含参二元一次方程组的解
含参二元一次方程组的解
上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解
对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。二元一次方程组的解的三种情况:
(1)a1x+b1y=c1
(2)a2x+b2y=c2
①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。
②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。
③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。
如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线，
①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解
②两个直线重合时,方程组有无数组解
③两个直线平行但不重合时,方程组无解
讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。
题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。
(1)y+kx=b
(2)y+3(k-1)x=2
根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。
得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。
或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情
况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。
题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。
(1)y+kx=2
(2)2y+3(k-1)x=5
根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3
或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。
掌握上面的方法后可以试一试下面的题
题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。("希望杯"邀请赛试题)
(1)x+ay+1=0
(2)bx-2y+1=0
答案:a=-2,b=1。
题4:关于x，y的方程组，当a ，b 时无解。(初中数学竞赛试题)
(1)(a-1)x+y=5
(2)x+y=b
答案:a=2,b≠5。
含参的二元一次方程组训练题
含参的二元一次方程组训练题 1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。 2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。 3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3- a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为 2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2. 4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，- a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为 x+y=2-k/3，所以k=6-2m。 5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。 6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b- a)y=0，即x-y=0，所以a=b。代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.
7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。由于ad-bc≠0，所 以解唯一，所以k和m都是正整数。若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。 8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10- a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为 2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10. 9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。已知另一个方程5x+8y=38， 将其也化为矩阵形式Cx=d，其中C为系数矩阵，d为常数向量。由于解相同，所以A和C的行列式相等且A和C的秩相等，即ad-bc=5a-8(2)=0且rank(A)=rank(C)=2.解得a=16/7， m=2/7. 10.解：设方程组为ax+ay=k，-ax-ay=-k，由于x=y，所以 k=0.若x+y=k/a，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2a，所以 k=2a。 11.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于x+y=1，所 以a+c=k，b+d=m。又因为x+y=1/2(a+b+c+d)，所以 k+m=1/2(a+b+c+d)。解得k=(a+b)/2，即k=1/2.
二元一次方程组含参问题
二元一次方程组含参问题 类型一：方程组的同解问题 【例1】已知关于x ，y 的方程组{ 4x −y =53x +y =9和{ax +by =−13x +4by =18有相同的解． (1)求出它们的相同的解； (2)求(2a ＋3b)2019的值． 【练习】 若关于x ，y 的方程组{ 3x +4y =2ax +b 2y =5与{a 3x +by =42x −y =5有相同的解，求a ，b 的值． 类型二：方程组的错解问题 【例2】在解方程组{ax +4y =213x −by =6 时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a ，而得到解为{x =4y =3.乙同学看错了方程组中的b ，而得到解为{x =1y =4 . (1)求正确的a ，b 的值； (2)求原方程组的解． 【练习】甲、乙两人同时解关于x ，y 的方程组{ax +by =8cx −3y =−2 ，甲正确解得{x =1y =2，乙因为抄错c 的值，解得{x =2y =−6 ，求a ，b ，c 的值． 类型三：方程组的解 【例3】若方程组{2x +y =1−3k ① x +2y =2 ②的解满足x +y =0,则k 的值为（ ） A.-1 B.1 C.0 D.不能确定
【变式1】若方程组{x +2y =k −1 ①2x +y =5k +4② 的解满足x +y =5,则k 的值为（ ） A.-2 B.0 C.2 D.不能确定 【变式2】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x >0,y >0,求k 的范围。 【变式3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x +y =k ,求k 的范围。 【例4】k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组 （1）有唯一解； （2）无解； （3）有无数个解 变式1、当a 为何值时，关于x 、y 的方程组 有唯一解？ 变式2、当m 为何值时，关于x 、y 的方程组 有无数个解？ 类型四：方程的整数解 【例5】求二元一次方程3x +2y =12的非负整数解。 【练习】为了丰富学生课外小组的活动，培养学生的动手操作能力，王老师让学生把5m 长的彩绳截成2m 或1m 长的彩绳，用来做手工编织，在不浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ） A.1 B.2 C.3 D.无法确定 【例6】m 为正整数，已知关于x 、y 的二元一次方程组 有整数解，且x 、y 均为整数，求m 2 变式、要使关于x 、y 的二元一次方程组 有正整数解，求整数a 的值 ⎩⎨⎧=+++=+3 2)12(1 2y x k b y kx ⎩⎨⎧=+=+3 312y x y ax ⎩⎨⎧=-=+0 23102y x y mx ⎩⎨⎧=-=+1 3162y x ay x ⎩⎨⎧=+=+2212my x y x
06 含参二元一次方程组之已知方程组的解是另一二元一次方程的解
1、已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值. 【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法. （1）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值. （2）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值. （3）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k 的值. 把代入①，得，解得k=-4. 解法二：①×3－②×２，得17y=k-22， 解法三：①+②，得5x-y=2k+11. 又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4. 【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解法了.
