三角函数-模型解题法
三角函数例题及解析
三角函数例题及解析
1按照计算的一般顺序进行
首先，弄清题意，看看有没有简单方法、得数保留几位小数等特别要求;
其次，观测题目特点，看一看几步运算，有没有方便快捷算法;
再次，确定运算顺序。
在此基础上利用有关法则、定律进行计算;
最后，必须仔细检查，看看存有非为删、凿删、记错现象。
2解题模型
第一步，观测未知与未明与否为同一个角，若相同，则利用同角的基本关系解，若相
同则展开第二步。
第二步，观察已知与未知是否为同倍角，若相同，则求两角的和差为特殊值，利用已
知角表示未知角化为同角问题，进行第一步，若不同则进行第三步。
第三步，因为未知与未明不是同倍角。
所以可以将低倍角平分再再降次增高角的倍数，或者进行高倍角减少角的倍数，角同倍数后展开第二步。
3函数思想
锐角的正弦、余弦、正弦、余切都就是三角函数，其中都蕴含着函数的思想。
比如，
任一锐角a与它的正弦值就是一一对应的关系.也就是说，对于锐角a任一确认的一个度数，sina都存有惟一确认的值与之对应；反之，对于sina在0、1之间任一确认的一个值，锐角a都存有惟一确认的一个度数与之对应。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)22 解直角三角形模型之实际应用模型(教师版)
专题22解直角三角形模型之实际应用模型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。
将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。
在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。
为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。
模型1、背靠背模型图1图2图3【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
【答案】该建筑物BC【分析】由题意可知，【点睛】本题考查的是解直角三角形函数，熟练掌握直角三角形的特征关键．例2．（2023湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼学楼底部243米的C30 ，CD长为49.6米．已知目高(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线【答案】(1)教学楼AB的高度为【分析】（1）过点B作BG DC通过证明四边形GCAB为矩形，之间的和差关系可得CG【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度3:i，求斜坡AB的长．18C【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE BC于点E，在Rt△在Rt DEC △中，2018CD C ，，sin 20sin18200.31 6.2DE CD C ∵34AF BF ，∴在Rt ABF 中，2AB AF 【答案】大楼的高度BC 为303m 【分析】如图，过P 作PH AB 于QH BC ，BH CQ ，求解PH 704030CQ BH ，PQ CQ 【详解】解：如图，过P 作PH则四边形CQHB 是矩形，∴由题意可得：80AP ，PAH ∴3sin 60802PH AP ∴704030CQ BH ，∴∴403103BC QH模型2、母子模型图1图2图3图4【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
中考数学专题讲练 锐角三角函数的实际应用三大模型
度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m.求居民楼AB的高度(
精确到1m).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，
tan55°≈1.43)
［思维方法］过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于
点F，构造Rt△BEN、Rt△DNF和矩形AEFC，分别解
两个直角三角形可得DF、BE的长，进而可得AB的高
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总
62m，100m，200m.若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水
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平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度(结果保留根号).
