中学数学解题研究——数列
1 a3 所以有7 a5 a7 26 ， n(n-1) 2a1 10d 26 3n+ 2 S 解得 a1 3,d 2 ， 所以 an 3 （n 1)=2n+1 ； n = 2 2 1 1 = = n 2 +2n 。 2 2 an 2n+1 所以bn= an 1 = （2n+1) 1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn = (1- + + + ( ) ) 所以 4 n(n+1) = 4 n n+1 4 2 2 3 n n+1 n 1 1 n (1)= 4(n+1) = 4 即数列bn 的前n项和 Tn = 4(n+1) n+1
一些数列求和的方法 page2
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五个考点
• • • • •
考点1、等差与等比数列的概念和性质 考点2、求一般数列通项公式和前n项和 考点3、数列与函数、不等式结合 考点4、数列与方程、几何结合 考点5、已知Sn与an的关系，求通项公式
考点1 例题page1
an
等差数列与等比数列的概念和性质
例1、（2008年海南宁夏卷）已知数列{an } 是一个等差数列， a 且，a2 1 ，5 5 。 （Ⅰ）求{an }的通项 an ； （Ⅱ）求{an }前n项和 S n 的最大值。 提示： a1 d 1 （Ⅰ）设 {an }的公差为d，由已知条件， , a1 4d 5 d 解出 a1 3 ， 2 ． 所以 an a1 (n 1)d 2n 5 ．
五个考点
考点4例题
数列与方程、几何结合
五个考点
考点5例题page1
已知Sn与an的关系，求通项公式
考点5例题page2
已知Sn与an的关系，求通项公式
考点5例题page3
已知Sn与an的关系，求通项公式
方法总结
方法总结
• 1、运用基本的数学思想(如方程思想)解决有关问题； • 2、注意等差数列的性质、等比数列的性质的灵活运用； • 3、注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价 形式； • 4、根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写 出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、 周期等方面进行归纳； • 5、掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系； • 6、根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数 列； • 7、掌握一些求通项公式的方法 • 8．掌握一些数列求和的方法
等差数列的性质page1
等差数列的前n项和为25，前2n项和为100， 则它的前3n和为 。
（答：225）
（答：2）
（答：5；31）
BACK
（答：－1）
BACK
一些求通项公式的方法 page1
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中学数学解题研究之
函数与数列专题
数列考点分析
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础， 所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面， 等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等 以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能 力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题， 经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合 起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳 法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题 中出现。在主观题蕴含着丰富的数学思想，着重考查函数与 方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换 元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现 实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化 为数学问题来解决.
