高考数学一轮复习配餐作业52圆的方程含解析理50
福建省高考数学一轮复习：52 曲线与方程(理科专用)
福建省高考数学一轮复习：52 曲线与方程（理科专用）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2019高二上·南宁期中) 与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，若|PQ|=2，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是（）A .B .C . 3D . 4π3. （2分） (2019高三上·丽水月考) 在平面斜坐标系中，，点的斜坐标定义为“若(其中分别为与斜坐标系的轴、轴同方向的单位向量)，则点的坐标为”.若，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（）A .B .C .D .4. （2分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A . 圆B . 抛物线C . 双曲线D . 直线5. （2分） (2020高二上·辽源期末) 若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线6. （2分） (2019高二下·上海期末) 设复数是实系数方程的根，又为实数，则点的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线7. （2分）(2017·黄浦模拟) 在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），则满足tan∠PAB•tan∠PBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知对任意平面向量 =（x，y），把绕其起点沿逆时针旋转θ角得到向量 =（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角θ得到点P，设平面内曲线C上的每一点绕原点逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2﹣y2=2，则原来曲线C的方程是（）A . xy=﹣1B . xy=1C . y2﹣x2=2D . y2﹣x2=19. （2分） (2019高一上·长沙月考) 在棱长为2的正方体中，P为底面正方形ABCD内一个动点，Q为棱AA1上的一个动点，若|PQ|＝2，则PQ的中点M的轨迹所形成图形的面积是（）A .B .C . 3D . 4π10. （2分） (2020高二下·林州月考) 在平面直角坐标系中，为原点，， , ，动点满足 ,则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）与圆（x﹣2）2+y2=1外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A . y2=6x﹣3B . y2=2x﹣3C . x2=6y﹣3D . x2﹣4x﹣2y+3=0二、填空题 (共6题；共8分)12. （1分）(2019·昌平模拟) 已知平面内两个定点和点，是动点，且直线 ,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为 .① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）13. （1分）(2020·枣庄模拟) 设双曲线的左右两个焦点分别为、，p是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为q，则点q的轨迹曲线e的方程________；在曲线e上，点，，则的最小值________.14. （1分）已知动点P（x，y）的坐标x，y满足xcosα+ysinα=1（α∈R），|x|+|y|≤2，则当α变化时，点P的轨迹所形成的图象的面积是________15. （2分） (2019高二上·滦县月考) 设为曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程为________.16. （2分）双曲线 =1有动点P，F1 ， F2是曲线的两个焦点，则△PF1F2的重心M的轨迹方程为________．17. （1分）已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．则动点P的轨迹方程为________．三、解答题 (共4题；共35分)18. （5分）(2017·合肥模拟) 如图，抛物线E：y2=2px（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A，B两点，且点A 的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0 ， y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1 ， l2 ， l1与l2相交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．19. （10分） (2015高二下·金台期中) 设函数f（x）=﹣x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xOy 平面上点A、B的坐标分别为（x1 ， f（x1））、（x2 ， f（x2）），该平面上动点P满足 =4．求：（1）求点A、B的坐标；（2）求动点P的轨迹方程．20. （10分）已知圆C的圆心坐标为（3，2），且过定点O（0，0）．（1）求圆C的方程；（2） P为圆C上的任意一点，定点Q（8，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．21. （10分）(2016·江西模拟) 已知圆C1：（x+1）2+y2=25，圆C2：（x﹣1）2+y2=1，动圆C与圆C1和圆C2均内切．（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）点P（1，t）为轨迹E上点，且点P为第一象限点，过点P作两条直线与轨迹E交于A，B两点，直线PA，PB斜率互为相反数，则直线AB斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共8分)答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
高考数学一轮总复习 课时作业50 圆的方程(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题
课时作业50 圆的方程一、选择题1．(2020·某某某某一中模拟)若k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0不表示圆，则k 的取值集合中元素的个数为( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：方程x 2＋y 2＋(k －1)x ＋2ky ＋k ＝0表示圆的条件为(k －1)2＋(2k )2－4k >0，即5k 2－6k ＋1>0，解得k >1或k <15，又知该方程不表示圆，所以k 的取值X 围为15≤k ≤1，又因为k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，45，3，所以满足条件的k ＝45，即k 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫45，故选A ．2．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，那么与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是( B )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝25解析：圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，圆心C (1，－2)，故排除C ，D ，代入(－2,2)点，只有B 项经过此点．也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2，再代入点(－2,2)，可以求得圆的半径为5.故选B ．3．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的方程为( C )A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析：到直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1，从而圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.