高一数学圆的知识点
高一数学圆的知识点
圆是高一数学中非常重要的一个概念，涉及到的知识点很多。
下面将从圆的定义、圆的性质以及圆周角的计算三个方面来介绍圆的知识点。
一、圆的定义：
圆是指平面上到定点距离相等的所有点组成的集合。
定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆可以用圆心和半径来唯一确定。
二、圆的性质：
1.圆与直线的关系：圆的任何一条直径都将圆分成两个部分，
每个部分都是一条弧和圆上直径的一段，且弧度相等。
2.圆的内、外接：如果一个圆与三角形相切（即圆的边与三角
形的边接触），那么这个圆就是三角形的内切圆。
如果一个圆恰好过三角形的三个顶点，那么这个圆就是三角形的外接圆。
内切圆和外接圆有很多重要的性质，在几何证明中经常会用到。
3.圆周角的计算：圆周角是指圆上的任何一弧所对应的圆周角。
一个圆周角的度数等于它所对应的圆弧的弧度数乘以360度。
例如，等于60度的圆周角所对应的圆弧长度为圆周的六分之一。
三、例子：
1.例题1：一条直线与圆相交于两点，这条直线的长度等于圆
的直径，求这两个交点之间的线段长度。
解析：设这条直线与圆相交于A、B两点，圆心为O，半径为R，则AB=2R，因为OA=OB=R，所以三角形OAB是等腰三
角形，角AOB=60度。
于是我们可以得到AOB所对应的圆周
角度数是60度，也就是说AB长度就等于圆的周长的六分之一，即AB=2πR/6=πR/3。
2.例题2：已知一个圆的半径是5，一个周长为20的扇形与这
个圆相切，求这个扇形的弧度。
解析：设这个扇形半径为r，琴弦长为x。
因为扇形与圆相切，所以位于扇形内侧的半径r=x/2。
又因为这个扇形的周长为20，所以弧长为20/5=4，也就是说x²+r²=4²。
又因为扇形的圆心角
为2θ，所以弧度为θ=2/5π。
3.例题3：一个直径长为30的圆内有一个圆形的花坛，花坛与外圆完全相切，求这个花坛的面积。
解析：设内圆的半径为r，则根据题意有2r+2r+30=30，解得
r=5。
因为这个花坛是圆形的，所以它的面积就是πr²=25π。
除
了上述三个例子，圆还具有很多重要的性质和应用。
以下列举其中几个。
1.切线的性质：切线是指直线与圆相切于一点，切线与半径的
夹角垂直。
切线还有一个重要的性质，即切线上的任意一点与
圆心连线的长度等于这个点到切点的距离。
这个性质在解决直线与圆的交点、切线方程等问题时经常被用到。
2.圆锥曲线：圆在几何学中被认为是一种简单的几何图形，但
当圆绕着一个轴旋转时，我们就可以得到一系列复杂的曲线，这些曲线统称为圆锥曲线。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线，它们具有重要的几何和物理应用。
3.三角函数中的正弦、余弦和正切：圆也是三角函数中正弦、
余弦和正切的基础概念。
在单位圆上，任意一点的坐标可以表示为其对应角的正弦和余弦值，正切值则是正弦和余弦的比值。
这些概念在数学和物理中得到广泛应用，如计算复杂机器的运动轨迹、电流和电压的变化等。
总体来说，圆作为高一数学中一个重要的概念，涵盖了很多基础的几何、三角函数等知识点，也有着重要的应用价值。
熟练掌握圆的定义、性质和计算方法，不仅有助于解决目前所学的数学题目，也为将来更高级别的数学学习打下坚实的基础。
高一数学知识点圆与性质
高一数学知识点圆与性质高一数学知识点：圆与性质圆是我们学习数学时经常遇到的一个几何图形，它有着独特的性质和特点。
在高一数学中，我们需要了解圆的定义、性质以及应用。
下面将详细介绍圆的相关知识点。
一. 圆的定义圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的轨迹。
这个固定的点被称为圆心，而到圆心距离相等的线段被称为半径。
以圆心为中心，在平面上画出一个半径为r的圆可表示为O(r)。
二. 圆的性质1. 圆的周长圆的周长等于它的直径乘以π（pi），即C = 2πr，或者C = πd，其中C代表圆的周长，r代表半径，d代表直径。
2. 圆的面积圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr²。
其中A代表圆的面积。
3. 圆与直线的关系圆与直线的关系有三种情况：- 直线与圆相交：当一条直线与圆相交时，有两个交点。
- 直线在圆内：当一条直线完全位于圆内部时，与圆无交点。
- 直线与圆相切：当一条直线与圆相切时，有一个切点。
4. 圆与圆的关系圆与圆的关系有三种情况：- 相交圆：当两个圆相交时，有两个交点。
- 内切圆：当一个圆完全位于另一个圆的内部时，两个圆有一个内切点。
- 外切圆：当一个圆与另一个圆相切时，有一个外切点。
5. 圆的切线从圆外一点引一条与圆相切的线，称为切线。
切线与半径垂直，并且垂直于半径的切线被称为半径的垂直平分线。
切线与切点处的半径构成的角被称为切线与圆的切点处的切线角，它等于半径与切线的夹角。
6. 弧圆上的两个点之间的弧称为圆弧。
弧长是圆周的一部分，通常用弧度来表示。
7. 扇形与扇形面积由圆心和两个弧之间的弧所围成的图形称为扇形。
扇形面积等于扇形的弧长乘以半径的一半。
三. 圆的应用1. 基础几何问题在解决基础几何问题时，我们经常需要利用圆的性质进行推导和计算。
2. 工程和建筑在工程和建筑领域中，圆常常作为设计、施工和测量的基础。
例如，建筑物的圆柱形结构、圆形排水系统等。
3. 几何图形的划分在绘制几何图形时，圆常常用来划分平面和区域，帮助我们更好地理解和分析图形。
高一数学圆的知识点及题型
高一数学圆的知识点及题型圆是高中数学中重要的几何概念之一，掌握圆的知识点及题型对于学好高中数学非常关键。
本文将详细介绍高一数学中与圆相关的知识点及解题技巧。