n(n 1) Sn na1 d n 2 4n 4 (n 2) 2 ． （Ⅱ） 2 所以 n 2 时， S n 取到最大值 4．
考点1 例题page2
等差数列与等比数列的概念和性质
例2、（2010山东理数）（18）已知等差数列 an 满 足：a3 7 ，a5 a7 26 ，an 的前n项和为 S n ． （Ⅰ）求 an 及 S n ； 1 （Ⅱ）令bn= a 2 1 (n N*)，求数列b 的前n项和 Tn ． n 解析：（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为d，因 为 ，
a 2d 7
，
五个考点
考点2例题page1
求一般数列通项公式和前n项和
考点2例题page2
求一般数列通项公式和前n项和
五个考点
考点3例题page1
数列与函数、不等式结合
考点3例题page2
数列与函数、不等式结合
考点3例题page3
பைடு நூலகம்
数列与函数、不等式结合
考点3例题page4
数列与函数、不等式结合
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结
高中数学的归纳数列与排列组合的重要性质及解题方法总结在高中数学的学习中，归纳数列与排列组合是一类非常重要的概念和方法。
它们不仅在解决实际问题中起着重要作用，还在数学推理和证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍归纳数列与排列组合的重要性质以及解题方法，并总结它们在高中数学中的应用。
一、归纳数列的重要性质及解题方法1. 等差数列和等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。
在解决等差数列问题时，可利用等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
2. 等比数列和等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。
在解决等比数列问题时，可利用等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a1表示等比数列的首项，r表示等比数列的公比。
3. 斐波那契数列及其性质斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列在自然界中有着广泛的应用，如植物的叶子排列、螺旋形状等。
求解斐波那契数列问题时，可以利用递推关系式：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示斐波那契数列的第n项，Fn-1表示斐波那契数列的第n-1项，Fn-2表示斐波那契数列的第n-2项。
二、排列组合的重要性质及解题方法1. 排列的计算方法排列是指从一组元素中选取一部分进行排列的方法。
在排列问题中，需要关注选取的元素个数、元素的排列顺序和元素是否可重复选取等因素。
排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，A(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，n!表示n的阶乘。
2. 组合的计算方法组合是指从一组元素中选取一部分进行组合的方法。
与排列不同，组合不考虑元素的排列顺序。
组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数。
高中数学研究课题教案
高中数学研究课题教案一、课题名称：探究数列的本质和规律二、课题背景和意义：数列是数学中非常重要的概念，它在解决实际问题以及推导数学结论中都有着重要的作用。
通过对数列的研究，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力。
通过本课题的学习，学生将能够深入理解数列的本质和规律，掌握数列的常见性质和求和公式，培养学生的逻辑思维和分析能力。
三、课题目标：1. 了解数列的定义和性质；2. 掌握常见数列的求和公式；3. 能够运用数列的思想解决实际问题；4. 提高学生的数学思维和解题能力。
四、教学内容和步骤：1. 数列的概念和表示方法（25分钟）- 引入数列的概念和定义；- 介绍等差数列和等比数列的表示方法；- 给出一些实际问题，引导学生理解数列的概念。
2. 数列的性质和求和公式（30分钟）- 讲解数列的常见性质，如通项公式、前n项和公式等；- 给出一些例题，让学生掌握数列的求和方法；- 指导学生如何根据数列的性质解题。
3. 数列的应用和实践（25分钟）- 分组讨论实际问题，应用数列的方法解决；- 带领学生完成一些综合性的练习题；- 撰写论文或报告，总结数列的应用及发现。
