最新人教版高中数学必修5第三章《不等式的实际应用》自我小测
新人教必修五第三章不等式单元综合测试(含答案)
新人教必修五第三章不等式单元综合测试（含答案）新人教必修五第三不等式单元综合测试（含答案）一、选择题：1、若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．．D．2、函数的定义域为（）A．B．．D．3、已知，则（）A．B．．D．4、不等式的解集为（）A．B．．D．、已知等比数列的各项均为正数，公比，设，，则与的大小关系是（）A．B．．D．无法确定6、已知正数、满足，则的最小值是（）Ａ．18Ｂ．16．8D．107、下列命题中正确的是( )A．当且时B．当，．当，的最小值为D．当时，无最大值8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为，斜边上的高为h，则和的大小关系是( )Ａ．Ｂ．．D．不能确定9、在约束条下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A．B．．D．10、若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．．D．或11、某商品以进价的2倍销售，由于市场变化，该商品销售过程中经过了两次降价，第二次降价的百分率是第一次的两倍，两次降价的销售价仍不低于进价的％，则第一次降价的百分率最大为（）A 10％B 1％20％D 2％12、在使成立的所有常数中，把的最大值叫做的“下确界”，例如,则故是的下确界，那么（其中，且不全为的下确界是（）A．２B．．４D．二、填空题13、设满足且则的最大值是___________14、已知变量满足约束条，若目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围为___________1、设，且，函数有最小值,则不等式的解集为___________16、某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则_______三、解答题17、已知, 都是正数，并且，求证：18、关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围19、已知正数满足,求的最小值有如下解法：解：∵且∴，∴判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．20、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和0%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过18万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？21、已知函数，当时，；当时，。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测(包含答案解析)(1)
一、选择题1．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a b a b+--的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．83．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b+的最小值为（ ） A ．15B．8+C ．16D．8+4．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-15．若关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则14a b+的最小值为（ ） A ．9B ．9-C ．92D ．92-6．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<D ．42m -<<7．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ） A ．15人B ．16人C ．17人D ．18人8．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．109．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤D ．c 9>10．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<< C ．e 4e x x y -=+D．y =11．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．1212．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =+的最小值为________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.15．已知0,0a b >>，且33+122a b =++，则2+a b 的最小值为______________.16．已知2z y x =-，式中变量x ，y 满足下列条件：213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，若z 的最大值为11，则k 的值为______.17．已知正实数,x y 满足x y xy +=，则3211x yx y +--的最小值为______． 18．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最小值为__________．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面，则ab 的最小值为_______． 20．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的3倍．若存在正实数x ，y 使得12(2)(1)AC AB AD x y=-+-成立，则x y +的最小值为___________． 三、解答题21．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？22．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A C b cB a c--=+.（1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，求ABC 周长的最大值. 23．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．已知定义在R 上的函数()()2232f x x x a x =+--+（其中a R ∈）. （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，求实数a 的值； （2）若不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，求a 的取值范围.25．已知函数2(4)()x f x x +=(0)x >． （1）解不等式：f （x ）＞503； （2）求函数f （x ）的最小值．26．已知函数2()2,,f x x ax x R a R =-∈∈． （1）当1a =时，求满足()0f x <的x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式2()3f x a <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 由21y x +=，对2x y +乘以21y x+=，构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．2．C解析：C 【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a ba b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=， 则()12122388282343412843a b a b a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当34b a b a =，即3133,46a b --==时等号成立，故12a b +的最小值为843+. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用2x y xy +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值；（3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.4．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值，解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得1x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.5．C解析：C 【分析】由韦达定理可得出2a b +=，2ab c =，分析出a 、b 均为正数，将代数式()12a b +与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得14a b +的最小值. 