一、圆的相关定义1. 圆的定义：平面上的所有到一个固定点的距离相等的点构成一个圆。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的重要要素。
- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
- 半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的两个相对的点所确定的线段，通常用字母d 表示，其长度等于半径的两倍。
3. 弧与弦：- 弧：圆上的一部分，弧长是弧上的两个端点所对应的弧所对的圆心角的度数所对应的弧长。
- 弦：连接圆上任意两点的线段。
4. 圆周角：以圆心为顶点的角。
二、圆的性质1. 圆的三要素关系：- 半径与直径的关系：直径是半径的两倍，即d = 2r。
- 直径与周长的关系：周长是直径的π倍，即C = πd。
- 半径与周长的关系：周长是半径的2π倍，即C = 2πr。
2. 弧长与圆周角的关系：- 弧长公式：弧长L等于圆周角的弧度数乘以半径，即L = rθ，其中θ用弧度表示。
- 弧度与角度的转换：1弧度= 180°/π。
3. 弦和切线的关系：- 弦上的中垂线过圆心：圆心角所对的弦，其上的中垂线经过圆心。
- 切线与半径的关系：半径与半径所在切线的交点连线垂直，且相互延长至圆的外部，即半径垂直于切线。
三、圆的相关题型及解题技巧1. 圆的面积和周长：- 圆的面积公式：S = πr²，其中S表示圆的面积，r为半径。
- 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r为半径。
2. 圆心角和弧度制：- 圆心角的度数与弧度的关系：圆心角θ的度数等于圆心角所对弧的弧长L除以半径r的比值，即θ = L/r。
- 弧度制与角度制的转换：角度制的度数乘以π/180即可转换为弧度制。
3. 弦长和半径的关系：- 弦长公式：弦长L等于半径r与所对圆心角θ的正弦值之积的2倍，即L = 2rsin(θ/2)。
高一数学圆相关知识点总结
高一数学圆相关知识点总结在高一数学学习中，圆是一个重要的几何概念。
掌握圆的相关知识点对于理解几何几乎是必不可少的。
本文将对高一数学中圆的相关知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握。
一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是平面上的所有与一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点叫做圆心，而距离叫做半径。
2. 圆的性质：- 圆是由无数条等半径的弧线组成的。
- 圆上任意两点和圆心组成的线段叫做弦。
当弦过圆心时，它还可以叫做直径。
直径是圆的最长弦，它的长度等于圆的半径的两倍。
- 圆上的弧度是弦的一部分，它的度数可以测量，一条完整的弧度对应圆心角360°。
- 圆上的任意两个弧之间的夹角叫做弧度角，它等于弧度所对应的圆心角的度数。
二、圆的元素和相关公式1. 圆的元素：- 圆心角的度数称为弧度角的度数。
- 弧度角所对应的弧的长度等于半径乘以弧度角的弧度数值。
- 圆弧的长度等于半径乘以对应的圆心角的弧度数值。
- 弧长和弦长的关系：一个弧的长度和它所对应的圆心角相等的弦的长度成正比例关系。
- 弧长和半径的关系：相等弧度的弧的长度和半径成正比例关系。
2. 相关公式：- 圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方（S = πr²）。
- 圆的周长公式：圆的周长等于π乘以直径（C = πd）。
- 两圆的相同或相似程度可以通过比较它们的面积或周长。
三、圆与直线的关系1. 直线与圆的位置关系：- 切线：当直线恰好与圆相切于圆上一点时，我们称该直线为切线。
- 弦：当直线连接圆上两个不同的点时，我们称该直线为弦。
- 弧：当直线不与圆相交，但其延长线与圆相交时，我们称该直线为弧。
2. 弦切角和直径切角：- 弦切角：当弦与切线的交点重合时，弦切角为180°。
- 直径切角：当直径与切线的交点重合时，直径切角为90°。
3. 切线定理：- 切线与半径垂直：切线与半径所在的直线垂直。
- 切线与半径的关系：切线与半径的两条线段的乘积等于切线所对应的弦与半径的乘积。
高一数学圆的知识点和公式
高一数学圆的知识点和公式圆是几何中一个非常重要的概念，也是我们学习数学中不可或缺的一部分。
在高一数学学习中，我们需要掌握圆的一些基本知识点和公式。
下面将从定义、性质、常用公式等方面来介绍高一数学中与圆相关的内容。
一、圆的定义及性质圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。
在圆内，离圆心的距离称为半径，常用字母r表示；圆心到圆上任意一点的距离称为弦长，通常用字母d表示。
圆具有以下性质：1. 圆的直径是圆上的任意两点之间的最长距离，直径的长度等于2倍的半径。
2. 圆的周长是圆上任意两点之间的距离之和，用C表示。
圆的周长公式为：C = 2πr，其中π的近似值为3.14。
3. 圆的面积是圆内所有点与圆心的距离之和，用A表示。
圆的面积公式为：A = πr²。
4. 相等弧所对的圆心角是相等的。
5. 圆的内接四边形的对角线相互垂直，并且互相平分。
二、常用公式1. 弧长与弦长的关系：当弧长为s，圆的半径为r，圆心角为θ时，有公式：s = rθ。
2. 弦长公式：当圆心角为θ时，圆上对应的弦长为L，圆的半径为r，有公式：L = 2r sin(θ/2)。
3. 弧度制与角度制的转换：360° = 2π弧度。
4. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角为90度。