五、教学方法和手段：1. 讲授教学结合课堂互动，鼓励学生提问和讨论；2. 利用多媒体教具展示数列的图像和应用实例；3. 设计小组合作学习任务，培养学生的团队协作能力；4. 鼓励学生参与数学竞赛和研究活动，提高数学实践能力。
六、评价方式和评分标准：1. 平时表现（包括课堂互动、作业完成情况等）：占总分的20%；2. 课堂测验和小组作业：占总分的30%；3. 个人论文或报告：占总分的30%；4. 学习总结和思考：占总分的20%。
七、拓展任务和延伸阅读：1. 带领学生开展数列的进一步研究，探索更多的数列性质和规律；2. 推荐相关数学书籍和期刊，引导学生扩展数学知识和视野；3. 参加数学竞赛和学术交流活动，锻炼学生的数学解题能力和表达能力。
以上为本课题的教案范本，教师可根据实际情况进行适当调整和修改。
高中数学数列试题的解题方法研究
123神州教育高中数学数列试题的解题方法研究胡铭晟宁波市第二中学摘要：数列是高中数学学习的重要组成部分，在学习的过程中会遇到各种问题，为提高解题效率，本文就高中数学中数列试题的解题方法围绕着两点进行分析：数列在高中数学学习中的重要性，高中数学数列试题的解题方法。
关键词：高中数学；数列试题；解题方法引言：目前，在我国高中数学的教学中，数列是非常重要的学习内容，熟练掌握并应用数列内容，有利于学生提高学习成绩，培养学生自身的素养。
但是在实际的学习过程中，经常会遇到一些问题，为了提高解题效率，本文就高中数列试题的解题方法进行探究。
1数列在高中数学学习中重要性高中阶段的数学学习是非常重要的，其不仅是初中数学知识和高等数学知识之间的过渡，更是培养学生数学素养的重要阶段。
数列在高中数学教材中是独立部分并没有与其它学习内容联系在一起学习，由此就可以看出其在教学中十分重要。
数列内容虽然是独立呈现出来的，但是其与其它数学知识之间具有十分紧密的关系，很多数学知识的练习都是以数列为基础的，如不等式、函数等内容中都涉及到了数列内容，因此在学习的过程中，需要掌握数列知识的学习。
2高中数学数列试题的解题方法在高中数学的学习过程中，数列的解题方法是教师教学的重点，也是学生学习的难点。
为了提升解题效率，在学习的过程中需要对教学内容进行深入的了解，根据自身的学习内容，选择适合的解题方法来解决问题，以此提高学习的质量。
2.1深入学习相关概念在高中数学的学习过程中，涉及到了很多公式定义的学习与记忆，我们在解题的过程中，需要利用公式进行计算。
由于高中数学中所涉及到的公式较多，有部分可以在计算中直接运用，但是有的公式则是需要推导之后才可以应用的。
在数列试题中也是如此，有的问题可以直接运用公式进行计算。
可以直接利用公式计算的问题相对比较简单，只需要学生对数列的相关定义公式可以熟练地应用及理解即可，然后根据题目，将公式代入，就可以得到答案。
例如，已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，S 10=10，S 50=70，则S 40等于多少？解析，在解决这类问题时，首先应该对题目进行分析，然后将所学公式带入，利用基本公式和求和公式进行计算，以此来保证答案的正确性。
高中数学数列求和题解题方法技巧
高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。
2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。
例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。
3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。
对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。
这种数列求和方式叫做错位相减。
4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。
5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。
6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。
7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。
高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
(完整版)如何理解数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位？
如何理解数列在数学中的作用以及数列在中学数学中的定位？一、数列在数学中的作用数列是特殊的函数。
它的定义域一般是指非负的正整数，有时也可以为自然数，或者自然数的无限子集。
自然数是离散的，数列通常称为离散函数，离散函数是相对定义域为实数或者实数的区间的函数而言的。