故选C ．4．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( B ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2，解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( D ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D ．6．(2020·某某某某模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A ．7．如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值X 围是( D )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]解析：圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值X 围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D ．8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：解法1：由题意可得圆心(0,1)到直线x －by ＋2b ＋1＝0的距离d ＝|1＋b |1＋b 2＝1＋2b 1＋b 2≤1＋2b2b＝2，当且仅当b ＝1时取等号．所以半径最大的圆的半径r ＝2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．解法2：由直线x －by ＋2b ＋1＝0可得该直线过定点A (－1，2)，设圆心为B (0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则r max ＝|AB |＝(－1－0)2＋(2－1)2＝2，所以半径最大的圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B ．9．(2020·某某某某模拟)已知点M (－1,0)，N (1,0)．若直线3x －4y ＋m ＝0上存在点P 满足PM →·PN →＝0，则实数m 的取值X 围是( D )A ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)B ．(－∞，－25]∪[25，＋∞)C ．[－25,25]D ．[－5,5]解析：由题意知，此题可转化为求直线3x －4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝1有交点时m 的取值X 围，则|m |32＋(－4)2≤1，解得－5≤m ≤5，故m 的取值X 围是[－5,5]．二、填空题10．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．11．当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝3π4.解析：由题意知，圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2≤1，当半径r 取最大值时，圆的面积最大，此时k ＝0，r ＝1，所以直线方程为y ＝－x ＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.12．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 13．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.三、解答题14．(2020·某某夏津一中月考)已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＋1＝0上，半径为5，且圆C 经过点P (－2,0)和点Q (5,1)．(1)求圆C 的标准方程；(2)求过点A (－3,0)且与圆C 相切的切线方程．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝25，点C 在直线x ＋y ＋1＝0上，则有a ＋b ＋1＝0.圆C 经过点P (－2,0)和点Q (5,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧(－2－a )2＋(0－b )2＝25，(5－a )2＋(1－b )2＝25，解得a ＝2，b ＝－3.所以圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.(2)设所求直线为l .①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程是x ＝－3，与圆C 相切，符合题意．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0.由题意知，圆心C (2，－3)到直线l 的距离等于半径5，即|2k ＋3＋3k |k 2＋1＝5，解得k ＝815，故切线方程是y＝815(x ＋3)．综上，所求切线方程是x ＝－3或y ＝815(x ＋3)． 15．(2020·某某西南大学附中检测)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0. (1)若直线l 过点(－2,0)且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，满足|PM |＝|PO |，求点P 的轨迹方程．解：(1)x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2. 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝－2，易求得直线l 与圆C 的交点为A (－2,1)，B (－2,3)，|AB |＝2，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k －2＋2k |k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(2)如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM ⊥PM ，所以△PMC 为直角三角形， 所以|PM |2＝|PC |2－|MC |2. 设P (x ，y )，由(1)知C (－1,2)， |MC |＝ 2. 因为|PM |＝|PO |，所以(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2， 化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.16．(2020·某某省七校联合体联考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x 轴和y轴的非负半轴上，点A在第一象限，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，则(A)A．OA的最大值是42，最小值是4B．OA的最大值是8，最小值是4C．OA的最大值是42，最小值是2D．OA的最大值是8，最小值是2解析：因为∠BAC＝90°，∠BOC＝90°，所以O，B，A，C四点共圆，且在以BC为直径的圆上．又AB＝AC＝4，所以BC＝4 2.因此当OA为圆的直径时，OA取得最大值，为42，如图1所示；当点B(或点C)与原点O重合时，OA取得最小值，为4，如图2所示．故选A．17．(2019·全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.连接MA ，由已知得|AO |＝2，又MO →⊥AO →，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4.故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO →⊥AO →，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点， 以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .。
(word完整版)高中数学圆的方程经典例题与解析(2021年整理)
