18.2.3正方形
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18.2.3 正方形的判定
18.2.3 正方形的判定基础知识、技能与思想方法正方形不仅是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形，还是特殊的菱形，因此，我们可以根据这些特点来判别正方形；典型例题例1 已知：如图所示，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ，⑴求证：△ABC 是等腰三角形；⑵当∠A =90°时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形？说明你的结论。
分析： 解答：例2 已知：如图所示，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且A A′=B B′=C C′=D D′，试说明四边形A′B′C′D′为正方形。
分析：解答：例3 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，阅读下列材料，回答问题：⑴连结AC 、BD ，由三角形中位线的性质定理可证四边形 EFGH 是 。
⑵对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是矩形。
⑶对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是菱形。
⑷对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形 EFGH 是正方形。
分析： 解答：DF ECBAD'C 'B 'A 'DCBA巩固练习1．如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积______.2．如图，正方形OMNP 的一个顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，且正方形ABCD 、OMNP 的边长都是acm ，则图中重合部分的面积是 cm 2．3.如图，设M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于点P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是 .4.如图，M 为边长为2的正方形ABCD 对角线上一动点，E 为AD 中点，则AM +EM 的最小值为 .5.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30 o 到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为 .6．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）. A ．AO ＝OC ，OB ＝OD B ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD C ．AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD D ．AO ＝OC ＝OB ＝OD 7．正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A 、四个角都是直角 B 、对角线相等 C 、对角线互相平分 D 、对角线互相垂直 8．一组对边平行，并且对角线互相垂直相等的四边形是（ ）A ．菱形或矩形;B ．正方形;C ．矩形;D ．菱形 9．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设有下列条件：①AB=AD ；②∠ DAB=900；③AO=CO ，BO=DO ；④矩形ABCD ；⑤菱形ABCD ，⑥正方形ABCD ，则在下列推理不成立的是 ( )A 、①④⇒⑥B 、①③⇒⑤C 、①②⇒⑥D 、②③⇒④10．已知：如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点M 、N 在OB 和OC•上，•且MN ∥BC ，连结DN 、MC ，试猜想DN 与MC 有什么关系？并证明你的猜想．第5题图第4题图第3题图第2题图C'ABCDEMABCDM NB11．如图（1），在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，E 为AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于点N ．（1）DM 与MN 相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM 与MN 相等吗？为什么？12．已知正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，且1=BE ，P 为AC 上一点，求PD PE +的最小值13．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点。
正方形的性质
(B)
B.对角线互相垂直平分
C.对角互补
D.对角线相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ）
A.四条边相等
B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角
D.对角线相等
练一练 3．在正方形ABCD中,∠ADB= 45°,∠DAC= 45° , ∠BOC= 90° .
A
D
O
B
C
典例精析
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形.
随堂演练
金牌导学案练习
正
方
形
的
性 质
正方形
课堂小结
边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角(相等)
互相平分且垂直，并且每一条对 对角线 角线平分一组对角
一个角是直角 菱形
正方形
∟
可知：正方形既是矩形，又是菱形。
正方形是矩形，所以它具有矩形的性质， 四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形 的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相 垂直，并且每条对角线平分一组对角.
归纳总结
正方形的性质
边： 正方形的四条边都相等
角： 正方形的四个角都是直角
以及AC平分∠BAD和∠BCD ，BD平分∠ABC和∠ADC。
A
D
证明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
O
∵正方形ABCD是菱形. B
C
∴AC⊥BD,
AC平分∠BAD和∠BCD ，BD平分∠ABC和∠ADC
新知探究 正方形、矩形、菱形及平行四边形之间的关系 矩形
平行 四边形
+一组邻边相等+一个直角
18.2.3正方形的性质与判定课件
对称性
轴 对 称 图 形
例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 个2 全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的 性 AA
（2）图中共有__8___
DB
个等腰直角三角形。
（3）对角线AC与正方
质
O
形的一边所成的角为
的
应
BO
C
度。 45
(4) 正方形的面积为64，
用D
C
则正方形对角线
试说明：四边形DEBF是正方形.
