心头有数｜含参二元一次方程组的解相关问题

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前面总结了一篇含参不等式（组）整数解问题（心头有数｜含参不等式组的整数解问题（易错点）），今天将二元一次方程组的含参问题总结如下。

一、同解方程

因为是同解方程，所以先解不含参数的两个二元一次方程组，再把解出来的x、y代入另外两个方程，解关于a、b的方程。

二、整数解问题

先解出方程组，得到x、y的值，然后根据m为正整数，x、y为整数，求出m的值。在这里，涉及m的整除问题，在讲一元一次方程的含参问题时，已经讲到。

三、二元一次方程组有唯一解

解方程组，消去y，得到关于x的一元一次方程，当x有唯一解的时候，则方程组有唯一解。

四、二元一次方程组有无数解

解方程组，消去x，得到关于y的一元一次方程，当y有无数个解的时候，则方程组有无数个解。

五、二元一次方程组无解

解方程组，得到关于x、 y的值，当分母无意义的时候，方程组无解。但是本题特别注意，当上下两个方程化简后一模一样的时候，方程组有无数个解。

关于二元一次方程组有唯一解、无解、无数个解的总结思考：

将方程组化简成一般形式，相同未知数前面的系数存在一定的关系，则方程组存在不同的解的情况，详解见下：

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含参的二元一次方程组训练题

含参的二元一次方程组训练题 1.解：设方程组为ax+by=k，-ax-by=k，由于解互为相反数，所以k=0.若x=y，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2，所以k=2a。 2.解：将x-y=-1代入方程组得到ax+(a-1)y=k，-ax-(a-1)y=-k，由于有一个解相同，所以k=0.若x+y=2，则方程组为2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a，所以k=4a。 3.解：将x-3y=6代入方程组得到ax+(a-3)y=k，-ax+(3- a)y=-k，由于解相同，所以k=0.若x-y=2，则方程组为 2ax+2ay=k，解为x=y=k/2a+1，所以k=2a-2. 4.解：将x+y=1代入方程组得到a/2x-a/2y=1/2-k/2，- a/2x+a/2y=1/2-k/2，两式相加得到a/2(x+y)=1-k，代入x+y=1得到k=1-a/2.若3x-2y+k=0，则方程组为3x+3y=6-k，解为 x+y=2-k/3，所以k=6-2m。 5.解：将x+y=1代入方程得到2x^2=1，所以x=±1/√2.代入方程得到y=±1/√2，所以解为(1/√2.-1/√2)和(-1/√2.1/√2)。 6.解：设方程组为ax+by=ab，bx+ay=ab，则(a-b)x+(b- a)y=0，即x-y=0，所以a=b。代入方程组得到2ax=ab，解为x=y=b/2，所以a=b=2.

7.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于解都是正整数，所以a、b、c、d、k、m都是正整数。由于ad-bc≠0，所以解唯一，所以k和m都是正整数。若x+y=k/a，则方程组为(a+c)x+(b+d)y=k+m，解为x+y=(k+m)/(a+c)，所以a+c=k+m。 8.解：将x-y=10代入方程组得到ax+(a-10)y=k，-ax+(10- a)y=-k，由于解唯一，所以a≠5.若x-y=m，则方程组为 2ax+(2a-2m)y=k，解为x+y=(k+m)/(a+a-m)，所以a+a-m=10. 9.解：将方程组化为矩阵形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。已知另一个方程5x+8y=38，将其也化为矩阵形式Cx=d，其中C为系数矩阵，d为常数向量。由于解相同，所以A和C的行列式相等且A和C的秩相等，即ad-bc=5a-8(2)=0且rank(A)=rank(C)=2.解得a=16/7， m=2/7. 10.解：设方程组为ax+ay=k，-ax-ay=-k，由于x=y，所以 k=0.若x+y=k/a，则方程组为2ax=k，解为x=y=k/2a，所以 k=2a。 11.解：设方程组为ax+by=k，cx+dy=m，由于x+y=1，所以a+c=k，b+d=m。又因为x+y=1/2(a+b+c+d)，所以 k+m=1/2(a+b+c+d)。解得k=(a+b)/2，即k=1/2.