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高中数学圆的方程经典例题与解析例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径,则点在圆内．解法一：（待定系数法)设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra ra解之得：1-=a ,202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C∴半径204)11(22=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?例2 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422=++-k k解得43=k 所以()4243+-=x y 即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决(也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解． 例3、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3=d ，故弦长2222=-=d r AB ，从而△OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB .例4 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？分析:借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．如图,在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123=-=-d r ．∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二:符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ,且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ,也即06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ,143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题,若不留心，则易发生以下误解： 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ,则324311343322<=+-⨯+⨯=d ．∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 例5：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条。
2020版高考数学一轮复习 课时作业50 圆的方程 理(含解析)新人教版
解析：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C（a,0)，且 a〉0，所以 圆心到直线 2x－y＝0 的距离 d＝错误!＝错误!，解得 a＝2，
所以圆 C 的半径 r＝|CM|＝错误!＝3， 所以圆 C 的方程为（x－2)2＋y2＝9. 8．（2019·贵阳市摸底考试)过点 M（2,2）的直线 l 与坐标轴的正方 向分别相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为 8，则△OAB 外 接圆的标准方程是(x－2）2＋(y－2）2＝8. 解析:设直线 l 的方程为错误!＋错误!＝1（a〉0，b>0），由直线 l 过点 M(2,2)，得错误!＋错误!＝1。又 S△OAB＝错误!ab＝8,所以 a＝4，b＝4，所以△ OAB 是等腰直角三角形,且 M 是斜边 AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点 M(2,2），半径｜OM｜＝2错误!，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y －2）2＝8. 9．（2019·湖南湘东五校联考）圆心在抛物线 y＝错误!x2（x〈0)上， 且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为（x＋1)2＋（y－错误!)2
（1，2）的圆与 y 轴交于 M,N 两点，则|MN｜＝( A ）
A．2错误!
B．2错误!
C．3
D．4
解析：根据 A，B 两点的坐标特征可知圆心在直线 x＝1 上，设圆心为 P
（1，m），则半径 r＝｜m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得 m＝0，所以圆
心为 P（1,0），所以圆的方程为（x－1）2＋y2＝4，当 x＝0 时，y＝±
课时作业 50 圆的方程
一、选择题 1．已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x ＋y＋3＝0 相切,则圆 C 的方程是（ A ） A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1）2＋y2＝8 C．（x－1）2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8 解析：直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点为(－1,0）．根据题意，圆 C 的 圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线 x＋y＋3＝0 相切，所以半径为圆心到切 线的距离，即 r＝d＝错误!＝错误!,则圆的方程为（x＋1)2＋y2＝2。故选 A。 2．(2019·河北邯郸联考)以(a,1）为圆心,且与两条直线 2x－y＋4＝0 与 2x－y－6＝0 同时相切的圆的标准方程为（ A ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋（y＋1）2＝5 C．（x－1）2＋y2＝5 D．x2＋（y－1)2＝5 解析:因为两平行直线 2x－y＋4＝0 与 2x－y－6＝0 的距离为 d＝错误! ＝2 5.故所求圆的半径为 r＝错误!，所以圆心(a，1)到直线 2x－y＋4＝0 的 距离为错误!＝错误!，即 a＝1 或 a＝－4。又因为圆心(a,1）到直线 2x－y－6 ＝0 的距离也为 r＝错误!，所以 a＝1。因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋ （y－1)2＝5.故选 A。 3．已知直线 l：x＋my＋4＝0，若曲线 x2＋y2＋6x－2y＋1＝0 上存在两 点 P,Q 关于直线 l 对称，则 m 的值为( D ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：因为曲线 x2＋y2＋6x－2y＋1＝0 表示的是圆，其标准方程为（x ＋3）2＋(y－1）2＝9，若圆(x＋3)2＋（y－1）2＝9 上存在两点 P，Q 关于直 线 l 对称,则直线 l：x＋my＋4＝0 过圆心(－3,1），所以－3＋m＋4＝0，解 得 m＝－1。 4．（2019·贵阳市监测考试）经过三点 A（－1,0)，B（3，0）,C
2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练50 圆的方程 含解析 精品