【详解】由于代数式14a b+有意义，则0ab ≠， 因为关于x 的不等式2220x x c -+<的解集为(),a b ，则a 、b 为方程2220x x c -+=的两根， 由韦达定理可得22a b ab c +=⎧⎨=>⎩，所以，a 、b 均为正数，所以，()141141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 当且仅当242,,33b a a b ===时，等号成立，因此，14a b +的最小值为92. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=，所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y =，即122x y ==时等号成立， 由于不等式2212m m x y+>+成立，故228m m +<，解得：42m -<<. 故实数m 的取值范围是：42m -<<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题.7．D解析：D 【分析】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果. 【详解】设高二学生人数为x ，高三学生人数为y ，则737y x y x <<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==， 该志愿者服务队总人数为76518++=人. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.8．B解析：B 【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法9．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c-+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．10．C解析：C 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e xxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，时，等号成立，所以函数y =D项错误． 故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.11．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.12．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a bx x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩ ∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．【解析】作可行域如图则直线z=x+2y 过点A （20）时z 取最小值2点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化即数形结合的思想需要注意的是：一准确无误地作出可行域；二画目标函数所对应的直线时要注意与约束条解析：【解析】作可行域，如图，则直线z=x+2y 过点A （2，0）时z 取最小值2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的解析：1画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =+，则y x z =-+，z 表示直线在y 轴的截距，当直线过点()0,1时，即0,1x y ==时，z 有最大值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查了线性规划问题，意在考查学生的应用能力，画出图像是解题的关键.15．【分析】先利用基本不等式求得的最小值进而求得的最小值即可得到答案【详解】由题意设又由当且仅当时即时等号成立即的最小值为所以的最小值是故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题其中解答中先 解析：623【分析】先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值，进而求得2+a b 的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，设26(2)2(2)z a b a b =++=+++， 又由()()3232336(2)6(2)[(2)2(2)]()992962222222a ab b a b a b a b a b +++++++⋅+=++≥+⨯=+++++++， 当且仅当()326(2)=22a b a b ++++时，即22(2)a b +=+时等号成立， 即z 的最小值为962+2+a b 的最小值是623. 故答案为623. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得(2)2(2)a b +++的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.16．23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大解析：23 【分析】先画出约束条件所表示的可行域，结合图象确定目标函数的最优解，代入最优解的坐标，即可求解. 【详解】画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，可得交点(0,1),(7,1)A B ，又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩，解得(3,7)C ，目标函数2z y x =-可化为122zy x =+， 当直线122zy x =+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值， 将C 代入直线320x y k +-=，解得23k =.故答案为：23【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域，结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合法，以及计算能力.17．【详解】正实数满足故得到等号成立的条件为点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才解析：5+. 【详解】正实数,x y 满足x y xy +=，1111132321111111111x y x y x y x y x y yx ⎧=-⎪⎪+=⇒⇒+=+⎨--⎪--=-⎪⎩故得到113121323211=5++111111x 1111y x y x x y y x y x y⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=++≥------（）（）1111-y x ⎫⎫-⎪⎪⎭⎭. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18．2【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】画出表示的可行域如图由可得将变形为平移直线由图可知当直经解析：2 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出3310x y x y y +≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩约束条件表示的可行域，如图，由10330x y x y --=⎧⎪⎨⎪+-=⎩可得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩， 将z x y =+变形为y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由图可知当直y x z =-+经过点31,22⎛⎫⎪⎝⎭时， 直线在y 轴上的截距最小， 最大值为31222z =+=，故答案为2. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.19．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由解析：13【解析】分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值. 详解：2c cosB ＝2a ＋b ，由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++化简得：2sin cos sin 0B C B +=， 又0,sin 0BB π<，得1cos 2C =-，0C π<<，得23C π=， 则△ABC的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等， ∴2229ab ab a b +≤，即13ab ≥， 故ab 的最小值是13. 故答案为13. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.20．【分析】由面积比得再利用三点共线可得出的关系从而利用基本不等式可求得的最小值【详解】如图设与交于点由得所以又三点共线即共线所以存在实数使得因为所以所以又因为所以当且仅当即时等号成立所以的最小值为故答【分析】由面积比得3BM MD =，再利用,,A M C 三点共线可得出,x y 的关系，从而利用基本不等式可求得x y +的最小值． 