高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

抛物线大题30题

1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,

(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;

(2)求抛物线方程.

2 ．过抛物线y 2

=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡

3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2

:2(0)C y

px p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经

过原点O ,求抛物线的方程.

4 ．已知p ：方程

22

12x y m m

+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．

5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦

点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2

-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求

（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).

7 ．已知抛物线1C :

24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴

交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率1

2

e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .

(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;

(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.

8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :

22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原

点,(4,12)OA OB +=--｡

(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.

9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.

(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;

(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判

断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程1

4

x =-

,C 与直线1

:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C

的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作

1的平行线

2交抛物线

C 于第一象限内的

点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a

(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:1

3

322

n n a -≤⋅-

; (Ⅲ)求证:

()()

1234

211

(23)2(23)6

(23)13321n n n a a a n n n +++

+

≥-

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:

2=,定点M(1,1)｡

(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;

(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡

12．位于函数4

13

3+

=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以2

5

-

为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;

(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*

N 第n 条抛物线

n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,

求证:

10

1

11113221<

+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.

(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;

(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.

14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;

(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.

15．(本小题共13分)

已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8

x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;

(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是

0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.

16．抛物线()2

:20C y

px p

=上横坐标为3

2

的点到焦点F 的距离为2

（I ）求p 的值；

（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。

17．在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线2

2y

px =上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C 是抛物线上的动点.若以点C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点.

18．在xoy 平面内，已知定点()3,0P

-，动点,Q R 分别

在,x y 轴上，且0PR RQ ⋅=。若点M 满足条件：

2QM MR =。

(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)若直线l ：()0y kx k =>与点M 的轨迹C 所围成区域的面积等于9，求k 的值。

19．已知抛物线2

:C y ax =,直线2y x =+交抛物线C 于

A ．

B 两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线

C 于点N, (1) 证明:抛物线C 在N 点处的切线l 与AB 平行;

(2) 是否存在实数a ,使得0NA NB ⋅=｡若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由｡

20．已知点)0)(0,(>a a F ,直线a x l -=:,点E 是l 上的动点,过点E 垂直于y 轴的直线与线段EF 的垂

直平分线交于点P.

(1)求点P 的轨迹M 的方程;

(2)若曲线M 上在x 轴上方的一点A 的横坐标为a ,过点A 作两条倾斜角互补的直线,与曲线M 的另一个交点分别为 B ．C,求证:直线BC 的斜率为定值.

21．设点P(x ，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(

2

1

，0)

的距离比点P 到y 轴的距离大2

1． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程：

（Ⅱ）若直线l 与点P 的轨迹相交于 A ．B 两点，且0=∙，点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．

22．给定抛物线2

:4C y

x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于 A ．B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （Ⅱ）设||2||FA BF =，求直线l 的方程.

23．已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y

22

=上，△ABC

的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标；

24．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的

运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空

中的最高处距水面2

103

米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距

水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．

⑴求这条抛物线的解析式；

⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（Ⅰ）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335

米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

25．已知抛物线x y C

8:2=，O 为坐标原点，动直线)2(:+=x k y l 与抛物线C 交于 A ．B 两点。

(1)求证：B O A O

∙为常数

(2)求满足B O A O M O

+=的点M 的轨迹方程。

26．如图，过抛物线y 2

＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N

两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 (Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:

(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、

S 2、，

S 3，试判

断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。

27．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线2C ：22

221x y a b

-=的一个焦点1F 且垂直于2

C

的两个焦点所在的轴，若抛物线1C 与双曲线2C

的一个交点是2(3M ．

（1）求抛物线1C 的方程及其焦点F 的坐标； （2）求双曲线2C 的方程及其离心率e ．

28．已知抛物线2

4x

y =的焦点为F, A ．B 是抛物线上两动点,且,(0),AF FB λλ=⋅>过 A ．B 两点分

别作抛物线的切线,设其交点为M ｡ (1)证明:FM AB ⋅为定值;

(2)设ABM ∆的面积为S,写出()S f λ=的表达式,并求S 的最小值

29．已知点F 为抛物线2

:4C y

x =的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，

若点P 的纵坐标为(0)m m ≠，点D 为准线l 与x 轴的交点． （Ⅰ）求直线PF 的方程；

（Ⅱ）求DAB ∆的面积S 范围；

（Ⅲ）设AF FB λ=，AP PB μ=，求证λμ+为定值．

30．已知抛物线2

:4C y

x =，点M (m ,0)在x 轴的正半轴上，过M 的直

线l 与C 相交于 A ．B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）若m =1，l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；

（Ⅱ）若存在直线l 使得||,||,||AM OM MB 成等比数列，求实数m 的取值范围.

