奇点分离法在美式期权定价中的应用
金融衍生工具课件：美式期权定价
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第二节 美式期权定价的分析近似类模型
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）近似 ➢ 其他分析近似类模型
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Barone-Adesi和Whaley（1987）近似
➢ Barone-Adesi和Whaley（1987）基于由MacMilan（1986）提出的二次
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已知红利支付率
➢ 唯一可能提前执行的时间点在第二阶段末除权日前的瞬间，我们接下来就分 析第二阶段末除权日前的瞬间各点的提前执行决策，即二叉树图中的B、C、 D各点。以B点为例，若不提前执行美式期权，则期权的价值为6.58。若在B 点提前执行美式买权，则期权的价值为35.90/0.95-30=7.79，大于6.58。故在B 点，投资者应该选择提前执行美式买权。同理，对于C点和D点，我们可以运 用相同的分析方法。在C点，若提前执行，则期权的价值为0；若不提前执行， 期权的价值为1.42。故投资者不会选择提前执行美式买权。在D点，期权处于 虚值状态，投资者不会提前执行，期权的价值为0。
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红利支付
➢ 对于支付红利的股票，美式买权可以视为一系列欧式买权的复合。在任意两 个除权日之间，美式买权都不会被提前执行（理由同上）。在除权日前的瞬 间，投资者将判断是否执行该期权。若执行美式买权，则该期权的存续期中 止；若不执行，则可能的执行时点将是下一个除权日前的瞬间；这样不断往 下，直到期权在最后到期日被执行（等同于欧式期权）。
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➢ 对以于给u 不出 d支一1 付种红可利行的的股参票数，估当计方案的：高t 阶小量可忽略时,使用限制条件
美式垄断期权定价的数学分析
跌 期权 组合 而成 ， 其 中看 涨期 权 的敲 定 价格 Ｋ 高
于 看跌期 权 的敲定 价 格 Ｋ ． 显然 当 Ｋ 与 Ｋ 越 接 近， 购买者拥有的权力就越大， 期权金就越贵 ， 反 之， 期 权金 就越便 宜 ． 美 式期权均具 有 提前 实施 的特 点 ， 但 在 有 效期 内只能实施 一次 ， 故 美式 垄 断期 权并 不 是美 式 标 准 看涨和看跌 期权 的简 单 叠加． 然 而从 它 的 收益 函数
文 章 编 号 ：ｉ ０ ０ ０ — １ １ ９ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ７ ５ ４ ～ ０ ５
美 式垄 断 期 权 定 价 的 数学 分析
岑 苑 君 ，易 法槐
（ １ ． 顺德职业技术学院 高职数学教研室 ， 广东 佛 山 ５ ２ ８ ３ ３ ３ ；２ ． 华 南 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 ，广 州 ５ １ ０ ６ ３ １ ）
摘
要： 介 绍 了美 式 垄 断 期 权 这 一 金 融 产 品 的 数 学 模 型 ． 它 的 定 价 问 题 是 一 个 退 化 的 抛 物 型 变 分
不等式 ， 也 是 一 个 自由 边 界 （ 即最 佳 实 施 边 界 ） 问题 ．该 文 主 要 运 用 微 分 方 程 方 法 分 析讨 论 ， 并 与 美 式标准期权及美式交叉期权进行对 比， 得到 以下应用 结果 ： 美 式 垄 断 期 权 并 不 是 美 式 标 准 看 涨 和
是 上涨 还是 下跌 时 ， 为保 证 收 益 ， 往 往 选 择 购 买 一
它的价 值依 赖 于原 生资产 （ 股票、 利 率 等） 的价格 变 化． 期 权作 为金 融 衍 生 物 的一 种 ， 提供 给期 权 持 有 人在 确定 时 间按 某 一 确 定价 格 购 入 （ 或销 售 ） 一 定 数量 的原 生资 产 的权 利 ， 但 他 不 负 有 必 须 购入 （ 或 销售 ） 的义 务 ， 即看 涨期 权 和看跌 期权 ． 而 根据 合 约 实施 的期 限 则可 以分 为欧式 期权 和美 式期 权． 人 们