2、关于x,y 的方程组?? ?+=+=-1 23m y x m y x 的解,也是方程 2x-y=3的解,求m 的值 解答： 3、已知关于x,y 的方程组? ??=++=+m y x m y x 32253 的未知数 x,y 的和等于2,求m 的值及方程组的解. 解答： 4、（2009年山东省中考试题）若关于x ，y 的二元一次方程组? ??=-=+k y x ,k y x 95的解也是 二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为（ ） A ．43- B ．43 C ．34 D ．3 4- 分析：将k 看作常数，解关于x 、y 的方程组，即可用k 的代数式分别表示出x 、y ， 再代入后面的二元一次方程便可求解．由方程组得2x ＝14k ，y ＝－2k ．代入632=+y x ，得14k －6k ＝6，解得k ＝ 43 答案：B ． 技巧提升：若将问题换成“关于x ，y 的二元一次方程组? ??=+=+6325y x k y x 的解也是二元一 次方程k y x 9=- 的解，求k 的值．”则应注意考虑解题顺序，仍然先解由方程k y x 5=+、k y x 9=-组成的方程组比较简便． 5、关于关于y x 、的方程组? ??-=+-=-5m 212y 3x 4m 113y 2x 的解也是二元一次方程2073=++m y x 的解，则m 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、 21 解答：
含参二元一次方程组的解
含参二元一次方程组的解 上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解 对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。二元一次方程组的解的三种情况: (1)a1x+b1y=c1 (2)a2x+b2y=c2 ①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。 ②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。 ③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。 如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线， ①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解 ②两个直线重合时,方程组有无数组解 ③两个直线平行但不重合时,方程组无解 讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。 题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。 (1)y+kx=b (2)y+3(k-1)x=2 根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。 得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。 或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情 况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。 题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。 (1)y+kx=2 (2)2y+3(k-1)x=5 根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3 或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。 掌握上面的方法后可以试一试下面的题 题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。("希望杯"邀请赛试题)
心头有数｜含参二元一次方程组的解相关问题
心头有数｜含参二元一次方程组的解相关问题 展开全文 前面总结了一篇含参不等式（组）整数解问题（心头有数｜含参不等式组的整数解问题（易错点）），今天将二元一次方程组的含参问题总结如下。 一、同解方程 因为是同解方程，所以先解不含参数的两个二元一次方程组，再把解出来的x、y代入另外两个方程，解关于a、b的方程。 二、整数解问题 先解出方程组，得到x、y的值，然后根据m为正整数，x、y为整数，求出m的值。在这里，涉及m的整除问题，在讲一元一次方程的含参问题时，已经讲到。
三、二元一次方程组有唯一解 解方程组，消去y，得到关于x的一元一次方程，当x有唯一解的时候，则方程组有唯一解。 四、二元一次方程组有无数解
解方程组，消去x，得到关于y的一元一次方程，当y有无数个解的时候，则方程组有无数个解。 五、二元一次方程组无解 解方程组，得到关于x、 y的值，当分母无意义的时候，方程组无解。但是本题特别注意，当上下两个方程化简后一模一样的时候，方程组有无数个解。 关于二元一次方程组有唯一解、无解、无数个解的总结思考：