抛物线大题30题参考答案

1 ．解:椭圆方程为

14

52

2=+y x ,∴

a 2=5,

b 2=4,

c 2=a 2-b 2=1, ∴椭圆焦点坐标为(-1,0),(1,0), ;离心率e=5

5a

c =;

(2)若抛物线焦点坐标为(1,0),则设抛物线的方程为y 2=2px, ∴12

p =,则p=2, ∴所求抛物线的方程为x y 42

= 若抛物线焦点坐标为(-1,0),则设抛物线的方程为y 2=-2px,

∴12

p =,则p=2,∴所求抛物线的方程为x y 42

-= ∴抛物线的方程为x y 42±=

2 ．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 12=4x 1,y 22

=4x 2

(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2) (y 1+y 2)•2

12

1x x y y --=4(x 1≠x 2)

设AB 中点M(x,y),则y 1+y 2=2y 1

2121--=--x y x x y y

∴)1(2 41

22-==-⋅

x y x y

y 当x 1=x 2时,M(1,0)满足上式

∴轨迹方程为y 2=2(x-1)

3 ．解:可设直线l 的方程为4x my =+代入2

2y

px = ,

得 2280y pmy p --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ,

则p y y 821-=,164)(222

2212

22121==⋅=p

y y p y p y x x 由题意知,,OQ OP ⊥则0=⋅OQ OP , 即 12121680x x y y p +=-=,

∴2p =, 此时,抛物线的方程为24y x =

4 ．解:“方程

22

12x y m m

+=-表示椭圆”是真命题， ∴0202m m m m >⎧⎪

->⎨⎪≠-⎩

021m m ∴<<≠且，

“抛物线y =2

21x mx ++与x 轴无公共点”是假命题， ∴抛物线y =2

21x mx ++与x 轴有公共点，

2440m ∴∆=-≥ 11m m ∴≥≤-或，

由题意得，

021

11

m m m m <<≠⎧⎨

≥≤-⎩且或 12m ∴<<

5 ．[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。

满分10分。

6 ．(1)将y=2x 代入y=-x 2

-2x+m 得，x 2

+4x-m=0.

∵直线与抛物线相交于不同的两点 A ．B ，∴1640 4.m m =+>⇒>- (2)设1122(,),(,)A x y B x y ，则

∣AB ∣==.

7 ．(1)当1p =时,F 2(1,0),F 1(-1,0)

设椭圆2C 的标准方程为22

221x y a b

+=(a >b >0),∴c =1,c a =12

∵2

2

2

c a b =-,∴a =2,b

故椭圆2C 的标准方程为22

43

x y +=1 (2) (ⅰ)若直线l 的斜率不存在,则l :x =1,且A(1,2),B(1,-2),∴AB =4 又∵12MF F ∆的周长等于1212MF MF F F ++=2a +2c =6≠AB ∴直线l 的斜率必存在

(ⅱ)设直线l 的斜率为k ,则l :(1)y k x =-

由24(1)

y x y k x ⎧=⎨=-⎩,得2222(24)0k x k x k -++= ∵直线l 与抛物线1C 有两个交点A,B

∴2242[(24)]416160k k k =-+-=+>,且0k ≠

设1122(,),(,),A x y B x y 则可得2122

24k x x k ++=,121x x =

于是AB 12x -

=224(1)k k +

∵12MF F ∆的周长等于1212MF

MF F F ++=2a +2c =6

∴由22

4(1)

k k +=6,解得k =

故所求直线l 的方程为1)y x =-

8 ．解:(Ⅰ)由22,

2y kx x py

=-⎧⎨=-⎩得,2240,x pkx p +-=

设()

()1,122,,,A x y B x y 则()2

1212122,424,x x pk y y k x x pk +=-+=+-=-- 因为()()

