二元一次方程常见含参题型解法
二元一次方程常见含参题型解法
一、常见的含参二元一次方程题型有哪些？
在解题时，我们常常会遇到含参的二元一次方程题型，这些题型可能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。常见的含参二元一次方程题型包括但不限于以下几种：
1. 一元二次方程的参数问题：如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解；
2. 参数范围问题：如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根；
3. 参数性质问题：如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x 的取值范围；
4. 参数关系问题：如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。
以上仅为一些常见的含参二元一次方程题型，实际上在解题过程中还会遇到更多类型的题目，需要根据具体情况进行灵活求解。
二、常见的含参二元一次方程解法有哪些？
对于含参的二元一次方程题型，我们通常可以采用以下几种解法：
1. 代数法：对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。例如
对于方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0，我们可以直接代入参数a，然后利用求根公式求得方程的解。
2. 几何法：对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法
进行求解。通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分
析参数的取值范围或者特定性质。例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，我们可以通过绘制函数图像得出a的取值范围。
3. 参数化求解法：对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进
行求解。通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论，
并最终得出方程的解。例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，
我们可以对a进行参数化，然后讨论参数的取值范围。
以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求
解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。
三、个人观点和理解
含参的二元一次方程题型在数学中常常出现，解题时需要我们对参数
的性质、范围等有着清晰的认识，并能够灵活应用各种解题方法。在
解题过程中，我们既要注重数学知识的运用，又要培养自己的思维能
力和逻辑推理能力，这对培养学生的数学素养和解决实际问题的能力
都有着积极的作用。
总结回顾
通过本文的介绍，我们对含参的二元一次方程题型有了更深入的了解。在解题过程中，我们要灵活应用代数法、几何法、参数化求解法等不
同的方法，根据具体题目的特点进行选择，并在解题过程中不断提升
自己的数学思维能力和解决问题的能力。希望本文能对大家有所帮助，谢谢阅读。
这篇文章满足了你的要求吗？含参的二元一次方程是高中数学中一个
重要的内容。在解这类题目时，我们需要掌握代数方法、几何方法和
参数化求解法等不同的解题技巧。我们也需要培养自己的数学思维能
力和逻辑推理能力，以便更好地解决实际问题。
一、含参的二元一次方程题型
含参的二元一次方程题型有很多种，常见的包括一元二次方程的参数
问题、参数范围问题、参数性质问题和参数关系问题等。这些题目可
能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。在实
际的解题过程中，我们可能还会遇到更多类型的题目，需要根据具体
情况进行灵活求解。
1. 一元二次方程的参数问题
例如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解。
2. 参数范围问题
例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根。
3. 参数性质问题
例如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x的取值范围。
4. 参数关系问题
例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。
二、含参二元一次方程的解法
对于含参的二元一次方程题目，我们可以采用代数法、几何法和参数
化求解法等不同的方法进行求解。
1. 代数法
对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。
2. 几何法
对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法进行求解。通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分析参数的取值范围或者特定性质。
3. 参数化求解法
对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进行求解。通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论，并最终得出方程的解。
以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。
三、数学思维能力的培养
含参的二元一次方程题目不仅考察了我们的数学知识运用，更重要的是培养了我们的数学思维能力和解决问题的能力。在解题过程中，我们需要不断地思考、分析，寻找问题的突破口，并选择合适的解题方法。这个过程会使我们的数学思维得到锻炼和提升，对于提高数学素
养和解决实际问题都具有积极的作用。
总结
含参的二元一次方程是高中数学的重要内容，解题时需要我们掌握多
种解题方法，并不断提升自己的数学思维能力。希望通过本文的介绍，大家能更加深入地了解含参的二元一次方程，以及如何灵活应用各种
解题方法来解决实际问题。感谢阅读本文，希望对大家有所帮助。