切线与半径相交的点在圆上形成一个直角三角形，根据勾股定理，切线长度等于半径与切线长度之间的乘积。
5. 切线与弦的交点分割弦长：切线与弦的交点将弦分为两段，这两段的乘积等于切线与弦外的弧段的乘积。
6. 切线的性质：切线与圆的切点在切线上的切线是该切线的平方。
7. 相切线的判定：两条切线分别与两圆相切，当且仅当这两条切线的外交角相等，内交角相等。
总结：高一数学中，圆是一个重要的数学概念。
掌握圆的基本知识点和公式，对于解决与圆相关的问题非常重要。
通过学习圆的定义、性质和常用公式，我们可以更加的了解圆，并能够灵活运用圆的相关知识解决问题。
希望本文对你理解高一数学中圆的知识点和公式有所帮助。
高一数学知识点总结归纳
高一数学知识点总结归纳高一数学知识点总结圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(1)标准方程，圆心，半径为r;(2)一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程一定两解(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题).②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条;当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条;当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线;当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线;当时，两圆内含;当时，为同心圆。
高一数学知识点归纳直线、圆的位置关系由直线与圆的公共点的个数,得出以下直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.(2)相切：直线和圆有公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,的公共点叫做切点.(3)相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.直线与圆的位置关系的数量特征1、迁移：点与圆的位置关系(1)点P在⊙O内dr.2、归纳概括：如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1)直线l和⊙O相交dr.练习题：1.直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相切或相交2.圆的的弦长为12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为d，那么()A.d<6cmB.6cmC.d≥6cmD.d>12cm3.P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β，则α与β的关系是()A.α=βB.α+β=90°C.α+2β=180°D.2α+β=180°4.在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC、PD的长为根的一元二次方程为()A.x2+12x+28=0B.x2-12x+28=0C.x2-11x+12=0D.x2+11x+12=0高一数学知识点汇总空间直角坐标系空间直角坐标系定义：过定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。
高一数学圆方程知识点
高一数学圆方程知识点圆方程是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。
下面，我将为大家详细介绍高一数学圆方程的相关内容。
一、圆的一般方程在平面直角坐标系中，圆可以用一般方程表示，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
二、圆的标准方程圆的标准方程是圆的一般方程的简化形式，标准方程为：x² +y² + Dx + Ey + F = 0。
其中，圆心的坐标为(-D/2, -E/2)，半径的平方为R² = (D²+E²)/4-F。
三、与坐标轴平行的圆1. 与x轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。
当圆的圆心不位于原点时，可以用(x-a)² + y² = r²来表示。
2. 与y轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。
当圆的圆心不位于原点时，可以用x² + (y-b)² = r²来表示。
四、圆的切线方程圆的切线是与圆的边缘只有一个交点的直线。
求圆的切线方程的步骤如下：1. 求切点坐标设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，已知切线的斜率为k。
通过方程联立，求解出切点坐标(x₁, y₁)。
2. 求切线方程根据切线的定义，切线方程可表示为y-y₁ = k(x-x₁)。
五、与直线的位置关系1. 直线与圆相交当直线与圆相交时，有三种可能的情况：相交于两点、相切于一点和不相交。
2. 直线与圆外切当直线与圆外切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。
可以通过计算直线到圆心的距离来判断。
3. 直线与圆内切当直线与圆内切时，直线到圆心的距离小于圆的半径。
关于圆的知识点
关于圆的知识点
1. 定义：圆是一个平面上距离某一点（圆心）的距离都相等的点的集合。
2. 元素和特点：