数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。
在高中和大学，除了专门研究数学之外，我们所遇到的函数都是“好的函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是好函数，它们具有任意阶导数。
数列在研究这些函数中发挥着重要作用。
数列常常用来处理连续函数，即通过离散化的办法来研究一般的函数。
例如，学习过高等数学的教师都知道：函数y = f(x)在x0处连续可以用数列来刻画，对任意一个以x0为极限的数列xn，数列f(xn)的极限为f(x0) 。
反之也是正确的，即若错误！链接无效。
则错误！链接无效。
数列本身也是一个数学的研究对象。
例如，斐夫那切数列就是数学中研究的一个非常重要的数列。
数列的生成体现着递归思想。
递归思想是研究数列的基本思想。
例如，研究差分数列就依赖于递归思想。
这是数学中的重要思想。
在现代数学中起着巨大的作用。
数列是刻画实际问题的重要模型。
数列作为一类特殊的函数有着广泛的应用。
例如，在我们日常经济生活中几乎许多经济问题都可以归结为数列模型，特别是等差数列、等比数列是最基本的模型。
强调数列是应用的重要模型，就要让学生了解老百姓日常经济生活中的一些数列模型。
例如，存贷款模型、教育储蓄模型、分期付款模型、商家返卷模型等等。
这一点是非常重要的。
数列中蕴涵着丰富的恒等关系。
掌握数列的基本性质，例如，等差、等比数列的性质，熟悉等差、等比数列的常用公式，了解这些性质之间的关系，可以作为提高恒等变换能力的载体。
二、数列在中学数学的定位在高中数学课程中，不可能完整地体现数列的功能，即使学习数学的人也没有必要完整了解数列的所有的功能。
高中数学数列解题方法研究
高中数学数列解题方法研究1. 引言1.1 背景介绍数、符号等。
数列是数学中重要的概念之一，它在高中数学课程中占据着重要的地位。
数列的研究不仅有助于学生在数学领域的学习，也在实际生活中有着广泛的应用。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，其性质和规律的研究对于数学的发展至关重要。
随着现代科技的不断进步，数学在各个领域的应用也愈发广泛。
数列作为数学中的基本概念之一，在科学研究、工程技术、经济管理等领域都有着重要的作用。
对高中数学数列解题方法的研究显得尤为重要。
通过对基本概念、常见解题方法、递推关系、数列求和和数列的应用等方面的研究，可以帮助学生更好地掌握数列的相关知识，提高数学解题能力。
本文将重点研究高中数学数列解题方法，希望能为学生提供更多的帮助，使他们能够更加轻松地掌握数学知识。
1.2 研究意义数不足提示等。
【研究意义】数列作为数学中重要的概念之一，在高中数学教学中扮演着重要的角色。
研究数列解题方法的意义在于帮助学生更好地理解数列的形式和规律，提高他们解决数列问题的能力。
通过深入研究数列的解题方法，可以拓展学生的数学思维，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
掌握数列解题方法对于提高学生的数学成绩和考试能力具有显著的帮助。
数列是数学中的一个重要工具，在很多领域都有着广泛的应用，比如物理、经济学等。
研究数列解题方法不仅有助于提高学生的数学能力，还能为他们未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
对高中数学数列解题方法的研究具有重要的意义，可以促进学生学习数学的兴趣，提高他们的学习质量和学习效果。
1.3 研究目的研究目的是为了深入探讨高中数学中数列解题的方法，提高学生对数列问题的理解和应用能力。
通过对数列解题方法的研究，可以帮助学生建立数学思维，提高解题的效率和准确性。
研究数列解题方法也有助于拓展数学知识的广度和深度，促进学生对数学学科的全面发展。
通过深入研究数列解题方法，可以为教师们提供更好的教学指导，为学生们提供更好的学习方法，进一步推动数学教育水平的提高。
高考数学中数列题的解题方法研究
高考数学中数列题的解题方法研究摘要：在高中数学的学习过程中，关于数列的这一部分知识有着比较重要的地位，在高考的数学科目中也是必定会考查的知识点，所以，学生对数列知识的学习是很重要的。
数列的内容总体来讲是分为两大类，第一类是等差数列，另一类则是等比数列，知识点的测试也都是围绕这两大类拓展延伸的。
因而，在教学过程中，高中数学教师要抓住高考考查的重点知识，对学生进行准确和针对性的练习，而不能盲目的教学，这样才能提高学生的思维能力。
关键词：高中数学；数列题；解题方法对于高考来讲，数学这门学科一直是非常重要的，受到学生、教师乃至家长的重视。
在高中数学的学习过程当中，数列这部分内容的学习对于学生而言是有一定的难度的，因为数列涉及到的知识不是局限在一个角度，而是广泛又全面的。