二元一次方程组含参问题

二元一次方程组含参问题类型一：方程组的同解问题【例1】已知关于x ，y 的方程组{ 4x −y =53x +y =9和{ax +by =−13x +4by =18有相同的解． (1)求出它们的相同的解； (2)求(2a ＋3b)2019的值．【练习】若关于x ，y 的方程组{ 3x +4y =2ax +b 2y =5与{a 3x +by =42x −y =5有相同的解，求a ，b 的值．类型二：方程组的错解问题【例2】在解方程组{ax +4y =213x −by =6 时，由于粗心，甲同学看错了方程组中的a ，而得到解为{x =4y =3.乙同学看错了方程组中的b ，而得到解为{x =1y =4 . (1)求正确的a ，b 的值； (2)求原方程组的解．【练习】甲、乙两人同时解关于x ，y 的方程组{ax +by =8cx −3y =−2 ，甲正确解得{x =1y =2，乙因为抄错c 的值，解得{x =2y =−6 ，求a ，b ，c 的值．类型三：方程组的解【例3】若方程组{2x +y =1−3k ① x +2y =2 ②的解满足x +y =0,则k 的值为（） A.-1 B.1 C.0 D.不能确定

【变式1】若方程组{x +2y =k −1 ①2x +y =5k +4② 的解满足x +y =5,则k 的值为（） A.-2 B.0 C.2 D.不能确定【变式2】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x >0,y >0,求k 的范围。【变式3】若方程组{2x +y =1−3k ①x +2y =2 ② 的解满足x +y =k ,求k 的范围。【例4】k 、b 为何值时，关于x 、y 的方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无数个解变式1、当a 为何值时，关于x 、y 的方程组有唯一解？变式2、当m 为何值时，关于x 、y 的方程组有无数个解？类型四：方程的整数解【例5】求二元一次方程3x +2y =12的非负整数解。【练习】为了丰富学生课外小组的活动，培养学生的动手操作能力，王老师让学生把5m 长的彩绳截成2m 或1m 长的彩绳，用来做手工编织，在不浪费的前提下，你有几种不同的截法（） A.1 B.2 C.3 D.无法确定【例6】m 为正整数，已知关于x 、y 的二元一次方程组有整数解，且x 、y 均为整数，求m 2 变式、要使关于x 、y 的二元一次方程组有正整数解，求整数a 的值 ⎩⎨⎧=+++=+3 2)12(1 2y x k b y kx ⎩⎨⎧=+=+3 312y x y ax ⎩⎨⎧=-=+0 23102y x y mx ⎩⎨⎧=-=+1 3162y x ay x ⎩⎨⎧=+=+2212my x y x

含参的二元一次方程组练习题

5.16含参的二元一次方程组姓名_________ 1.若一次函数y=3x-5与y=2x+7的交点P 的坐标为(15,38),则方程组 3527x y x y -=??-=? 的解为_ __. 2.已知关于x 、y 的方程组{mx +y =0x +ny =3 ，解是{x =1y =?2则2m +n 的值为 ( ) A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 3.若关于的方程组的解是，则为（） A ．1 B ．3 C ．5 D ．2 4.若关于x ，y 的二元一次方程组???=-=+k y x k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为（A ）43- （B ）43 （C ）34 （D ）3 4- 5.已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________,y =__________. 6．已知2316 x mx y y x ny =-=????=--=??是方程组的解，则m=_______，n=______． 7. 已知231x y =-??=?是二元一次方程组11 ax by bx ay +=??+=?的解,则()()a b a b +-的值是 . 8.已知y =kx +b ,当x =1时，y =－1，当x =3时，y =－5,则k =__________，b =__________。 9.若方程组???=+=+54ay bx by ax 的解是???==1 2y x ，则a +b =__________。 10.解关于x 的方程组???=-=+m y x m y x 932得???==. ________,y x 当m 满足方程5x +8y =38时，m =________. 11.孔明同学在解方程组2y kx b y x =+??=-?的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12=-??=? x y ，又已知直线=+y kx b 过点（3，1），则b 的正确值应该是． 12.甲、乙两人同时解方程组{mx +ny =?8 ①mx ?ny =5 ②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =??=? ，乙看错了方程②的n ，得到的解是25x y =??=? ，试求正确,m n 的值。请写出做题详细过程 x y ，2x y m x my n -=?? +=?21x y =??=?||m n -