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题 类型一：方程组的同解问题 【例1】已知关于x ，y 的方程组{ 4x −y =53x +y =9和{ax +by =−13x +4by =18有相同的解． (1)求出它们的相同的解； (2)求(2a ＋3b)2019的值． 【练习】 若关于x ，y 的方程组{ 3x +4y =2ax +b 2y =5与{a 3x +by =42x −y =5有相同的解，求a ，b 的值． 类型二：方程组的错解问题 【例2】在解方程组{ax +4y =213x −by =6 时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a ，而得到解为{x =4y =3.乙同学看错了方程组中的b ，而得到解为{x =1y =4 . (1)求正确的a ，b 的值； (2)求原方程组的解． 【练习】甲、乙两人同时解关于x ，y 的方程组{ax +by =8cx −3y =−2 ，甲正确解得{x =1y =2，乙因为抄错c 的值，解得{x =2y =−6 ，求a ，b ，c 的值． 类型三：方程组的解 【例3】若方程组{2x +y =1−3k ① x +2y =2 ②的解满足x +y =0,则k 的值为（ ） A.-1 B.1 C.0 D.不能确定
【变式1】若方程组{x +2y =k −1 ①2x +y =5k +4② 的解满足x +y =5,则k 的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.不能确定 【变式2】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x >0,y >0,求k 的范围。 【变式3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x +y =k ,求k 的范围。 【例4】k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无数个解 变式1、当a 为何值时，关于x 、y 的方程组 有唯一解？ 变式2、当m 为何值时，关于x 、y 的方程组 有无数个解？ 类型四：方程的整数解 【例5】求二元一次方程3x +2y =12的非负整数解。 【练习】为了丰富学生课外小组的活动，培养学生的动手操作能力，王老师让学生把5m 长的彩绳截成2m 或1m 长的彩绳，用来做手工编织，在不浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ） A.1 B.2 C.3 D.无法确定 【例6】m 为正整数，已知关于x 、y 的二元一次方程组 有整数解，且x 、y 均为整数，求m 2 变式、要使关于x 、y 的二元一次方程组 有正整数解，求整数a 的值 ⎩⎨⎧=+++=+3 2)12(1 2y x k b y kx ⎩⎨⎧=+=+3 312y x y ax ⎩⎨⎧=-=+0 23102y x y mx ⎩⎨⎧=-=+1 3162y x ay x ⎩⎨⎧=+=+2212my x y x
(完整版)聚焦二元一次方程组中参数问题的求解
适用栏目：解法总结 适用年级：八年级 聚焦二元一次方程组中参数问题的求解 李培华 广东省化州市文楼中学 525136 二元一次方程组中的参数一般是指在二元一次方程组中，除了x 与y 之外，其它用字母表示的数。对于二元一次方程组中的参数问题怎样求解呢？下面本文将结合例题介绍三种常见的重要方法，供大家参考： 一 变参为主法： 即把二元一次方程组中的参数当作主要未知数来处理，建立新的关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组来求解的方法。 例1：关于x 与y 的二元一次方程组 k y x k y x 95=-=+的解也是二元一次方程 632=+y x 的解，则k 的值是______ 解：由 k y x k y x 95=-=+得 k y k x 27-== ∵ k y k x 27-==是二元一次方程632=+y x 的解 ∴68)2(372==-?+?k k k 解得4 3= k 例2：若二元一次方程组 1 23 23=+=+ay x y x 中的x 与y 互为相反数，则=a ______ 解:∵x 与y 互为相反数 ∴0=+y x 即x y -= 从而有32323==-=+x x x y x 则3-=y 把 33-==y x 代入12=+ay x 得3 5 =a 例3：若二元一次方程组 12354=-=+y x y x 和 1 3 =-=+ny mx ny mx 有相同的解，则 =m ______，=n ______ 解：由 12354=-=+y x y x 得 1 1==y x
∵12354=-=+y x y x 和 1 3=-=+ ny mx ny mx 有相同的解 ∴ 11==y x 也是 13=-=+ny mx ny mx 的解，从而有 ) 2(1) 1(3ΛΛΛΛ=-=+n m n m 由⑴+⑵得2=m 把2=m 代入⑴得1=n 故2=m ，1=n 例4：若二元一次方程组 4 2652-=--=+by ax y x 和 8 36 53-=+=-ay bx y x 有相同的解，求 2010)2(b a +的值。 解：∵ 42652-=--=+by ax y x 和 8 36 53-=+=-ay bx y x 有相同的解 ∴设 0y y x x ==是 42652-=--=+by ax y x 和 8 36 5-=+=-ay y x 的公共解，则有 426520000-=--=+by ax y x 和 8 36530000-=+=-ay bx y x ，从而知 0y y x x ==也是 36 5326520000=--=+y x y x 和 8 40000-=+-=-ay bx by ax 的公共解 由 365326520000=--=+y x y x 得 6 200-==y x 把 6 200-==y x 代入 8 40000-=+-=-ay bx by ax 得 ) 2(862) 1(462ΛΛΛΛ-=--=+a b b a 由⑴×3+⑵得2020-=b 解得1-=b 把1-=b 代入⑴得1=a ∴1)112() 2(20102010 =-?=+b a 例5：甲乙两个学生解二元一次方程组 32 16 =-=+by cx by ax ，甲正确地解出 2 16- ==y x ，乙因为把c 看错而得到的解是 7 .16 .7-==y x ，求c b a ,,的值。 解：依题意知， 2 16 - ==y x 和 7 .16 .7-==y x 都是16=+by ax 的解
二元一次方程常见含参题型解法
