直线的交点坐标

高中数学教学案例
两条直线的交点坐标
汉川二中万小艳
今天我说课的内容是必修2（人教版）第三章第三节第一小节《两条直线的交点坐标》.下面我就从教材分析、教学方法与手段、学法指导和教学程序四个方面对本课的教学设计进行说明.
一、教材分析
（一）本节课的学科地位和课程价值
1、学科地位：“两条直线的交点”是在学生学习了二元一次方程组的解和直线方程以及两条直线相交有且只有一个交点的基础上，进一步研究利用代数的方法来解决两直线相交的交点坐标的问题。

本节课从知识内容来说并不是很难，但主要用到了用代数的方法来研究几何问题的方法．因此学习“两条直线的交点”为今后学习解析几何知识打下了基础.
2、课程价值：通过两条直线的交点的学习，可以培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合的能力,对于提高学生的数学素质, 培养学生用相互联系, 相互转化的辨证唯物主义观点分析事物大有益处.
（二）、教学目标
根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,学生身心发展的合理需要,我从三个方面确定了以下教学目标:
1、知识目标：
(1)会通过求二元一次方程组的解来得到两直线的交点坐标；理解两条直线的交点与二元一次方程组的关系；会通过二元一次方程组的解判断两直线的位置关系.
(2)在探索求两条直线交点坐标的过程中，体会数形结合思想、数形结合之美．
２、能力目标：
（1）通过研究两直线的交点与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力，启发学生能够发现问题，提高分析问题和解决问题的能力；
（2）通过对二元一次方程组的解与两直线的交点坐标的关系培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力3、情感目标：
(1)认识事物间的内在联系，用辩证的观点看问题;．
(2)认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题;
(3)培养发散思维、积极探索的精神;
(4)从特殊到一般，培养学生探索事物本质属性的精神.
（三）、教学重、难点
在平面几何中，我们只能对直线做定性的研究，引入平面直角坐标系后，我们用方程表示直线，直线的方程就是直线上每一个点的坐标满足的—个关系式，即二元一次方程．这样，我们可以通过方程研究直线上的点，即用代数方法来研究直线上的点，对直线进行定量研究．两条直线交点坐标的确定体现了解析法的思想，因此我将重难点确定为：
1、教学重点：解二元一次方程组求两直线的交点坐标并通过二元一次方程组的解判断两直线的位置关系;
2、教学难点：理解两条直线的位置关系与方程组的解的对应关系.
二. 教学方法与手段
（一）教学方法
通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和运用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展．改变传统的教学模式，启发思考，引导发现，渗透创新意识，从单纯的注重传授知识转变为新型的自主式、探究式、合作式的学习方式，在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”．因此我选择的教学方法是分析、启发、讲练结合法等．
（二）教学手段
为了提高课堂效率．充分发挥我校多媒体教学的资源优势，我利用计算机作为辅助工具，更清楚展示两直线的交点坐标，有利于发现两直线的交点坐标，呈现教学内容，将信息技术和数学课程有机地整和起来，有利于突出重点，突破难点，有利于教学目标的实现, 使教学目标体现得更加完美.
三、学法指导
1、学生情况：学生在此之前已经学习了直线的方程，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究解析几何问题的重要方法，知识方面，这节课的内容是全新的，需要从简单入手，逐渐深入，渐近式展开；心理方面，对数学普遍有负担，因此要将快乐带进数学课堂，激发学生学习数学的兴趣；生理方面，高一的学生已经具备了独立思考的能力，观察分析能力也有所提高，可以适应对本节知识的深化.
2、学法指导
引导学生体验学习的过程，从而促进其学习方式的转变，使学生的学习过程变成在教师指导下的“再创造过程”，使学生从具体操作中掌握知识，在愉悦的气氛中自主探索发现，潜移默化地形成自己的一种“独立思考、积极探索”的学习方式，达到课程整合的终极目的.
四、教学程序
情境设置，导入新课
⇓
提出问题，讲解例1
⇓
分组探究，拓展思维
⇓
再提问题，讲解例2
⇓
理论升华，课堂演练
⇓
归纳梳理，布置作业
（一）情境设置，导入新课
首先通过多媒体课件向学生展示直角坐标系中的两条直线，移动一条直线，让学生观察这两直线的位置关系，并提出问题：（1）如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？（2）已知两直线：l 1: A 1x +B 1y+C 1=0，l 2 :A 2x +B 2y +C 2 =0 , 如何判断这两条直线的关系？从而引出课题：两条直线的交点坐标
设计意图：以问题为出发点，引起学生的兴趣，并为用代数的方法解决直线的有关问题打下伏笔.
（二）提出问题，讲解例1
为了解决第一个问题，教师引导学生通过填表，从点与直线的位置关系入手，引导学生意识到求两条直线的交点即解方程组。