将方程组化简成一般形式，相同未知数前面的系数存在一定的关系，则方程组存在不同的解的情况，详解见下： 历史精彩文章 心头有数｜含参不等式组的整数解问题（易错点） 心头有数｜杨辉三角 心头有数｜负数的整数部分和小数部分（盲区） 心头有数 | 二次函数中相似三角形存在性问题 心头有数｜增量巧设，妙解“每每型”一元二次方程应用题 心中有数｜一元二次方程整数根 心头有数｜反比例函数常用固定结论 心中有数｜如何在平面直角坐标系中求对称点的坐标 心中有数｜二次根式大小比较的十种方法 心中有数 | 二次根式运算的八种技巧 心中有数｜不定方程 心头有数｜平面直角坐标系中平移问题解决方案
二元一次方程常见含参题型解法
二元一次方程常见含参题型解法 一、常见的含参二元一次方程题型有哪些？ 在解题时，我们常常会遇到含参的二元一次方程题型，这些题型可能涉及到不同的参数取值范围，需要采用不同的方法进行求解。常见的含参二元一次方程题型包括但不限于以下几种： 1. 一元二次方程的参数问题：如给定参数a，求方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0的解； 2. 参数范围问题：如对于方程(x+2)(x-a) = 0，a取什么值时方程有两个相异的实根； 3. 参数性质问题：如对于方程ax^2 + (a-1)x + 1 = 0，若a>0，求x 的取值范围； 4. 参数关系问题：如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0，若方程有两个相反数根，求a的取值范围。 以上仅为一些常见的含参二元一次方程题型，实际上在解题过程中还会遇到更多类型的题目，需要根据具体情况进行灵活求解。
二、常见的含参二元一次方程解法有哪些？ 对于含参的二元一次方程题型，我们通常可以采用以下几种解法： 1. 代数法：对于一些直接的参数问题，可以采用代数的方法进行求解。通过将参数代入方程中，列出相关方程式，进而求得方程的解。例如 对于方程x^2 + 2ax + a^2 - 3 = 0，我们可以直接代入参数a，然后利用求根公式求得方程的解。 2. 几何法：对于一些参数范围或参数性质问题，可以采用几何的方法 进行求解。通过在坐标平面上绘制函数图像、直线或抛物线等，来分 析参数的取值范围或者特定性质。例如对于方程(x+2)(x-a) = 0，我们可以通过绘制函数图像得出a的取值范围。 3. 参数化求解法：对于一些参数关系问题，可以采用参数化的方法进 行求解。通过设定参数的具体取值，然后根据参数的性质进行讨论， 并最终得出方程的解。例如对于方程(2a-1)x^2 + (a+1)x + 1 = 0， 我们可以对a进行参数化，然后讨论参数的取值范围。 以上是常见的含参二元一次方程解法，实际应用中还可能会有其他求 解方法，需要根据具体题目进行灵活选择。 三、个人观点和理解
二元一次方程组的解法复习课以及含参问题
解二元一次方程组 (1)⎩⎨⎧-==+1 25 32x y y x （2）⎩⎨⎧-=-=-13542y x y x (3)⎩⎨⎧=+=-104302y x y x （4） ⎩⎨⎧=-=+8 25 23y x y x (5)⎩⎨⎧=+=-162142y x y x （6）⎩ ⎨⎧-=-=+52534t s t s 姓名：
(7)⎩⎨⎧=-=+17431232y x y x （8）⎩⎨⎧-=-=-5 479 65y x y x (9)⎩⎨⎧=+=-323754y x y x （10）⎩⎨⎧-=-=-3 436 65y x y x (11)⎩⎨⎧+=-+=-)5(3)1(55)1(3x y y x (12)()()()⎪⎩⎪ ⎨⎧=--+-=+--3 223121432y x y x y x y x
二元一次方程组含参问题 例1 若⎩⎨ ⎧==1 2y x 是二元一次方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2 523by ax by ax 的解，求b a 2+的值. 例2 若方程组 ⎩⎨ ⎧=+=+1 22y x m y x 的解满足5=-y x ，求m 的值. 巩固：已知方程组 ⎩ ⎨ ⎧=+=-823 2ky x y x 的解x +2y =5相等，求k 的值. 例3 若方程组 ⎩⎨ ⎧=-=-3 547 y x by ax 与 ⎩⎨⎧=+=+7323y x by ax 有相同的值，求a 、b 的值. 姓名：
巩固：已知关于x 、y 的方程组 ⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 与 ⎩⎨⎧=+=+3 3211 23by ax y x 的解相同，求a 、b 的 值. 例4 小亮在解方程组 ⎩⎨ ⎧=-=+② dy cx ①y ax 472时，看错了a 而得到⎩⎨ ⎧==1 5 y x ，而方程组正确的解是 ⎩ ⎨⎧-==13 y x ，请你探究一下a 、c 、d 的值. 巩固：甲、乙两人共同解方程组⎩⎨ ⎧-=-=+② by x ①y ax 24155 由于甲看错了方程①中的a ，得方程 组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ，乙看错了方程②中的b ，得到方程的解为⎩ ⎨⎧==45 y x ，试计算代数式 2003 2002)10 1(b a - +的值.