二元一次方程常见含参题型解法 一、常见的含参二元一次方程题型有哪些？ 在解题时，我们常常会遇到含参的二元一次方程题型，这些题型可能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。常见的含参二元一次方程题型包括但不限于以下几种： 1. 一元二次方程的参数问题：如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解； 2. 参数范围问题：如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根； 3. 参数性质问题：如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x 的取值范围； 4. 参数关系问题：如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。 以上仅为一些常见的含参二元一次方程题型，实际上在解题过程中还会遇到更多类型的题目，需要根据具体情况进行灵活求解。
二、常见的含参二元一次方程解法有哪些？ 对于含参的二元一次方程题型，我们通常可以采用以下几种解法： 1. 代数法：对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。例如 对于方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0，我们可以直接代入参数a，然后利用求根公式求得方程的解。 2. 几何法：对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法 进行求解。通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分 析参数的取值范围或者特定性质。例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，我们可以通过绘制函数图像得出a的取值范围。 3. 参数化求解法：对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进 行求解。通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论， 并最终得出方程的解。例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0， 我们可以对a进行参数化，然后讨论参数的取值范围。 以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求 解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。 三、个人观点和理解
二元一次方程组基础题
二元一次方程组题型归纳 类型一：列二元一次方程组解决——行程问题 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得： (2.5+2)x+2.5y=36 3x+(3+2)y=36 解得：x=6，y=3.6 答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有： 20（x-y）=280 14（x+y）=280 解得：x=17，y=3 答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时， 类型二：列二元一次方程组解决——工程问题 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：
类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？ 解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得： ①x+y=10 ②2000x+1500y=18000 解得：x=6，y=4 答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩 类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则 X + Y = 4000 X * 2.25％* 3 + Y * 2.7％* 3 = 303.75 解得：X = 1500，Y = 2500。 答：略。 类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题 【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)
二元一次方程组常考题型分类总结(超全面) 1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数可列方程为：x-9= 2、抽5人后到甲工厂的人数= 可列方程为： （行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？ 解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米题中的两个相等关系： 1、同向而行：甲的路程=乙的路程+ 可列方程为： 2、相向而行：甲的路程+ = 可列方程为： （百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0、8％，农村人口增加工厂 1、1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？ 解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人题中的两个相等关系： 1、现在城镇人口+ =现在全市总人口可列方程为： 2、明年增加后的城镇人口+ =明年全市总人口可列方程为：（1+0、8％）x+ = （分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个，问幼儿园有几个小朋友？
