4y =2ax +b 2y =5与{a 3x +by =42x −y =5有相同的解，求a ，b 的值． 类型二：方程组的错解问题 【例2】在解方程组{ax +4y =213x −by =6 时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a ，而得到解为{x =4y =3.乙同学看错了方程组中的b ，而得到解为{x =1y =4 . (1)求正确的a ，b 的值； (2)求原方程组的解． 【练习】甲、乙两人同时解关于x ，y 的方程组{ax +by =8cx −3y =−2 ，甲正确解得{x =1y =2，乙因为抄错c 的值，解得{x =2y =−6 ，求a ，b ，c 的值． 类型三：方程组的解 【例3】若方程组{2x +y =1−3k ① x +2y =2 ②的解满足x +y =0,则k 的值为（ ） A.-1 B.1 C.0 D.不能确定
【变式1】若方程组{x +2y =k −1 ①2x +y =5k +4② 的解满足x +y =5,则k 的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.不能确定 【变式2】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x >0,y >0,求k 的范围。 【变式3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x +y =k ,求k 的范围。 【例4】k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无数个解 变式1、当a 为何值时，关于x 、y 的方程组 有唯一解？ 变式2、当m 为何值时，关于x 、y 的方程组 有无数个解？ 类型四：方程的整数解 【例5】求二元一次方程3x +2y =12的非负整数解。 【练习】为了丰富学生课外小组的活动，培养学生的动手操作能力，王老师让学生把5m 长的彩绳截成2m 或1m 长的彩绳，用来做手工编织，在不浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ） A.1 B.2 C.3 D.无法确定 【例6】m 为正整数，已知关于x 、y 的二元一次方程组 有整数解，且x 、y 均为整数，求m 2 变式、要使关于x 、y 的二元一次方程组 有正整数解，求整数a 的值 ⎩⎨⎧=+++=+3 2)12(1 2y x k b y kx ⎩⎨⎧=+=+3 312y x y ax ⎩⎨⎧=-=+0 23102y x y mx ⎩⎨⎧=-=+1 3162y x ay x ⎩⎨⎧=+=+2212my x y x
二元一次方程组含参问题教学设计
二元一次方程组含参问题教学设计 今天我要和你聊的是关于二元一次方程组含参问题的教学设计。这是 一个非常重要的数学概念，也是中学阶段数学教学中的重点之一。通 过深入的理解和掌握，学生可以更好地应用这一概念解决实际问题， 培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。在本篇文章中，我将从 深度和广度两个方面对二元一次方程组含参问题的教学进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。 一、理论基础 在进行教学设计之前，首先要对二元一次方程组含参问题的理论基础 有一个清晰的认识。二元一次方程组含参问题是指方程组中的系数或 常数是未知数的函数的问题。在初中数学中，一般是用代数方法来解 决这类题目。学生需要掌握代数方法的基本原理和运用技巧，包括解 方程、消元、代入等。还需要了解二元一次方程组的图像解释和几何 意义，从而更好地理解和应用这一概念。 二、教学目标 针对二元一次方程组含参问题，我们的教学目标应该是帮助学生： 1. 理解含参常数的概念，掌握含参一次方程的解法； 2. 掌握解二元一次方程组的方法，并能熟练运用代数方法解决含参问题； 3. 了解二元一次方程组的图像解释和几何意义；
4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。 三、教学内容 在教学过程中，我们应该注重以下几个方面的内容： 1. 含参常数的概念：通过具体的例子，引导学生理解含参常数的概念，明确含参常数与未知数的关系，为后续解题打下基础； 2. 含参一次方程的解法：结合实际问题，引导学生掌握含参一次方程 的解法，重点培养学生的应用能力； 3. 解二元一次方程组的方法：通过实例详细讲解解二元一次方程组的 方法，并且通过实际问题的应用，培养学生解决实际问题的能力； 4. 图像解释和几何意义：引导学生理解二元一次方程组的图像解释和 几何意义，加深对这一概念的理解。 四、教学方法 在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，包括： 1. 讲授法：通过讲解基本原理和解题方法，帮助学生理解和掌握知识点； 2. 实例分析法：通过具体的例子，引导学生熟练应用知识，培养解决 实际问题的能力； 3. 合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的 交流和合作，提高学习效果； 4. 案例教学法：以真实案例为背景，引导学生深入理解知识点，加强 对知识点的实际运用能力。
含参二元一次方程组的解
含参二元一次方程组的解 上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解 对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。二元一次方程组的解的三种情况: (1)a1x+b1y=c1 (2)a2x+b2y=c2 ①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。 ②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。 ③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。 如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线， ①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解 ②两个直线重合时,方程组有无数组解 ③两个直线平行但不重合时,方程组无解 讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。 