【详解】如图，设AC 与BD 交于点M ，由1sin 231sin 2ABC ADCAC BM AMBS BM S DM AC DM AMD ⋅∠===⋅∠△△得3BM MD =，所以1313()4444AM AB BM AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+，又,,A M C 三点共线，即,AM AC 共线，所以存在实数k 使得AC k AM =，因为12(2)(1)AC AB ADx y=-+-，所以11242314kxky⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以327x y+=，又因为0,0x y>>，所以132132132526()()(5)527777y x y xx y x yx y x y x y⎛⎫++=++=++≥+⨯=⎪⎪⎝⎭，当且仅当32y xx y=，即367x+=，267y+=时等号成立．所以x y+的最小值为526+．故答案为：526+．【点睛】本题考查向量共线定理，考查基本不等式求最值，解题关键是利用平面向量共线定理得出,x y的关系，然后用“1”的代换，凑配出定值，用基本不等式求得最小值．三、解答题21．铁盒底面的长与宽均为5cm时，用料最省.【分析】法一：因为体积为350cm高为2cm，所以底面积是定值25，设长为xcm，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm，宽为25x，则..表面积251002544425S x xx x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x -'==得，5x =.当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.22．（1）3π；（2） 【分析】（1）正弦定理角化边可得a c b cb a c--=+，利用余弦定理，结合角A 的范围，即可得答案；（2）由（1）得3A π=，由正弦定理可得a 的值，利用余弦定理及均值不等式，即可求得b+c 的最大值，进而可得答案. 【详解】 （1）由sin sin sin A C b c B a c --=+及正弦定理得：a c b c b a c--=+，化简得222b c a bc +-=，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又∵(0,)A π∈，∴3A π=.（2）∵ABC 的外接圆半径为2，3A π=，∴由正弦定理得324sinaR π==，解得a =∴由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，∴2222212()3()32b c b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，∴b c +≤b c =时，等号成立， ∴ABC的周长的最大值为a b c ++=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、均值定理的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.23．（1）()2111424f x x x =++；（2）答案见解析. 【分析】 （1）由题得104a b -+=，20b a =-≤△且0a >，化简即得,a b 的值，即得函数的解析式；（2）由题得220cx x c -+<，再对c 分类讨论解不等式. 【详解】（1）()1104f a b -=-+=， 因为()0f x ≥恒成立，则20b a =-≤△且0a >，即221110,0,444a a a a ⎛⎫⎛⎫+-≤∴-≤∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12b =， ()2111424f x x x ∴=++ （2）()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22111131424424x x c x x c ⎛⎫⎛⎫++>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 220cx x c ∴-+<当0c时：解得0x >；当0c >时：244c =-故当1c ≥时：2440c =-≤，不等式无解；故当1c <时：2440c =->x <<综上所述，0c，不等式解集为0,；1c ≥时，不等式解集为∅；01c <<时，不等式解集为⎝⎭【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查二次不等式的恒成立的问题，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 24．（1）3；（2）[2,)-+∞ 【分析】（1）先因式分解得到()()()21=---⎡⎤⎣⎦f x x x a ，再根据关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-，由12322+=-=-+x x a 求解.（2）将不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立，根据2x >，转化为2452x x a x -+≥--求解. 【详解】（1）()()()()223221=+--+=---⎡⎤⎣⎦f x x x a x x x a ，因为关于x 的不等式()0f x <的解集为()2,2-， 所以1230+=-=x x a ， 解得3a =（2）因为不等式()30f x x -+≥对任意2x >恒成立， 所以()()2245-≥--+a x x x 对任意2x >恒成立，因为2x >， 所以20x ->所以2452x x a x -+≥--，对任意2x >恒成立，而24512222-+⎛⎫-=--+≤- ⎪--⎝⎭x x x x x ，当且仅当 122x x -=-，即 3x =时，取等号， 所以 2a ≥-，所以a 的取值范围[2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.25．（1）8|03x x ⎧<<⎨⎩或}6x >；（2）16 【分析】 （1）令2(4)503x x +>，解得x 的范围与0x >求交集即可得解集. （2）将2(4)()x f x x+=展开整理，然后用基本不等式求最值. 【详解】（1）220(4)50()(4)5033x x f x x x x >⎧+⎪=>⇔⎨+>⎪⎩， 208|03264803x x x x x >⎧⎧⇔⇔<<⎨⎨-+>⎩⎩或}6x >. （2）22(4)81616()8816x x x f x x x x x +++===++≥=， 当且仅当16x x =，即4x =时函数2(4)()x f x x+=取得最小值16. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，和基本不等式求最值，属于基础题.26．（1）(0,2)；（2）当0a >时，解集为(,3)a a -；当0a =时，解集为空集；当0a <时，解集为(3,)a a -．【分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．【详解】（1）当1a =时，2()2f x x x =-，所以()0f x <，即220x x -<解得02x <<.所以()2f x 的解集为(0,2).（2） 由2()3f x a <，得 22230x ax a --<，所以 (3)()0x a x a -+<，当0a >时，解集为(,3)a a -；当0a =时，解集为空集；当0a <时，解集为(3,)a a -．【点睛】本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测卷(答案解析)(1)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ） A ．12 B ．45 C ．92 D ．4192．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．943．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ） A ．53- B ．15- C ．13 D ．954．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．325．某校的一个者愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和.若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为（ ）A ．15人B ．16人C ．17人D ．18人6．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1 CD ．7．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-8．若函数()1x y a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ）A ．[]2,4 B．⎤⎦ C ．(][)1,24,⋃+∞ D．([)2,⋃+∞9．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜nC ．m ＞nD ．不确定10．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．211．下列函数中，最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+ B ．()4sin 0πsin y x x x =+<< C ．e 4e x x y -=+D．y = 12．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36 B ．42 C ．49 D ．