二元一次方程组含参问题教学设计

二元一次方程组含参问题教学设计今天我要和你聊的是关于二元一次方程组含参问题的教学设计。这是一个非常重要的数学概念，也是中学阶段数学教学中的重点之一。通过深入的理解和掌握，学生可以更好地应用这一概念解决实际问题，培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。在本篇文章中，我将从深度和广度两个方面对二元一次方程组含参问题的教学进行全面评估，并据此撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。一、理论基础在进行教学设计之前，首先要对二元一次方程组含参问题的理论基础有一个清晰的认识。二元一次方程组含参问题是指方程组中的系数或常数是未知数的函数的问题。在初中数学中，一般是用代数方法来解决这类题目。学生需要掌握代数方法的基本原理和运用技巧，包括解方程、消元、代入等。还需要了解二元一次方程组的图像解释和几何意义，从而更好地理解和应用这一概念。二、教学目标针对二元一次方程组含参问题，我们的教学目标应该是帮助学生： 1. 理解含参常数的概念，掌握含参一次方程的解法； 2. 掌握解二元一次方程组的方法，并能熟练运用代数方法解决含参问题； 3. 了解二元一次方程组的图像解释和几何意义；

4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。三、教学内容在教学过程中，我们应该注重以下几个方面的内容： 1. 含参常数的概念：通过具体的例子，引导学生理解含参常数的概念，明确含参常数与未知数的关系，为后续解题打下基础； 2. 含参一次方程的解法：结合实际问题，引导学生掌握含参一次方程的解法，重点培养学生的应用能力； 3. 解二元一次方程组的方法：通过实例详细讲解解二元一次方程组的方法，并且通过实际问题的应用，培养学生解决实际问题的能力； 4. 图像解释和几何意义：引导学生理解二元一次方程组的图像解释和几何意义，加深对这一概念的理解。四、教学方法在教学过程中，我们可以采用多种教学方法，包括： 1. 讲授法：通过讲解基本原理和解题方法，帮助学生理解和掌握知识点； 2. 实例分析法：通过具体的例子，引导学生熟练应用知识，培养解决实际问题的能力； 3. 合作学习法：组织学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作，提高学习效果； 4. 案例教学法：以真实案例为背景，引导学生深入理解知识点，加强对知识点的实际运用能力。

解二元一次方程组实际问题

第八章二元一次方程组二元一次方程组的应用练习 8.3实际问题与二元一次方程组一、引入新知例1（数字问题）有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数。例2（差倍分问题）甲乙二人，若乙给甲10元，则甲所有的钱为乙的3倍；若甲给乙10 2倍多10元.求甲乙各拥有多少钱？例3 (年龄问题)父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？二、课堂练习 1、甲乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店12台，则两店的洗衣机一样多，若乙店拨给甲店12台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5倍还多6台.求甲、乙两店各 2、某工厂第一车间的人数比第二车间人数的 54少30人，若从第二车间调10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间人数的4 3，求各车间的人数. 3、有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数。 4、甲乙两条绳共长17米，如果甲绳子减去五分之一，乙绳增加1米，两条绳子相等.求甲、乙两条绳各长多少米？ 5、现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？三、课后作业 1、小华买了10分与20分的邮票16枚，花了2元5角，求10分与20分的邮票各买了多少枚？ 2、父亲和女儿的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的二倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的3 1，求女儿与父亲现在的年龄各是多少？ 3、在道路两旁种树，每隔3米一棵，到头还剩3棵，每隔2.5米一棵，到头还缺77棵，则这条马路有多少米，共有多少棵树？四、课时小结 1.本节学习的主要内容是利用方程组解决数字、和差倍分、年龄等实际问题. 2.学会分析问题中的等量关系

含参二元一次方程组的解

含参二元一次方程组的解上一篇我们介绍过一元一次方程的解有三种情况，二元一次方程组的解同样也有三种情况：①唯一的一组解②无数组解③无解对于这三种情况，我们需要对它们的基本特征掌握熟练后，才能轻松应对含参的二元一次方程组解的讨论(或者通过消元转化成一元一次方程再讨论)。二元一次方程组的解的三种情况: (1)a1x+b1y=c1 (2)a2x+b2y=c2 ①当a1:a2 ≠ b1:b2 时,方程组有唯一解。 ②当a1:a2 = b1:b2 = c1:c2时,方程组有无数组解。 ③当a1:a2 = b1:b2 ≠ c1:c2时,方程组无解。如果学过一次函数，可知(1)与(2)是两条直线， ①两个直线有一个交点时,方程组有唯一解 ②两个直线重合时,方程组有无数组解 ③两个直线平行但不重合时,方程组无解讨论二元一次方程组的解可以根据上面三种情况，或者通过消元转化成一元一次方程再讨论。题1:已知下面的二元一次方程组有无数组解，求k+b²的值。 (1)y+kx=b (2)y+3(k-1)x=2 根据②可知当k:3(k-1)=1:1=b:2时方程组有无数组解。得出k=1.5，b=2，所以k+b²=5.5。或者消元(2)-(1)得到2(k-1.5)x=2-b根据前一篇讲的一元一次方程解的情况:2(k-1.5)=0，2-b=0时方程有无数个解，得出k=1.5，b=2。题2:已知下面的二元一次方程组无解，求k的值。 (1)y+kx=2 (2)2y+3(k-1)x=5 根据③当k:3(k-1)=1:2 (≠2:5)时,方程组无解，得到k=3 或者消元(2)-(1)×2得到(k-3)x=1 根据k-3=0时方程无解，得出k=3。掌握上面的方法后可以试一试下面的题题3:关于x，y的方程组有无数组解，求a，b的值。("希望杯"邀请赛试题)

