高中数学苏教版教材典型例习题及改编题精选附答案

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

1. 设函数)(x f y =的定义域为A ,则集合}),(),{(A x x f y y x P ∈==与

}),({A x x f y y Q ∈==相等吗请说明理由;

2. 已知一个函数的解析式为2x y =,它的值域为[]4,1,这样的函数有多少个试写出

其中两个函数;

3. 对于任意的R x x ∈21,,若函数x x f 2)(=,试比较

2)()(21x f x f +与)2

(21x

x f +的大小

关系;

4. 已知定义在实数集上的函数)(x f y =满足条件：对于任意的

R y x ∈,,)()()(y f x f y x f +=+,求证：

1) 0)0(=f ； 2) )(x f 是奇函数;

你能举出几个满足上述条件的函数吗

必修2立体几何初步变式题

1、必修2 习题 第9题

变题 如图是一个几何体的三视图单位：cm Ⅰ画出这个几何体的直观图不要求写画法； Ⅱ求这个几何体的表面积及体积；

Ⅲ设异面直线AA '与BC '所成的角为θ,求cos θ．

解：Ⅰ这个几何体的直观图如图所示． Ⅱ这个几何体是直三棱柱．

由于底面ABC ∆的高为1,所以AB == 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''∆=++

1

221322382

=⨯⨯⨯+⨯+⨯=+2(cm )．

这个几何体的体积1

21332

ABC V S BB ∆'=⋅=⨯⨯⨯=3(cm )

Ⅲ因为//AA BB '',所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠． 在Rt BB C ''∆中,BC '=== 故cos BB BC θ'=

==' 2、必修2 习题 第7题

变题 如图,已知几何体的三视图单位：cm ． Ⅰ画出这个几何体的直观图不要求写画法； Ⅱ求这个几何体的表面积及体积；

Ⅲ设异面直线1A Q 、PD 所成角为θ,求cos θ． 解：Ⅰ这个几何体的直观图如图所示．

1

A 1

Ⅱ这个几何体可看成是由正方体1AC 及直三棱柱1111B C Q A D P -的组合体． 由11PA PD ==,112A D AD ==, 可得11PA PD ⊥． 故所求几何体的全面积 所求几何体的体积

Ⅲ由//PQ CD ,且PQ CD =,可知//PD QC ,

故1A QC ∠为异面直线1A Q 、PD 所成的角或其补角． 由题设知2

2

2

2

111

126AQ A B B Q =+==,12AC ==取BC 中点E ,则QE BC ⊥,且3QE =,

222223110QC QE EC =+=+=．

由余弦定理,得222

11

1

1

cos cos 2AQ QC AC AQC AQ QC θ+-=∠=⋅ 3、必修2 习题3 第8题

变题 如图,已知E 、F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 的中点． Ⅰ试判断四边形1EBFD 的形状； Ⅱ求证：平面1EBFD ⊥平面11BB D ．

1

D A

1

A B

C

D

1

B 1

C F

E

1

D A

1

A B

C

D

1

B 1

C F

E 解Ⅰ如图,取1BB 的中点M ,连结1A M 、M

F ． ∵M 、F 分别是1BB 和1CC 的中点, ∴11//MF B C =,

在正方体1111ABCD A B C D -中,有

1111//A D B C =, ∴11//MF A D =,

∴四边形11A MFD 是平行四边形,

∴11//A M D F =

． 又E 、M 分别是1AA 、1BB 的中点,

∴1//A E BM =

, ∴四边形1A EBM 为平行四边形,

∴1//EB A M =． 故1//EB D F =

． ∴四边形1EBFD 是平行四边形． 又Rt EAB ∆≌Rt FCB ∆, ∴BE BF =,

故四边形1EBFD 为菱形．

Ⅱ连结EF 、1BD 、11A C ． ∵四边形1EBFD 为菱形, ∴1EF BD ⊥．

在正方体1111ABCD A B C D -中,有

1111B D A C ⊥,

∴11B D ⊥平面11A ACC ． 又EF ⊂平面11A ACC ,

A

1A 1

B C

1

C D 1D F

E

∴11EF B D ⊥． 又111B D BD D =, ∴EF ⊥平面11BB D ． 又EF ⊂平面1EBFD , 故平面1EBFD ⊥平面11BB D 4、必修2 习题2 第6题