题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。 (1)y+kx=b (2)y+3(k-1)x=2 根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。 得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。 或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情 况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。 题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。 (1)y+kx=2 (2)2y+3(k-1)x=5 根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3 或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。 掌握上面的方法后可以试一试下面的题 题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。("希望杯"邀请赛试题)
二元一次方程常见含参题型解法
二元一次方程常见含参题型解法 一、常见的含参二元一次方程题型有哪些？ 在解题时，我们常常会遇到含参的二元一次方程题型，这些题型可能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。常见的含参二元一次方程题型包括但不限于以下几种： 1. 一元二次方程的参数问题：如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解； 2. 参数范围问题：如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根； 3. 参数性质问题：如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x 的取值范围； 4. 参数关系问题：如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。 以上仅为一些常见的含参二元一次方程题型，实际上在解题过程中还会遇到更多类型的题目，需要根据具体情况进行灵活求解。
二、常见的含参二元一次方程解法有哪些？ 对于含参的二元一次方程题型，我们通常可以采用以下几种解法： 1. 代数法：对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。例如 对于方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0，我们可以直接代入参数a，然后利用求根公式求得方程的解。 2. 几何法：对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法 进行求解。通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分 析参数的取值范围或者特定性质。例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，我们可以通过绘制函数图像得出a的取值范围。 3. 参数化求解法：对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进 行求解。通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论， 并最终得出方程的解。例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0， 我们可以对a进行参数化，然后讨论参数的取值范围。 以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求 解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。 三、个人观点和理解
二元一次方程组的解法复习课以及含参问题
解二元一次方程组 (1)⎩⎨⎧-==+1 25 32x y y x （2）⎩⎨⎧-=-=-13542y x y x (3)⎩⎨⎧=+=-104302y x y x （4） ⎩⎨⎧=-=+8 25 23y x y x (5)⎩⎨⎧=+=-162142y x y x （6）⎩ ⎨⎧-=-=+52534t s t s 姓名：
(7)⎩⎨⎧=-=+17431232y x y x （8）⎩⎨⎧-=-=-5 479 65y x y x (9)⎩⎨⎧=+=-323754y x y x （10）⎩⎨⎧-=-=-3 436 65y x y x (11)⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x (12)()()()⎪⎩⎪ ⎨⎧=--+-=+--3 223121432y x y x y x y x
二元一次方程组含参问题 例1 若⎩⎨ ⎧==1 2y x 是二元一次方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2 523by ax by ax 的解，求b a 2+的值. 例2 若方程组 ⎩⎨ ⎧=+=+1 22y x m y x 的解满足5=-y x ，求m 的值. 巩固：已知方程组 ⎩ ⎨ ⎧=+=-823 2ky x y x 的解x +2y =5相等，求k 的值. 例3 若方程组 ⎩⎨ ⎧=-=-3 547 y x by ax 与 ⎩⎨⎧=+=+7323y x by ax 有相同的值，求a 、b 的值. 姓名：
巩固：已知关于x 、y 的方程组 ⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 与 ⎩⎨⎧=+=+3 3211 23by ax y x 的解相同，求a 、b 的 值. 例4 小亮在解方程组 ⎩⎨ ⎧=-=+② dy cx ①y ax 472时，看错了a 而得到⎩⎨ ⎧==1 5 y x ，而方程组正确的解是 ⎩ ⎨⎧-==13 y x ，请你探究一下a 、c 、d 的值. 巩固：甲、乙两人共同解方程组⎩⎨ ⎧-=-=+② by x ①y ax 24155 由于甲看错了方程①中的a ，得方程 组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ，乙看错了方程②中的b ，得到方程的解为⎩ ⎨⎧==45 y x ，试计算代数式 2003 2002)10 1(b a - +的值.