使学生充分认识到两条直线的交点与二元一次方程组的关系后，给出例1
用幻灯片出示例1：求下列两直线交点坐标． l 1 : 3x +4y-2 =0; l 2 :2x+y +2 =0.
【解】解：解方程组 34202220x y x y +-=⎧⎨++=⎩
得 x=-2，y=2
所以l 1 与l 2的交点坐标为M （-2，2）.
如右图
因为学生已具有了解方程组的能力，所以教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，表达是否简洁，使学生自主探究。

引导学生尝试作答，教师适当强调怎样用消元法解方程组.
课堂练习，初试身手:课本P104,T1请学生回答结果.
设计意图:使学生在实际操作中体会通过解方程组求交点坐标的方法，体会数形结合思想、数形结合之美,体会用代数的方法研究几何问题,并为后面的探究打下基础.
（三）分组探究，拓展思维
教师设问：
当λ变化时，方程3x +4y -2+λ（2x +y+2）=0表示什么图形？图形有何特点？求出图形的交点坐标．
(1)教师引导学生探究，当λ取不同值时的各种图形，通过信息技术经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点．
(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论．
(3)由结论，方程表示经过这两条直线与的交点的直线的集合．
（4）拓展研究：在过3x+4y-2=0和2x+y+2=0交点的直线系方程中，如何求经过P （4，-2）的直线.
设计意图:通过课件动画演示，引导学生观察、发现直线系过定点的特点，从而为探求定
点的求法做准备.
(四)再提问题，例题讲解
为了解决第二个问题，我们先来看例2
例2：判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
(l) l 1:x -y=０，l 23x +3y - 10=0.
(2) l 1:3x-y=0, l 2:6x-2y=0.
(3) l 1:3x +4y-5 =0, l 2:6x +8y-10=0.
教师引导学生由方程组的解的个数判断两直线位置关系. 然后让学生尝试作答
设计意图：通过学生积极参与，动手操作，培养创造性思维、增强创新意识，为后面学生自主探究一般情况的解方程组的方法做好铺垫，体现了由特殊到一般的研究方法.
(五)理论升华，课堂演练:
为了从特殊到一般，从具体到抽象进行理论升华，接着教师设问：已知两直线l 1: A 1x +B 1y+C 1=0，l 2 :A 2x +B 2y +C 2 =0 , 如何判断这两条直线的位置关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出怎样通过二元一次方程组的解判断两直线的位置关系,这里着重探讨( A 1B 2 － A 2B 1 ) x + B 2C 1 － B 1C 2 = 0 的解的情况,并得出结论:
(1)若二元一次方程组有唯一解，l 1与l 2相交．
（2)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2与平行．
(3)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2与重合．
设计意图：目的在于体验解析法（坐标法）的思想，在明确通过解方程组确定交点坐标的基础上，弄明白方程组的解的情况与两条直线的位置关系之间的对应联系，进一步理解直线与方程之间的内在联系，加深对解析几何思想的认识。

培养学生的抽象思维能力与类比思维能力,培养转化能力.
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
课堂演练：Ｐ１０４练习２
设计意图: 让学生认知在练习中加深，兴趣在练习中勃发，情感在练习中陶冶，质量在练习中提高，目标在练习中实现.并让学生课后继续探究,培养探究的精神.
（六）归纳小结,布置作业
教师引导学生共同总结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用．
布置作业P109、习题3.3 T1、４
思考题: 1.已知a 为实数，两直线1ι：ax +y+l=0，2ι：x+y-a=0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.
2.无论ｍ为何实数，直线（ｍ－１）x ＋（２ｍ－１）ｙ＝ｍ－５恒过一定点，则此定点的坐标是＿＿．
设计意图：通过作业反馈学生对所学知识掌握的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方。