美式封顶看涨期权的定价分析
平衡的波动幅度。dWt 表示的是期权标的的价格遵循几何分式布朗运 动。设 P 是永久美式封顶看涨期权的价格；r 是无风险利率，和基准利
率密切相关；q 是连续支付的红利不存在风险，可以构造的投资组合是：
，△表示期权
标的的份数稳定持有，在时间段 t+dt 内不会改变。根据以上假设持有
图
Y-- 损益
P-- 期权价格
K-- 行权价格
S-- 市场价格
二、永久美式封顶看涨期权定价 -- 自由边界模型
我们将永久美式封顶看涨期权作为自由边界模型定价的研究对
象，永久指的是没有到期日的意思，也就是时间 T=∞，因为没有到期
日的限制，永久美式封顶看涨期权是同类型美式封顶看涨期权中最
贵的，拥有最多最大的获利机会。
关键词：美式封顶看涨期权；自由边界模型；变分不等方程模型
一、期权理论概述 1.期权概述 期权根据买方对标的价格不同方向的判断分为看涨期权和看跌 期权，看涨期权的买方有权利按照执行价格买入期权标的，买方认为 期权标的的价格未来是会上涨的；看跌期权的买方有权利按照执行 价格卖出期权标的，买方认为期权标的的价格未来会下跌。对于期权 的买方来讲，收益是不固定的，最大损失已经固定是全部的期权费用 加上无风险利率收益，对于期权的卖方来讲，最大收益固定是全部的 期权费用，损失空间却很大。 2.美式封顶看涨期权性质 看涨期权的损失有限，最大的损失就是购买期权支付的费用，盈 利则是无限的，损益如图所示。当市场价格等于行权价格加上期权费
期权，那么投资组合 满足以下公式：
因为前提假设遵循布朗运动，因此按照关于布朗运动的随机积
分的微分法则（即变量替换公式）进行推理，结合永久美式封顶看涨
期权没有到期日，因此其价格与时间无关，可以得出结论： ，消
美式期权定价方法综述
美式期权定价方法综述【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。
其中，对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。
最后，简单介绍了有限元法，近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。
【关键词】美式期权；叉树法；蒙特卡洛；有限差分1 叉树方法叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化，在利用动态规划的方法求解该期权的价格。
该方法由Cox，Ross和Rubinstein于1979年提出，因此我们将该模型简称为CRR模型。
Hsia（1983）证明在中心极限定理及某些参数下，二叉树模型将收敛为连续的BS模型。
二叉树方法简单易行，迄今已被广泛扩展。
Hull和White（1988）利用控制变异来修正二叉树模型，并用于美式期权定价，发现此法收敛速度更快。
Breen（1991）通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型，研究表明时间间隔固定时，此法可加速二叉树收敛，并提高精确性。
Boyle（1986）发展出三叉树模型，即一段时间内股价可能上涨，下跌之外或持平。
三叉树定价原理与二叉树类似，因而适用于美式及欧式期权定价，且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。
Rubinstein （2000）比较了三叉树与二叉树模型，发现前者的优越性在于比后者多一个自由度，使股价变化与时间分割相互独立。
2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程，并求期权价格的方法。
Hull和White（1993）提出蒙特卡洛法时，认为只适用于欧式期权定价。
Tilley（1993）则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行，通过记录基础资产价格路径，并比较提前执行收益与期权价格，判断是否提前执行。
此后学者对这一方法提出新扩展，较为著名的有Barraquand和Martineau（1995）提出的BM模型，和Raymar和Zwecher（1998）提出的RZ模型。