2AB =,

变题 如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面边长于点E ,

侧棱1BB 的长为4,过点B 作1B C 的的垂线交侧棱1CC 交1B C 于点F ．

Ⅰ求证：1A C ⊥平面BED ；

Ⅱ求1A B 与平面BDE 所成的角的正弦值．

解：Ⅰ如图4－2,以D 为原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -．

∴1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)D A B C A B C D ． 设(0,2,)E t ,则1(2,0,),(2,0,4)BE t BC =-=--． ∵1BE B C ⊥,∴14040BE BC t ⋅=+-=． ∴1t =,∴(0,2,1)E ,(2,0,1)BE =-． 又1

(2,2,4),(2,2,0)AC DB =--=, ∴14040AC BE ⋅=+-=且14400AC DB ⋅=-++=． ∴1AC DB ⊥且1

AC BE ⊥． ∴1AC BD ⊥且1AC BE ⊥．∴1

AC ⊥平面BDE ． Ⅱ由Ⅰ知1

(2,2,4)AC =--是平面BDE 的一个法向量,又1(0,2,4)A B =-,

B

∴11111130cos ,6||||

AC A B AC

A B AC A B ⋅=

=

． ∴1A B 与平面BDE ． 5、必修2 练习 第4题 变题1如图,已知平面,αβ,

且,,

,,AB PC PD C D αβαβ=⊥⊥是垂足． Ⅰ求证：AB ⊥平面PCD ；

Ⅱ若1,PC PD CD ===试判断平面α与平面β的位置关系,并证明你的结论． 解Ⅰ因为,PC AB αα⊥⊂,所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥又PC PD P =,故AB ⊥平面PCD ．

Ⅱ设AB 与平面PCD 的交点为H ,连结CH 、DH ．

因为

AB ⊥平面PCD ,所以,AB CH AB DH ⊥⊥, 所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．

又1,PC PD CD ===所以2222CD PC PD =+=,即090CPD ∠=． 在平面四边形PCHD 中,090PCH PDH CPD ∠=∠=∠=, 所以090CHD ∠=． 故平面α⊥平面β．

变题 2 如图,已知直二面角AB αβ--,,,P Q PQ αβ∈∈与平面α、β所成的角都为

030,4PQ =．

,PC AB C ⊥为垂足,,QD AB D ⊥为垂足．

Ⅰ求直线PQ 与CD 所成角的大小；

Ⅱ求四面体PCDQ 的体积．

解：Ⅰ如图,在平面β内,作//CE DQ =

,连结PE 、QE ．则四边形CDQE 为平行四边形,所以//EQ CD =

,即PQE ∠为直线PQ 与CD 所成的角或其补角． 因为,,AB PC AB αβαβ⊥=⊥．

所以PC β⊥．同理QD α⊥．

又PQ 与平面α、β所成角为030,所以030PQC ∠=,030QPD ∠=,所以

0cos304CQ PQ ===01

sin 30422

DQ PQ ==⨯=．

在Rt CDQ ∆中,CD ===从而EQ =． 因为QD AB ⊥,且CDQE 为平行四边形, 所以EQ CE ⊥．

又,PC EQ ββ⊥⊂,所以EQ PC ⊥． 故EQ ⊥平面PCE ,从而EQ PE ⊥．

在Rt PEQ ∆中,cos 42

EQ PQE PQ ∠===

． 所以045PQE ∠=,

即直线PQ 与CD 所成角的大小为045．

Ⅱ在Rt PCQ ∆中,04,30PQ PQC =∠=,所以2PC =．

三角形CDQ 的面积1

122

2

CDQ S CD DQ ∆=⋅=⨯=故四面体PCDQ 的体积

11

233CDQ V S PC ∆=⋅=⨯=

6、必修2 练习 第4题

变题 如图,在矩形ABCD 中,2,1,AB AD E ==是CD 的中点,以AE 为折痕将DAE ∆向上折起,使D 为D ',且平面D AE '⊥平面ABCE ．