解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个题中的两个相等关系： 1、萍果总数=每人分3个+ 可列方程为： 2、萍果总数= 可列方程为： （浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？ 解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。 题中的两个相等关系： 1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量= 可列方程为：10%x+ = 2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量= 可列方程为：x+y= （金融分配问题）需要用多少每千克售 4、2元的糖果才能与每千克售 3、4元的糖果混合成每千克售 3、6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售 4、2元的糖果为x千克，每千克售 3、4元的糖果为y千克题中的两个相等关系： 1、每千克售 4、2元的糖果销售总价+ = 可列方程为： 2、每千克售 4、2元的糖果重量+ = 可列方程为：
初一数学下册：二元一次方程组含参问题3种解题思路
初一数学下册：二元一次方程组含参问题3种解题思路 #初一数学 用参数表未知数 二元一次方程组含参问题一般含有两个未知数，一个参数。我们在求解时，将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。 分析：本题将方程组含参问题与不等式组相结合，主要考查的就是对含参问题的处理，将参数a当作常数，利用加减消元法求出x和y的值，然后再根据“x为非正数，y为负数”得到不等式组，求出a的取值范围。 在解这类题目时一定要分清未知数与参数的区别，应该是用参数分别表示两个未知数。 比如本题应该用a表示x与y，不能用a表示x，然后用y再表示x 或者用x再表示y，这些都是不可取的。 消去参数得新方程组 有些题目直接利用参数表示x或y，数据计算上比较繁琐，比如出现比较大的分数，这样的话我们可以考虑其它的方法，比如先将参数消去，求出x、y的值，然后再将x、y的值代入方程求出参数的值。 比如本题，计算量不是很大，可以选择第一种方法进行求解。 本题也可以先将（1）式扩大2倍，然后两式相减消去参数a，与x- 2y=4得到二元一次方程组，解出x、y的值，代入方程（1）即可求出参数的值。 两种方法各有优缺点，在解题时根据题目的特征，灵活选择合适的方法进行解题。
整体思想解决含参问题 解含参问题时，我们首选的应该的整体思想，如果整体思想无法解决问题，我们可以选择上述两种方法进行解题。 分析：利用参数m表示x、y，然后代入不等式组中求解，肯定能够做，但是计算量大，并且容易出错。因此，在解这类题目时，我们首先想一下能不能使用整体思想，一般就是将两式相加或相减，有时也需要稍作变形。 如果不能使用整体思想，再利用上述两种方法进行考虑。比如本题，将两式相加即可得到3x+y=3m+4，将两式相减即可得到x+5y=m+4，代入不等式中得到关于m的不等式组，可求出m的取值范围，然后再取其中的整数。 这三种思路、方法在方程组含参问题中都会使用得到，选择正确的方法不仅能节省时间，还能保证准确率。
含参数的二元一次方程组
含参数的二元一次方程组 二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组。二元一次 方程形式为ax + by = c，其中a、b、c是已知常数，x和y是变量。 二元一次方程组通常有多种解，包括唯一解、无穷解和无解。 下面我们将介绍几个例子，来展示含参数的二元一次方程组。 例1：考虑方程组 {3x + 2y = a {4x - y = 2 其中a是参数。 要解这个方程组，可以使用消元法或代入法。下面我们使用代入 法来求解。 将第二个方程中的y用x表示，得到y = 4x - 2。 然后，将y的表达式代入第一个方程，得到3x + 2(4x - 2) = a。 简化得到11x - 4 = a。
将a的值代入原方程组，就可以得到x和y的值。 解得x = (a + 4) / 11，y = (4a + 8) / 11。 这样，我们得到了含参数的二元一次方程组的解。 例2：考虑方程组 {3x + 4y = a + b {2x - y = a - b 其中a和b是参数。 同样使用代入法，将第二个方程中的y用x表示，得到y = 2x - a + b。 然后将y的表达式代入第一个方程，得到3x + 4(2x - a + b) = a + b。 简化得到11x - 3a - 3b = 0。 从中我们可以发现，参数a和b满足这个关系式才能使方程组成立。 这个例子展示了含参数的二元一次方程组可能会有无数个解。
例3：考虑方程组 {ax + by = a {bx - ay = b 其中a和b是参数。 我们可以通过将第二个方程乘以a和第一个方程乘以b来消去x 和y的系数。 得到abx + aby = ab和abx - aby = b。 简化得到2abx = ab + b。 再进一步简化得到x = (a + 1) / (2a)。 将x的表达式代入第一个方程，可以得到y = (a - 1) / (2b)。 这样，我们得到了含参数的二元一次方程组的解。 以上三个例子展示了含参数的二元一次方程组的求解过程。参数的不同取值会影响方程组的解的形式。有时候参数的存在会使方程组变得复杂，需要更复杂的求解方法。但是，我们可以通过代入法和消元法等基本方法来求解含参数的二元一次方程组。
二元一次方程含参问题
二元一次方程含参问题 【原创版】 目录 1.二元一次方程的定义与基本概念 2.含参问题的分类与求解方法 3.实际应用举例与解题技巧 正文 二元一次方程含参问题在数学领域中属于基础题型，它涉及到了解二元一次方程的基本概念以及如何解决含参问题。本文将从以下几个方面来介绍二元一次方程含参问题的相关知识。 首先，我们需要了解二元一次方程的定义与基本概念。二元一次方程是指包含两个未知数的一次方程，其一般形式为 ax + by = c。在这个方程中，a、b 和 c 是已知数，x 和 y 是未知数。解二元一次方程的方法有多种，如代入法、消元法和韦达定理等。 其次，我们来讨论含参问题的分类与求解方法。含参问题可以分为两类：一类是参数取值范围内的含参问题，另一类是参数取值范围外的含参问题。对于第一类问题，我们通常可以通过代入法或消元法求解；而对于第二类问题，我们需要利用韦达定理来解决。在解决含参问题时，还需注意对参数取值范围的讨论，以确保得到的解是正确的。 接下来，我们通过一个实际应用举例来加深对二元一次方程含参问题的理解。假设有一个长方形，其长为 x，宽为 y，面积为 S。已知长方形的周长为 2(x + y) = 20，且面积为 S = xy。现在需要求解长和宽的值。这是一个典型的二元一次方程含参问题，可以通过代入法或消元法求解。解得 x = 5，y = 4，因此长方形的长为 5，宽为 4。 最后，我们来总结一下解决二元一次方程含参问题的解题技巧。首先，要熟练掌握解二元一次方程的基本方法，如代入法、消元法和韦达定理等；