知识的程度也是不一样的，有简单的，也有困难的，因而教师在教学过程中要制定合理的教学计划才能提高学生的解题思路。
1.数列知识在高中数学中的概念在小学阶段，学生学习数学的内容都是最基础的知识，主要是以算数为主，进入初中之后，数学知识的难度有了一定程度的提高，但是重点还是看学生有没有完全掌握好所学的知识，但进入高中之后，所学内容的难度和以往就不同了，侧重点也和之前不一样了，高中阶段数学科目的学习主要是培养学生的思维能力，让学生具备解决问题的水平。
在高中数学当中，数列是比较特殊的，因为我们可以把数列当作一种特殊的函数。
数列的特殊性是首先从数列的定义域表现出来，从定义域的角度来讲，数列可以是一个单独的数，它也可以表示一个范围，而且这个范围是连续的。
我们可以把数列当作一种比较特殊的函数，这就说明一点，在学习数列的时候，如何运用函数的思想是非常重要的内容。
数列的表示方法和函数的表示方法有同样的数量，它们都有三种，数列的第一种表示方法是列举法，顾名思义就是对数列当中所包含的元素一一列举出来，可以一目了然的看清楚，第二种方法是图像法，就是用图像表示数列，第三种是解析法，是通过解析式来表示数列，用这种方法表示的是数列的范围。
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究
规律探究问题在初中数学教学中的类型以及解题技巧研究一、引言数学是一门抽象而又具体的学科，它需要学生在学习和探索中培养逻辑思维和抽象思维能力，这其中又不可或缺的是规律探究。
规律探究问题是初中数学教学中的重要一环，不仅能够锻炼学生的思维能力，还能提高他们的解决实际问题的能力。
本文将探讨规律探究问题在初中数学教学中的类型和解题技巧，并提出一些有效的教学方法和策略。
二、规律探究问题的类型在初中数学教学中，规律探究问题的类型有很多种，下面我们就来列举一些常见的类型：1. 数列的规律探究：这是最基本的规律探究问题类型，学生需要根据给定的数列，找出规律并继续下去。
1，3，6，10，15，21, ...问下一个数是多少？2. 几何图形的规律探究：几何图形的规律探究也是一种常见的类型，比较常见的有拼图问题、几何图形面积和周长的关系、正多边形内角和外角的规律等。
4. 函数图像的规律探究：这类问题需要学生观察函数的图像，从中找出规律。
y=x^2的图像是怎样的？这些都是规律探究问题的常见类型，而在教学中我们需要根据具体情况来设计相应的解题技巧。
面对不同类型的规律探究问题，学生需要掌握不同的解题技巧。
下面我们将分别讨论不同类型规律探究问题的解题技巧。
1. 数列的规律探究：学生在解决数列的规律探究问题时，一般需要观察数列中相邻项的差值，找出它们之间的规律。
也可以观察数列中的乘积或者其他变化规律。
有时通过列出数列的前几项，找出它们之间的变化规律也是一个有效的解题技巧。
2. 几何图形的规律探究：对于拼图问题，学生需要根据图形本身的特点来进行拼图，这就需要他们对几何图形有一定的认识。
而对于面积和周长的关系、内角和外角的规律等问题，则需要学生掌握相关几何知识来解决。
3. 字母的规律探究：对于字母的规律探究问题，学生可以通过列举和找规律的方式来解决。
也可以通过字母之间的位置关系和字母的组合来找规律。
这需要学生具有一定的逻辑思维和抽象思维能力。
近三年全国新课标Ⅰ卷中数列试题的分析研究
• 6 •理科考试研究•数学版2020年6月1日解析由已知条件构造直三棱柱如图9所示，显然当点M是&的中点时，三棱锥M- A B C体积最大•根据二面角的定义知面M4S与面所成二面角为乙 A f D,于是 sin Z/IFZ)= =务=A F J55评注本题解法较多，如向量法，需要建系、描 点、求法向量,尽管操作步骤都熟悉，但是运算过程相 对复杂，而且坐标运算极易出错.通过构造直三棱柱 使得所求二面角直观地展示出来，而且该角就处于一 个已知的直角三角形中.构造直三棱柱优化了解题的 过程，极大地提高了解题效率.3结束语正方体、长方体和直棱柱等特殊几何体模型是帮助我们认识和理解空间点、线、面位置关系的有效载 体，借助这些特殊模型容易探究出空间线线、线面、面 面间的关系转化，非常形象、直观，同时这些模型中的 长度关系、位置关系也为计算带来极大的便利，实现 了复杂问题求解的程序化和规律化，也有利于培养学 生的空间想象能力、几何直观能力等.在解题教学活 动中，我们要及时总结与反思，使学生逐渐形成思想 方法，学习更具效率.参考文献：[1]黄林盛.以模型为载体解决空间几何体的外接球与内切球问题[J].中学数学研究(华南师范大学版）,2019(07) :14 -17.[2]宗火祥.一道高考题的反思与探究[门.中学数学教学参考,2019(25) :60 -63.(收稿日期:2020 - 02 - 27)浞三年全国鉀课标I卷中教列武题的分祈研走吕昊濮安山(扬州大学江苏扬州225〇02)摘要：数列模块是高中数学知识体系中非常重要的组成部分，纵观近三年全国新课标I卷，数列试题一直是必考内容且占有较大比重.