二元一次方程组含参问题解析版

二元一次方程组含参问题解析版基本要求：了解二元一次方程组的解法知道代入消元法和加减消元法的意义较高要求：掌握代入消元法和加减消元法例题精讲：例如，解下列方程组： ① 3x - y + z = 4，x - y + z = 2 ② 2x + 3y - z = 12，2x + 4y - z = 10

答案： ⑴①+②得，5x+2y=16④；②+③得，3x+4y=18⑤； ④×2-⑤得，7x=14，x=2，代入④式得y=3，代入③得 z=1. 原方程组的解为{x=2，y=3，z=1}。含参数方程组：例如，求解方程组： 4x - 3y = k 如果要求解x与y的值相等，可以使用以下两种方法： 1.将方程组求解得到x与y的值，再判断它们是否相等，最后解出k的值。

巩固：已知有理数x、y、z满足(x-z-2)²+3x-6y-7+3y+3z-4=0，求x、y、z的值。解法：由非负数的性质可得3x-6y-7=0，解得y=3， 3y+3z-4=0，解得z=1，代入原式得(x-3)²=0，解得x=3. 若方程组ax+(a-1)y=3，x与y相等，则a的值等于多少？解法：由x与y相等得到x=y，将其代入方程组得到 ax+ay=3，化简得到a(x+y)=3，代入x=y得到2ax=3，解得 a=3/2. a=3/2. 解析】由题意得 begin{cases}3x-2y=4\\2mx-3ny=19\end{cases} \qquad \begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$$

有相同的解，可以将原问题转化为 begin{cases}3x-2y=4\\5y-x=3\end{cases} \qquad \begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$$ 可由方程组①④，先进行求解，再将所得的结果代入②③求解$m$、$n$的值。 begin{cases}3x-2y=4\\5y-x=3\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$ 将$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$代入 $\begin{cases}2mx-3ny=19\\5y-x=3\end{cases}$得 begin{cases}4m-3n=19\\5-2m=n\end{cases}$$ 答案】$m=4$，$n=-1$。 1.解方程组： begin{cases} x+y-z=11 \\ y+z-x=3 \\ z+x-y=1 end{cases}

含参数的二元一次方程组

专题：含参的二元一次方程组一、同解问题例1：已知关于二元一次方程组的解是二元一次方程的解，求的值。分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。变式1：已知方程组23352x y m x y m +=??+=+? 的解适合8x y +=，求m 的值. 例2：已知二元一次方程组的解和的解相同，求的值。变式2：已知二元一次方程组的解和的解相同，求的值。二、解的性质例3：已知关于二元一次方程组的解的值互为相反数，求的值。 143 x y x ay -=??+=?3=+y x a y x ,???=-=+1235 4y x y x ???=-=+13 ny mx ny mx n m ,? ?? =+=+354ny mx y x ???=-=-1123ny mx y x n m ,y x ,???=-+=+3)1(7 34y k kx y x y x ,k

变式3：已知方程组的解与的和是负数，求k 的取值范围。变式4：若方程组的解满足，求的取值范围。分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理三、错解问题例4：甲乙两人同时解关于的方程组，甲看错了，求得的解为，乙看错了，求得的解为，你能求出原题中的的值吗？分析：将解代入没看错的方程变式5：甲、乙两人共同解方程组51542ax y x by +=?? -=-? ①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为3 1x y =-??=-?；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为54 x y =??=?.试计算201720181 ()10a b +-的值. 例5：已知，求的值。 ???-=+=-k y x k y x 5132x y ???=++=+3313y x k y x y x ,10<+