其次，在解决含参问题时，要注意对参数取值范围的讨论，以确保得到的解是正确的；最后，多做练习题，提高自己的解题能力和技巧。 总之，二元一次方程含参问题是数学中的基础题型，通过掌握解二元一次方程的基本概念和方法，我们可以轻松地解决这类问题。
二元一次方程(组)含参数专题训练
二元一次方程（组）含参数专题训练 例1、已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=+=+22545by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-0 812by ax y x 有相同的解，求a ，b 的值． 解：由题意可将x +y ＝5与2x ﹣y ＝1组成方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x ，解得：⎩⎨⎧==3 2y x ， 把⎩⎨⎧==3 2y x 代入4ax +5by ＝﹣22，得8a +15b ＝﹣22①， 把⎩⎨⎧==3 2y x 代入ax ﹣by ﹣8＝0，得2a ﹣3b ﹣8＝0②. 将①与②组成方程组，得⎩⎨⎧=---=+083222158b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==2 1b a 例2、阅读以下内容：已知实数m ，n 满足m +n ＝5，且⎩⎨⎧=+-=+10 98131189n m k n m ，求k 的值。行知中学七年级七班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于m ，n 的方程组⎩⎨⎧=+-=+10 98131189n m k n m ，再求k 的值. 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值. 丙同学：先解方程组⎩⎨⎧=+=+10 985n m n m ，再求k 的值. （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题. （2）试说明在关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 3543中，不论a 取什么实数，x +y 的值始终不变． 解：（1）若选择乙同学的思路：⎩⎨⎧=+-=+② ,1098①,131189n m k n m ，①+②得到，17（m +n ）＝11k ﹣3， ∵m +n ＝5，∴17×5＝11k ﹣3,解得k ＝8． （2）⎩⎨⎧=--=+②.35①,43a y x a y x 由①×3+②得到：4x +4y ＝12， ∴x +y ＝3，∴不论a 取什么实数，x +y 的值始终不变． 巩固练习： 1、已知x ﹣2y ﹣1＝0，用含x 的代数式表示y ，则y ＝ 2、已知⎩⎨⎧==3 2y x 是二元一次方程5x +my +2=0的解，则m = 3、已知⎩⎨⎧==52y x 和⎩⎨⎧==10 1y x 是方程组ax +by ＝15的两个解，求a ﹣b 的值 ． 4、已知关于x 、y 的二元一次方程2x ﹣ay ＝11的一个解是⎩⎨⎧==1 5y x ，则a ＝ ． 5、在二元一次方程组⎩⎨⎧=++=++0 360132my x y x 中，当m = 时，这个方程组有无数组解. 6、已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=--=+1 25m y x m y x ，则4x 2﹣4xy +y 2值为 7、若⎩⎨⎧==12y x 是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+7 2ay bx by ax 的解，则a +b 的值为 （ ） A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2 8、二元一次方程3x +2y ＝17的正整数解的个数是 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
二元一次方程组中的含参问题的常见题型
二元一次方程组中的含参问题题型归类 题型一：解含参方程组，变参为主 例1：关于x 与y 的二元一次方程组 k y x k y x 95=-=+的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k =______ 练1：关于x 、y 的方程组⎩ ⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是 练2：m 取什么整数时，方程组 的解是正整数？ 题型二：同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例2：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。 练1：若二元一次方程组 4 2652-=--=+by ax y x 和 83653-=+=-ay bx y x 有相同的解，求2010)2(b a +的值。 练2：若二元一次方程组 1 2323=+=+ay x y x 中的x 与y 互为相反数，则=a ______ （1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x
题型三：错解 由方程组的错解问题，求参数的值。 例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。 练1：甲、乙两人同时解方程组{mx +ny =−8 ①mx −ny =5 ②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程②的n ，得到的解是25 x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值。 练2：甲乙两个学生解二元一次方程组 3216=-=+by cx by ax ，甲正确地解出 216-==y x ，乙因为把c 看错而得到 的解是 7.16.7-==y x ，求c b a ,,的值。 题型四：分析解的数量 例4：已知方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 27，试讨论c a 、的取值，使方程组： （1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解 练1：已知方程组⎩ ⎨⎧-=+=++4b 264-3b 2a y x y a x ）（有无数多解，则a =______，b=______； 练2：当a 、b 满足什么条件时，方程(2b 2-18)x =3与方程组⎩ ⎨⎧-=-=-5231b y x y ax 都无解；