Ⅰ求证：AD EB

'⊥；

Ⅱ求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．

解Ⅰ在Rt BCE

∆中

,BE==

在Rt AD E'

∆中

,AE==

∵2222

2

AB BE AE

==+,

∴AE BE

⊥．

∵平面AED'⊥平面ABCE,且交线为AE, ∴BE⊥平面AED'．

∵AD'⊂平面AED',

∴AD BE

'⊥．

Ⅱ设AC与BE相交于点F,由Ⅰ知

AD BE

'⊥,

∵AD ED

''

⊥,

∴AD'⊥平面EBD',

∵AD'⊂平面AED',

∴平面ABD'⊥平面EBD',且交线为BD',

如图,作FG BD'

⊥,垂足为G,则FG⊥平面ABD',

连结AG,则FAG

∠是直线AC与平面ABD'所成的角．

由平面几何的知识可知

1

2

EF EC

FB AB

==,

∴1

33

EF EB

==．

在Rt AEF

∆中

,

3 AF===

在Rt EBD'

∆中,FG D E

FB D B

'

=

'

,

可求得

9

FG=．

A B

C

D'

E

F

G

∴2630

9sin 15

253

FG FAG AF ∠===． ∴直线AC 与平面ABD '所成的角的正弦值为

3015

． 7、必修2 习题2 第5题

变题 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,P 是侧棱1CC 上的一点,CP m =;

Ⅰ、试确定m ,使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值为32；

Ⅱ、在线段11A C 上是否存在一个定点Q ,使得对任意的m ,1D Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ,并证明你的结论; 解：１,,AC AC BD O =连设 故//OG PC ;所以12

2

m OG PC ==

; 又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　. 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

在Rt △2

2tan 322

AOG AGO m ==中，

,即1

3m =. 故当1

3

m =时,直线AP 11与平面BDD B 所成的角的正切值为３2;

Ⅱ依题意,要在11A C 上找一点Q ,使得1D Q AP ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点;

因为1111.D O A C ⊥111D O AA ⊥,所以111.D Q ACC A ⊥面 又11.AP ACC A ⊂面,故11D O AP ⊥;

从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。 8、必修2 习题3 第7题

变题 在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥底

面ABC .

1若D 是BC 的中点,求证：AD ⊥CC 1；

2过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1,求证：截面MBC 1

⊥侧面BB 1C 1C ；

3AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗请你叙述判断理由. 1证明：∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC

∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1. 2证明：延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1N

∵AM =MA 1,∴NA 1=A 1B 1

∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1 ∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .

3解：结论是肯定的,充分性已由2证明,下面证必要性.

过M 作ME ⊥BC 1于E ,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ,又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C . ∴ME ∥AD ,∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ,∴AM ∥DE

∵CC 1⊥AM ,∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点

∴AM =DE =2

1211=CC AA 1,∴AM =MA 1. 9、必修2 习题2 第11题

变题 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AC ＝3,BC ＝4,AA 1＝4, 点D 是AB 的中点, I 求证：AC ⊥BC 1； II

求

证

：

AC

11

C ⊂⊄

212521252

128

22cos 55

2222

CED ∠=

=

⋅⋅225

10、必修2 复习题 第14题 变题 如图,O,P 分别是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1

底面中心,E 是AB 的中点,AB =kAA 1, Ⅰ求证：A 1E ∥平面PBC ；

Ⅱ当k ＝2时,求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；

Ⅲ 当k 取何值时,O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心

Ⅰ 过P 作MN ∥B 1C 1,分别交A 1B 1、D 1C 1于M

、N ,则M 、N A 1B 1、D 1C 1的中点,连MB ,NC 由四边形BCNM 是平行四边形,

∵E 、M 分别为AB 、A 1B 中点,∴A 1E ∥MB

又MB ⊂平面PBC ,∴A 1E ∥平面PBC ; Ⅱ 过A 作AF ⊥MB ,垂足为F ,连PF , ∵BC ⊥平面ABB 1A 1,AF ⊂平面ABB 1A 1, ∴AF ⊥BC , BC ∩MB =B ,∴AF ⊥平面PBC , ∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角,