02 含参二元一次方程组之已知解的个数求参数
1、如果方程组⎩⎨ ⎧=-=+1 293y x y ax 无解，则a 为（ ） A.6 B.－6 C.9 D.－9 解答： 2、已知方程组⎩⎨ ⎧=+=+c y ax y x 27，试确定c a 、的值，使方程组： （1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解 解答： 3、当a 、b 满足什么条件时，方程(2b 2-18)x =3与方程组⎩⎨⎧-=-=-5 231b y x y ax 都无解； 解答：2 3=a ，b =±3 4、已知关于x y 、的方程组()312y kx b y k x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ ， 分别求出k,b 为何值时, 方程组的解为: ⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解? 解答： 5、当a 、b 满足什么条件时，关于x 、y 的方程(22 b -18)x=3①与方程组 都无解？请说明理由. 解答：当方程①无解时，2b 2-18=0，解得3±=b ．由②得1+=ax y ，代入③得
5)1(23-=+-b ax x ，整理得3)23(-=-b x a ④，当方程④无解时，必有⎩⎨⎧≠-=-0 3023b a ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧-≠=323b a ，综上所述，a 、b 应满足条件：⎪⎩⎪⎨⎧-==3 23b a . 6、 (第19届希望杯数学邀请赛初二试题)关于x ，y 的方程组10210 x ay bx y ++=⎧⎨-+ =⎩有无数组 解，则a ，b 的值为( ) A ．0=a ,0b = B ．2-=a ，1b = C ．2=a ，1b =- D ．2=a ，1b = 分析：要讨论二元一次方程组的解，我们可以将它通过消元转化为讨论只含有一个未知数的方程的解的问题来解决. ①-⨯b ② ，得b y ab -=+1)2(，根据题意知这个关于y 的方程有无数个解，所以可得012=-=+b ab ，所以可得2-=a ，1b =. 答案：B .有无数组解，则要求 112 1 a b ==-，故2a =-，1b =. 技巧提升：对二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+0 02211y b x a y b x a ，通过探究我们能发现：若2 121b b a a ≠， 则方程组有唯一解；若 2 12 12 1c c b b a a ≠ = ，则方程组无解；若 2 12 12 1c c b b a a = = ，则方程组有无 穷多个解．
含参数的二元一次方程组
专题：含参的二元一次方程组 一、同解问题 例1：已知关于 二元一次方程组 的解是二元一次方程 的解，求 的值。 分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。 变式1：已知方程组23352x y m x y m +=??+=+? 的解适合8x y +=，求m 的值. 例2：已知二元一次方程组 的解和 的解相同，求 的值。 变式2：已知二元一次方程组 的解和 的解相同，求 的值。 二、解的性质 例3：已知关于 二元一次方程组 的解 的值互为相反数，求 的值。 143 x y x ay -=??+=?3=+y x a y x ,???=-=+1235 4y x y x ???=-=+13 ny mx ny mx n m ,? ?? =+=+354ny mx y x ???=-=-1123ny mx y x n m ,y x ,???=-+=+3)1(7 34y k kx y x y x ,k
变式3：已知方程组 的解 与 的和是负数，求k 的取值范围。 变式4：若方程组 的解 满足 ，求 的取值范围。 分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理 三、错解问题 例4：甲乙两人同时解关于 的方程组 ，甲看错了 ，求得的解为 ，乙看错了 ，求得 的解为 ，你能求出原题中的 的值吗？ 分析：将解代入没看错的方程 变式5：甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=?? -=-? ①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为3 1x y =-??=-?；乙 看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54 x y =??=?.试计算201720181 ()10a b +-的值. 例5：已知 ，求 的值。 ???-=+=-k y x k y x 5132x y ???=++=+3313y x k y x y x ,10<+ 二元一次方程（组）含参问题 二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？ 