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模型三 拥抱型
分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在
Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系
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模 型 一 背靠背型
通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中
公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共
回
边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下：
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经典母题
如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口
C测得教学楼楼顶D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°
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3.(2020·邵阳)2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
数学
数学重点1. 集合2. 函数3. 3数列4. 三角函数5. 向量6. 21天成数理化解题高手，真能做到吗？《模型解题法》是清华附中、北大附中、人大附中等名校，38位名师多年心血结晶，编者都是教育界泰山北斗式任务，本成果是中国教育学会“十一五”优质教育资源推广的最新创新成果，从北京四中和丰台二中实验的结果显示， 21天成数理化解题高手很正常！2、什么是“模型三步解题法”，和传统的学习方法有什么不同吗？《模型解题法》独创的“模型三步解题法”，1、 21天成数理化解题高手，真能做到吗？《模型解题法》是清华附中、北大附中、人大附中等名校，38位名师多年心血结晶，编者都是教育界泰山北斗式任务，本成果是中国教育学会“十一五”优质教育资源推广的最新创新成果，从北京四中和丰台二中实验的结果显示， 21天成数理化解题高手很正常！3、孩子马上要高考了，现在买，还来得及吗？《模型解题法》最大的特点就是快捷高效，比如高中数学才20个模型，一天花半小时掌握一个模型，很快能掌握，而且每个模型有相应口诀，更容易记忆，特别适合中高考复习、暑假学习，初一初二，高一高二平时提升数理化解题能力，也非常适合。
4、这一套产品，都包括什么？《模型解题法》是一整套的数理化解题学习系统，包括各名校书的特级教师、高级教师讲解的视频光盘，一本知识讲解和模型专题分析的书，还有附带口诀记忆的学习卡片，每天坚持学习半小时，一般20天左右，就可以轻松客服数学难、物理化学烦的困扰。
5、孩子基础不太好，能看懂吗？《模型解题法》特点之一就是一看就懂，一学就会！名师们把复杂的题目，就像拆解一台机器一样，层层拆解，然后找出相对应的解题模型，学生只需要照葫芦画瓢，一步一步，列公式，计算，出结果，非常简单！《模型解题法》已在全国畅销8年，从众多使用的学生反馈的情况看，越是基础差的孩子，提升越明显！6、孩子对数理化没兴趣，不愿意学，能管用吗？不愿意学，多半因为学不好，越学越信心。
三角函数题型及解法
高中数学常见三角函数题型及解法近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。
1、三角函数的概念及同角关系式此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k- 解： 222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-,∴tan100tan80︒=-2sin 801.cos80k k-=-=-。
故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)32- (B)-12(C)12(D) 32 解：()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识2、三角函数的化简求值这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________解：232312311cos cos sin sin cos 33333ααααααααα++++-=又 1232αααπ++=，∴1231cos 32ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . 解： α为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ232+k∴ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)又 3cos 25α=-<0,∴4sin 25α=,∴sin 24tan 2cos 23ααα==- ∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。
初中数学培优专题四 三角函数应用解题模型
专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．25．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD=2米，且两扇门的大小相同（即AB=CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）26．（2018•岳阳）图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）27．（2017•桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）28．（2017•常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）专题四三角函数应用解题模型解题模型一“独立”型图形关系式针对训练1．（2018•台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【小结】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算解题模型二“背靠背”型图形关系式针对训练2．（2018•临沂）如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？【小结】本题考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程等知识点，能正确求出BD的长是解此题的关键．3．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）∵cos30°=，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×（千米）.∵tan45°=，CD=40（千米），∴AD=（千米）.∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）.∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．【小结】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．4．（2018•陇南）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：≈1.7，≈1.4）答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短224公里．【小结】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．5．（2018•常州）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．6．（2017•岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．（1）求支架CD的长；（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．7．（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB 内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）【解析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答解题模型三“母抱子”型图形关系式针对训练8．（2017•白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【小结】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9．（2017•宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．10．（2016•青海）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键.11．（2016•六盘水）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．【解析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断．解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°，∴tan31°=，即BD==40m.