课时分层训练(五十) 圆的方程(对应学生用书第299页)A 组 基础达标一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2B [由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]2．方程y ＝1－x 2表示的曲线是( )A ．上半圆B ．下半圆C ．圆D ．抛物线 A [由方程可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即此曲线为圆x 2＋y 2＝1的上半圆．]3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设圆上任一点的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设点P 与圆上任一点连线的中点的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.] 4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8A [直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2， 则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.]5．(2017·重庆四校模拟)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )【导学号：79140276】A ．6B ．4C ．3D ．2B [如图所示，圆心M (3，－1)与直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]二、填空题6．(2018·郑州第二次质量预测)以点M (2,0)，N (0,4)为直径的圆的标准方程为________．(x －1)2＋(y －2)2＝5 [圆心是MN 的中点，即点(1,2)，半径r ＝12MN ＝5，则以MN 为直径的圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.]7．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．x ＋y －1＝0 [圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，则k CM ＝1－02－1＝1. ∵过点M 的最短弦与CM 垂直，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－1×(x －1)，即x ＋y －1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)；(2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2).【导学号：79140277】[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1) 2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎨⎧ 1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A, B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．[解] (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC →1·MO →＝0.又∵MC →1＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )，∴由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴53＜x ≤3.∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53＜x ≤3，其轨迹为一段圆弧．B 组 能力提升11．(2017·佛山模拟)设P (x ，y )是圆(x －2)2＋y 2＝1上的任意一点，则(x －5)2＋(y＋4)2的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36D [(x －5)2＋(y ＋4)2表示点P (x ，y )到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d ＝(5－2)2＋(－4)2＝5.则点P (x ，y )到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为36.]12．(2017·广东七校联考)一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，则该圆的方程为________．x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0 [法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2， ∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝(a －b )22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.① 由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.r 2＝9.故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9或(x －3)2＋(y －1)2＝9.法三：设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F . 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22， 由已知得d 2＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．②又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.③ 联立①②③，解得⎩⎨⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎨⎧ D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.]13．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.(1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程.【导学号：79140278】[解] (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎨⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－8. 若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾．∴⎩⎨⎧ x ＝－6，y ＝－8舍去． 即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3， ∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.。
2021版高考数学一轮复习 第八章52圆的方程 练案(含解析)
2021版高考数学一轮复习 第八章52圆的方程 练案（含解析）A 组基础巩固一、单选题的取值范m 的内部，则实数4＝2)m ＋y (＋2)m －x (若坐标原点在圆)江西南昌(2019·．1围是( C ) 1,1)－(．A)3，3－(．B)2，2－(．C )22，22－(．D ，解得－<42)m ＋(0＋2)m －(0∴的内部，4＝2)m ＋y (＋2)m －x (在圆(0,0)原点∵ ]解析[ C.，故选2<m <22．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( A )2＝2y ＋2x ．A 2＝2y ＋2x ．B1＝2y ＋2x ．C4＝2y ＋2x ．D [解析] AB 的中点坐标为(0,0)，，22＝[1－－1]2＋－1－12＝|AB | 2.＝2y ＋2x 圆的方程为∴ 的面积取最大值时，圆心C ，当圆2k ＝－y 2＋kx ＋2y ＋2x ：C 已知圆)广州模拟(2019·．3C 的坐标为( B )A ．(0,1) B ．(0，－1) C ．(1,0)D ．(－1,0) 的面积最C 时圆0＝k ，所以当1＋2k 34＝－21)＋y (＋2)k 2＋x (的方程可化为C 圆 ]解析[大．故圆心C 的坐标为(0，－1)，选B.4．(2020·3月份北京市高考适应性考试)圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是( A )1＝21)－y (＋22)－x (．A 1＝21)＋y (＋22)＋x (．B5＝21)－y (＋22)－x (．C5＝21)＋y (＋22)＋x (．D 1.＝21)－y (＋22)－x (所求圆的方程为∴，1＝r 由题意知圆的半径 ]解析[ 小距离的和是的最大距离与最0＝14－y ＋x 上的点到直线0＝10－y 4－x 4－2y ＋2x ．圆5( C )A ．30B ．18210．C25．D ，则圆上的点到23，半径为(2,2)知圆心坐标为0＝10－y 4－x 4－2y ＋2x 由圆 ]解析[＝23－|2＋2－14|2，最小距离为28＝23＋|2＋2－14|2的最大距离为0＝14－y ＋x 直线.210，故最大距离与最小距离的和为22)D (的值是b 相切，则0＝1＋y 2－x 2－2y ＋2x 与圆b ＝y 4＋x 3．