两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价，但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。
分解方法在奇异期权定价问题中的应用
ｄＳｔ —— 一 ￡＋ ａｄＷ ｆ Ｓ Ｕｄ￡＋ ，
—
—
的交 易 ， 大 获 成 功 ．同 年 ， 国 芝 加 哥 大 学 教 授 并 美
Ｆｓｅ ｌ ｋ和 Ｍｙｏ ｃ ｏｅ 发 表 《 权 定 价 与 公 ｉ ｒ ａ ｈ Ｂ ｃ ｒｎＳ ｈ ｌ ｓ 期 司负债 》 一文 ， 在期 权 定价 方 面 取 得 突 破 性 成 就 ， 提
摘
要 ：影响 奇异期 权 价格 因素 的多样 性 导 致 了其定 价 异 常复 杂 ， 因此 定 价 问题 是 奇异 期 权 理论
的核心 问题 之 一 ．然而 由于奇异 期权 是 由标 准 期权 衍生 而 来， 就 有 可 能 通过 把 奇异 期 权 分 解 成 这
为它们 的组 合， 而使 其相 对复 杂的 定价 过 程 大 大 简化 ．通过 把 金 融 工程 创 造 新 型金 融 工具 的分 从 解思 想 引入欧 式奇 异期权 的定价 ， 并举 出不 同种 类 的奇 异期 权 中典 型 的实例 进行 具体 分析 ， 一 步 进 阐明 了分解 方法 在 简化 欧 式奇异期 权 定价 中的作 用 ． 关键 词 ： 权 ； 解 ；欧式 奇异期 权定 价 期 分 中图 分类 号 ： ２ ４ Ｆ ２ 文 献标 识码 ：Ａ
收 稿 日期 ： ０ ８～０ ２０ ６—１ ３
Ｃ Ｓ ，， ） ｔ ［， 时刻 ， （ ｔＫ 为 ∈ ０ Ｔ］ 执行 价 格 为 Ｋ 的欧
式 看 涨期 权 的价格 ， 由于 在 Ｔ 时刻 期 权 的收 益 函数 等于其 价 格 ， 不 引起 混 淆 的情 况 下 ， 其 在 ， 在 将 ｒ时
免标 的资产 不利 变 化 而 造 成 的 损 失 ， 且 使 其 可 以 而 享有 标的 资产 有 利 变 化 带 来 的收 益 ．当 然， 有 交 只 纳一定 数 量 的期 权 费 才 能 获 得 期 权 合 约 规 定 的 权
欧式与美式期权二叉树定价及程序实现.doc
姓名：卢众专业：数学与应用数学学号： 08101116指导老师：许志军2011 年 6 月 3 日目录一、期权二叉树定价简介 (3)二、假设 (3)三、符号说明 (3)四、欧式二叉树模型 (4)1、一步二叉树模型 (4)2、风险中性定价原理 (5)3、两步二叉树模型 (6)4、多步二叉树模型 (6)五、美式二叉树模型 (7)1、单步二叉树 (7)2、多步二叉树 (8)六、对于其他标的资产的期权的定价 (9)1、支付连续股息收益率股票期权的定价 (9)2、股指期权期权的定价 (10)3、货币期权 (10)4、期货期权 (10)七、实例解析 (10)八、程序 (11)一、期权二叉树定价简介期权定价领域中一个有用并常见的工具是所谓的二叉树方法，这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形，这里股票价格被假定为服从随机漫步，在树形的每一步，股票价格具有一定的概率会向上移动一定的比率，同时股票价格也具有一定的概率会向下移动一定的比率。
在极限状况，即步长足够小时，二叉树中的股票价格趋于对数正态分布，而对数正态分布正式布莱克-斯科尔斯模型关于股票价格的假设。
二、假设1、市场上无套利机会存在；2、所有的数据来源可靠；三、符号说明编号 符号 意义1 r 无风险利率2 u 股票上涨比率3 d 股票下跌比率4 0S股票初始价格 5 Λ,,,d u f f f 期权价值 6 t 时间步长 7 ∆ 股票数量8 p 股票上涨的概率 9 δ 股票的波动大小 10 1H 股票在初始时刻价格 112H期权的执行价格四、欧式二叉树模型100.10.20.30.40.50.60.70.80.910.10.20.30.40.50.60.70.80.91生的分枝一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step ）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是0S ，基于该股票的欧式期权价格为f 。
美式期权定价问题罚函数法的欧拉-拉格朗日分裂格式