二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。 在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种： 1.根据定义求参数 什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。 例题1、若方程21221=++-m n m y x 是二元一次方程，则mn=______. 例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0. 2. 同解类问题 什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。 例：已知x 、y 的方程组⎩⎨ ⎧-=+=-1332by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=+3 321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。 3.用参数表示方程组的解类问题 已知方程组⎩ ⎨ ⎧=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________. 4.错解类问题 遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。 例：小明和小红同解一个二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为⎩⎨⎧=-=31y x ，小红把方程（2）抄错，求得解为⎩⎨ ⎧==2 3y x ，求a 、b 的值。 5. 整体思想类 在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。 例：已知方程组⎩ ⎨⎧+=++=+15252k y x k y x 的解互为相反数，求k 的值。 专题9：含参的二元一次方程组教学设计 学习目标： 1.会求二元一次方程组的解. 2.会解决与二元一次方程组有关的含参问题. 一、课前热身 1. 已知方程组{4x +y =−2ax −by =3和方程组{3x −y =16bx −ay =5 的解相同，求(a +b)2的值. 解：由题得{4x +y =−23x −y =16 解得：{x =2y =−10 则{2a +10b =3①2b +10a =5② ①+②得：12a +12b =8 即 a +b=23 ∴(a +b)2=49 以题的形式对知识点进行回顾.这节课，我们将解决几类含参的二元一次方程组. 二、考题讲解 例1 {x =2y =3是方程组{ax +by =4−2ax −3by =−5 的解，则a =__72___；b =___-1_____。 变式：1@y {x =1y =−2是{mx +ny =5mx −2ny =−3 的解，则m+n=( C ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 归纳：当含有字母参数的方程组的解已经给出时，可先把解直接带入原方程组，构造出关于字母的方程，进而求得其值． 例2 方程组{2x +y =8mx −y =n 与{x −ny =2m 2x −y =8 同解，则m=__2_______，n=___8_________. 变式：已知关于x ,y 的二元一次方程组{x +y =53ax +4by =−12 和{ax −by +4=0x −y =3有相同的解，则a =____-1____，b=__0____. 归纳：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参数的值． 例3 若关于x ,y 的方程组{−3x +2y =a −44x −y =a −2 的解满足x +y=0，则a =___4_____. 二元一次方程组中的含参问题题型归类 题型一：解含参方程组，变参为主 例1：关于x 与y 的二元一次方程组 k y x k y x 95=-=+的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k =______ 练1：关于x 、y 的方程组⎩ ⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是 练2：m 取什么整数时，方程组 的解是正整数？ 题型二：同解 两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例2：已知方程 与 有相同的解，则a 、b 的值为 。 练1：若二元一次方程组 4 2652-=--=+by ax y x 和 83653-=+=-ay bx y x 有相同的解，求2010)2(b a +的值。 