06 含参二元一次方程组之已知方程组的解是另一二元一次方程的解
1、已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值. 【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法. （1）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值. （2）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. （3）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k 的值. 把代入①，得，解得k=-4. 解法二：①×3－②×２，得17y=k-22， 解法三：①+②，得5x-y=2k+11. 又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4. 【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.
2、关于x,y 的方程组⎩⎨ ⎧+=+=-1 23m y x m y x 的解,也是方程 2x-y=3的解,求m 的值 解答： 3、已知关于x,y 的方程组⎩ ⎨⎧=++=+m y x m y x 32253 的未知数 x,y 的和等于2,求m 的值及方程组的解. 解答： 4、（2009年山东省中考试题）若关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是 二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为（ ） A ．43- B ．43 C ．34 D ．3 4- 分析：将k 看作常数，解关于x 、y 的方程组，即可用k 的代数式分别表示出x 、y ， 再代入后面的二元一次方程便可求解．由方程组得2x ＝14k ，y ＝－2k ．代入632=+y x ，得14k －6k ＝6，解得k ＝ 43 答案：B ． 技巧提升：若将问题换成“关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎨⎧=+=+6325y x k y x 的解也是二元一 次方程k y x 9=- 的解，求k 的值．”则应注意考虑解题顺序，仍然先解由方程k y x 5=+、k y x 9=-组成的方程组比较简便． 5、关于关于y x 、的方程组⎩ ⎨⎧-=+-=-5m 212y 3x 4m 113y 2x 的解也是二元一次方程2073=++m y x 的解，则m 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、 21 解答：
解含参二元一次方程组
解含参二元一次方程组 类型1 已知二元一次方程组解的关系求参数值 方法指导：把方程组中的参数看成已知数，然后解这个方程组，再根据方程组解的关系，建立以参数为未知数的方程(组)，解这个方程(组)即可求得参数值． 1．【整体思想】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值为（ ）． 2．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是二元一次方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值． 类型2 根据两个方程组同解求参数值 方法指导：两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这四个方程的公共解．解这种问题的常用方法是：先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个方程组，求出该方程组的解．再将所求的解代入到另两个含参数的方程中进行求解得出参数的值． 3．当m ，n 分别取何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝4，mx ＋ny ＝7与⎩ ⎪⎨⎪⎧2mx －3ny ＝19，5y －x ＝3的解相同？
类型3 根据方程组的错解求参数值 方法指导：看错方程组中某个未知数的系数，所得的解既是方程组中含此系数的方程的解，也是方程组中不含此系数的方程的解，故可把解代入不含此系数的方程中，分别构建新的方程求解． 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－3，cx －4y ＝－6时，小明把c 写错，得到错解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，而正确的解是⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.求a ，b ，c 的值． 5．甲、乙两人同时解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13，②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎪ ⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－2， 乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.试求原方程组的解．
二元一次方程组中的含参问题的常见题型