60二、填空题13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________.14．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式121233log 20202log 2020log 2020x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．15．已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，若2z y x =-的最大值为11，则实数c的值为____．16．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy++的最小值是_________． 17．已知变量,x y 满足约束条件04010x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，若目标函数(0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则28a b+的最小值为__________． 18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b +的最小值为________． 19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为12c ，则ab 的最小值为_______． 20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________. 三、解答题21．某位病人为了维持身体的健康状态，需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素α和β.根据医学建议：病人每天微量元素α的摄入量应控制在[]300,330（单位：微克），微量元素β的摄入量应控制在[]250,280（单位：微克）.目前，市面上可供选择的营养液主要是A 和B .已知1毫升营养液A 中含微量元素α是30微克，含微量元素β是10微克，每毫升费用5元；1毫升营养液B 中含微量元素α是15微克，含微量元素β是20微克，每毫升费用4元．（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议，并说明理由；（2）如果你是医生，为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议，且每天所需的费用最低，应该推荐病人每天服用营养液A 和营养液B 各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？22．（1）已知x 、y 都是正数，若23x y +=，求11x y +的最小值； （2）当k 取何值时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立？ 23．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．24．随着信息技术的发展，网络学习成为一种重要的学习方式，现某学校利用有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课每次播放视频40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课每次播放视频30分钟，课后研讨40分钟，可获得学分4分.全学期20周，网络对每套选修课每周开播两次（A 、B 两套校本选修课程同时播放），每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课视频时间不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟.A 、B 两套选修课各选择多少次才能使获得学分最高，获得的最高学分是多少？25．在平面直角坐标系中，圆C 是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O 的直线l 的斜率为k ，直线l 交圆C 于P ，Q 两点，点A（1）写出圆C 的标准方程；（2）求△APQ 面积的最大值．26．已知函数()()()22112f x a x a x =---+. （1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值； （2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， ()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min 0213222PM --==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是23292⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y b x a--：两点连线斜率， 2．D解析：D【分析】 利用22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后应用基本不等式可得最小值． 【详解】 由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当22224y x x y =，即2242,33x y ==时等号成立． 故选：D ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．D解析：D【分析】 首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2y x -的几何意义求z 的最大值. 【详解】 24222x y y z x x +-==+-- 设2y m x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题. 4．C解析：C【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ， 由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．D解析：D【分析】设高二学生人数为x，高三学生人数为y，根据题意列不等式组，画出不等式组表示的平面区域，根据不等式的解为整数，可得结果.【详解】设高二学生人数为x，高三学生人数为y，则737y xy x<<⎧⎨≥+⎩，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，根据不等式的解为整数，则阴影部分只有()6,5A 满足，6,5x y ∴==，该志愿者服务队总人数为76518++=人.故选：D.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的解的问题，于基础题.6．D解析：D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2，∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ），当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．7．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．8．B解析：B【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求．【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ．【点睛】 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．9．C解析：C【解析】因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()112222m a a a a =+=-++≥-- ()122242a a +-⋅=-，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综上可得m ＞n ，故选C ．10．C解析：C【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案.【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示， 目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=.故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误；C 项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4exxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，时，等号成立，所以函数y =D项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.12．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b aa b a b a b a ++=++=+++=， 当且仅当65a =，45b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．