2

1212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---=()4,12,--

所以2

24,2412.pk pk -=-⎧⎨--=-⎩解得 1,

2.p k =⎧⎨=⎩

所以直线l 的方程为22,y x =-抛物线C 的方程为2

2.x y =-

(Ⅱ)方法1:设00(,),P x y 依题意,抛物线过P 的切线与l 平行时,△APB 面积最大,

'y x =-,所以0022,x x -=⇒=- 2001

2,2

y x =-=-所以(2,2).P --

此时P 到直线l 的距离

,5d =

=

=

由222,2,

y x x y =-⎧⎨=-⎩得,2

440,x x +-=

||AB ===∴△ABP

的面积最大值为

52

=

(Ⅱ)方法2:由222,

2,

y x x y =-⎧⎨=-⎩得,2440,x x +-=

||AB ===

设2

1(,)2

P t t -

,(22t --<<-+

因为AB 为定值,当P 到直线l 的距离d 最大时,△ABP 的面积最大

,

d =

=

因为22t --<<-+所以当2t =-时,d

max

此时(2,2).P -- ∴△ABP

的面积最大值为

52

=

9．解:(Ⅰ)设圆心Q 的坐标为(,)x y ,如图过圆心Q 作QH x ⊥轴于H,

则H 为RG 的中点,在Rt RHQ ∆中,222QR QH RH =+ ∵,2QR QP RH ==∴222(2)4x y y +-=+

即24x y = (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,， 直线AB 的方程为1y kx =+,联立24x y =有:2

440x kx --=

∴22,1212

A

B

M M M x x x k y kx k +===+=+, ∴点M 的坐标为2

(2,21)k k +. 同理可得:点N 的坐标为222

(,1)k k

-

+. 直线MN 的斜率为222

111M N MN

M N k y y k k k x x k k k

---===

-+,

其方程为22

1

21(2)k y k x k k

---=-,整理得2(3)(1)k y k x -=-,

不论k 为何值,点(0,3)均满足方程, ∴直线MN 恒过定点(0,3). 10.解:(I)由题意知:2111

,,:.242

p p C y x -

=-∴=∴= 由题意知

1

:n n y x a +=-联立2y x =得:20n y y a --=,

0y >.

1P (n n y a +∴=

∴+

∴切线1n m +

的斜率为1n m k +=

∴直线1n g +

的斜率1

1)n g k +=-,

∴直线1n g +

的方程为1)(n y x a =--

令0y =,1n x a +=得

:11n n a a +=+

(Ⅱ)由已知易得1(1,1)P ,直线1m 的斜率11

2

m k =

, ∴直线1g 的方程为:12(1)y x -=--令0y =得13

.2

a =

11(14)3

112.42

n n n n n a a a a a +++=+<++=+

21113333

2()2()2()32.2222

n n n n n a a a a +-∴+

<+<+<⋅⋅⋅<+=⋅ 当2n ≥时 13322n n a -∴+<⋅,即:1

332.2n n a -<⋅-

当1n =时, 111333222a -=≤⋅- 故1

332.2

n n a -<⋅-

(用数学归纳法证明亦可) (III)由(II)知:n

n 2a 332+≤⋅.

n n n n 1n

n 2n 2(2a 3)n(n 1)32n(n 1)

2(n 1)n 111 []32n (n 1)32n 2(n 1)

-++∴

≥

++⋅⋅++-==-⋅⋅⋅+⋅⋅+

12n n 1n 34n 2

(2a 3)2(2a 3)6(2a 3)n (n 1)

111111 [(1)()()]

344122n 2(n 3)

-+∴

++⋅⋅⋅+

+⋅+⋅+⋅⋅+≥-+-+⋅⋅⋅+-⋅⋅+

n 11332(n 1)

=

-⋅+.

11．(I)由焦点F(1,0)在l 上,得2

121:,21+-=∴-

=x y l k 设点N(m,n)则 有:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=---1212211)2

1)(11

(n m m n ,

解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-==53

51n m , )53,51(-∴N

,)5

3

(542-≠

N 点不在抛物线C 上｡

(2)把直线方程)0(11

≠--=

k k

k y x 代入抛物线方程得:,04442=++-k y ky ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++=+-=⋅--≠+-≤≤--≥+--=∆∴122111

.025

1251,

0)1(16,00002k a x k y k a

x y k k k k 由对称得且解得

相交 解得)0,25

1251(1

2)1(2

220≠+-≤≤+-+--=k k k k k a x 且｡ 当P 与M 重合时,a=1

分

时当时单调递减且是偶函数函数且14)1,5

5

25[,

1lim ,55

25)(,251.0,))((),

0,25

1251(1

43131)(000min 002220 +-

∈=+-=--=∴>∈=≠+-≤≤+-++-=+-==∴→x x x k k R k x f x k k k k k x k f k

12．解: (Ⅰ)由于n P 的横坐标构成以2

5

-

为首项,1-为公差的等差数列{}n x , 故153

(1)(1)22

n x x n d n n =+-=---=--

又),(n n n y x P 位于函数4

13

3+=x y 的图象上,

所以y 4

53413)23(34133--=+--=+=n n x n n 所求点),(n n n y x P 的坐标为()4

5

3,23----n n

(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,即2

3

5()32

4

n y a x n n =++--. 由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有2

2

351()32

4

n n a n n +=+--. 由此可得2

351,()32

4

n a y x n n ==++-- 故32)23

(20

+=++='

===n n x y k x x n .