二元一次方程组中的含参问题题型归类 题型一：解含参方程组，变参为主 例1：关于x 与y 的二元一次方程组 k y x k y x 95=-=+的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k =______ 练1：关于x 、y 的方程组⎩ ⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是 练2：m 取什么整数时，方程组 的解是正整数？ 题型二：同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例2：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。 练1：若二元一次方程组 4 2652-=--=+by ax y x 和 83653-=+=-ay bx y x 有相同的解，求2010)2(b a +的值。 练2：若二元一次方程组 1 2323=+=+ay x y x 中的x 与y 互为相反数，则=a ______ （1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x
题型三：错解 由方程组的错解问题，求参数的值。 例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。 练1：甲、乙两人同时解方程组{mx +ny =−8 ①mx −ny =5 ②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程②的n ，得到的解是25 x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值。 练2：甲乙两个学生解二元一次方程组 3216=-=+by cx by ax ，甲正确地解出 216-==y x ，乙因为把c 看错而得到 的解是 7.16.7-==y x ，求c b a ,,的值。 题型四：分析解的数量 例4：已知方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 27，试讨论c a 、的取值，使方程组： （1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解 练1：已知方程组⎩ ⎨⎧-=+=++4b 264-3b 2a y x y a x ）（有无数多解，则a =______，b=______； 练2：当a 、b 满足什么条件时，方程(2b 2-18)x =3与方程组⎩ ⎨⎧-=-=-5231b y x y ax 都无解；
含参的二元一次方程组训练题
含参的二元一次方程组训练题 1．已知关于，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值。 变式练习：若方程组中和y值相等，求k的值。 2．若方程﹣y=﹣1的一个解与方程组的解相同，求k的值变式练习：若关于，y的二元一次方程组的解满足+y=2，求k的值 3．若关于，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程﹣3y=6的解，求k的值。 变式练习：若方程组的解满足﹣y=2，求m的值 4、若关于、y的方程组的解满足+y=1，则k= ．变式练习：1、方程组的解满足方程3﹣ 2y+k=0，k的值 2、已知关于、y的方程组的解满足+y=2，求m的值 5、对于方程，求的值 6．关于，y的方程组有无数组解，求a，b的值。 7．若关于、y的方程组的解都是正整数，求整数a的值课后练习： 1、已知，y满足方程组，求+y的值。 2、已知是二元一次方程组的解，求m﹣n的值 3、关于，y的方程组的解满足+y=6，求m的值。 4、已知方程组的解是二元一次方程﹣y=1的一个解，那么a的值为多少？ 5、若关于，y的方程组的解满足﹣y=10，求该方程组的解。 7．关于，y的方程组的解满足2+3y=6，求m的值。 8．若关于，y的方程组的解满足﹣y=10，求m的值。 9．已知关于，y的方程组的解满足方程5+8y=38时，求m的值。 10．若方程组的解中与y的值相等，求k的值。 11．若方程组的解中的值与y的值之和等于1，求k的值。 12．已知方程组，若a≠0，求。 13．若方程组的解满足+y=1，求a的值。 14．如果关于、y的方程组的解满足﹣2y=﹣1，求k的值 15．已知关于，y的方程组的解适合方程2+6y=9，求k的值． 16．若方程组的解，y满足+y＜0，求k的取值范围． 17．当m= 时，关于、y的方程组有无穷多
(完整)七年级下册二元一次方程组讲义(超实用word版)
二元一次方程组 本章知识点题型 ➢ 二元一次方程的定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是 ，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程有 解． ➢ 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的 ， 叫做二元一次方程组的解．一般情况下二元一次方程组的解是 的． ➢ 二元一次方程组的解法：① ；② ． 【例1】二元一次方程（组）定义 1. 已知方程2132310n m n x y ---+=是二元一次方程，则m = ，n = ． 2. 下列方程组中：①202x y x y +=⎧⎨+=⎩；②301x y y -=⎧⎨=⎩；③0232x z x y -=⎧⎨+=-⎩；④1 2x y =⎧⎨=⎩ ， 其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【例2】二元一次方程（组）的解 1. 如果3 2x y ì=ïí=ïî 是方程632x by +=的解，则b = ．