本文针对近三年全国新课标丨卷理科数学和文科数学试题中的“数列”考点和分值情况进行分析，找寻数列试题的命题特点和解题规律，并为应届考生备考复习提出一些建议.关键词：数列；试题;命题分析；备考建议2019年4月23日，江苏正式启动了新一轮高考综 合改革.新的高考模式中，语文、数学、外语将采用全国 卷，自2021届考生开始实行，而在过去的“08方案”下, 江苏省所有学科采用自主命题试卷.因此为了积极应 对高考改革新方案，研究全国卷命题特点并进行试题 分析对2021届考生备考复习很有必要，数学作为一 门重要的基础学科更是受到广大考生的高度关注.数 列是高中代数知识的重要组成部分，《普通高中数学 课程标准（实验）》指出，数列是一类特殊的函数;是数 学中重要的研究对象;是研究其他类型函数的基本工 具;是反映自然变化规律的基本模型.数列涉及的数 学基础知识、思想方法量多面广，常与其他数学知识 紧密联系，同时也是将来学习高等数学的基础.1数列试题统计与分析1.1 题型与分值分析从统计表可以看出，全国新课标I卷数列试题题型分布较稳定，理科数学以选择题和填空题为主，除 了2017年为两道选择题，2018和2019年都是一道选 择题加一道填空，每一年的总分值都是10分.文科数 学以解答题为主，分值为12分，值得注意的是,2019 年的文科数学卷除了一道解答题外，还兼有填空题，分值为17分.表1近三年全国新课标I卷数列题统计(理科数学)年份题号题型考査内容分值总分值2017412选择题选择题等差数列通项公式、求和创新题型、等比数列通项公式、求和5分5分10分2018414选择题填空题等差数列通项公式、求和数列递推关系式、等比数列的定义、求和5分5分10分2019914选择题填空题等差数列通项公式、求和等比数列通项公式、求和5分5分10分作者简介：吕昊（1999 -),女，江苏南京人，本科在读，研究方向：中学数学教学.2020年6月1日理科考试研究•数学版表2 近三年全国新课标丨卷数列题统计（文科数学)年份题号题型考査内容分值总分值201717解答题等差数列的性质、等比数列通项、求和12分12分201817解答题递推关系式、等比数列的定义、通项公式12分12分20191418填空题解答题等比数列通项公式、求和等差数列通项公式、求和、解不等式5分12分17分1.2 考点分析全国新课标I卷数列试题所考查的知识点也相 对较稳定,具体涉及到的数列知识点有：等差数列或 等比数列的定义、性质、通项公式、前《项和公式、求 和以及与其他数学知识结合.试题考查的内容与方法 注重基础，解题方法与解题技巧较为常见，讲究解题 的通性通法.1.3难度分析整体来看，全国新课标I卷数列试题难度并不是 很大，以容易题和中档题为主.通过分析数列题出现 的位置可以发现，若是以选择题的形式考查，除了 2017年理科I卷数列选择题为第12题，其他都是出 现在前9题，对考生来说较容易做对;若是以填空题 的形式考查，无一例外的都是第14题，即填空题的第 二题，难度也并不是很大，对考生来说也很容易得分; 若是以解答题的形式考查，都是出现在解答题的第一 题或第二题的位置，部分解答题最后一问与函数或不 等式相关知识点结合，解题方法与技巧是考生较容易 掌握的，仍然属于容易题.对比近三年全国新课标I卷理科数学与文科数 学中的数列试题，理科试题难度整体上比文科试题难 度稍大.理科以选择题、填空题为主，综合性强、思维 跨度大;文科以解答题为主，侧重考查基础知识和基 本方法.理科数列题的总分值往往都低于文科数列题 的总分值，体现了“尊重差异，文理有别”的原则，充分 考虑了文、理科学生能力的差异.2命题特点对近三年全国新课标I卷文、理科数学试卷中的10 道数列试题进行分析后，可以发现数列试题重点考查 等差数列和等比数列的相关知识，着重强调学生的基 础知识、基本技能、基本思想方法，同时部分试题也体 现了“坚持创新”的命题要求.总体来说数列试题的命 题紧扣考试大纲，突出对学生数学核心素养的考查.2.1考查数列的概念和性质常见命题方式：(1) 等差、等比数列的定义；(2) 判断是否构成等差或等比数列；(3)等差数列、等比数列的性质.例1(2017年全国新课标I卷文科第17题）记S…为等比数列U…!的前n项和，已知S2 =2，S3 =-6.(1) 求丨\1的通项公式；(2) 求S…，并判断S…+1，S…，S…+2是否成等差数列.解析（1)设1〇…|的公比为(?.ra,(1 +q) =2,由题设，可得 2[a,(1 +g +9 ) =-6.解得 9 =-2,a, =-2.故1\丨的通项公式为a…=(-2)".(2)由（1)可得 二1-q3A r y n+3r y n+2由于乂+2+S…+1 =- ++ (-1)" ~p~n+1=2[-含+ (-1)".