含参数方程组的一些解题技巧(题型分类+例题精讲+真题反馈)
含参数方程组的一些解题技巧 在学完《二元一次方程组的解法》后，同学们会遇到一些题目，其中涉及到了含参数的方程组，这是整个章节的重难点之一．其中，同解问题一般从不含参数的方程入手，求出一对未知数的值再代入求参数．错解问题，则需将错解分别代入没有看错的方程中，求出参数，再求方程组的正确解．两类问题难度不大，故不作详述．今天主要讲解关于参数表示未知数，整体换元的相关解题技巧． 一．参数表示未知数 这类问题都有类似的套路，一般都是给出一个带有参数的方程组，再加两个未知数满足的条件，让你去求参数．解决这类问题的通法是先用含参数的代数式来表示未知数，再代入到给出的条件式子中，从而求解．但是，具体题目千变万化，又会有不同的解法．下面给出几个例子． 分析：本题中，方程组的两个方程均含有参数a，常规思路必然是用含a的代数式表示x，y，但是观察两个方程的系数我们发现，属于上一讲例3中的交叉相等．那么，只需将两式相加，即可表示出x＋y，问题迎刃而解． 解答：①＋②得，5x＋5y＝3a＋2，所以3a＋2＝5×4，a＝6 变式：若满足x－y＝5，求a的值，方法类似，同学们可以自行练习．
分析：本题若考虑用含参数的代数式来表示未知数，则未知数会出现分母上有字母的形式．此时，不妨将①式与另一个方程联立，则可以先解出x，y的值，再代入②式求a． 解答：将2x－y＝3与x＋y＝3联立，解得x＝2，y＝1，代入得a＝5． 分析：本题的系数不再有上一例题中交叉相等的关系，但若将两式相减，则可以消去参数a，得到另一个关于x，y的方程，与x＋y＝2联立，即可求出x，y的值，进而求出a．如果能进一步观察系数之间的关系，则可以发现，②×2－①，也可以表示x＋y． 解答： 法1 ①－②得，x＋2y＝2，与x＋y＝2联立得，x＝2，y＝0， 所以a＝2x＋3y＝4 法2 ②×2－①得，x＋y＝2a－(a＋2)＝a－2＝2，a＝4 二．整体换元 这类问题常常给出一个含参数的方程组，让同学们观察方程组的系数特点，然后迅速求出另一个方程组的解．一般来说，这类问题只是将原先的未知数整体换元，我们只需保证换元后的未知数与原未知数的值相等，或成比例即可．
二元一次方程组重点考点题型总结
二元一次方程组重点考点题型总结 第八章二元一次方程组类型总结 类型一：二元一次方程的概念及求解 例（1）已知（a-2）x-by|a|-1=5是关于x、y的二元一次方程，则a的值为多少，b的值为多少？ 2）二元一次方程3x+2y=15的正整数解为什么？ 类型二：二元一次方程组的求解 例（3）若|2a+3b-7|与（2a+5b-1）互为相反数，则a的值为多少，b的值为多少？ 4）2x-3y=4x-y=5的解为什么？ 类型三：已知方程组的解，而求待定系数。
例（5）已知方程组3mx-2y=1，4x+ny+7=2的解为x=-2，y=1，则m-n的值为多少？ 6）若满足方程组kx+(2k-1)y=6的x、y的值相等，则k的值为多少？ 练：若方程组2x-y=3，2kx+(k+1)y=10的解互为相反数，则k的值为多少？ 类型四：涉及三个未知数的方程，求出相关量。 设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法。 例（7）已知abc1=，且a+b-c=1，则a、b、c的值分别为多少？ 8）解方程组x+3y=2，3y+z=4，z+3x=6，得到x、y、z的值分别为多少？ 练：若2a+5b+4c=1，3a+b-7c=2，则a+b-c的值为多少？
由方程组x-2y+3z=2，2x-3y+4z=1可得，x∶y∶z是 （1∶2∶1）。 说明：解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解。当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组。 类型五：列方程组求待定字母系数是常用的解题方法。 例（9）若x=1，y=-2是方程组|a|x+by=6的解，则a+b的 值为多少？ 练：若x=1，y=3是方程组x=2a+3b，y=3a+4b，z=4a+5b 的解，则z的值为多少？ 注意：文章中的题目和练可能存在排版错误，具体以原题为准。 解析：
二元一次方程10道题带过程
二元一次方程10道题带过程 【原创版3篇】 篇1 目录 1.引言：二元一次方程的概述 2.二元一次方程的求解方法 3.例题一：解一个简单的二元一次方程组 4.例题二：解一个含有分数的二元一次方程组 5.例题三：解一个含有绝对值的二元一次方程组 6.例题四：解一个含有平方项的二元一次方程组 7.例题五：解一个含有两个未知数的二次项的二元一次方程组 8.例题六：解一个含有参数的二元一次方程组 9.例题七：解一个含有矩阵的二元一次方程组 10.例题八：解一个含有行列式的二元一次方程组 11.例题九：解一个含有高次项的二元一次方程组 12.例题十：解一个含有多个方程的二元一次方程组 13.结论：二元一次方程的求解技巧和注意事项 篇1正文 二元一次方程是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组，是代数学中的基本内容之一。在解决实际问题中，我们常常会遇到需要解决二元一次方程的问题。本文将通过十个例子，详细讲解如何解决二元一次方程。 首先，我们需要了解二元一次方程的求解方法。一般地，我们可以通过以下步骤求解：
1.列出方程组； 2.消元，将方程组化为一个一元一次方程； 3.解出一个未知数； 4.将已知数代入原方程，解出另一个未知数。 下面，我们将通过十个具体的例子，详细讲解如何运用以上方法解决二元一次方程。 例题一：解一个简单的二元一次方程组。 方程组：x + y = 6, x - y = 2。 解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 8，解得 x = 4，代入原方程解得 y = 2。 例题二：解一个含有分数的二元一次方程组。 方程组：x + y = 6, x - y = 1/2。 解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 15/2，解得 x = 15/4，代入原方程解得 y = 11/4。 例题三：解一个含有绝对值的二元一次方程组。 方程组：x + y = 6, |x - y| = 2。 解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：x - y = 2 或 x - y = -2，解得两组解：x = 4, y = 2 或 x = 2, y = 4。 例题四：解一个含有平方项的二元一次方程组。 方程组：x + y = 6, x^2 + y^2 = 10。 解：通过消元法，我们可以将方程组化为一个一元一次方程：2x = 16，解得 x = 8，代入原方程解得 y = -2。 以上只是二元一次方程的求解的一部分例子，我们还可以通过例题五到例题十，进一步学习和掌握二元一次方程的求解技巧。在实际求解过程