直线6 A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12 b＝y 4＋x 3到直线(1,1)，依题意得圆心1＝21)－y (＋21)－x (圆的标准方程为 ]解析[ D.故选2.＝b 或12＝b ，解得5＝7|－b |，即1＝|3＋4－b|32＋42＝d 的距离上任意一点连接的线段的中点的轨迹4＝2y ＋2x 与圆2)，－(4P 点)福建厦门(2019·．7方程为( A ) 1＝21)＋y (＋22)－x (．A 4＝21)＋y (＋22)－x (．B4＝22)－y (＋24)＋x (．C1＝21)－y (＋22)＋x (．D [解析] 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B ′(x ′，y ′)，由题意得，21)＋y (＋2)2－x (，化简得，4＝22)＋y (2＋24)－x (2故⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x －4，y′＝2y ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＋4＝2x ，y′－2＝2y ，＝1，故选A.对称，b 2＋x ＝y 关于直线0＝a 5＋y 6＋x 2－2y ＋2x 已知圆)华南师大附中期中(2019·．8则a －b 的取值范围是( B )A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞) ，由圆关<2a ，解得>0a 4×5－26＋22)－(得>0F 4－2E ＋2D 根据圆的一般方程中 ]解析[于直线y ＝x ＋2b 对称可知圆心(1，－3)在直线y ＝x ＋2b 上，所以－3＝1＋2b ，得b ＝－2，故a －b <4.的距离等于0＝11－y 4＋x 3上到直线9＝23)－y (＋23)－x (圆)湘东五校联考(2020·．92的点有( B )A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 ＝11－y 4＋x 3，圆心到直线3，半径为(3,3)的圆心为9＝23)－y (＋23)－x (圆 ]解析[。
2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练50 圆的方程 Word版含解析
课时分层训练(五十) 圆的方程(对应学生用书第页)组基础达标一、选择题．经过点()，且圆心是两直线＝与＋＝的交点的圆的方程为( ) ．(－)＋＝．(－)＋(－)＝．＋(－)＝．(－)＋(－)＝[由(\\(＝，＋＝，))得(\\(＝，＝，))即所求圆的圆心坐标为()，又由该圆过点()，得其半径为，故圆的方程为(－)＋(－)＝.]．方程＝表示的曲线是( )．上半圆．下半圆．圆．抛物线[由方程可得＋＝(≥)，即此曲线为圆＋＝的上半圆．]．点(，－)与圆＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是( )．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝[设圆上任一点的坐标为(，)，则＋＝，设点与圆上任一点连线的中点的坐标为(，)，则(\\(＝＋，＝－))⇒(\\(＝－，＝＋，))代入＋＝，得(－)＋(＋)＝，故选.]．已知圆的圆心是直线－＋＝与轴的交点，且圆与直线＋＋＝相切，则圆的方程是( )．(＋)＋＝．(＋)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝[直线－＋＝与轴的交点(－)．根据题意，圆的圆心坐标为(－)．因为圆与直线＋＋＝相切，所以半径为圆心到切线的距离，即＝＝＝，则圆的方程为(＋)＋＝.故选.]．(·重庆四校模拟)设是圆(－)＋(＋)＝上的动点，是直线＝－上的动点，则的最小值为( )【导学号：】．．．．[如图所示，圆心(，－)与直线＝－的最短距离为＝－(－)＝，又圆的半径为，故所求最短距离为－＝.]二、填空题．(·郑州第二次质量预测)以点()，()为直径的圆的标准方程为．(－)＋(－)＝[圆心是的中点，即点()，半径＝＝，则以为直径的圆的标准方程为(－)＋(－)＝.]．已知点()是圆：＋－－＝内的一点，那么过点的最短弦所在直线的方程是．＋－＝[圆：＋－－＝的圆心为()，则＝＝.∵过点的最短弦与垂直，∴最短弦所在直线的方程为－＝－×(－)，即＋－＝.]．在平面直角坐标系中，以点()为圆心且与直线－－－＝(∈)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．(－)＋＝[因为直线－－－＝恒过定点(，－)，所以圆心()到直线－－－＝的最大距离为＝＝，所以半径最大时的半径＝，所以半径最大的圆的标准方程为(－)＋＝.]三、解答题．求适合下列条件的圆的方程．()圆心在直线＝－上，且与直线：＋－＝相切于点(，－)；()过三点()，()，(－).。
2021版新高考数学(文科)一轮复习课后限时集训50 圆的方程
圆的方程建议用时：45分钟一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )， 则(1－0)2＋(2－a )2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A.]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·衡阳模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，则yx －2的取值范围是( ) A ．(－3，3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C[yx－2的几何意义是点(x，y)与点(2,0)连线的斜率，设k＝yx－2，即kx－y－2k＝0，当直线kx－y－2k＝0与圆相切时，k取得最值，此时|2k|1＋k2＝3，解得k＝±3，所以yx－2的取值范围是[－3，3]，故选C.]4．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为() A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0D[由题意得，圆心C(3，－4)，半径r＝2，∵|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，∴|PO|2＋r2＝|PC|2，∴x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0.∴点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.]5．(2019·泰安模拟)半径为2的圆C的圆心在第四象限，且与直线x＝0和x＋y＝22均相切，则该圆的标准方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4D．(x－22)2＋(y＋22)2＝4C[设圆心坐标为(2，－a)(a＞0)，则圆心到直线x＋y＝22的距离d＝|2－a－22|2＝2，所以a＝2，所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故选C.]二、填空题6．(2019·黄冈模拟)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于直线y＝x对称，则k＝.－1 [圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0化为标准方程为 (x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1，则圆心坐标为(－k 2，－1)．由题意知直线y ＝x 经过圆心，则有－k 2＝－1，解得k ＝±1，当k ＝1时，k 4－4k ＋1＜0，不合题意；k ＝－1时，k 4－4k ＋1＝6＞0，符合题意．故k ＝－1.]7．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是 ．2＋1 [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.]8．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为 ．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆心C 的坐标为(0，－1)．]三、解答题9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．[解] (1)由已知得直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210.