美式期权定价问题罚函数法的欧拉-
拉格朗日分裂格式
欧拉-拉格朗日分裂格式是一种用于解决美式期权定价问题的数学方法。
它是
一种基于拉格朗日乘子法的改进，可以用来解决复杂的期权定价问题。
欧拉-拉格朗日分裂格式的基本思想是，将期权定价问题分解为一系列子问题，每个子问题都可以用拉格朗日乘子法来解决。
每个子问题都可以用一个拉格朗日乘子来表示，这样就可以将期权定价问题转化为一个约束优化问题，可以用数学方法来求解。
欧拉-拉格朗日分裂格式的优点是，它可以解决复杂的期权定价问题，而且可
以得到更精确的结果。
它的缺点是，它需要计算大量的拉格朗日乘子，这会增加计算的复杂度，并且容易出现数值不稳定的情况。
因此，欧拉-拉格朗日分裂格式是一种有效的期权定价方法，可以用来解决复
杂的期权定价问题。
它的优点是可以得到更精确的结果，但是它的缺点是计算复杂度较高，容易出现数值不稳定的情况。
美式期权定价的封闭形式的解析解
美式期权定价的封闭形式的解析解
薛良胜
【期刊名称】《集团经济研究》
【年(卷),期】2007(000)03X
【摘要】在当今的金融市场上，大多数可交易期权是美式期权。
然而很长一段时间以来，美式期权定价已成为一个更能引起关注的问题。
并且“美式期权定价的解析式不存在，提前实施可能是最佳”的。
美式期权最困难的地方在于它们可以在到期日前的任何时间提前实施，并且数学上，期权持有者购买的这样一种提前实施权力，把这个问题变成了一个所谓的自由边界问题，先于期权到期日的最佳实施边界是随时间而定的并且是解的一部分。
由于未知边界是解的一部分，像许多其它自由边界问题一样，美式期权的定价问题变成了一个更高的非线性问题。
如果著名的Black—Scholes方程的得到了解决，美式期权的定价和欧式期权的定价仅仅是线性问题不同。
因此，这个非线性特征已经阻止了探求美式期权解析解的进程。
在不断探索的过程中，经济学家提出了封闭形式的解析解，推动了美式期权解析解的发展进程。
【总页数】1页(P307)
【作者】薛良胜
【作者单位】辽东学院基础部
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.美式期权定价的封闭形式的解析解 [J], 薛良胜
2.两种常用美式期权定价模型比较分析 [J], 李倩;冯巍
3.不同基函数对LSM美式期权定价的影响 [J], 于拓;唐亚勇
4.Black-Scholes模型下美式期权定价的神经网络算法 [J], 宋海明;侯頔
5.计时轨迹发生机构综合的封闭形式的解析解 [J], 傅金元;陈永
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２１ １ 月 ００年 ０
武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工 程 版
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｔ ＩＦ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷＵ （Ｎ Ｏ Ｍ ＴＯ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ ＩＧ
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ ５ １３ ．
执行价格 。为简化计算 ， 可令 Ｅ＝１让 其他价格 ，
表示 成 为对 Ｅ的 比率 ， 这样 并 不 影 响方 程 组 的性
质 。在 式 （ ） ， Ｊ （） ， １ 中 当 ｓ ≤Ｓ 期权 价格满 足 Ｂ— Ｓ 方程 ， 由于相 应 的欧 式 看 涨 期 权 也 满 足 Ｂ—Ｓ方 程 ， 式 和欧式 看 涨 期 权 的 差 在这 个 区域 也满 足 美
０ｃ ． ｔ２０１ Ｏ
文 章 编 号 ：０ ７—１４ ２ １ ）５— ８ ３— ４ １０ ４ Ｘ（０ ０ ０ ０ ０ ０
文 献 标 志码 ： Ａ
奇 点 分 离 法 在 美 式 期 权 定 价 中 的 应 用
王建 华 ， 志华 董
（ 武汉理工大学 理学院 ， 湖北 武汉 ４ ０ ７ ） ３ ０ ０
型 的抛 物线 方 程 中 出现 了 自由 边 界 问题 ， 因