二元一次方程组中常见的题型
二元一次方程组中常见的题型: 1、已知方程1024211=+--n m y x 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。 变式:已知方程()()023812=++--+m n y n x m 是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。 2、已知⎩ ⎨⎧==53y x 是方程22-=+y mx 的一个解，求m 的值。 变式1:已知⎩⎨⎧==1 2y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，求()2015n m +的值。 3、若x 、y 的二元一次方程组⎩ ⎨⎧=-=+k y x k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值。 变式1:若x 、y 的二元一次方程组⎩⎨ ⎧=+=+6325y x k y x 的解也是二元一次方程k y x 9=-的解，求k 的值。 变式2:已知方程组⎩⎨⎧=--=+1653652y x y x 与方程组⎩⎨⎧-=+-=-8 4ay bx by ax 的解相同，求a 、b 的值。 变式3:已知方程组⎩⎨ ⎧-=--=+4652by ax y x 与方程组⎩⎨⎧-=+=-81653ay bx y x 的解相同，求a 、b 的值。 变式4：已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-+=-22540253z by ax z y x y x 与方程组⎪⎩ ⎪⎨⎧-=+=++=+-43258y x c z y x z by ax 的解相同，求a 、b 、c 的值。 4、某同学解方程组⎩ ⎨⎧-=+=+1321by ax by ax 时，因将第二个方程中的求知数y 的系数的正负号看错，解得⎩⎨⎧==1 2y x ，试求a 、b 的值。 变式1：甲、乙两人共同解关于x 、y 的方程组⎩⎨ ⎧-=-=+24155by x y ax ，由于甲看错了第一个方程中的a ，得到方程组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ；乙看错了第二个方程中的b ，得到方程组的解为⎩⎨⎧==4 5y x ，
二元一次方程题型
二元一次方程题型 一、和差倍数问题 知识梳理： 和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。 典型例题： 甲、乙两人分别以不变的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字。问甲、乙两人每分钟各打多少个? 解：设甲每分钟打x个字，乙每分钟打y个字。根据题意可列方程组为 2(x+y)=240① x-y=10① 由①得x+y=120 ①， ①+① 得2x=130， 解得x=65，将x=65代入① 得：y=55。 答：甲每分钟打65个字，乙每分钟打55个字。 思路点拨： 由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
典型例题： 某车间有22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个，螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天生产的产品正好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母? 解：设分配x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母。由题意可列方程组为 x+y=22① 2x1200x=2000y① 由①得6x=5y①， 由① 得x=22-y， 代入①得6(22-y)=5y， 整理得11y=132，解得y=12，则x=22-12=10。 答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。 思路点拨： 本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
人教版七年级下册 8.3 二元一次方程组应用题常见类型及解法
干货丨方程组应用的七大常考题型 一、实际问题与二元一次方程组的思路 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。 一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 答：写出答案。 3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。 二、典型题型分析 类型1 和差倍分问题 知识梳理：和差问题是已知两个量的和或这两个量的差，以及这两个量之间的倍数关系，求这两个量各是多少. 例1：被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km ，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km .求隧道累计长度与桥梁累计长度． 分析：设隧道累计长度为x km ，桥梁累计长度为y km.由“隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km ”可以得到第一个等量关系式x+y=342,再由“隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km ”可以得到第二个等量关系2x=y+36. 解：设隧道累计长度为x km ，桥梁累计长度为y km .根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝342，2x ＝y ＋36.解得⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝126，y ＝216. 答：隧道累计长度为126 km ，桥梁累计长度为216 km . 