所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )．由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2， 解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.1．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1D ．不确定A [∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0.配方，得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A.]2．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1B [圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.]3．已知圆心在直线y ＝x 上的圆与直线x ＋y ＝0及x ＋y ＋4＝0都相切，则圆的方程为 ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 [由题意设圆心坐标为(a ，a )，则有|a ＋a |2＝|a ＋a ＋4|2，解得a ＝－1.所以圆心坐标为(－1，－1)，半径r＝|2a|2＝ 2.所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.]4．如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，求点C的轨迹所包围的图形的面积．[解]设C(x，y)，则A(4－x，－y)．由题意知|AB|＝2|AD|，即|AB|2＝4|AD|2，∴(－y－0)2＋(4－x＋1)2＝4[(－y－0)2＋(4－x－2)2]，即y2＋(x－5)2＝4[y2＋(x－2)2]，整理得(x－1)2＋y2＝4.即点C的轨迹是以(1,0)为圆心，以2为半径的圆，其面积为4π.1．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．(x－1)2＋y2＝2[因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y2＝2.]2．已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．[解] (1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ， ∴MC 1→·MO →＝0.又∵MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53. 当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53＜x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0， 其中53＜x ≤3，其轨迹为一段圆弧．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
高考数学一轮复习配餐作业52圆的方程含解析理50
配餐作业(五十二) 圆的方程(时间：40分钟)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2。
故选A 。
答案 A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 设圆心坐标为(0，b )，则圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1。
又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，即圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1。
故选A 。
答案 A3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2。
代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1。
故选A 。
答案 A4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1。
2021高三数学人教B版一轮学案：圆的方程 Word版含解析
第三节圆的方程最新考纲考情分析1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.圆的方程、与圆有关的最值问题、与圆有关的轨迹问题是近几年高考命题的热点．2．常与直线、椭圆、抛物线等知识结合考查．3．题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式出现.知识点一圆的定义及方程1.如果没给出r>0，则圆的半径为|r|.2．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(×)(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．(×)(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(4)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)解析：(1)t≠0时，方程表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆．(2)a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<时表示圆．(3)因为点M(x0，y0)在圆外，所以2＋2>，即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(4)设M(x，y)是圆上异于直径端点A，B的点，由·＝－1得(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．小题热身(1)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(D)A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．(2)方程x2＋y2＋x＋y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(A)A. B.C. D.解析：由题1＋1＋4m>0，所以m>－.故选A.(3)(2020·黄山模拟)以线段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(B)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8解析：∵线段AB：x－y－2＝0(0≤x≤2)的两个端点为(0，－2)，(2,0)，∴圆心为(1，－1)．半径为＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(4)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(－1,1)．解析：由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a<1.(5)(2020·湖北联考)过点A(0,1)和B(1,2)，且与x轴相切的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x＋3)2＋(y－5)2＝25.解析：本题主要考查待定系数法求圆的方程．设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为圆过点A(0,1)和B(1,2)，且与x轴相切，所以有解得或所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x＋3)2＋(y－5)2＝25.考点一求圆的方程【例1】(1)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y －2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4(2)经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程为________．【解析】(1)方法1：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则由题意，得解得因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.