其 中 ， ｓＳ（） ｏ、、 、 ｃ、 、 、ｒｒ 和 Ｅ分别 为期权 价格 、 的 物 价 格 、 优 执 行 （ 由 ） 界 、 动 标 最 自 边 波 率 、 风 险利 率 、 的物红 利 率 、 权 到期 时 间 和 无 标 期
及二分法与投影 Ｓ Ｒ法 的比较验证 了这些结论 。 Ｏ 关键词 ： 美式期权 ；Ｂ—Ｓ模型 ； 奇点分 离
中 图 分 类 号 ：２ １８ ０ ４ ． Ｄ Ｉ１ ．９ ３ ｊｉ ｎ １０ Ｏ ：０ ３ ６ ／． ｓ．０ ７—１４ ．０ ００ ．３ ｓ ４ Ｘ ２ １ ．５０ ０
由于 美 式 期 权 可 提 前 执 行 ＿ ｊ 在 Ｂ—Ｓ模 ｌ ，
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ３—１ ． ５
通 过这 样 的转换 ， 如下几 个优 点 ： 是 ｃ可 有 一
以通 过解析 解 精 确计 算 得 到 ， 因此 只需 要 计 算 Ｃ
就 可 以到 Ｃ 。而 Ｃ相 对 Ｃ是 一 个 比较 小 的值 ， 这
样 在数 值计算 中就能减 少误 差 。如某 一种 计算方
法 的相 对误差 为 １ ％ ， 果 Ｃ：０ ２ ０ 如 ． Ｃ，那 么 用 同
样 的方 法计算 Ｃ的误 差则 是 ２ 。 二是 在 式 （ ） ％ １ 第二 式 中 的终 值条 件在 Ｓ：Ｅ处对 Ｓ的二 阶导数
不连 续 ， 这会 导 致 在数 值 计 算 中 当 Ｓ趋 于 Ｅ和 ｔ 趋 于 时 产生 较 大 的截 断误 差 ， 式 （ 中 的终 而 ２）
Ｃ Ｓ （） ｔ ［ ｆｔ ，］＝Ｓ （）一Ｅ， ｆｔ ０≤ ｔ Ｔ ≤ Ｏ ［ ） ｔ ］ Ｏ ＝ １０≤ ｔ Ｔ Ｃ Ｓ （ ，） ／ Ｓ ， ≤
Ｂ—Ｓ方程 ， ｃ Ｓ ｔ表示 相 应 的欧 式期 权 价 格 ， 让 （ ，） 则 Ｃ＝Ｃ（ ， Ｓ￡ ）一ＣＳ，） （ ｔ满足 如下 方程 ：
ｆ ＋ ２０ ＋ —。ｏ ｒ＝ 。２ （ Ｄｓ — ０ ｏ １ ｃ Ｃ ｒ ）Ｃ Ｃ Ｃ ， ２ 一
｛ （ ，）＝００≤Ｓ≤Ｓ（） ｍ ｘ１ｒＤ ）（ ） ｃＳＴ ， ｆｔ＝ ａ（， ｏ ２ ／
笔 者将分 析带 红利 支付 的美 式看 涨和 看跌期 权 的定 价 问题 。由于美 式期 权在 自由边界 一侧 的 区域 仍 满足 Ｂ—ｓ模 型 ， 过 考 虑 在 此 区域 美 式 通 和 欧式期 权 的关 系 ， 入适 当 的变量代 换 ， 引 通过奇 点分 离 的方法 减少 Ｂ—Ｓ模 型在 初 始条 件 中的奇 性， 进而 减少 在 数值 计 算 中 的误 差 。对 于 简化 后 的模 型 ， 用 差 分 迭 代 法 Ｊ进 行 实 例 数 值 计 采 ， 算 ， 与二 分 法和投 影 Ｓ Ｒ法进行 比较 。 并 Ｏ
＝一 ［ ］≤≤ １軎５） ， 墨 ，０ （
其定 价模 型可 视为关 于标 的资产价 格抛 物 型偏 微
分方 程和 自由边 界 的常微 分方 程 ： １ ２） ＾ ｏＣ ｃ ＇ ， ２ ＋（ —Ｄ ） Ｃ吖 ｒ ｏ ５Ｏ ＋
０≤ ｔ≤ Ｔ ０≤ Ｓ≤ Ｓ （） ， ｆｔ Ｃ Ｓ， ） ＝ｍａ （ （ Ｔ ｘ Ｓ—Ｅ， ） ０ ０≤ Ｓ≤ Ｓ （） ＝ｍａ （ ｒ ／ ０ ｆｆ ｘ Ｅ， Ｄ ） Ｅ （） １ ０
此 难 以找到精 确 的解 析解 ， 能使 用 近 似 解 析 解 只 或 数值 方法来 进行 求解 。 目前用 于美 式期 权定 价
的数值 方 法 主 要 有 ： 叉 树 法 、 Ｏ 法 、 叉 树 二 ＳＲ 三 法 和蒙 特 卡 罗模 拟 法 等 。 这些 数 值 计 算 方 法 中 ， 般都假 设期 权 的标 的资产 不支 付红 利 ， 着 一 且 重研 究 美式看 跌期 权 的性质 。
Ｊ。 ≤。．． 一 ≤ ≤≤（ ， ｓｓ ｒ ）
ｌ 皇
ｌ ［ｆ ）ｆ ＝ ｆ ） １ｃＳ ｔ ， ， Ｓ（ ， ． ｔ一一［ｆ ） ］０≤ｆ Ｃ ］ｓ （ （ ≤Ｔ
１ 带 自 由边 界 的美 式 期 权 定 价 模 型
在相关 假 设 下 加 ， 美 式 看 涨 期 权 为 例 ， 以
摘
要： 针对美式期权可提前执行 ， 其定价模型一般难以找到解析解而通常采用数值方法求解的 问题 ， 过适 通
当的变量 代换 ， 简化含 自由边界 的抛物线偏微分方程美式期 权定价模 型 ， 使得 在数值计 算 中进行有 限差分 的
区域变为规则形状 ， 消除初始条件 的奇点 ， 进而减少数值计算 的截断误差 ， 高计算效率 。通 过实例计 算 ， 提 以