所以

)2)(3

21

121(21)32)(12(111≥+-+=++=

-n n n n n k k n

n ,

于是

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )3

2151(21+-=

n . 故10

1)32151(2111113221<+-=+++-n k k k k k k n n

13．解:(Ⅰ)∵焦点F 为(1,0),过点F 的直线AB 的方程可设为1x ty =+,代入抛物线24y x =

得:2440y ty --=,1122(,),(,)A x y B x y 设,则有124y y =-,

22

12

12 1.44

y y x x == 1

21

214

30O A O B x x y y ∴=

+

=-=-<

,

于是AOB ∠为钝角,故O 在圆内

(Ⅱ)设直线AB 的方程为2,4x ty b y x =+=代入抛物线消去x,得

21122440.(,),(,)y ty b A x y B x y --=设,则124y y t += ,124.y y b =-

2212121212121212()()()OA OB x x y y ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+=+++=++++

=b b b b bt bt 44442

2

2

2

-=-++-. 令244, 2.b b b -=-∴=,∴直线AB 过定点(2,0).

14．解:(1)20.解:(1)设N 点坐标为),(y x ,所以)0(82

>=x x y

(2)ABO S ∆=

15．(本小题共13分)

解:(Ⅰ)由抛物线C :2y x =得抛物线的焦点坐标为1

(,0)4

,设直线l 的方程为:1

4

x ny =+

,()()1122,,,P x y Q x y 由2,14y x x ny ìï=ïïíï=+ïïî

得2

104y ny --=. 所以2

10n ∆=+>,12y y n +=.因为112211,44

x ny x ny =+

=+, 所以()121212111

12442

PQ x x x x n y y =+

++=++=++=. 所以2

1n =.即1n = .

所以直线l 的方程为:104x y --

=或1

04

x y +-= (Ⅱ)设0:(0)l x my x m =+≠,1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)M x y -.

由02,

x my x y x

=+⎧⎨=⎩得200y my x --=. 因为018

x ≥

,所以2

040m x ∆=+>,12120,y y m y y x +==- (ⅰ)设(,0)B B x ,则2211(,),(,)B B BM x x y BP x x y =--=-. 由题意知:BM ∥BP ,211122B B x y y x x y x y ∴-=-+. 即2

2

12122112211212()()B y y x x y x y y y y y y y y y +=+=+=+. 显然1212000,.(,0).B y y m x y y x B x +=≠∴==-∴-

(ⅱ)由题意知:BMQ ∆为等腰直角三角形,1PB k ∴=,即

12121y y x x +=-,即12

22

12

1y y y y +=-. 2212121201. ()4 1. 41y y y y y y m x ∴-=∴+-=∴+=. 20140m x ∴=->.