练2：若二元一次方程组 1 2323=+=+ay x y x 中的x 与y 互为相反数，则=a ______ （1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x 题型三：错解 由方程组的错解问题，求参数的值。 例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。 练1：甲、乙两人同时解方程组{mx +ny =−8 ①mx −ny =5 ②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程②的n ，得到的解是25 x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值。 练2：甲乙两个学生解二元一次方程组 3216=-=+by cx by ax ，甲正确地解出 216-==y x ，乙因为把c 看错而得到 的解是 7.16.7-==y x ，求c b a ,,的值。 题型四：分析解的数量 例4：已知方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 27，试讨论c a 、的取值，使方程组： （1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解 练1：已知方程组⎩ ⎨⎧-=+=++4b 264-3b 2a y x y a x ）（有无数多解，则a =______，b=______； 练2：当a 、b 满足什么条件时，方程(2b 2-18)x =3与方程组⎩ ⎨⎧-=-=-5231b y x y ax 都无解； 二元一次方程含参问题 【原创版】 目录 1.二元一次方程的定义与基本概念 2.含参问题的分类与求解方法 3.实际应用举例与解题技巧 正文 二元一次方程含参问题在数学领域中属于基础题型，它涉及到了解二元一次方程的基本概念以及如何解决含参问题。本文将从以下几个方面来介绍二元一次方程含参问题的相关知识。 首先，我们需要了解二元一次方程的定义与基本概念。二元一次方程是指包含两个未知数的一次方程，其一般形式为 ax + by = c。在这个方程中，a、b 和 c 是已知数，x 和 y 是未知数。解二元一次方程的方法有多种，如代入法、消元法和韦达定理等。 其次，我们来讨论含参问题的分类与求解方法。含参问题可以分为两类：一类是参数取值范围内的含参问题，另一类是参数取值范围外的含参问题。对于第一类问题，我们通常可以通过代入法或消元法求解；而对于第二类问题，我们需要利用韦达定理来解决。在解决含参问题时，还需注意对参数取值范围的讨论，以确保得到的解是正确的。 接下来，我们通过一个实际应用举例来加深对二元一次方程含参问题的理解。假设有一个长方形，其长为 x，宽为 y，面积为 S。已知长方形的周长为 2(x + y) = 20，且面积为 S = xy。现在需要求解长和宽的值。这是一个典型的二元一次方程含参问题，可以通过代入法或消元法求解。解得 x = 5，y = 4，因此长方形的长为 5，宽为 4。 最后，我们来总结一下解决二元一次方程含参问题的解题技巧。首先，要熟练掌握解二元一次方程的基本方法，如代入法、消元法和韦达定理等； 其次，在解决含参问题时，要注意对参数取值范围的讨论，以确保得到的解是正确的；最后，多做练习题，提高自己的解题能力和技巧。 总之，二元一次方程含参问题是数学中的基础题型，通过掌握解二元一次方程的基本概念和方法，我们可以轻松地解决这类问题。 含参数方程组的一些解题技巧 在学完《二元一次方程组的解法》后，同学们会遇到一些题目，其中涉及到了含参数的方程组，这是整个章节的重难点之一．其中，同解问题一般从不含参数的方程入手，求出一对未知数的值再代入求参数．错解问题，则需将错解分别代入没有看错的方程中，求出参数，再求方程组的正确解．两类问题难度不大，故不作详述．今天主要讲解关于参数表示未知数，整体换元的相关解题技巧． 一．参数表示未知数 这类问题都有类似的套路，一般都是给出一个带有参数的方程组，再加两个未知数满足的条件，让你去求参数．解决这类问题的通法是先用含参数的代数式来表示未知数，再代入到给出的条件式子中，从而求解．但是，具体题目千变万化，又会有不同的解法．下面给出几个例子． 分析：本题中，方程组的两个方程均含有参数a，常规思路必然是用含a的代数式表示x，y，但是观察两个方程的系数我们发现，属于上一讲例3中的交叉相等．那么，只需将两式相加，即可表示出x＋y，问题迎刃而解． 解答：①＋②得，5x＋5y＝3a＋2，所以3a＋2＝5×4，a＝6 变式：若满足x－y＝5，求a的值，方法类似，同学们可以自行练习． 分析：本题若考虑用含参数的代数式来表示未知数，则未知数会出现分母上有字母的形式．此时，不妨将①式与另一个方程联立，则可以先解出x，y的值，再代入②式求a． 解答：将2x－y＝3与x＋y＝3联立，解得x＝2，y＝1，代入得a＝5． 分析：本题的系数不再有上一例题中交叉相等的关系，但若将两式相减，则可以消去参数a，得到另一个关于x，y的方程，与x＋y＝2联立，即可求出x，y的值，进而求出a．