2. （2017春•辛集市期末）小亮解方程组2212x y x y +=⎧⎨-=⎩●的解为5 x y =⎧⎨=⎩ ★由于不小 心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为 ． 【例3】二元一次方程（组）的解法 1. 解二元一次方程组： （1）23 525x y x y ì+=ïí+=ïî； （2）13 10 2428 x y x y ì-+-=ïíï -+=-î； 2. 已知：y kx b =+且当1x =-时，2y =；当2x =时，7y =-；求：当2 x =-时，y 的值． 【例4】二元一次方程组的变形 若23135x y x y ++==，将原方程组化为111 222 a x b y c a x b y c ì+=ïí+=ïî的形式为 ． ➢ 二元一次方程组满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是 方程； ②方程组中共含有 未知数； ③每个方程都是一次方程．
含参数的二元一次方程组
专题：含参的二元一次方程组 分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。 4x y 5 mx ny 3 的解和 的解相同，求 3x 2y 1 mx ny 1 、解的性质 例 3 ：已知关于 x,y 二元一次方程组 一、同解问题 例 1：已知关于 x,y 二元一次方程组 x y 1 4x ay 的解是二元一次方 程 3 x y 3的解，求 a 的值。 变式 1：已知方程组 2x 3y 3x 5y 的解适合 x 2 8 ，求 m 的值 . 变式 2：已知二元一次方程组 4x y 5 的解和 mx ny 3 3x 2y mx ny 1 1 的解相同， m,n 的值。 例 2 ：已知二元一次方程组 m,n 的值。 4x 3y 7 的解 x,y 的值互为相反数，求 k 的值。 kx (k 1)y 3
变式4：若方程组3x y k 1的解x,y满足0 x y 1，求k 的取值范围。 x 3y 3 分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理 三、错解问题 例4：甲乙两人同时解关于x, y的方程组ax y 3，甲看错了b ，求得的解为2x by 1 的解为x 1，你能求出原题中的a,b 的值吗？y3 分析：将解代入没看错的方程 看错了方程②中的b，得到方程组的解为 x y 5 4.试计算a2017 ( 110b)2018的值. 变式3：已知方程组y 2k 3y 1 5k 的解x 与y 的和是负数， 求 k 的取值范 围。 变式5：甲、乙两人共同解方程组ax 4x 5y by 15 2 ①②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为31；乙 1 ，乙看错 了 a，求得
含参的二元一次方程组训练题
1．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值。 变式练习：若方程组中x和y值相等，求k的值。 2．若方程x﹣y=﹣1的一个解与方程组的解相同，求k的值 变式练习：若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=2，求k的值 3．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y=6的解，求k的值。变式练习：若方程组的解满足x﹣y=2，求m的值 4、若关于x、y的方程组的解满足x+y=1，则k=． 变式练习：1、方程组的解满足方程3x﹣2y+k=0，k的值 2、已知关于x、y的方程组的解满足x+y=2，求m的值5、对于方程，求的值 6．关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。 7．若关于x、y的方程组的解都是正整数，求整数a的值 课后练习：1、已知x，y满足方程组，求x+y的值。 2、已知是二元一次方程组的解，求m﹣n的值 3、关于x，y的方程组的解满足x+y=6，求m的值。 4、已知方程组的解是二元一次方程x﹣y=1的一个解，那么a的值为多少？ 5、若关于x，y的方程组的解满足x﹣y=10，求该方程组的解。
7．关于x ，y 的方程组的解满足2x +3y=6，求m 的值。 8．若关于x ，y 的方程组的解满足x ﹣y=10，求m 的值。 9．已知关于x ，y 的方程组 的解满足方程5x+8y=38时，求m 的值。 10．若方程组的解中x 与y 的值相等，求k 的值。 11．若方程组的解中x 的值与y 的值之和等于1，求k 的值。 12．已知方程组，若a ≠0，求 。 13．若方程组的解满足x +y=1，求a 的值。 14．如果关于x 、y 的方程组的解满足x ﹣2y=﹣1，求k 的值 15．已知关于x ，y 的方程组的解适合方程2x +6y=9，求k 的值． 16．若方程组的解x ，y 满足x +y ＜0，求k 的取值范围． 17．当m= 时，关于x 、y 的方程组 有无穷多解． 18．如果 满足二元一次方程组 ，求 19. 已知方程组 由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为3 1x y =-⎧⎨=-⎩ ;乙看错了方程②中 的b 得到方程组的解为5 4 x y =⎧⎨ =⎩,若按正确的a b 、计算,求原方程组的解. ⎩⎨⎧=-=+m y x m y x 932 a 515 42x y x by +=⎧⎨-=-⎩① ②
含参的二元一次方程组练习题