01

4

x ∴<

.018x ≥,01184

x ∴≤<

1[

,)122

d ∴=

=

=

=

. 即d

的取值范围是1

)2

16．（I ）解由已知3222

p

=

+解得1p = （II ）1,02F ⎛⎫

⎪⎝⎭

显然直线AB 的斜率k 存在且0k ≠ 设直线1:2AB y k x ⎛⎫=-

⎪⎝

⎭

联立2

2y x =，得 ()()2

2

2

2

2004

k k x k x k -++=≠

设()()1122,,,A x y B x y 则

2

1222,0

k x x k k R k ++=

∈≠

则2121222

2221122

11222,2222

448k AB AF BF x x x x k k CD AB CD k AB CD k k

+=+=+++=++=+=+

⊥∴=+∴+=+

+≥+=则 当且仅

2

222k k

=即1k =±时AB CD +取得最小值8 17．解：（1）根据题意，抛物线y 2

＝2px 的准线方程为x ＝－p

2

，且p ＞0．

因为抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5，所以该点到准线x ＝－p

2的距离也为5．所以p ＝2．

故所求抛物线的标准方程为y 2＝4x ．

（2）因为点C 在抛物线上，故可设点C 为(t 2

4，t )．

所以点C 到y 轴的距离为t 2

4

．

因为圆C 在y 轴上截得的弦长为4，所以圆C 的半径r ＝⎝⎛⎭

⎫t 2

42

＋22＝14t 4＋64．

所以圆C 的方程为(x －t 24)2＋(y －t )2＝(1

4t 4＋64)2．

即x 2

＋y 2

－t 2

2

x －2ty ＋t 2－4＝0．

（方法一）因为圆C 是动圆．

所以当t ＝0时，圆C 的方程为x 2＋y 2－4＝0， ① 当t ＝2时，圆C 的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＝0． ② 联立①②，得⎩⎨⎧x 2

＋y 2－4＝0 ，x 2

＋y 2

－2x －4y ＝0． 解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，

或⎩⎨⎧x ＝－6

5，y ＝85．

把(2，0)代入圆C 方程，左边＝22

＋02

－t 2

2

⋅2－2t ⋅0＋t 2－4＝0＝右边，方程成立，所以圆C 恒过定点

(2，0)．

把(－65，85)代入圆C 的方程得，左边＝85t 2－16

5t 不恒为0，即随着t 的变化而变化．

故点(－65，8

5)可能不在圆C 上．

所以圆C 恒过定点(2，0)．

（方法二）将方程x 2

＋y 2

－t 2

2

x －2ty ＋t 2－4＝0整理为

(1－x

2

)t 2－2yt ＋(x 2＋y 2－4)＝0． ①

①式对任意实数t 都成立的充要条件是⎩⎨⎧1－x

2＝0，－2y ＝0，x 2

＋y 2

－4＝0．

即⎩⎨⎧x ＝2，

y ＝0．

所以圆C 恒过定点(2，0)．

18．解：(Ⅰ)设()()()11,,,0,0,.M

x y Q x R y

则()()11,,,.QM x x y MR x y y =-=-- 由2QM MR =得()112,2x x x y y y -=-=-， 所以，113

3,.2

x x y y == 于是333,

,3,22PR y RQ x y ⎛⎫⎛

⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭

⎝

⎭，

由0PR RQ ⋅=得2

9904

x y -

=，即24y x =。 (Ⅱ)解方程组24y kx y x =⎧⎨=⎩，得1100x y =⎧⎨=⎩或22

244

x k y k ⎧=

⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

故直线l 与轨迹C 交点坐标为()2440,0,,k k ⎛⎫

⎪⎝

⎭，

于是

(

)

2

4

9k

kx dx =⎰，取()322432

k

F x x x =-，

则(

),F x kx '=从而()2409F F k ⎛⎫

-=

⎪⎝⎭

, 即3

2

2

223344432829,9,3233k k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

19．解:(1)由22

2

20y x ax x y ax

=+⎧--=⎨=⎩得, 设()()1122A x y B x y ，，， 则121212x x x x a a

+=

=-， 122

1

2214N M N N x x x x a

y a x a

+∴==

==⋅=

由知,抛物线C 在点N 处是切线l 的斜率1122k a a

=⋅

因此,抛物线C 在点N 处的切线与直线AB 平行｡ (2)假设存在实数a ,使得0NA NB ⋅=,则NA NB ⊥ 由M 是线段AB 的中点｡

1

2

MN AB ∴=

由MN x ⊥轴,知11122244MN a a a

=

+-=+

12

2

2

1118

22

44

AB x x

a a a

=-

=

=

⎛⎫⎛⎫

∴+=⨯⨯+

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

又

解得

71

88

a a

==-

或(舍去)

∴存在实数

7

8

a=,使得0

NA NB

⋅=

20．解:(1)连结PF. ∵点P在线段EF的垂直平分线上,

∴|PF|=|PE|.

∴点P的轨迹是以F为焦点,以直线l为准线的抛物线.

∴p=2a.

∴点P的轨迹为M:).

(

4

2>

=a

ax

y

(2)直线AB的斜率为k(k≠0),点B).

2,

(

),

,

(

),

,

(

2

2

1

1

a

a

A

y

x

C

y

x

则直线AB的方程为).

(

2a

x

k

a

y-

=

-

⎩

⎨

⎧

=

-

=

-

.

4

),

(

2

2ax

y

a

x

k

a

y

消去x,得

.0

)

2(

4

42

2=

-

+

-k

a

ay

ky

△=0

)1

(

162

2≥

-

k

a

∵y1,2a是方程的两个根,

∴.