方法2：AB的中垂线方程为y＝x，所以由得圆心为(1,1)，所以半径为2，因此圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故选C.(2)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，即D＋E＝－2①.因为A(4,2)，B(－1,3)在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0②，1＋9－D＋3E＋F＝0③，由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.【答案】(1)C(2)x2＋y2－2x－12＝0方法技巧求圆的方程一般有两种常用方法：(1)几何法，通过研究圆的几何性质，确定圆心坐标与半径长，即得到圆的方程；(2)代数法，用待定系数法求解，其关键是根据条件选择圆的方程，若已知圆上三点，则选用圆的一般方程，若已知条件与圆心及半径有关，则选用圆的标准方程.1．(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝－2，r ＝.解析：解法1：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.解法2：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将P，Q两点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E ＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考点二与圆有关的最值问题命题方向1 利用几何关系求最值【例2】直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是() A．[2,6] B．[4,8]C．[，3] D．[2，3]【解析】圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．【答案】 A命题方向2 利用函数关系求最值【例3】(1)若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，点A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．2C．4D．4(2)已知圆C的方程为x2－2x＋y2＝0，直线l：kx－y＋2－2k＝0与圆C交于A，B两点，则当△ABC面积最大时，直线l的斜率k＝()A．1 B．6C．1或7 D．2或6【解析】(1)易得|PA|2＋|PB|2＝4，由基本不等式得2≤＝2，所以|PA|＋|PB|≤2.(2)圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1,0)，半径r＝1.直线l变形为y＝k(x－2)＋2，过定点(2,2)，记∠ACB＝θ，由面积公式，得S＝r2sinθ＝sinθ≤，当θ＝时，△ABC面积最大，此时，点C到直线l距离为d＝＝，解得k＝1或7.【答案】(1)B(2)C方法技巧(1)利用几何关系求最值,一般根据距离、斜率等知识的几何意义，结合圆的几何性质数形结合求解.(2)建立函数关系式求最值,根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.1．(方向1)圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是(B)A．2，B．3，C．4,2 D．4，2解析：∵圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，∴圆心为(2,2)，半径r＝.圆心到直线的距离d＝＝2，∴圆x2＋y2－4x－4y＋6＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离分别是d＋r＝3，d－r＝，故选B.2．(方向1)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4与圆C2：x2＋(y－2)2＝上的点，则|PM|－|PN|的最大值为(C)A．4 B．C．D．7解析：设C2(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，则解得C(1,1)．由对称性可得|PC|＝|PC2|，则|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝3，由于|PM|≤|PC1|＋2，|PN|≥|PC2|－，∴|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋≤，即|PM|－|PN|的最大值为，故选C.3．(方向2)若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)把圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则＋的最小值为(B)A．10 B．8C．5 D．4解析：因为圆(x＋4)2＋(y＋1)2＝16的圆心坐标为(－4，－1)，直线ax＋by＋1＝0把圆分成面积相等的两部分，所以该直线过点(－4，－1)，－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，＋＝(4a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝，b＝时取“＝”．考点三与圆有关的轨迹问题【例4】(2020·沈阳质量监测)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为()A．πB．2πC．3πD．4π【解析】以A点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0)．设M(x，y)，依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，圆的面积为4π.故选D.【答案】 D方法技巧1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的距离，则点P 的轨迹方程为(D)A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：由题意得＝|PO|，所以(x－3)2＋(y＋4)2－4＝x2＋y2，即6x－8y－21＝0，故选D.2．已知点A(1,0)和圆C：x2＋y2＝4上一点P，动点Q满足＝2，则点Q的轨迹方程为(D)A．2＋y2＝1 B．x2＋2＝1C．x2＋2＝1 D．2＋y2＝1解析：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由＝2，得x0＝－2x＋3，y0＝－2y，代入圆的方程，得2＋y2＝1.。
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配餐作业(五十二) 圆的方程(时间：40分钟)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2。
故选A 。
答案 A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析 设圆心坐标为(0，b )，则圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1。
又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，即圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1。
故选A 。
答案 A3．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2。
代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1。
故选A 。
答案 A4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1解析 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1。
故选A 。
答案 A5．(2017·昆明模拟)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1。
故原方程表示两个半圆。
故选D 。
答案 D 二、填空题6．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________。
