精选高中数学数列多选题专项训练100含答案

一、数列多选题

1．若不等式1

(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

答案：ABC 【分析】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减

解析：ABC 【分析】

根据不等式1(1)(1)2n n

a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n

-<恒成立，当n 为偶数时有1

2a n

<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】

根据不等式1

(1)(1)2n n

a n

+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1

2+a n

-<恒成立， 由12+

n 递减，且1

223n

<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1

2a n

<-恒成立， 由12n -

第增，且31

222n ≤-<， 所以3

2

a <

， 综上可得：322

a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】

本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.

2．若数列{}n a 满足112,02

121,1

2

n n n n n a a a a a +⎧

≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为

（ ） A ．

1

5

B ．

25

C ．

45

D ．

65

答案：ABC 【分析】

利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环

解析：ABC 【分析】

利用数列{}n a 满足的递推关系及13

5

a =

，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】

数列{}n a 满足112,02

121,1

2n n n n n a a a a a +⎧

≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，

211215a a =-=

，32225a a ==，43425a a ==，5413

215

a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234

,,,5555

. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.

3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =

B ．733S =

C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】

由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，

可得：.故是斐波那契数列中的第

解析：ABCD 【分析】

由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】

对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；

对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.

对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2

121a a a =，()2

22312321a a a a a a a a =-=-，

()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-

2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；

故选：ABCD. 【点睛】

本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．2

3n S n n =- B ．2392

-=n n n

S

C ．36n a n =-

D ．2n a n =

答案：BC 【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】

解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC

解析：BC 【分析】

由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】

解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，

所以1132302

36

a d a d ⨯⎧

+

=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，

21(1)3(1)393222

n n n n n n n

S na d n ---=+=-+=

， 故选：BC

5．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减

D ．数列{}n S 有最大值

答案：ABD 【分析】

由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正

解析：ABD 【分析】

由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；

由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.

6．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310

S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

答案：AD 【分析】

由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】 由已知得：,

结合等差数列的性质可知，,该等差

解析：AD 【分析】

由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】

由已知得：780,0a a ><,

结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，

310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,

这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.

7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()

*

n N ∈，公差0d ≠，690S =，7a 是3a 与9a 的

等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-

B ．1

20a =-

C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值

D ．当0n

S <时，n 的最小值为22

答案：AD

运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ． 【详解】

等差数列的前n 项和为，公差，由，可

解析：AD 【分析】

运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．

【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即

12530a d +=，①

由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2

739a a a =，即()()()2

111628a d a d a d +=++，化为

1100a d +=，②

由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，

21

(20222)212

n S n n n n =+-=-，

由2

2144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝

⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2

102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22

B ．d =－2

C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值

D ．当S n >0时，n 的最大值为21

答案：BC 【分析】

分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ． 【详解】

由公差，可得，即，① 由a7是a

【分析】

分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【详解】

由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①

由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2

739a a a =，即()()()2

111628a d a d a d +=++，化简得

110a d =-，②

由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；

由()()2

2121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭

*n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；

由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错； 故选：BC 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

9．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0

B ．10S 最小

C ．712S S =

D ．190S =

答案：ACD 【分析】

由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确. 【详解】

因为，所以，所以，即

解析：ACD 【分析】

由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】

因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故

A 正确；

当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2

d

n n =-无最小值，故B 错误；

因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910

191902

a a S a

+⨯=

==，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >

B ．170S <

C ．1819S S >

D ．190S >

答案：ABD 【分析】

先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确. 【详解】

根据题意可知数列为递增

解析：ABD 【分析】

先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则

190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质

和求和公式可知()0117917917

217

172

2

a a a S a <+⨯⨯=

=

=，()11910191019

219

1902

2

a a a S a +⨯⨯=

=

=>，故BD 正确. 【详解】

根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，

∴前9项的和最小，故A 正确；

()117917917217

1702

2a a a S a +⨯⨯=

==<，故B 正确； ()1191019

1019219

1902

2

a a a S a +⨯⨯=

=

=>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.