)

2(

2

.

)

2(

4

2

1

2

1k

k

a

y

k

k

a

ay

-

=

∴

-

=

依题意,直线AC的斜率为-k.

同理可得.

)

2(

2

2k

k

a

y

+

-

=

∴.

4

)

2(

2

)

2(

2

2

1

a

k

k

a

k

k

a

y

y-

=

+

-

+

-

=

+

∴1

4

4

4

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2-

=

+

=

-

-

=

-

-

=

y

y

a

a

y

a

y

y

y

x

x

y

y

k

BC

所以直线BC的斜率为定值.

21．解：（I）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=2，此时，A(2，48)，

B (2，-48)，不符合0=∙OB OA

当直线l 的斜率存在时，设方程为y=kx+b(k≠0，b≠0)，

{

022222=+-⇒+==b y ky b kx y x

y

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2=

k

b 2 ∵02

2212

2

212121=+∙=+=∙y y y y y y x x OB OA ∴y 1y 2=-4， ∴b+2k=0 ① 又点O 到直线l 距离为2得

21

2

=+k b ②

由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2，

所以直线l 的方程为y=x-2或y=-x+2

22．方法一：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.

由2

1

4y x y x

ì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y ,

则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,

故点(3(3A B ++-- 所以12

0003,122

x x x y x +=

==-=, 故圆心为(3,2)M ,

直径||8AB =

,

所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；

（Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,

设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,

所以121212(1),2.

x x y y ì-=-ïïí

ï=-ïî ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,

所以22

11224,4y x y x ==, ○

2

由○1○2

，解得111122222,2,11,,22x x y y x x y y 祆==镲镲镲镲==-镲

镲镲眄镲==镲镲镲镲镲=-=镲铑

或

所以1

1

(2,(,(2,(22

A B A B -

-或,

故直线l

的方程为0,y --

或0y +- 方法二：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.

由2

14y x y x

ì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y , 因为264320,D =-=>所以12126,1x x x x +==, 所以12

0003,122

x x x y x +=

==-=, 故圆心为(3,2)M , 由抛物线定义，得1212||||||()()822

p p

AB AF BF x x x x p =+=+++=++=, 所以12||8AB x x p =++=(其中p =2).

所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；

（Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,

设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,

所以121212(1),2.

x x y y ì-=-ïïí

ï=-ïî ○1 设直线AB 的方程为(1)y k x =-或1x =(不符合题意，舍去). 由2

(1)4y k x y x

ì=-ïïíï=ïî，消去x 得 2440ky y k --=， 因为直线l 与C 相交于A , B 两点，所以0k ¹, 则216160k D =+>, 12124

,4y y y y k

+=

=-, ○

2

由○1○2，得方程组121212442y y k y y y y ìïï+=ïïïï=-íïï?-ïïïïî

，解得12k y y ìï=-ïïï=-íïïï=ïïî或

12

k y y ìï=ïïï

=íïïï=-ïïî 故直线l

的方程为0,y --

或0y +-

23．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y

22

=上，

解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，

焦点F 的坐标为（8，0）

（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，

所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FM AF

，

设点M 的坐标为),(00y x ，则02

128,82

12200=++=++y x ，

解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．

24．解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，

抛物线的解析式为2y ax bx c =++．

由题意，知O （0，0），B （2，－10），且顶点A 的纵坐标为

2

3

． 2

25064210

43342100a c ac b b a a b c c ⎧=-⎪=⎧⎪⎪-⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪++=-=⎪⎪⎩⎪

⎩

或3220

a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩

∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴02b

a

->,又∵

抛物线开口向下，∴a ＜0, 从而b ＞0,故有2510

,,063

a b c =-

== ∴抛物线的解析式为22510

63

y x x =-+

（Ⅱ）当运动员在空中距池边的水平距离为3

35

米时，

即33

32155

x =-=时，225810816()65353y =-⨯+⨯=-，

∴此时运动员距水面的高为10－163＝14

3

＜5，因此，此次跳水会失误

25．解：将)2(+=x k y 代入抛物线方程得04)84(2222

=+-+k x k x k

由01100≠<<->∆≠k k k 且得且 设4,.48

),(),(212

212221=-=

+x x k x x y x B y x A 则 （1） 证明：B O A O ∙=)2)(2(212

112121+++=+x x k x x y y x x