- 圆心：圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的那个点。
- 直径：通过圆心的任意两个点所确定的线段叫做圆的直径，直径的长度是圆的最长距离。
- 半径：圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的半
径长度都相等。
- 弧：圆上的一段连续的弧叫做圆弧。
- 弦：圆上的一段弧所对应的线段叫做弦。
- 弧度：弧度是角度的一种度量方式，定义为半径长的圆弧
所对应的夹角。
3. 公式和关系：
- 圆的周长：L = 2πr，其中L代表周长，r代表半径。
- 圆的面积：A = πr²，其中A代表面积，r代表半径。
- 圆的直径与半径的关系：直径等于半径的两倍，即d = 2r。
- 圆的弧长与圆心角的关系：圆的弧长等于圆心角所对应的
圆弧长度的百分比乘以圆的周长。
4. 圆与其他几何图形的关系：
- 圆与直线的关系：一条直线与一个圆有三种可能的关系，
即不相交、相切或者相交于两个点。
- 圆与其他圆的关系：两个或多个圆之间可能相离、相切或
相交。
这些是关于圆的基本知识点，可以帮助我们理解和解决与圆相关的问题。
高一数学圆与圆方程知识点
高一数学圆与圆方程知识点圆是初中数学学习中的一个重要的几何图形，而高一数学进一步深入了解和学习圆的性质和方程。
下面将介绍高一数学圆与圆方程的相关知识点。
一、圆的相关概念1. 圆的定义圆是平面上一点到另一点距离等于定值的所有点的集合。
2. 圆的元素圆心：圆心是圆上所有点到公共定值的点，通常用字母O表示。
半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
直径：直径是通过圆心的两个点之间的距离，等于半径的2倍。
二、圆的方程1. 标准方程圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径长度。
例如：(x-2)²+(y+3)²=9 表示圆心坐标为(2, -3)，半径长度为3的圆。
2. 一般方程圆的一般方程是x²+y²+Ax+By+C=0，其中A,B,C是实数且A²+B²≠0。
要将一般方程转化为标准方程，可以使用配方完成平方的方式。
三、切线和法线1. 切线切线是与圆只有一个交点，并且与圆相切于该点的直线。
切线的斜率等于与圆心连线的斜率的负倒数。
2. 法线法线是与切线垂直的直线，与圆相交于切点。
法线的斜率等于切线的斜率的负倒数。
四、圆与圆的位置关系1. 相交两个圆相交的情况下，有两个交点。
如果两个圆的半径相等，那么交点重合，两个圆是重合的。
如果两个圆的半径不等，那么交点不重合，两个圆是相交的。
2. 相切两个圆外切的情况下，外切点重合，两个圆是相切的。
如果两个圆的半径相等，那么两个圆是内切的。
如果两个圆的半径不等，那么两个圆是外切的。
3. 相离两个圆没有交集，并且没有公共点的情况下，两个圆是相离的。
高一数学圆与圆方程的知识点如上所述，通过了解和掌握这些知识，可以更好地理解和应用圆的性质和方程。
希望本文对你学习圆与圆方程有所帮助。
数学高一有关圆的知识点
数学高一有关圆的知识点高一数学学习中，圆是一个非常重要的几何概念。
它不仅在几何图形的研究中扮演重要角色，还在实际生活和其他学科中有广泛的应用。
本文将围绕圆的知识点展开讨论，从圆的定义开始，逐步介绍关于圆的性质、圆锥曲线以及圆的应用等内容。
1. 圆的定义和基本概念圆是由平面上到一个固定点的距离恒定的所有点所组成的集合。
这个固定点叫作圆心，恒定距离叫作半径。
圆常用字母O表示圆心，用字母r表示半径。
在平面直角坐标系中，圆的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标。
2. 圆的性质圆具有以下几个重要的性质：- 圆的直径是圆上任意两个点之间的最远距离，它等于圆的半径的两倍。
- 圆的弦是圆上的两个点之间的线段，它等于或小于圆的直径。
- 圆的切线是与圆只有一个公共点的直线，切线的斜率是圆半径和该点切线的斜率的负倒数。
- 圆的弧是圆上两个点之间的一段弧长，它可以用圆心角来度量，圆心角等于弧所对的圆周角。
- 圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，它可以用πr²来表示，其中π是一个无理数，约等于3.14。
3. 圆锥曲线圆锥曲线是由圆与一个平面交于一点得到的曲线。
根据平面与圆交点的位置和角度，圆锥曲线可以分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
- 椭圆是当平面与圆相交于圆内部时得到的曲线，它具有两个焦点和两个同时与这两个焦点和平面相切的直线。
- 双曲线是当平面与圆相交于圆外部时得到的曲线，它具有两个焦点和两个同时与这两个焦点和平面相切的直线。
- 抛物线是当平面与圆相切于圆的外切点时得到的曲线，它具有一个焦点和与这个焦点在平面上对称的直线。
4. 圆的应用圆在实际生活和其他学科中有广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：- 圆在建筑设计中有很多应用，例如圆形建筑物、圆拱门等。
- 圆在工程测量和制图中经常使用，例如圆形坐标系、圆规等。
- 圆在物理学中有诸多应用，例如力的分析中的圆周运动、电磁波的传播等。
高一数学复习考点知识专题讲解9--- 圆的标准方程