O

D

C

P

A 1

C 1

B 1

D 1

P

O

C 1

B 1

A 1

O

C B

A

E

设AA 1=a ,则AB =2a ,AF =

a 332,AP =a 2,sin ∠APF =3

6

=AP AF 所以,直线AP 与平面PBC 所成的角正弦值是sin

3

6

; Ⅲ连O P 、O B 、O C ,则O P ⊥BC ,由三垂线定理易得O B ⊥PC ,O C ⊥PB ,所以O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的垂心,又O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的重心,则△PBC 为正三角形;即PB =PC =BC 所以k =2;

反之,当k =2时,PA =AB =PB =PC =BC ,所以三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心

必修2平面解析几何初步变式题

1.必修2 练习 第1题

变式1：已知点)33,1(),3,1(-B A ,则直线AB 的倾斜角是 A.

3π B.6

π

C.32π

D.65π

解：∵311333-=---=

AB k ,∴3tan -=α,∵0απ≤≤,∴3

23π

ππα=-=,故选C.

变式2：2006年北京卷若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线,则b

a

11+的值等于 . 解：∵A 、B 、C 三点共线,∴AC AB k k =,∴2

022

20--=--b a ,∴)(2b a ab +=,∴2

111=+b

a

.

变式3：已知点)2,5(),1,1(B A -,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半,求直线l 的斜率.

解：设直线l 的倾斜角为α,则直线AB 的倾斜角为α2,依题意有4

3

15)1(22tan =---=

α,∴4

3tan 1tan 22

=-α

α,∴03tan 8tan 32

=-+αα,∴3

1tan =α或3tan -=α.由02180α︒︒≤≤,得090α︒︒≤≤,∴tan 0α≥,∴3

1tan =α,∴直线l 的斜率为31.

2.必修2 练习 第3题

变式1：直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ,在y 轴上的截距为b ,则

A .2,3==b a

B .2,3-==b a

C .2,3=-=b a

D .2,3-=-=b a

解：令0=x 得2-=y ,∴直线在y 轴上的截距为2-=b ；令0=y 得3=x ,∴直线在x 轴上的截距为3=a ,故选B .

变式2：过点)3,2(P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解：依题意,直线的斜率为1或直线经过原点,∴直线的方程为23-=-x y 或x y 2

3

=,即01=+-y x 或023=-y x .

变式3：直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l 的方程.

解：依题意,直线l 的斜率为±1,∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ,即

01=+-y x 或05=-+y x .

3.必修2 第11题

变式1：过点-5,-4且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解：设所求直线方程为)5(4+=+x k y ,依题意有

5)45)(54

(21=--k k

, ∴01630252=+-k k 无解或01650252=+-k k ,解得52=k 或5

8=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .

变式2：2006年上海春季卷已知直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 面积的最小值为 . 解：设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ,

则1111111(2)(12)44[4(4)()][442

2

2

2

OAB S k k k k

k

k

∆=--=--=+-+-+=≥,当且仅

当k k 1

4-=-即21-=k 时取等号,∴当2

1-=k 时,OAB S ∆有最小值4.

变式3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ,在射线l 上求一点N ,使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小.

解：设)1)(4,(000>x x x N ,则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令0=y 得1500-=

x x x ,∴]21

1)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S

2]40=≥,当且仅当11100-=

-x x 即20=x 时取等号,∴当N 为2,8时,

三角形面积S 最小. 4.必修2 例题2

变式1：2005年全国卷已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行,则m 的值为

B .-8

C .2 解：依题意有

22

4-=+-m m

,解得8-=m ,故选B . 变式2：与直线0532=++y x 平行,且距离等于13的直线方程是 . 解：设所求直线方程为032=++m y x ,则133

252

2

=+-m ,解得18=m 或8-=m ,∴直

线方程为01832=++y x 或0832=-+y x .

