高中数学经典创新题精选60题

高中数学经典创新题精选60题

1．在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()

A．[0，2]B．[－2，－1)∪(－1，0]

C．[0，1)∪(1，2]D．[－2，0]

解析：选D.依题意可得x(1－x＋a)＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.故选D.

2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

3．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()

A．(﹁p)∨(﹁q)为真命题B．p∨(﹁q)为真命题

C．(﹁p)∧(﹁q)为真命题D．p∨q为真命题

解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p)∨(﹁q)为真命题，故选A.

4．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()

①“影子函数”f(x)的值域可以是R；

②“影子函数”f(x)可以是奇函数；

③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”． 上述命题正确的序号是( ) A ．① B ．② C ．③

D ．②③

解析：选B ．对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错；

对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1

x 1

，则f (x 1)f (x 2)

＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；

对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1

x (x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)

不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错．综上，应选B ．

5．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若

f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，

g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，

则( )

A ．(f ·f )(x )＝f (x )

B ．(f ·g )(x )＝f (x )

C ．(g ·f )(x )＝g (x )

D ．(g ·g )(x )＝g (x )

解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩

⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )

＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.

6．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）

x 在区间I 上是减函数，那么

称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝1

2x 2－x

＋3

2

是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0，1]

D ．[1，3]

解析：选D.因为函数f (x )＝12x 2－x ＋3

2的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋

∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝1

2－

32x 2＝x 2－3

2x 2

，

由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋3

2x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓

增区间”I 为[1，3]．

7．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．

解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－9

4，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．

答案：⎝⎛⎦⎤－9

4，－2

8．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，

K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋

1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )

A ．K 的最大值为0

B ．K 的最小值为0

C ．K 的最大值为1

D ．K 的最小值为1

解析：选D.根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．

令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.

9．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )

解析：选D.法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为1

2的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝

8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－

π4＝－(x －2)2＋4－π

4

(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π

4

∈(3，4)，故选D.

法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π

4∈(2，3)，故选D.

10．已知点A (1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1

x 相交且交

点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为________．

解析：设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛

⎭⎫

x 0＋12，ln x 02，

又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4

x 0＋1.此方程根的个数

可以看作函数y ＝ln x 与y ＝

4

x ＋1

的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．

答案：1

11．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )

A.14

B.18 C ．－78

D ．－38

解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－7

8

.故选C.

12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．

解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．

因为y ′＝

22x －1，所以2

2x 0－1

＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝

|2＋8|4＋1

＝2 5.

答案：25

13．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－2

3在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－5，0)

B ．(－5，0)

C ．[－3，0)

D ．(－3，0)

解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，

令13x 3＋x 2－23＝－2

3

得，x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，⎩

⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．

14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．

解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ， 当－a a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． 所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >

2

2

. 所以a 的取值范围是⎝⎛

⎭

⎫22，＋∞.

答案：⎝⎛⎭

⎫22，＋∞

15．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．

解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵

＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝1

2

tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．

答案：S 1＝S 2

16．已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos

θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )

A ．3

B ．－4 C. 1

3

D ．－14

解析：选D.由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ

＝－1

4.

故选D.

17．已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m ，m ∈(0，1)，则tan θ的可能取值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－13

D.13 解析：选A.由m ∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈⎝

⎛⎭⎫0，3π

4.又因为(sin θ＋cos

θ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 2，m ∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈⎝⎛⎭

⎫π

2，π.综上可

得θ∈⎝⎛⎭⎫π2

，3π

4，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.

18．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则

m n

2cos 227°－1＝( )

A ．8

B ．4

C ．2

D ．1

解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n

2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.

故选C.

19．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________． 解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得， m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°

＝

－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°

cos 10°

＝－ 3.

答案：－3

20．已知a 24＋b 2

＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )

A ．1 B.233

C ．2

D ．23

解析：选C.由a 2

4＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2

|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.

21．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π

2]时，－5≤f (x )≤1.

(1)求常数a ，b 的值；

(2)设g (x )＝f (x ＋π

2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．

解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π

6

]，

所以sin(2x ＋π6)∈[－1

2，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，

所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π

6

)－1，

g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π

6

)－1，

又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>1

2，

所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π

6，k ∈Z ，

其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π

2，k ∈Z 时，

g (x )单调递增，即k π

6，k ∈Z ，

所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π

6]，k ∈Z .

又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π

6，k ∈Z 时，

g (x )单调递减，即k π＋π6

3，k ∈Z .

所以g (x )的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π

3)，k ∈Z .

所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π

6]，k ∈Z ，

单调减区间为(k π＋π6，k π＋π

3)，k ∈Z .

22．定义运算|a b c d |＝ad －bc .将函数f (x )＝|3 sin x

1 cos x |的图象向左平移φ(φ>0)个单位，

所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )

A.π

3 B.76π C.π6

D.56

π 解析：选D.f (x )＝|3 sin x 1 cos x |＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋π

6)，向左平移φ个单位得到y

＝2cos(x ＋π6＋φ)，由题意y ＝2cos(x ＋π6＋φ)是偶函数，所以π

6＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π

－π6(φ>0)．故当k ＝1时，φ的最小值为5

6

π.

23．如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，

若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－32

D.32

解析：选D.由题设并结合图形可知， AB ＝（3）2＋[（3）2＋（T

2

）2]＝

6＋T 4

2

＝

6＋π2ω2＝10，得π2ω

2＝4，则ω＝π2，

所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝3

2

.

24．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →

|＝2，则△ABC 的面积等于( )

A .3

B ．23

C ．33

D ．43

解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．

由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →

反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →

为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝1

2×2×23＝23，

故选B.