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB,
A
∴ ∠DEB= ∠DFB=90°,
又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
ED BF C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB,
∴ DE= DF
∴四边形DEBF是正方形 第17页，共19页。
小结
性质
图形
对边平行且相等
正方形判定方法
要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
判定方法2： 一个角为直角的菱形叫正方形
第11页，共19页。
图形之间的变化关系 矩形
平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
正方形
菱形
第12页，共19页。
正方形的判定方法 判定方法3：
一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形是正方形
，
面积为
。
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为 AB上任意一点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足, 则PE+PF= 。5cm
第6页，共19页。
4.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意 一点,PE⊥5cAmC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 。
18.2.3正方形的判定
平行四边形
矩形
有一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
菱形
既是矩形又是菱形的四边形是正方形
正 方 形 常 见 的 判 定 法
1、要使一个菱形成为正方形需
增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是
（填上一个条件即可）
为什么下列三个个图形都是正方形？
5 2 5 2
有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正 方形。
体验中考
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB与∠CBA的平分 线交于点D,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足为E,F,(1)求证:四边形 CEDF是正方形.(2)若AC=6,BC=8,求CE长.
体验中考
(2014牡丹江中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D在AB上, 过点C作直线MN∥AB,过点D作DE⊥BC交MN于E,交BC于 F,(1)求证:CE=AD.(2)当D是AB中点时,四边形BECD是什么特 殊四边形,说明你的理由.(3)在第(2)的基础上,∠A满足什 么条件时,四边形BECD是正方形?
例题精讲
例2 如图，E，F，G，H分别是各边上的点，且 AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正方形吗？为什么？ H D A
G
E B F
C
变式训练
如图,矩形ABCD的四个内角平分线交于点E,F,G,H,求证: 四边形EFGH是正方形.
巩固练习
1、选择题： ①、下列判断中正确的是（ ） A、四边相等的四边形是正方形 B、四角相等的四边形是正方形 C、对角线垂直的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 2、在四边形ABCD中O是对角线的交点，能判定这个四边 形是正方形的是（ ） A、AC = BD，AB∥CD，AB = CD B、AD∥BC，∠A =∠ C C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC
18.2.3正方形
E G A
选做题：
课本P62第17题
D F B C
课堂检测
必做题： 课本P59-60页的练习题2、3 选做题： 课本P62页第13题 请在9分钟内完成当堂检测题，看哪位同学完成 的又快又好。
当堂训练
必做题：
1.求证：正方形各对边中点的连线将正方形分成 四个小正方形. 2.以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方 形ACFG，求证：BG=CE.
10分钟时间内看哪些同学能快速完成并熟 背性质
学以致用
判断： （1） 正方形一定是矩形.（ √ ） （2） 正方形一定是菱形.（ √ ） （3） 菱形一定是、菱形都是平行四边形. （√ ） （6）正方形既是菱形又是矩形.（ √ ） （7）正方形具有平行四边形的一切性质.（ √ ）
18.2.3 正方形
学习目标
1、掌握正方形的概念、 性质和判定方法； 2、理解正方形与平行四 边形、矩形、菱形之间的 联系和区别.
自学指导
1.阅读课本P58第一段，回答：正方形是矩形吗？ 正方形是菱形吗？回忆矩形、菱形的性质，正方 形的性质有哪些？ 2.观察课本图18.2-11，思考：正方形是怎样的矩 形？正方形是怎样的菱形？课本上写出正方形的 判定方法（至少4种）. 3.阅读课本P59页例5解题过程，运用了正方形的 哪几条性质？写出图中全部等腰直角三角形. 4.看课本P59“思考”，试着用列表或框图表示平 行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
选做题：
课本P62第17题
D F B C
课堂检测
必做题： 课本P59-60页的练习题2、3 选做题： 课本P62页第13题 请在9分钟内完成当堂检测题，看哪位同学完成 的又快又好。
当堂训练
必做题：
1.求证：正方形各对边中点的连线将正方形分成 四个小正方形. 2.以三角形ABC两边向形外作正方形ABDE和正方 形ACFG，求证：BG=CE.