高一数学复习考点知识专题讲解圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系．知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r21．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)4．(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)一、求圆的标准方程例1 (1)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 答案 (x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y 轴相切， ∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.(2)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________． 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝25 解析 ∵AB 为直径， ∴AB 的中点(1,2)为圆心，12|AB |＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解 (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8. (2)设圆心为C (0，b )， 则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. 二、点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上 D ．不确定 答案 B解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24， 得点P 在圆外．(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围为________________． 答案 [0,1)解析 由题意知⎩⎨⎧a ≥0，(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1. 反思感悟 判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．跟踪训练2 已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部． 解 (1)因为点A 在圆的内部， 所以(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，且a 不为0，解得a <－2.5.(2)因为点A 在圆上，所以(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2， 解得a ＝－2.5.(3)因为点A 在圆的外部，所以(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2， 且a 不为0，解得a >－2.5且a ≠0.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程． 解 方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[素养提升](1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()A．(－1,5)，3B．(1，－5)， 3C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3答案 B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定答案 B4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．答案a>113或a<－113解析∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>1169，∴a>113或a＜－1 13.1．知识清单：(1)圆的标准方程．(2)点和圆的位置关系．2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是() A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5C ．(x －3)2＋(y －1)2＝5D ．(x －3)2＋(y －1)2＝25 答案 D2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213π C ．2π D ．23π 答案 B解析 由圆的标准方程可知，其半径为13，周长为213π.3．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 答案 B解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝12|AB |＝12(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.故选B.4．若点A (a ＋1,3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0,5) D ．[0,5] 答案 C解析 由题意，得(a ＋1－a )2＋(3－1)2>m ，即m <5，又易知m >0，所以0<m <5，故选C.5．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13. 故所求圆的标准方程为 (x －2)2＋(y ＋3)2＝13.