变式3：已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形,求实数m 的取值集合.

解：依题意,当三条直线中有两条平行或重合,或三条直线交于一点时,三条直线不能构成三角形,故2

3

m =-或3

4=m 或1=m ,∴实数m 的取值集合是24,,133⎧⎫-⎨⎬⎩⎭

. 5.必修2 习题2第6题

变式1：1987年上海卷若直线062:1=++y ax l 与直线0)1()1(:22=-+-+a y a x l 平行

但不重合,则a 等于

或2 B .-1 C .2 D .3

2

解：∵21//l l ,∴21k k =且21b b ≠,∴1

1

2--=-a a 且1132---≠-a a ,解得1-=a ,故选B.

变式2：2005年北京春季卷“2

1

=

m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的

A.充分必要条件

B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件 解：由20)2(3)2)(2(0212121-=⇔=++-+⇔=+⇔⊥m m m m m B B A A l l 或2

1

=

m ,知由21=

m 可推出21l l ⊥,但由21l l ⊥推不出21=m ,故2

1

=m 是21l l ⊥的充分不必要条件,故选B .

变式3：设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P 、Q 两点,O 为坐标原点,且OQ OP ⊥,求m 的值.

解：∵圆04222=+-+y x y x 经过原点O ,且OQ OP ⊥,∴PQ 是圆的直径,∴圆心1,-2在直线062=++y ax 上,∴2-=m . 6.必修2 例题2

变式1：已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ,则直线l 的方程是 A.01165=-+y x B.0156=--y x C.01156=-+y x D.0165=+-y x 解：依题意得,直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵6

5-=AB k ,∴5

6

1=

-

=AB

l k k ,∵AB 的中点为1,1,∴直线l 的方程是)1(5

6

1-=-x y 即0156=--y x ,故选B .

变式2：已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是 .

解：依题意得,两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称,故直线l 是线段AB 的垂直平分线,由变式1可得直线l 的方程为0156=--y x . 变式3：求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.

解：设),(y x B .由l AB ⊥,且AB 的中点在直线l 上,得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615

6

74y x x y ,解得

⎩⎨

⎧=-=6

5

y x ,∴)6,5(-B . 7.必修2 习题3第14题

光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射,求反射光线所在直线的方程. 变式1：一条光线从点)3,2(P 射出,经x 轴反射,与圆1)2()3(22=-++y x 相切,则反射光线所在直线的方程是 .

解：依题意得,点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上,故可设反射光线所在直线的方程为)2(3-=+x k y ,即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得

11

552=++k k ,解得34-

=k 或4

3

-=k ,∴反射光线所在直线的方程是)2(343--=+x y 或)2(4

3

3--=+x y ,即0134=++y x 或0643=++y x .

变式2：2003年全国卷已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ,一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后,依次反射到CD 、

DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P 入射角等于反射角.设4P 的坐标为)0,(4x .若204<

则θtan 的取值范围是

A.)1,3

1( B.)3

2,31( C.)2

1,52( D.)3

2,52( 解：用特例法,取14=x ,则1P 、2P 、3P 、4P 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点,此时2

1tan =θ.依题意,包含2

1

tan =

θ的选项ABD 应排除,故选C.

变式3：已知点)15,2(),5,3(B A -,在直线0443:=+-y x l 上求一点P ,使PB PA +最小.

解：由题意知,点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知,先作出点A 关于直线l 的对称点'A ,然后连结B A ',则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上,设点'P 是l 上异于P 的点,则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''.

设),('y x A ,则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⋅+-0

425423314

3

35y x x y ,解得⎩⎨⎧-==33y x ,∴)3,3('-A ,∴直线B A '的

方程为05118=-+y x .由⎩⎨⎧=-+=+-051180443y x y x ,解得⎪⎩

⎪⎨⎧

==

338y x ,∴)3,38(P .