10分钟时间内看哪些同学能快速完成并熟 背性质
学以致用
判断： （1） 正方形一定是矩形.（ √ ） （2） 正方形一定是菱形.（ √ ） （3） 菱形一定是、菱形都是平行四边形. （√ ） （6）正方形既是菱形又是矩形.（ √ ） （7）正方形具有平行四边形的一切性质.（ √ ）
18.2.3 正方形
学习目标
1、掌握正方形的概念、 性质和判定方法； 2、理解正方形与平行四 边形、矩形、菱形之间的 联系和区别.
自学指导
1.阅读课本P58第一段，回答：正方形是矩形吗？ 正方形是菱形吗？回忆矩形、菱形的性质，正方 形的性质有哪些？ 2.观察课本图18.2-11，思考：正方形是怎样的矩 形？正方形是怎样的菱形？课本上写出正方形的 判定方法（至少4种）. 3.阅读课本P59页例5解题过程，运用了正方形的 哪几条性质？写出图中全部等腰直角三角形. 4.看课本P59“思考”，试着用列表或框图表示平 行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
18.2.3正方形的定义+性质+判定
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形 分成四个全等的等腰直角三角形.
A
问:图中共有多少个等腰直角三角形?
D O C
B
思考：如何判定一个四边形是正有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等的菱形是正方形
8cm
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形 分成四个全等的等腰直角三角形.
已知:四边形ABCD是矩形,对角 线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、 △CDO、△DAO是全等的等
A O
D
腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形 B C ∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO. ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO 角三角形,
A
B
D
C
在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点， PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F. 求证：DP=EF
D C
P
F
A
E
B
8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上， 且DM=2，N是AC上一个动点，求ND+NM的最小值。
A
N
D M
B
C
8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上， 且DM=2，N是AC上一个动点，求ND+NM的最小值。
C
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ 3. 已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的 C）
2 8cm 周长为 A.对角线互相垂直 ,对角线长为2 B.对角线互相平分 2cm,面积为 4cm .
C. 对角线相等 D. 对角线平分一组对角 4.正方形的对角线和它的边所成的角是 45°度. 2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的 5.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 2 图形可能是 （ D ） 为 2 2cm ， 面积为 。 A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形 、正方形 6.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一 C.矩形、正方形 D.菱形、正方形 点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 5cm 。
18.2.3正方形的定义与性质
4、已知：如图4－53，点A'、B'、C'、D'分别 是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'＝ BB'＝CC'＝DD'。 求证：四边形A‘B’C‘D’是正方形
5．如图，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
你还能得出其 他结论吗？
6、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1， P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
7、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE 平分∠BAC,试猜想AB、AC、BE之间的 关系，并证明你的猜想。
A
F B G
D
E
C
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
正方形的定义：
有一组邻边相等 的矩形是正方形。 _________________ 有一个角是直角 _______________的菱形是正方形。 有一组邻边相等且有一个角是直角 _______________________________ 的平行四边形是正方形。
例2、如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
18.2.3正方形的判定
ห้องสมุดไป่ตู้
思考：如果是平行四边形呢？
有一组邻
边相等 有一个角 有一个角 是直角 有一组邻 边相等 ）+平行四边形=正方形。
是直角
（ ）+ （
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 是正方形。
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
1、对角线相等的菱形是正方形 2、对角线互相垂直的矩形是正方形
（ 真） （真 ）
变式：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ `，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别是ＡＢ，Ｂ Ｃ，ＣＤ，ＤＡ的中点，四边形Ａ `Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
Ａ D` Ｄ
Ａ`
C`
Ｂ B`
Ｃ
例.如图，分别延长等腰直角三角 形OAB的两条直角边AO和BO，使 AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形。
A O B D
3、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
（假 ）
4、四条边都相等的四边形是正方形 （假 ） 5、四个角都相等的四边形是正方形
（假 ）
6、四边相等，有一个角是直角的四 （真 ） 边形是正方形.