5.16含参的二元一次方程组姓名_________ 1.若一次函数y=3x-5与y=2x+7的交点P 的坐标为(15,38),则方程组 3527x y x y -=⎧⎨-=⎩ 的解为_ __. 2.已知关于 、 的方程组 ，解是 则 的值为 ( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 3.若关于的方程组的解是，则为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．2 4.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨ ⎧=-=+k y x k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为 （A ）43- （B ）43 （C ）34 （D ）3 4- 5.已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________,y =__________. 6．已知2316 x mx y y x ny =-=⎧⎧⎨⎨=--=⎩⎩是方程组的解，则m=_______，n=______． 7. 已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解,则()()a b a b +-的值是 . 8.已知y =kx +b ,当x =1时，y =－1，当x =3时，y =－5,则k =__________，b =__________。 9.若方程组⎩⎨⎧=+=+54ay bx by ax 的解是⎩⎨⎧==1 2y x ，则a +b =__________。 10.解关于x 的方程组⎩⎨⎧=-=+m y x m y x 932得⎩⎨⎧==. ________,y x 当m 满足方程5x +8y =38时，m =________. 11.孔明同学在解方程组2y kx b y x =+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解 为12=-⎧⎨=⎩ x y ，又已知直线=+y kx b 过点（3，1），则b 的正确值应该是 ． 12.甲、乙两人同时解方程组 由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩ ，乙看错了方程②的n ，得到的解是25 x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值。请写出做题详细过程 x y ，2x y m x my n -=⎧⎨+=⎩ 21x y =⎧⎨=⎩||m n -
二元一次方程组,解的判定
二元一次方程组，解的判定 在学习一次函数之前，我们需要先学习二元一次方程组的知识以及其解的判定。之后马上可以应用在求一次函数解析式，以及更好的理解一次函数的直线相交，直线平行等(数形结合)。 二元一次方程(组)的定义 二元一次方程是指含有两个未知数（如下例中的x和y），并且所含未知数的次数都是1的方程，可化简为ax+by=c(a，b≠0)的形式。对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解，由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集。 两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组。每个方程可化简为ax+by=c的形式。二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的基本方法有以下2种： 例题：解下面方程组 ①6x+2y=8 ②2x-y=1 (一)消元法(加减消元法) 利用两式相加减消去一个未知数，变成一元一次方程。 ①+②×2得，10x=10，解得x=1；把x=1代入②解得y=1。即方程组的解是x=1；y=1。 (二)代入法(代入消元法) 由②得y=2x-1，代入①得到6x+2(2x-1)=8，解得x=1，y=2x-1=1。即方程组的解是x=1；y=1。 这两种方法的本质都是把二元一次方程组转化为一元一次方程。这样对于三元一次方程组，也是同样的思想，先转化成二元一次方程组，再转化为一元一次方程。通常情况下n元一次方程组有n个方程。 二元一次方程组解的判别 我们知道一元一次方程的解有三种情，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解
含参数的一元一次方程
初一部分知识点拓展 ◆含参数的一元一次方程 复习： 解方程：（1）2 1 5123+= --x x （2）)4(x -40%+60%x =2 （3）14.01.05.06.01.02.0=+--x x （4）)1(3 2 12121-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x x ）（ 一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论） 1、讨论关于x 的方程b ax =的解的情况. 2、已知a 是有理数，有下面5个命题： （1）方程0=ax 的解是0=x ； （2）方程1==x a ax 的解是； （3）方程a x ax 1 1= =的解是； （4）方程a x a =的解是1±=x （5）方程1)1(+=+a x a 的解是1=x 中，结论正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定 例：已知关于x 的方程32 3+=+ax x a 的解为4=x 变式训练： 1、已知方程 )1(42 2-=+x a x 的解为3=x ，则=a ； 2、已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足方程02 1 =- x ，则=m ； 3、如果方程20)1(3)1(2+=--+a x x 的解为，求方程：[]a a x x 3)(3)3(22=--+的解. ②根据方程解的个数情况来确定 例：关于x 的方程n x mx -=+34，分别求n m ，为何值时，原方程： （1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解. 变式训练： 1、已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多个解，那么=a ，=b . 2、若关于x 的方程512)2(+=+x b x a 有无穷多个解，求b a ，值. 3、已知关于x 的方程)12(6 1 23--=+x x m x 有无数多个解，试求m 的值.