解含参二元一次方程组

解含参二元一次方程组类型1 已知二元一次方程组解的关系求参数值方法指导：把方程组中的参数看成已知数，然后解这个方程组，再根据方程组解的关系，建立以参数为未知数的方程(组)，解这个方程(组)即可求得参数值． 1．【整体思想】已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝k ，x ＋2y ＝－1的解互为相反数，则k 的值为（）． 2．已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解也是二元一次方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．类型2 根据两个方程组同解求参数值方法指导：两个方程组的解相同，其实就是说这两个方程组的解是这四个方程的公共解．解这种问题的常用方法是：先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个方程组，求出该方程组的解．再将所求的解代入到另两个含参数的方程中进行求解得出参数的值． 3．当m ，n 分别取何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝4，mx ＋ny ＝7与⎩ ⎪⎨⎪⎧2mx －3ny ＝19，5y －x ＝3的解相同？

类型3 根据方程组的错解求参数值方法指导：看错方程组中某个未知数的系数，所得的解既是方程组中含此系数的方程的解，也是方程组中不含此系数的方程的解，故可把解代入不含此系数的方程中，分别构建新的方程求解． 4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝－3，cx －4y ＝－6时，小明把c 写错，得到错解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，而正确的解是⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.求a ，b ，c 的值．

5．甲、乙两人同时解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋y ＝5，①2x －ny ＝13，②甲解题看错了①中的m ，解得⎩⎪ ⎨⎪⎧x ＝72 ，y ＝－2，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－7.试求原方程组的解．

初一数学下册：二元一次方程组含参问题3种解题思路

初一数学下册：二元一次方程组含参问题3种解题思路 #初一数学用参数表未知数二元一次方程组含参问题一般含有两个未知数，一个参数。我们在求解时，将参数当作已知数进行求解，用参数表示出两个未知数，然后再根据题意列出等量关系式，求出参数的值。分析：本题将方程组含参问题与不等式组相结合，主要考查的就是对含参问题的处理，将参数a当作常数，利用加减消元法求出x和y的值，然后再根据“x为非正数，y为负数”得到不等式组，求出a的取值范围。在解这类题目时一定要分清未知数与参数的区别，应该是用参数分别表示两个未知数。比如本题应该用a表示x与y，不能用a表示x，然后用y再表示x 或者用x再表示y，这些都是不可取的。消去参数得新方程组有些题目直接利用参数表示x或y，数据计算上比较繁琐，比如出现比较大的分数，这样的话我们可以考虑其它的方法，比如先将参数消去，求出x、y的值，然后再将x、y的值代入方程求出参数的值。比如本题，计算量不是很大，可以选择第一种方法进行求解。本题也可以先将（1）式扩大2倍，然后两式相减消去参数a，与x- 2y=4得到二元一次方程组，解出x、y的值，代入方程（1）即可求出参数的值。两种方法各有优缺点，在解题时根据题目的特征，灵活选择合适的方法进行解题。

整体思想解决含参问题解含参问题时，我们首选的应该的整体思想，如果整体思想无法解决问题，我们可以选择上述两种方法进行解题。分析：利用参数m表示x、y，然后代入不等式组中求解，肯定能够做，但是计算量大，并且容易出错。因此，在解这类题目时，我们首先想一下能不能使用整体思想，一般就是将两式相加或相减，有时也需要稍作变形。如果不能使用整体思想，再利用上述两种方法进行考虑。比如本题，将两式相加即可得到3x+y=3m+4，将两式相减即可得到x+5y=m+4，代入不等式中得到关于m的不等式组，可求出m的取值范围，然后再取其中的整数。这三种思路、方法在方程组含参问题中都会使用得到，选择正确的方法不仅能节省时间，还能保证准确率。

专题9 含参的二元一次方程组教学设计

专题9：含参的二元一次方程组教学设计学习目标： 1.会求二元一次方程组的解. 2.会解决与二元一次方程组有关的含参问题. 一、课前热身 1. 已知方程组{4x +y =−2ax −by =3和方程组{3x −y =16bx −ay =5 的解相同，求(a +b)2的值. 解：由题得{4x +y =−23x −y =16 解得：{x =2y =−10 则{2a +10b =3①2b +10a =5② ①+②得：12a +12b =8 即 a +b=23 ∴(a +b)2=49 以题的形式对知识点进行回顾.这节课，我们将解决几类含参的二元一次方程组. 二、考题讲解例1 {x =2y =3是方程组{ax +by =4−2ax −3by =−5 的解，则a =__72___；b =___-1_____。变式：1@y {x =1y =−2是{mx +ny =5mx −2ny =−3 的解，则m+n=( C ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 归纳：当含有字母参数的方程组的解已经给出时，可先把解直接带入原方程组，构造出关于字母的方程，进而求得其值．例2 方程组{2x +y =8mx −y =n 与{x −ny =2m 2x −y =8 同解，则m=__2_______，n=___8_________. 变式：已知关于x ,y 的二元一次方程组{x +y =53ax +4by =−12 和{ax −by +4=0x −y =3有相同的解，则a =____-1____，b=__0____. 归纳：当两个二元一次方程组同解时，可利用两个不含有字母参数的二元一次方程组成方程组，并求出方程组的解，然后利用这个解得到关于字母参数的方程组，解方程组进而求得字母参数的值．例3 若关于x ,y 的方程组{−3x +2y =a −44x −y =a −2 的解满足x +y=0，则a =___4_____.