〜=2S…，故火+,，S…，S…+2成等差数列•点评本题考查了等差数列的性质、等比数列的通项公式与求和公式.第（1)问先利用数列中前2项和前3项的和，计算出等比数列的首项和公比，即可得出其通项公式;第(2)问根据已得出的通项公式，利用等比数列前n项和公式直接写出结果，再利用等差中项的性质判断是否成等差数列即可，属于容易题.2.2 考查数列的通项公式和前n项和公式常见命题方式：(1) 求等差数列的公差或等比数列的公比；(2) 求数列通项公式；(3) 利用等差数列和等比数列前《项和公式直接 对数列进行求和.例2 (2017年全国新课标I卷理科第4题）记S…为等差数列U…|的前n项和，若a4 +a5 =24，S6 =48,则| a…丨的公差为()•A.1B.2C.4D.8解法1设等差数列的公差为贝l j a4 + a5 = a, + 3d + a, +4d= 2〇丨 + =24，S6 =6a, + ^ 2^ ^= 6a, + =48.联立r2a,+ld= 24,解得[6a, + 15^ =48,解法 2 由 S6 =3(a, +a6) =48，得 a, +a6 = 16.即a4 + a3 = 16.由已知a4 +a5 =24,两式相减可得2d =8.即公差故选 C.点评本题考查了等差数列的通项公式与求和理科考试研究•数学版2020年6月1日公式，属于容易题.解法1采用了常规的“基本量法”，此种方法虽然常用，但如果能灵活地运用等差数列、等比数列的一些性质，可以在一定程度上简便计算，例如解法2运用了等差数列的性质:若m+«=/)+<?，则a… + a… = ap + ，提高了解题速度_例3 (2019年全国新课标I卷理科第9题）记■5…为等差数列|a…l的前n项和•已知S4 =0，a5 = 5,点评本题考查数列的递推关系式、等比数列的 定义与前n项和公式.解决此类问题需要掌握与S…之间的关系，即当时，=S…-S…_,，以此得到 数列U…!中相邻两项的关系，从而确定该数列是等比 数列，再结合令〃 =1求出a,的值，根据求和公式求解 即可，属于容易题.例6 (2018年全国新课标1卷文科第17题）已则（）•A.an =2n - 5B.a…-3n -10C.S… = 2n~ - SnD.5… = ~解析设等差数列I a…|的公差为1则S4 =4«, + 6<i= 0 ,a5 = a, +4<i= 5，解得〇?=2,〇1=-3.故 a… =2n -5，S… =n2 -4r a.点评本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，属于容易题.根据题目中已给的条件，采用“基 本量法”即可求解.例4 (2019年全国新课标I卷理科第M题）记S…为等比数列|a…l的前n项和.若a,=如4=a6，则 S5 =____•解析设等比数列的公比为9,则=(a i93)2 =1如1_35) 121a6 =a丨<?5•由 a, = 了得 g =3•故S5 = —--= 丁.点评本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于容易题.解题过程中涉及幂的乘方运算以 及繁分式计算，因此除掌握数列“基本量法”解题技巧 外，准确计算是解决此类问题的关键.2.3 考查数列的递推公式常见命题方式：(1) 根据\ = |^’。
研题的思考与实践——以一个数列问题为例
（ ３ ） 设 ＝
１＿ １
， 求 使 ＞ １ 的２ 已知 整数 数列 ｛ ａ ｝ 满足 ａ ＝ 一１ ， ａ ＝４， 前 ６项依 次成 等 差数 列 ， 从 第 ５项 起 依 次 成 等 比数
Ｓ
通 过学 习 、 研 究 已有 的 题 目， 把握核心思想 ， 发 展、 适 度 创新 编 拟 出 新 的 问题 ， 形成情境 、 背 景 公 平
的数 学试 题 ， 以测 试 学 生在 新 的情 境 下 解 决 问题 的
（ ３ ） 是否存在正整数 ｍ， 使得
题１ 数列 ｛ ａ ｝ 满足 ａ 。 ＝ ０ ｒ ａ ＝２ ， 。 ＝（ １ ＋
ｃ 。 ｓ
二
） 口 ＋４ ｓ ｉ ｎ
， ｎ∈ Ｎ ．
（ １ ） 求ａ ３ ， ａ ４ ， ａ ５ ， ａ ６ ；
（ ２ ） 设Ｓ ＝ａ 】＋ａ ３＋… ＋ａ 抽 一 ｌ ， ＝ａ ２＋ａ ４＋
的等 比数列 ２ ， ６ ， １ ８ ， ５ ４， … 插入 到公 差为 ２的等差数 列 １ ， ３ ， ５ ， ７ ， ９ … 中， 交 织 组 合 在 一 起 形 成新 的数 列 １ ， ２ ， ３ ， ６ ， ５ ， １ ８ ， ７ ， ５ ４ ， ９ …， 以适 度 增 加 问题 复 杂 性 ，
…
把解题作为培养学生的数学才能和教会他们思考 的
一
种手 段 和途径 ． 掌 握数 学 就 是 意 味着 善 于 解 题 ， 不
＋ａ ， 分 别求 ｓ ， 关 于 ｋ的表 达式 ；
２Ｓ，
仅 善 于解一 些 模 式题 ， 而 且 善 于解 一 些 要 求 独 立 思