特殊方程组的解法
______________________________________________________________________________________________________________ 特殊方程组的解法 特殊方程组 不定方程组 含参方程组 基础知识思维导图
模块一：假期知识你还记得么 1. 二元一次方程组：由几个一次方程组成，含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组. 2. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的__________叫做二元一次方程组的解， 它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般表示为x a y b =⎧⎨ =⎩的形式. 3. 二元一次方程组的解的检验：要检验一对未知数的是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对未 知数的值_____________方程组中的每一个方程进行检验. 4. 解二元一次方程组的方法：_____________，______________. 1. 用代入消元法解方程组： 222312n m m n ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 3252 2(32)117x y x x y x +=+⎧⎨+=+⎩ 典题回顾 复习导航
______________________________________________________________________________________________________________ 2. 用加减消元法解方程组： 25 35x y x y +=⎧⎨+=⎩ 433344 x y x y ì-=ïí-=ïî 3.已知方程组 2.2 3.5113.5 5.633x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为x m y n =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()2.22 3.5111 3.52 5.6133x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩ 的解是_________ 4.解方程组274ax y cx dy +=⎧⎨-=⎩时，一学生把a 看错后得到51x y =⎧⎨=⎩ ，而正确的解是3 1x y =⎧⎨=-⎩a c d 、、的值为（ ）． A ．不能确定 B ．3a =，1c =，1d = C ．c ，d 不能确定，3a = D ．3a =，2c =，2d =- 模块二：特殊方程（组） 知识导航
人教版七年级数学第八章第3节《实际问题与二元一次方程组》训练题 (1)(含答案解析)
第八章第3节《实际问题与二元一次方程组》训练题 (1) 一、单选题 1．小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ） A ．20 B ．22 C ．23 D ．25 2．若关于x ，y 的二元一次方程组37x y k x y k +=⎧⎨-=⎩ 的解也是二元一次方程2x+3y ＝6的解，则k 的值为 （ ） A ．3 2 - B ． 32 C ．23 - D ． 23 3．下列说法正确的是（ ） A ．二元一次方程2317x y +=的正整数解有2组 B ．若52 x y =⎧⎨ =⎩是232x y k -=的一组解，则k 的值是1 2 C ．方程组23 321y x x y =-⎧⎨+=⎩ 的解是11x y =⎧⎨ =-⎩ D ．若3m n x +与2211 2 m x y --是同类项，则2m =，1n = 4．甲、乙两人分别从相距40km 的两地同时出发，若同向而行，则5h 后，快者追上慢者；若相向而行，则2h 后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：km/h)分别是（ ） A ．14和6 B ．24和16 C ．28和12 D ．30和1 5．若方程组345 26x y k x y k -=-⎧⎨+=⎩的解中16x y +=，则k 等于（ ） A ．15 B ．18 C ．16 D ．17 6．若关于x 、y 的方程组2 28 x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ）
7．2020年是庆祝南开中学建校84周年，学校定制了校庆纪念品．已知一套纪念品由2枚纪念币和3枚定制书签组成，定制一枚纪念币需要花费15元，定制一枚书签需要花费10元，学校一共花费了5400元，纪念币和定制书签刚好配套．若设学校定制了x枚纪念币，y枚书签，由题意，可列方程组为（） A． 23 15105400 x y x y = ⎧ ⎨ += ⎩ B． 23 10155400 x y x y = ⎧ ⎨ += ⎩ C． 32 15105400 x y x y = ⎧ ⎨ += ⎩ D． 32 10155400 x y x y = ⎧ ⎨ += ⎩ 二、解答题 8．雅西高速，西昌到成都全长420km；一辆小汽车和一辆大客车分别从西昌和成都两地同时出发，相向而行，经过2.5h相遇，相遇时小汽车比大客车多行70km； （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： () () x y x y ⎧+= ⎪ ⎨ -= ⎪⎩ 乙： () () 2.5 2.5 2.5 2.5 x y x y ⎧+= ⎪ ⎨ -= ⎪⎩ ①理顺甲、乙两名同学所列方程组的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义 甲：x表示_______________．y表示_______________． 乙：x表示_______________．y表示_______________． ②补全甲、乙两人所列的方程组 （2）求小汽车和大客车的速度.（写出完整的解答过程） 9．2018~2019赛季，CBA联赛季后赛第二轮：辽宁男篮主场对阵福建男篮的比赛第一场门票价格是：甲类票480元/张，乙类票280元/张，某球迷协会组织50名球迷去现场为辽宁男篮加油助威，买门票共花20000元，请问该协会甲、乙两类门票各买了多少张？ 10．某场篮球赛，门票共两种，价格为：成人票30元/张，儿童票10元/张，门票总收入：4700元．（1）若售出门票总数160张，求售出的成人票张数． （2）设售出门票总数a张，其中儿童票b张． ①求a､b满足什么关系． ②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值． 11．A，B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍．求两人的速度．12．高台县为加快新农村建设，建设美丽乡村，对A、B两类村庄进行了全面改建．根据预算，建