解析 如图，设圆心坐标为(2，y 0)，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋4＝r 2，|1－y 0|＝r ，解得y 0＝－32，r ＝52，∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254。
答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547．(2017·聊城模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________。
解析y －2x －1表示圆x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，所以y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率。
设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)即kx －y ＋2－k ＝0。
由|2－k |k 2＋1＝1得k ＝34，结合图形可知，y －2x －1≥34，故最小值为34。
答案 348．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最大值为________。
解析 由题知，直线l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最大值为32＋1。
∴△ABC 面积的最大值为12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝3＋2。
答案 3＋ 29．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为________。
解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43。
答案 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43三、解答题10．(2016·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C 。
(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程。
解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6。
所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0。
(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0。
综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0。
答案 (1)x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0 (2)5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝011．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为23。
(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程。
解析 (1) 设P (x ，y )，圆P 的半径为r 。
则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2。
∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1。
∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1。
(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1。
∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1。
①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1。
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3。
∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3。
②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1。
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3。
∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3。
综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3。
答案 (1)y 2－x 2＝1 (2)x 2＋(y ±1)2＝3(时间：20分钟)1．(2016·福建师大附中联考)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析 设|PO |＝t ，向量PA →与PB →的夹角为θ，则|PA →|＝|PB →|＝t 2－1，sin θ2＝1t ，cos θ＝1－2sin2θ2＝1－2t 2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(t 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t 2(t >1)，∴PA →·PB →＝t 2＋2t 2－3(t >1)，利用基本不等式可得PA →·PB →的最小值为22－3。
故选D 。
答案 D2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)。
若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m 。
要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离。
因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6。
故选B 。
答案 B3．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________。
解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形PACB 的面积等于2S △PAC ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PA |·|AC | ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，因此四边形PACB 的面积的最小值是22－1＝3。
答案34．(2016·中原名校联考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B 。
(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标。
解析 (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则a 2＋a －2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125。
(2)设P (a,2a )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －a )＋(y －4)(y －2a )＝0，整理得x 2＋y 2－ax －4y －2ay ＋8a ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－a (x ＋2y －8)＝0。
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，∴该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165。
答案 (1)P (2,4)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，125 (2)必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，165，证明见解析 敬请批评指正。