25.如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝1

2DC ，过点D 的直线分别交

直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →

，则( )

A ．m ＋n 是定值，定值为2

B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1

n

是定值，定值为2 D.2m ＋1

n

是定值，定值为3

解析：选D.法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →

可得AC AN ＝1n ，

所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋

n －12

＝2n 3n －1

，

因为AM →＝mAB →

，所以m ＝2n 3n －1，

整理可得2m ＋1

n

＝3.

法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →

.

又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC

→－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →

.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n

＝3，故选D.

26．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，求x

y

的值．

解：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1

＋λ(x －2y )e 2，所以⎩

⎪⎨⎪

⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以

⎩⎨⎧x ＝3λ

，y ＝52λ，

则x y 的值为6

5.

27．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →

|＝2，则△ABC 的面积等于( )

A .3

B ．23

C ．33

D ．43

解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．

由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →

反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →

为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝1

2×2×23＝23，

故选B.

28.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π

3，向量b 满

足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )

A ．3－1

B ．3＋1

C ．2

D ．2－3

解析：选A ．法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →

＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π

3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结

合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →

|＝3－1.故选A ．

法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.

设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →

＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →

，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3

，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →

|≥3－1.故选A ．

29．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →

＋ OB →＝OC →

，则a 的值为 ( )

A ．±1

B ．± 2

C ．± 3

D ．±2 解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →

|＝2，

因为OA →＋OB →＝OC →，所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos∠AOB ＝2，故∠AOB ＝120°． 则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos60°＝22＝|a |

2

，则|a |＝1，即a ＝±1． 故选A ．

30．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )

A ．(2，0)

B ．(0，－2)

C ．(－2，0)

D ．(0，2)

解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，

所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝0，

y ＝2.

所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 31

．

P

＝

{}

a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝

{}b |b ＝（1，1）＋n （－1，1），n ∈R 是两个向量集合，则P ∩Q 等于(

)

A.{}（1，1）

B.{}（－1，1）

C.{}（1，0）

D.{}（0，1）

解析：选A.设a ＝(x ，y )，则P ＝{(x ，y )| ⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝m ，m ∈R }，所以集合P 是直线x ＝1上

的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.

32．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．

(1)若a ∥b ，求x 的值；

(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0， 与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－

3

3.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6

. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π

6.

因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π

6，

从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤3

2

.

于是，当x ＋π6＝π

6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；

当x ＋π6＝π，即x ＝5π

6时，f (x )取到最小值－2 3.

33．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →

＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →

＝n b ，则1m ＋1n

＝( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．13

解析：选A ．由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．

法一：如图1，令PQ ∥BC ，

则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →

，此时，m ＝n ＝23

，

故1m ＋1

n

＝3.故选A ． 法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP →＝AB →，AQ →＝12AC →

，故m ＝1，n ＝12，

所以1m ＋1

n

＝3.故选A ．

34．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C

2

－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；

(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →

|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，

所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，

sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0， 所以cos C ＝1

2，而C ∈(0，π)，

所以∠C ＝π

3

.

(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，

两边平方得4|CD →

|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，

所以S △ABC ＝1

2ab sin ∠ACB ＝2 3.

35．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，

当n ＝1时，a 1＝6；

当n ≥2时，⎩

⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），

a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），

故当n ≥2时，a n ＝n ＋2

n ，

所以a n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.

答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *

36．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝1－4

a n

(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列

{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．

解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.

所以a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，

2n －5，n ≥2.

(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧－3，n ＝1，1－4

2n －5

，n ≥2. 由c n ＝1－4

2n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.

又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝3

7，

即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0. 所以数列{c n }的变号数为3.

37．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，

[2.6]＝2.

解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝2

5.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3

5

. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋3

5

]．

当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3

5＜2，b n ＝1；

当n ＝4，5时，2<2n ＋3

5＜3，b n ＝2；

当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3

5＜4，b n ＝3；

当n ＝9，10时，4<2n ＋3

5

＜5，b n ＝4.

所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

38．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2

＝381，解得a 1＝3，故选B.

39．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x

x

的最小值为________．

解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，

又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1

x ≥1＋2＝3，

当且仅当x ＝

1

x

，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3.

答案：1 3

40．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为7

8，SA 与圆锥底面所成角为

45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．

解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为1

2·SA ·SB ·sin

∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝15

16·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与

底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×

2

2

＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为1

2

×45×410π＝402π.

答案：402π

41．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________(填序号)．

①BM 是定值；

②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .

解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝1

2A 1D ，

FB ∥ED 且FB ＝ED ，

所以∠MFB ＝∠A 1DE .

由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确；

由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．

答案：③

42．如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________．

解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝1

8×4πR 2

＝π

2

. 答案：π2

43．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．

所以③是正确的；

因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，

即1

2BE·BF·BC＝V.

所以BE·BF＝2V

BC(定值)，即④是正确的，故选C.

44．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交

于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列

命题中正确的是()

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′­FED的体积有最大值．

A．①B．①②

C．①②③D．②③

解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，

所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．

②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.

③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.

45．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB

＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF

进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥

平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()

A．①③B．②③

C．②④D．③④

解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，

所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF

上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶

3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的

射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，

所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．46．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，

在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．

其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则

⎭⎪⎬⎪

⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．

②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．

③假设AD ⊥BC ，

因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，

所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.

答案：②

47．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2

c

的最小值为( )

A.9

2 B.94 C ．1

D ．9

解析：选B.因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )， 所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3， 所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2， 则12a ＋2c ＝1

2(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝9

4

， 当且仅当c ＝2a ＝4

3时取等号，故选B.

48．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．

解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|P A |－|PB |＝|P A |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求．