在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°，∴tan50°=，即CD==20m.∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m.则BC的距离为20m.（2）根据题意，得20÷2=10m/s＜15m/s，则此轿车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．（2016•兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢线CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【小结】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．13．（2017•张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）【小结】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键14．（2017•呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【解析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【小结】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．15．（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【解析】先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为=11m/s.又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．【小结】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．16．（2017•铁岭）如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台C，在岸边搭建了三个看台A，B，D，其中A，C，D三点在同一条直线上，看台A，B到舞台C的距离相等，测得∠A=30°，∠D=45°，AB=60m，小明、小丽分别在B，D看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台C的距离．（结果保留根号）【解析】如图作BH⊥AD于H．，CE⊥AB于E．解直角三角形，分别求出BC、CD即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于点H，CE⊥AB于点E．∴BH=DH=30.∴DC=DH+CH=30+10.答：小明、小丽与舞台C的距离分别为20m和（30+10）m．【小结】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．17．（2017•广元）如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．【小结】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值解答．18．（2017•贵阳）贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．【小结】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．19．（2017•西宁）如图，建设“幸福西宁”，打造“绿色发展样板城市”．美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局．在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段AC上的A，B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得∠DAC=30°，∠DBC=60°，AB=200米，求体育中心D到湟水河北岸AC的距离约为多少米（精确到1米，≈1.732）？【小结】本题考查了解直角三角形的应用．主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算解题模型四“斜截”型图示：辅助线作法——延长四边形对边法针对训练20．（2016•娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD 为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）解得x=10﹣，∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）．答：立柱BH的长约为16.3米．【小结】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键．21．（2018•随州）随州市新㵐水一桥（如图1）设计灵感来源于市花﹣﹣兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔AB和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索DE和最长的斜拉索AC）均在同一水平面内，BC在水平桥面上．已知∠ABC=∠DEB=45°，∠ACB=30°，BE=6米，AB=5BD．（1）求最短的斜拉索DE的长；（2）求最长的斜拉索AC的长．∴AB=3BD=5×3=15.在Rt△ABH中，∵∠B=45°，∴BH=AH=AB=×15=15.在Rt△ACH中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=30．答：最长的斜拉索AC的长为30m．【小结】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．22．（2017•凉山州）如图，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米（结果保留根号）？【解析】延长OC，AB交于点P，△PCB∽△PAO，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．解：如图，延长OC，AB交于点P．∵∠ABC=120°，∴∠PBC=60°.【小结】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形的能力，考查了相似三角形的判定和性质，本题中求证△PCB∽△PAO是解题的关键．解题模型五其他类型23．（2018•徐州）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【解析】（1）构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．24．（2018•资阳）如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC=18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF=10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．答：此时风筝线AD的长度为12米.。
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
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模型解题法：三大核心：理清概念，抓住本质，寻找联系。
三大思想：数形结合，分类讨论，方程-函数-不等式转化
专题一：角与角函数
模型一：边-角互化解三角形模型
本质：运用正余弦定理，边角互化。
转化成角关系，走三角变形之路；转化成边关系，走代数变形之路。
边-角联系：
题型一：边化角
三角函数模型
一；三角函数值模型
本质；用三角函数有界性，主要将表达式变形为，然后借助有界性求取值范围或构造不等式（求解参数范围）。
求以下函数的值
则M应满足什么条件。
二，三角函数对称性模型
对称性包括中心对称和轴对称
本质：将表达式变形为或，正弦函数：对称轴
对称中心：。
对称轴是在最大值或最小值取得。
对称中心是在平衡位置取得。
三，三角函数单调性模型
本质：将表达式整理成或，然后将带入单调区间。
四，三角函数图象
本质：理解，各参数的含义，，，
以及函数图像的变换
平移变换：口诀，左右平移变换(左加右减) (针对自变量)，上下平移变换（上加下减）(针对函数值整体).
伸缩变换
对称变换：包括中心对称和轴对称
①y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；②y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
③y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称；④y＝f(x)与y＝f －1(x)关于y＝x对称；
⑤y＝f(x)与y＝－f －1(x)关于y＝－x对称；⑥y＝f(x)与y＝f(2a－x)关于x＝a对称；
⑦y＝f(x)与y＝|f(x)|，保留x轴上方的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，x轴下方图象删去；
⑧y＝f(x)与y＝f(|x|)，保留y轴右方的图象，将y轴右方的图象沿y轴翻折到左边，原来y轴左方图象删去.
角模型：1单角模型
本质：只出现一个未知角，重在化简。
常用的公式：同角关系式
诱导公式：口诀，奇变偶不变，符号看象限。
切函数化成弦函数
二，多角模型
本质：配角。
当取值在0-π时一般用余弦函数。
三，倍角模型
本质:活用倍角公式
三角函数线模型
和1有关的三角函数模型。