7、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正 方形 （ 真 ）
1.已知：在△ABC中， ∠ACB＝90°，CD平分 ∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、 F． 证明： 求证： 四边形 是正 ∵ ∠DEC＝∠ ECF＝∠CFDE CFD＝90 °， 图 20.4.1 ∴ 四边形CFDE是矩形. 方形．
∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF． ∴ 矩形CFDE是正方形．
变式：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F. (1)试说明：DE=DF (2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正 方形.（不另外添加辅助线） A
思考：如果是平行四边形呢？
有一组邻
边相等 有一个角 有一个角 是直角 有一组邻 边相等 ）+平行四边形=正方形。
是直角
（ ）+ （
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 是正方形。
判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
1、对角线相等的菱形是正方形 2、对角线互相垂直的矩形是正方形
（ 真） （真 ）
变式：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ `，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别是ＡＢ，Ｂ Ｃ，ＣＤ，ＤＡ的中点，四边形Ａ `Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
Ａ D` Ｄ
Ａ`
C`
Ｂ B`
Ｃ
例.如图，分别延长等腰直角三角 形OAB的两条直角边AO和BO，使 AO=OC，BO=OD
求证：四边形ABCD是正方形。
A O B D
3、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
（假 ）
4、四条边都相等的四边形是正方形 （假 ） 5、四个角都相等的四边形是正方形
（假 ）
6、四边相等，有一个角是直角的四 （真 ） 边形是正方形.
7、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正 方形 （ 真 ）
1.已知：在△ABC中， ∠ACB＝90°，CD平分 ∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、 F． 证明： 求证： 四边形 是正 ∵ ∠DEC＝∠ ECF＝∠CFDE CFD＝90 °， 图 20.4.1 ∴ 四边形CFDE是矩形. 方形．
∵ CD平分∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC， ∴ DE＝DF． ∴ 矩形CFDE是正方形．
变式：在△ABC中，AB=AC,D是BC的中 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F. (1)试说明：DE=DF (2)只添加一个条件，使四边形EDFA是正 方形.（不另外添加辅助线） A
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构建与证明
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两 条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形.
A O B C D
轴对称
思维拓展
如何设计花坛？ 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路， 使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四 部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？ （至少说出三种）
正方形的判定
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明 有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或 对角线相等的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形A . D ∵AC⊥BD, O ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. B C
A D
B
C
正方形的判定
定理:对角线相等的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. O ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. B C
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
）个
多
第n个图中正方形有
多
多
3n-1 个
解： （1）∵四边形ABCD是正方形,
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点 O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数.
A F D
∴AC⊥BD,∠AOB=900 , O ∠BAC=∠DAC. ∴∠OAB=450 . C (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ;B E 正方形的面积是 8. (3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方 形一边的距离 4㎝
平 行 四 边 形
矩 形
菱 形
正 方 形
正方形的性质
正 方 形 性 质
边
对边平行 四边相等
角: 四个角相等且都是直角
对角线相等 对角线 互相垂直平分 每条对角线平分一 组对角
正方形的性质
所以 正方形不仅是平行四边形、矩形， 还是菱形.
正方形的判定 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形.
菱形
正方形再认识
正方形定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 换句话：有一组邻边相等并且有一个角 是直角的平行四边形 ⑴有一组邻边相等的平行 正 两层 四边形（菱形） 方 含义 ⑵并且有一个角是直角的 形 平行四边形（矩形）
各平行四边形关系再认识
有一组邻边相等且有 一个角是直角
各平行四边形关系再认识
人教八年级 下册 §18.2
18.2.3 正方形
学习方法报 数学周刊
平行四边形再认识
平行四边形再认识
邻边相等
平行四边 形 菱形Fra bibliotek定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 平行四边形 正 方 形
矩形
四边形再认识
2 2cm
A O B
D
C
AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点， 且AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证： EC=EF=FB. 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形,
A D
E B F
C
∴∠B=900 , ∠ACB=450 . ∵∠AEF=900 , AB=AE, ∴△ABF≌△AFE（HL）. ∴BF=EF. 又∵∠FEC=900 , ∴∠EFC=450 . ∴EC=EF（等角对等边） . ∴BF=EF=EC.