数值分析第五章学习小结

第五章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******一、本章学习体会本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。

1、主要有两方面内容：插值与逼近。

插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。

逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。

2、插值中样条插值比较难，需要花一定的时间。

逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。

3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。

二、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。

1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：一、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上非负的函数满足（1）对一切整数存在；（2）对区间上非负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。

常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。

内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==； （3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+； （4）非负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。

(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥⎰(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=⎰(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=⎰(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系 若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满足则称是上带权的正交函数系。

特别的，如果是最高次项系数不为零的次多项式，则称正交函数系一定线性无关。

4、几种常用的正交多项式 （1）legendre 多项式Legendre 多项式的性质Legendre 多项式系{}是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。

的最高次项系数为n 为奇数时为奇函数，n 为偶数时为偶函数。

递推关系 当时(,)()()()=0ba f g x f x g x dx ρ=⎰{}01(),(),,(),n x x x ϕϕϕ0,(,)()=0,b i j i j a ii j x dx a i j ϕϕρϕϕ≠⎧=⎨>=⎩⎰{}()k x ϕ[],a b ()x ρ()kx ϕk {}[](),()k x a b x ϕρ是上带权的正交多项式。

02()11()[(1)],1,2,2!n nn n n L x d L x x n n dx ≡⎧⎪⎨=⋅-=⎪⎩()n L x ()1x ρ=()n L x ()n L x ()(1)()nn n L x L x -=-()n L x 1n ≥（2）chebyshev 多项式设n 为非负整数，称()cos(arccos ),11n T x n x x =⋅-≤≤为chebyshev 多项式。

chebyshev 多项式的性质：()n T x 是x 的n 次多项式，并且当时，()n T x 的最高次项系数为12n n a -=Chebyshev 多项式系{()}n T x 是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。

（3）Laguerre 多项式称()(),0,1,n n x xn nd xe U x e n dx-==为Laguerre 多项式Laguerre 多项式的性质：（1）是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为 （2）Laguerre 多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。

（4）Hermite 多项式称22()()(1),0,1,n x nx n nd e H x e n dx-=-=为Hermite 多项式。

Hermite 多项式的性质:是x 的n 次多项式，并且它的最高次项系数为Hermite 多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。

1121()()()11n n n n nL x xL x L x n n +-+=-++1n≥()x ρ=()n U x (1)n n a =-()n U x [0,)∞xe -()n H x 2n n a =()n H x (,)-∞+∞2x e-20,()()2x m n n m neH x H x dx n m n+∞--∞≠⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰二、函数的最佳平方逼近 1、最佳平方逼近的概念设n H 为某一函数类定义：设],[)(b a C x f ∈，若存在n H x ∈)(*ϕ使2222*min ϕϕϕ-=-∈f f nH ,则称)(*x ϕ为f （x ）在函数类n H 中的最佳平方逼近函数。

dx x x x f f ba)()]()([2*22*ρϕϕ⎰-=-**f f min(f ,f )nH ϕϕϕϕϕ∈--（-,-）= n H 的表示：设)(,),(),(),(210x x x x n ϕϕϕϕ ， )}(,),(),(),({210x x x x span H n n ϕϕϕϕ =∑==n k k k x c x 0**)()(ϕϕ，∑==nk k k x c x 0)()(ϕϕ2、最佳平方逼近的条件设],[)(b a C x f ∈，n H x ∈*)(ϕ，是子空间n H 中，对于)(x f 的最佳平方逼近元素的充分必要条件是：n j f j ,,1,0,0),(* ==-ϕϕ 3、最佳平方逼近元素是唯一的 4、最佳平方逼近元素的求法∑==nk k k x c x p 0**)()(ϕ，求系数*k c ，利用条件： ()n j x c f f jnk kkj,...2,1,0,0),)((,0**==-=-∑=ϕϕφϕ法方程（正规方程）： ,2,1,0,),(),(0*==∑=j f c nk j j k kϕϕϕ nj f c c c j n j n j j ,,2,1,0),(),(),(),(**11*00 ==+++ϕϕϕϕϕϕϕ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++),(),(),(),(...),(),(),(),(),(),(),(),(0**11*001*1*111*0100*0*101*000ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf c c c f c c c f c c c n n n n n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100n n n n n n n n f f f c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ设)(,),(),(),(210x x x x n ϕϕϕϕ 为[a,b]上带权)(x ρ正交函数系,则n k f c k k k k ,,2,1,0,),(),(*==ϕϕϕ5、最佳平方逼近误差()**,ϕϕδ--=f f ，均方误差：δ，∑=-=nk k k f c f f 0*),(),(ϕδ三、正交函数系在最佳平方逼近中的应用设)(,),(),(),(210x x x x n ϕϕϕϕ ，为[a,b]上带权)(x ρ正交函数系,则n k f c k k k k ,,2,1,0,),(),(*==ϕϕϕ1、Legendre 多项式的应用(1)设[]1,1)(-∈C x f 求f(x)在[-1,1]上的n 次最佳平方逼近多项式)(x p n⎰=ba dx x g x f g f )()(),(，},,,,1{2n n x x x span H =},,,{10n n L L L span H =取，),(),(*k k k k L L L f c =⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=⎰-n m n nm dx x L x L n m ,122,0)()(11nk dx x f x L k L L L f c k k k k k ,,2,1,0,)()(212),(),(11* =+==⎰-，∑==n k k kx L c x p 0**)()( (2)[](),f x C a b ∈做变换,[1,1]22a b b ax t t +-=+∈- 2、Chebyshev 多项式的应用},,,{10n n T T T span H =，11,)(2)(10≤≤-+=∑=x x T a a x p nj j j nn j dx xx T x f a j j ,,2,1,0,1)()(2112=-=⎰-π误差估计设)(x f '在区间[-1，1]上存在且有界，那么由式11,)(2)(10≤≤-+=∑=x x T a a x p nj j j n 和系数公式n j dx xx T x f a j j ,,2,1,0,1)()(2112=-=⎰-π。

所确定的多项式,当∞→n 时，在[-1，1]上一致收敛于函数f(x)。

Chebyshev 级数11,)(210≤≤-+∑∞=x x T a a j j j3、三角函数系的应用三角函数系}sin ,cos ,,sin ,cos ,1{nx nx x x ，在[0,2]π上为正交函数⎰=π20)()(),(dx x g x f g f⎪⎩⎪⎨⎧≠===≠=0,0,2,0)cos ,(cos j k j k jk jx kx ππ，⎩⎨⎧≠=≠=0,,0)sin ,(sin j k j k jx kx π j k jx kx ≠=,0)sin ,(cos设f(x)是以π2为周期的函数,定义内积⎰=π20)()(),(dx x g x f g f ，在空间}sin ,cos ,,sin ,cos ,1{nx nx x x span D n =，中寻求对于f(x)的最佳平方逼近元素∑=++=nk k k n kx b kx a a x s 00)sin cos (2)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰n k kxdx x f b n k kxdx x f a k k ,,2,1,sin )(1,,2,1,0,cos )(12020 ππππ当),()(+∞-∞∈C x f 且以π2为周期时)()sin cos (200x f kx b kx a a k k k =++∑∞=四、曲线拟合曲线拟合的概念：已知数据点：m i y x i i ,,2,1,0),,( =，寻找一个函数)(x y ϕ=，使其在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的好。