2021年七年级数学下册期末综合专题训练：专题07 二元一次方程组中含参数问题(含答案及解析)(人教

2020-2021学年七年级数学下册期末综合专题训练（人教版）专题07 二元一次方程组中含参数问题【典型例题】 1．已知关于x ，y 的方程组212398x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩ ，其中a 是实数，（1）当1a =-，求出方程组的解；（2）解这个方程组（用含a 的代数式表示x ，y ）．【答案】（1）43x y =-⎧⎨=-⎩；（2）312x a y a =-⎧⎨=-⎩ 【分析】（1）将a =-1代入方程组，利用加减消元法求解；（2）把a 看做已知数，利用加减消元法求出解即可；【详解】解：（1）当a =-1时， 12317x y x y -=-⎧⎨+=-⎩ ①②， ①×3+②得：5x =-20，解得：x =-4，把x =-4代入①得：y =-3，则方程组的解为43 x y =-⎧⎨=-⎩；（2）212398x y a x y a -=+⎧⎨+=-⎩①② ， ①×3+②得：5x =15a -5，解得：x =3a -1，把x =3a -1代入①得：y =a -2，则方程组的解为312x a y a =-⎧⎨=-⎩ ．

【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．【专题训练】一、选择题 1．已知方程组 2 421 mx y n x ny m += ⎧ ⎨ -=- ⎩ 的解是 1 1 x y = ⎧ ⎨ =- ⎩ ，那么m、n的值为（） A． 1 1 m n = ⎧ ⎨ =- ⎩ B． 2 1 m n = ⎧ ⎨ = ⎩ C． 3 2 m n = ⎧ ⎨ = ⎩ D． 3 1 m n = ⎧ ⎨ = ⎩ 【答案】D 【解析】把 1 1 x y = ⎧ ⎨ =- ⎩ 代入方程组 2 421 mx y n x ny m += ⎧ ⎨ -=- ⎩ ，得： 2 421 m n n m -= ⎧ ⎨ +=- ⎩ ，解得 3 1 m n = ⎧ ⎨ = ⎩ ．故选D． 2．若关于x，y的二元一次方程组 24 23 x y k x y k += ⎧ ⎨ -= ⎩ 的解，也是二元一次方程345 x y +=的解，则k的值为（） A．-2B．2C．1 2 D． 1 2 - 【答案】C 【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．【详解】解： 24 23 x y k x y k += ⎧ ⎨ -= ⎩ ① ② ， ①+②×2，得5x=10k， ∴x=2k，代入②中，得4k-y=3k，解得：y=k，

二元一次方程组解法练习题精选(含答案)

二元一次方程组解法练习题精选（含答案）一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值． 2．解下列方程组（1）（2）（3）（4）． 3．解方程组： 4．解方程组： 5．解方程组： 6．已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有和．（1）求k，b的值．（2）当x=2时，y的值．（3）当x为何值时，y=3？ 7．解方程组：（1）；

（2）． 8．解方程组： 9．解方程组： 10．解下列方程组：（1）（2） 11．解方程组：（1）（2） 12．解二元一次方程组：（1）；（2）． 13．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为．

（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解． 14． 15．解下列方程组：（1）；（2）． 16．解下列方程组：（1）（2）

二元一次方程组解法练习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．解答题（共16小题） 1．求适合的x，y的值．解二元一次方程组．考点：分析：先把两方程变形（去分母），得到一组新的方程，然后在用加减消元法消去未知数x，求y的值，继而求出x的值．解答：解：由题意得：，由（1）×2得：3x﹣2y=2（3），由（2）×3得：6x+y=3（4），（3）×2得：6x﹣4y=4（5），（5）﹣（4）得：y=﹣，把y的值代入（3）得：x=， ∴．点本题考查了二元一次方程组的解法，主要运用了加减消元法和代入法．评： 2．解下列方程组（1）（2）