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 答案 ±2解析 ∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.7．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋y －3＝0对称的圆的标准方程是________________． 答案 (x －4)2＋y 2＝1解析 设圆心A (3，－1)关于直线x ＋y －3＝0对称的点B 的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3·(－1)＝－1，a ＋32＋b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.8．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的标准方程是________________．解析 将直线方程整理为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0， 可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.9．已知圆C 过点A (3,1)，B (5,3)，圆心在直线y ＝x 上，求圆C 的标准方程． 解 设圆心C (a ，a )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(a －1)2＝r 2，(a －5)2＋(a －3)2＝r 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4. 10．已知点A (－1,2)和B (3,4)．求： (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程； (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程． 解 由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(1,3)． (1)∵A (－1,2)，B (3,4)， ∴直线AB 的斜率k AB ＝4－23－(－1)＝12.∵直线l 垂直于直线AB ， ∴直线l 的斜率k l ＝－1k AB ＝－2，∴直线l 的方程为y －3＝－2(x －1)， 即2x ＋y －5＝0. (2)∵A (－1,2)，B (3,4)，∴|AB |＝(3＋1)2＋(4－2)2＝20＝25， ∴以线段AB 为直径的圆的半径r ＝12|AB |＝ 5.又圆心为C (1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.11．已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为()A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25答案 A解析根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝(3＋4)2＋1＝50，则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.12．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9答案 B解析 由(3＋2λ)x ＋(3λ－2)y ＋5－λ＝0，得(2x ＋3y －1)λ＋(3x －2y ＋5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，3x －2y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即P (－1,1)． ∵圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC |＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，故选B.14．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为__________．答案 1＋ 2解析 (x －1)2＋(y －1)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.15．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为______________． 答案x 2＋(y ＋1)2＝1解析 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1，设其圆心为C 1，则圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点的坐标为(a ，b )，即圆心C 的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. 所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.16．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的标准方程．解 设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2， 所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。