如果能进一步观察系数之间的关系，则可以发现，②×2－①，也可以表示x＋y． 解答： 法1 ①－②得，x＋2y＝2，与x＋y＝2联立得，x＝2，y＝0， 所以a＝2x＋3y＝4 法2 ②×2－①得，x＋y＝2a－(a＋2)＝a－2＝2，a＝4 二．整体换元 这类问题常常给出一个含参数的方程组，让同学们观察方程组的系数特点，然后迅速求出另一个方程组的解．一般来说，这类问题只是将原先的未知数整体换元，我们只需保证换元后的未知数与原未知数的值相等，或成比例即可． 二元一次方程组 知识点：二元一次方程组解的定义 1、已知⎩ ⎨⎧+=-=a y a x 4332，是方程54=-y x 的一个解，则a 的值为 。 知识点：含参二元一次方程解 1、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=-k y x k y x 52的解也是方程94-=-y x 的解，则k 的值为 。 2、已知二元一次方程组⎩ ⎨⎧+=-+=+243412223k y x k y x 的解满足6=+y x ，则k 的值为 。 3、已知⎩⎨⎧+=+=+1 2242k y x k y x ，且02<-<-y x ，则整数k 的值为 。 知识点：整体思想 1、如果实数x 、y 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-5 2221y x y x ，则22y x -的值为 。 2、若方程组⎩⎨⎧=+=-153732n m n m 的解是⎩⎨⎧-==12n m ，则方程组()()()()⎩⎨⎧=-++=--+1 251372312y x y x 的解是 。 3、如果x 、y 满足1532=+y x ，4136=+y x ，则y x 2+的值是 。 4、若方程组⎩⎨⎧-=+=+3 223432m y x y x 的解满足51=+y x ，则m 的值是 。 知识点：消去思想 1、由方程组⎩ ⎨⎧=-=+m y m x 312，可得出x 与y 的关系是 。 2、由方程组⎩⎨⎧=-+=-+0 330123m y m x ，可得出x 与y 的关系是 。 知识点：将错就错 1、解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx bx ax 时，一学生把c 看错而得到⎩⎨⎧=-=22y x 而正确的解是⎩⎨⎧-==23y x ，那么a 、b 、c 的值分别是 。 含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础,是学习一次函数的基础,是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。现选取几道题略作讲解，供同学们参考。 一、两个二元一次方程组有相同的解,求参数值。 例:已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 略解：由(1）和(3）组成的方程组⎩⎨⎧=-=+5235y x y x 的解是 ⎩ ⎨⎧-=+=21y x 把它代入(２)得 a=14；把它代入(4）得b=２。 方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组,得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程,从而求出参数的解。 二、根据方程组解的性质,求参数的值。 例2：m 取什么整数时,方程组的解是正整数? 略解:由②得ｘ＝３ｙ ２×3y －my ＝6 y=m -66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、３、6;ｍ的值为0、３、4、5。 方法:是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 三、由方程组的错解问题，示参数的值。 例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==2 3y x 由于看错了系数ｃ, 从而得到解⎩ ⎨⎧=-=22y x 试求a+b ＋c 的值。 方法:是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。8273=-⨯-⨯）（c 2-=c 把⎩⎨⎧-==23y x 和⎩⎨⎧=-=2 2y x 代入到a ｘ＋by ＝2中，得到一个关于a 、ｂ的方程组。 （1） （2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3） （4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x二元一次方程(组)含参问题
专题9 含参的二元一次方程组教学设计
二元一次方程组中的含参问题的常见题型
二元一次方程含参问题
含参数方程组的一些解题技巧(题型分类+例题精讲+真题反馈)
14北师大八年级上二元一次方程培优辅导第1讲：二元一次方程
含参数的二元一次方程组的解法