（3）（4）．考点：解二元一次方程组．分析：（1）（2）用代入消元法或加减消元法均可；（3）（4）应先去分母、去括号化简方程组，再进一步采用适宜的方法求解．解答：解：（1）①﹣②得，﹣x=﹣2，解得x=2，把x=2代入①得，2+y=1，解得y=﹣1．故原方程组的解为．（2）①×3﹣②×2得，﹣13y=﹣39，解得，y=3，把y=3代入①得，2x﹣3×3=﹣5，解得x=2．故原方程组的解为．（3）原方程组可化为， ①+②得，6x=36， x=6， ①﹣②得，8y=﹣4， y=﹣．所以原方程组的解为．（4）原方程组可化为：，①×2+②得，x=，

二元一次方程组中的含参问题的常见题型

二元一次方程组中的含参问题题型归类题型一：解含参方程组，变参为主例1：关于x 与y 的二元一次方程组 k y x k y x 95=-=+的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k =______ 练1：关于x 、y 的方程组⎩ ⎨⎧=-=+m y x m y x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是练2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数？题型二：同解两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。例2：已知方程与有相同的解，则a 、b 的值为。练1：若二元一次方程组 4 2652-=--=+by ax y x 和 83653-=+=-ay bx y x 有相同的解，求2010)2(b a +的值。练2：若二元一次方程组 1 2323=+=+ay x y x 中的x 与y 互为相反数，则=a ______ （1）（2） ⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x （3）（4） ⎩⎨⎧=+=-1552by x y x ① ② ⎩⎨⎧=-=-0362y x my x

题型三：错解由方程组的错解问题，求参数的值。例3：解方程组⎩⎨⎧=-=+872y cx by ax 时，本应解出⎩⎨⎧-==23y x 由于看错了系数c,从而得到解⎩⎨⎧=-=2 2y x 试求a+b+c 的值。练1：甲、乙两人同时解方程组{mx +ny =−8 ①mx −ny =5 ②由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩，乙看错了方程②的n ，得到的解是25 x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值。练2：甲乙两个学生解二元一次方程组 3216=-=+by cx by ax ，甲正确地解出 216-==y x ，乙因为把c 看错而得到的解是 7.16.7-==y x ，求c b a ,,的值。题型四：分析解的数量例4：已知方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 27，试讨论c a 、的取值，使方程组：（1）有一个解；（2）有无数解；（3）没有解练1：已知方程组⎩ ⎨⎧-=+=++4b 264-3b 2a y x y a x ）（有无数多解，则a =______，b=______；练2：当a 、b 满足什么条件时，方程(2b 2-18)x =3与方程组⎩ ⎨⎧-=-=-5231b y x y ax 都无解；

含参数方程组的一些解题技巧(题型分类+例题精讲+真题反馈)

含参数方程组的一些解题技巧在学完《二元一次方程组的解法》后，同学们会遇到一些题目，其中涉及到了含参数的方程组，这是整个章节的重难点之一．其中，同解问题一般从不含参数的方程入手，求出一对未知数的值再代入求参数．错解问题，则需将错解分别代入没有看错的方程中，求出参数，再求方程组的正确解．两类问题难度不大，故不作详述．今天主要讲解关于参数表示未知数，整体换元的相关解题技巧．一．参数表示未知数这类问题都有类似的套路，一般都是给出一个带有参数的方程组，再加两个未知数满足的条件，让你去求参数．解决这类问题的通法是先用含参数的代数式来表示未知数，再代入到给出的条件式子中，从而求解．但是，具体题目千变万化，又会有不同的解法．下面给出几个例子．分析：本题中，方程组的两个方程均含有参数a，常规思路必然是用含a的代数式表示x，y，但是观察两个方程的系数我们发现，属于上一讲例3中的交叉相等．那么，只需将两式相加，即可表示出x＋y，问题迎刃而解．解答：①＋②得，5x＋5y＝3a＋2，所以3a＋2＝5×4，a＝6 变式：若满足x－y＝5，求a的值，方法类似，同学们可以自行练习．