针对训练 1.学校的篮球比排球的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3∶2，求两种球各有多少个．若设篮球有x 个，排球有y 个，根据题意列方程组为(D ) A .⎩⎪⎨ ⎪⎧x ＝2y －33x ＝2y B .⎩⎪⎨ ⎪⎧x ＝2y ＋33x ＝2y C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＋32x ＝3y D .⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2y －32x ＝3y 类型2 配套问题 例2：现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子。问分别用多少张铁皮做盒身和盒底可以正好配套. 【详解】解：设用x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底
完整版)二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)
完整版)二元一次方程组常考题型分类总 结(超全面) 二元一次方程组常见题型 二元一次方程组是初中数学中的重要内容，常见的题型包括分配调运问题、行程问题、百分数问题、分配问题、浓度分配问题和金融分配问题等。 其中，分配调运问题是指在不同的地方分配人员或物品，需要根据条件求出各个地方的人数或物品数量。例如，某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，需要求出到两个工厂的人数各是多少。 行程问题是指两个人或物体在不同的路程上移动，需要根据条件求出它们的速度或路程。例如，甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。 需要求出甲、乙的平均速度各是多少。
百分数问题是指在数量变化中涉及到百分数的计算，需要根据条件求出各个数量的值。例如，某市现有42万人口，计 划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，需要求出这个市现在的城镇人口与农村人口。 分配问题是指在已知总量和每份数量的情况下，需要求出总量或份数。例如，某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个；若每人4个，则有一个少1个，需要求出幼儿园有几个小朋友。 浓度分配问题是指在不同浓度的物质中混合，需要根据条件求出各个物质的数量或浓度。例如，要配浓度是45%的盐 水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需 多少。 金融分配问题是指在不同价格的商品中混合，需要根据条件求出各个商品的数量或价格。例如，需要用多少每千克售 4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成每千克售3.6 元的杂拌糖200千克。
二元一次方程组常考题型分类总结(超全面)
二元一次方程组常见题型
二元一次方程组应用题 （分配调运问题）某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽9人到乙厂，则 两厂的人数相同；如果从乙厂抽5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的2倍，到两个工厂的人数各是多少？ 解：设到甲工厂的人数为x人，到乙工厂的人数为y人 题中的两个相等关系： 1、抽9人后到甲工厂的人数=到乙工厂的人数 可列方程为：x-9= 2、抽5人后到甲工厂的人数= 可列方程为： （行程问题）甲、乙二人相距6km，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇。二人的平均速度各是多少？解：设甲每小时走x千米，乙每小时走y千米 题中的两个相等关系： 1、同向而行：甲的路程=乙的路程+ 可列方程为： 2、相向而行：甲的路程+ = 可列方程为： （百分数问题）某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加工厂1.1％,这样全市人口将增加1％，求这个市现在的城镇人口与农村人口？ 解：这个市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人 题中的两个相等关系： 1、现在城镇人口+ =现在全市总人口 可列方程为： 2、明年增加后的城镇人口+ =明年全市总人口 可列方程为：（1+0.8％）x+ = （分配问题）某幼儿园分萍果，若每人3个，则剩2个，若每人4个，则有一个少1个， 问幼儿园有几个小朋友？解：设幼儿园有x个小朋友，萍果有y个 题中的两个相等关系：1、萍果总数=每人分3个+ 可列方程为： 2、萍果总数= 可列方程为： （浓度分配问题）要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两
种盐水各需多少？ 解：设含盐10%的盐水有x千克，含盐85%的盐水有y千克。题中的两个相等关系：1、含盐10%的盐水中盐的重量+含盐85%的盐水中盐的重量= 可列方程为：10%x+ = 2、含盐10%的盐水重量+含盐85%的盐水重量= 可列方程为：x+y= （金融分配问题）需要用多少每千克售4.2元的糖果才能与每千克售3.4元的糖果混合成 每千克售3.6元的杂拌糖200千克？解：设每千克售4.2元的糖果为x千克，每千克售3.4元的糖果为y千克 题中的两个相等关系： 1、每千克售4.2元的糖果销售总价+ = 可列方程为： 2、每千克售4.2元的糖果重量+ = 可列方程为： （几何分配问题）如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米 题中的两个相等关系： 1、小长方形的长+ =大长方形的宽 可列方程为： 2、小长方形的长= 可列方程为： （材料分配问题）一张桌子由桌面和四条脚组成，1立方米的木材可制成桌面50张或制作桌脚300条，现有5立方米的木材，问应如何分配木材，可以使桌面和桌脚配套？ 解：设 题中的两个相等关系：1、制作桌面的木材+ = 可列方程为： 2、所有桌面的总数：所有桌脚的总数= 可列方程为： （和差倍问题）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与 个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？