8.必修2 例题2

变式1：2006年重庆卷过坐标原点且与圆02

5

2422=++-+y x y x 相切的直线的方程为

A.x y 3-=或x y 31=

B.x y 3=或x y 3

1-= C.x y 3-=或x y 31-= D.x y 3=或x y 3

1=

解：设直线方程为kx y =,即0=-y kx .∵圆方程可化为2

5

)1()2(22=++-y x ,∴圆心为2,-1,半径为

210.依题意有2101

122=++k k ,解得3-=k 或31

=k ,∴直线方程为

x y 3-=或x y 3

1

=

,故选A. 变式2：2006年湖北卷已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切,则a 的值为 .

解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为1,0,半径为1,∴

112

552

2

=++a ,解得8=a 或18-=a .

变式3：求经过点)5,0(A ,且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.

解：设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,则⎪

⎩

⎪⎨⎧=+=-=-+r b a b

a r

b a 5252)5(2

22, 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===5

5155

r b a ,∴圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(2

2=-+-y x .

9.必修2 例题3

变式1：1999年全国卷直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 A.

6π B.4π C.3π D.2

π 解：依题意得,弦心距3=d ,故弦长2222=-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3

π

=

∠AOB ,故选C.

变式2：2006年天津卷设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点,且弦AB 的长为32,则=a . 解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形,得22222)3()1

1(

=+++a a ,解得0=a .

变式3：已知圆6)2()1(:22=-++y x C ,直线01:=-+-m y mx l . 1求证：不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒交于两点； 2求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.

解：1∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ,且65=<=r PC ,∴点P 在圆内,∴直线l 与圆C 恒交于两点.

2由平面几何性质可知,当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时,直线l 被圆C 截得的弦长最小,此时21=-

=PC

l k k ,∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即

012=--y x .

10.必修2 练习 第2题

变式1：2006年安徽卷直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点,则a 的取值范围是

A.)12,0(-

B.)12,12(+-

C.)12,12(---

D.)12,0(+ 解：依题意有

a a >-2

1,解得1212-<<--a .∵0>a ,∴120-<

变式2：2006年湖北卷若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点,则k 的取值范围是 . 解：依题意有

11

122<+-k k ,解得340<

4

,0(. 变式3：若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点,求实数m 的取值范围.

解：∵曲线24x y -=表示半圆224(0)x y y +=≥,∴利用数形结合法,可得实数m 的取值范围是22m -<≤或22=m . 11.必修2 练习1

变式1：1995年全国卷圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 解：∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(1O ,半径11=r ,圆4)2(22=++y x 的圆心为

)2,0(2-O ,半径22=r ,∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-,∴两

圆相交,故选C.

变式2：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切,则实数m 的取值集合是 .

解：∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ,半径21=r ,圆9)2()1(22=-++m y x 的圆

心为)2,1(2m O -,半径32=r ,且两圆相切,∴2121r r O O +=或1221r r O O -=,∴

5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ,解得512-

=m 或2=m ,或0=m 或2

5-=m ,∴实数m 的取值集合是}2,0,2

5

,512{--

. 变式3：求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ,且半径为52的圆的方程.

解：设所求圆的圆心为),(1b a O ,则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切于点P ,∴13

1OO OP =,∴),(3

1

)2,1(b a =-,∴6,3=-=b a ,∴所求圆的方程为

20)6()3(22=-++y x .

12.必修2 习题2第8题

变式1：2006年湖南卷圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

B.18

C.26

D.25

解：∵圆18)2()2(22=-+-y x 的圆心为2,2,半径23=r ,∴圆心到直线的距离

r d >==

252

10,∴直线与圆相离,∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差

是262)()(==--+r r d r d ,故选C.

变式2：已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则2

2PB PA +的最小值是 .

解：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴2

2

PB PA +的最小值为268322=+⨯. 变式3：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.

1求

2

1

--x y 的最大值与最小值；2求y x +2的最大值与最小值. 解：1设

k x y =--2

1

,则k 表示点),(y x P 与点2,1连线的斜率.当该直线与圆相切时,k