分析：本题若考虑用含参数的代数式来表示未知数，则未知数会出现分母上有字母的形式．此时，不妨将①式与另一个方程联立，则可以先解出x，y的值，再代入②式求a．解答：将2x－y＝3与x＋y＝3联立，解得x＝2，y＝1，代入得a＝5．分析：本题的系数不再有上一例题中交叉相等的关系，但若将两式相减，则可以消去参数a，得到另一个关于x，y的方程，与x＋y＝2联立，即可求出x，y的值，进而求出a．如果能进一步观察系数之间的关系，则可以发现，②×2－①，也可以表示x＋y．解答：法1 ①－②得，x＋2y＝2，与x＋y＝2联立得，x＝2，y＝0，所以a＝2x＋3y＝4 法2 ②×2－①得，x＋y＝2a－(a＋2)＝a－2＝2，a＝4 二．整体换元这类问题常常给出一个含参数的方程组，让同学们观察方程组的系数特点，然后迅速求出另一个方程组的解．一般来说，这类问题只是将原先的未知数整体换元，我们只需保证换元后的未知数与原未知数的值相等，或成比例即可．

二元一次方程(组)含参问题

二元一次方程（组）含参问题二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种： 1.根据定义求参数什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。例题1、若方程21221=++-m n m y x 是二元一次方程，则mn=______. 例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0. 2. 同解类问题什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。例：已知x 、y 的方程组⎩⎨ ⎧-=+=-1332by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=+3 321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。 3.用参数表示方程组的解类问题

已知方程组⎩ ⎨ ⎧=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________. 4.错解类问题遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。例：小明和小红同解一个二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为⎩⎨⎧=-=31y x ，小红把方程（2）抄错，求得解为⎩⎨ ⎧==2 3y x ，求a 、b 的值。 5. 整体思想类在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。例：已知方程组⎩ ⎨⎧+=++=+15252k y x k y x 的解互为相反数，求k 的值。

二元一次方程(组)含参数专题训练

二元一次方程（组）含参数专题训练例1、已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧-=+=+22545by ax y x 与⎩⎨⎧=--=-0 812by ax y x 有相同的解，求a ，b 的值．解：由题意可将x +y ＝5与2x ﹣y ＝1组成方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x ，解得：⎩⎨⎧==3 2y x ，把⎩⎨⎧==3 2y x 代入4ax +5by ＝﹣22，得8a +15b ＝﹣22①，把⎩⎨⎧==3 2y x 代入ax ﹣by ﹣8＝0，得2a ﹣3b ﹣8＝0②. 将①与②组成方程组，得⎩⎨⎧=---=+083222158b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==2 1b a 例2、阅读以下内容：已知实数m ，n 满足m +n ＝5，且⎩⎨⎧=+-=+10 98131189n m k n m ，求k 的值。行知中学七年级七班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m ，n 的方程组⎩⎨⎧=+-=+10 98131189n m k n m ，再求k 的值. 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值. 丙同学：先解方程组⎩⎨⎧=+=+10 985n m n m ，再求k 的值. （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题. （2）试说明在关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 3543中，不论a 取什么实数，x +y 的值始终不变．解：（1）若选择乙同学的思路：⎩⎨⎧=+-=+② ,1098①,131189n m k n m ，①+②得到，17（m +n ）＝11k ﹣3， ∵m +n ＝5，∴17×5＝11k ﹣3,解得k ＝8．（2）⎩⎨⎧=--=+②.35①,43a y x a y x 由①×3+②得到：4x +4y ＝12， ∴x +y ＝3，∴不论a 取什么实数，x +y 的值始终不变．巩固练习： 1、已知x ﹣2y ﹣1＝0，用含x 的代数式表示y ，则y ＝ 2、已知⎩⎨⎧==3 2y x 是二元一次方程5x +my +2=0的解，则m = 3、已知⎩⎨⎧==52y x 和⎩⎨⎧==10 1y x 是方程组ax +by ＝15的两个解，求a ﹣b 的值． 4、已知关于x 、y 的二元一次方程2x ﹣ay ＝11的一个解是⎩⎨⎧==1 5y x ，则a ＝． 5、在二元一次方程组⎩⎨⎧=++=++0 360132my x y x 中，当m = 时，这个方程组有无数组解. 6、已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=--=+1 25m y x m y x ，则4x 2﹣4xy +y 2值为 7、若⎩⎨⎧==12y x 是关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+7 2ay bx by ax 的解，则a +b 的值为（） A ．3 B ．﹣3 C ．2 D ．﹣2 8、二元一次方程3x +2y ＝17的正整数解的个数是（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案

二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elim ination by substitution)，简称代入法。加减消元法例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入①得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解

像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可写为m+n=8 m-n=4 解得m=6, n=2 所以x+5=6, y-4=2 所以x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。（三）另类换元例3，x:y=1:4 5x+6y=29 令x=t, y=4t 方程2可写为：5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以x=1,y=4 二元一次方程组的解一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。