二、填空题13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项解析：【分析】 先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >， 得411y x+=， 则()455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4x yy x=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：3+【分析】根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =-，23232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值即可. 【详解】由题意，121122lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x ==-，131133lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+， 又lg 20200>，所以原不等式可化为12ka b a b+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭， 又()1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，所以3k ≤+k的最大值为3+故答案为：3+ 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.15．23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析：23 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合判断出2z y x =-取最大值的点，即可建立关系求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c，则由图可知12c≥，即2c ≥， 将2z y x =-化为122z y x =+， 观察图形可知，当直线122zy x =+经过点A 时，z 取得最大值， 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故23221177c c +-⨯-=，解得23c =. 故答案为：23. 【点睛】方法点睛：线性规划常见类型， （1）y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率； （2）z ax by =+，可看作直线a zy x b b=-+的截距问题； （3）()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.16．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一 解析：11【分析】 由题得1x yx y xy xy+=⇒+=，化简整理得()2223636361xy xy x y y xy xy xy xy-+++==+-再利用基本不等式可得解.【详解】由110,0,1x y x y >>+=， 得1x yx y xy xy+=⇒+=， 则()2223636x y x y x y y xy xy+++++=()2223636x y xy x xy y xy xy+-++++==()236361111xy xy xy xy xy -+==+-≥=，当且仅当6xy =时等号成立，此时33x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩33x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩则2236x y y xy++的最小值是11.故答案为：11. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17．【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域因为直线的斜率为由可得因为直线的斜率为-1所以当直线过点时取得最小值1可得利用基本不等式可得详解：画出不等式组表示的平面区域为及其内部如图由可得点当直线过点时解析：【解析】分析：画出不等式组表示的平面区域，因为直线(0)z ax by a b =+>>的斜率为a kb =-，由0a b >>可得10ak b-<=-<，因为直线40x y +-=的斜率为-1，所以当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．可得1a b +=．282828()()10b aa b a b a b a b+=++=++，利用基本不等式可得2828101018b a a b a b +=++≥+=．详解：画出不等式组表示的平面区域为ABC ∆及其内部，如图．由10y x y -=⎧⎨-=⎩ 可得点(1,1)B ． 当直线z ax by =+过点(1,1)B 时，取得最小值1．所以1a b +=．所以28282828()()101018b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⨯=． 当且仅当2810,0b aa b a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩即12,33a b ==时，上式取“=”号．所以28a b+的最小值为18. 点睛：⑴ 线性规划问题应先画出平面区域，求(0)z ax by a b =+>>的最值时，当0b >时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越大；当0b <时，直线z ax by =+越向上平移，z 取值越小；⑵ 用基本不等式求最值时，和定积最大，积定和最小．若,a b m m +=为常数，则111111()()(2)b aa b a b m a b m a b+=++=++，然后利用基本不等式求最值即可． 18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案． 【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列， ∴2a b +=，∴()411411414941(52)2222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．19．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB ＝2a ＋b 转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab 的最小值详解：2ccosB ＝2a ＋b 由解析：13【解析】分析：由正弦定理将2c cosB ＝2a ＋b 转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+，由三角形内角和定理，将()sin sin A B C =+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C 的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab 的最小值. 详解：2c cosB ＝2a ＋b ，由正弦定理转化成2sin cos 2sin sin C B A B =+∴()2sin cos 2sin sin C B B C B =++化简得：2sin cos sin 0B C B +=， 又0,sin 0BB π<，得1cos 2C =-，0C π<<，得23C π=，则△ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，∴2229ab ab a b +≤，即13ab ≥， 故ab 的最小值是13. 故答案为13. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.20．【分析】可先根据得出可转化为然后乘以利用基本不等式即可求解【详解】即的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的相关性质以及基本不等式的应用属于综合题【分析】可先根据1122S =得出574a a +=，7811572a a a a a 可转化为5721a a ，然后乘以574a a ，利用基本不等式即可求解. 【详解】111571111112222a a a a S ，574a a ，781178117511117557575757572222221a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ， 75575757572112134244a a a a a a a a a a ， 570a a ，75570,024a a a a ，757557573332222422444a a a a a a aa ，即57213224a a ， 7811572a a a a a 的最小值为34+. 故答案为：34+. 【点睛】本题主要考查等差数列的相关性质，以及基本不等式的应用，属于综合题.三、解答题21．（1）不符合，理由见解析；（2）推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元. 【分析】(1)根据题意，由微量元素α的摄入量控制在[]300,330计算营养液B 的服用量必须控制在[]20,22，此时β的摄入量在[]400,440，不符合；(2)根据题意，建立线性规划模型：54z x y =+，其中,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，利用线性规划求最值．【详解】解：（1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素α的摄入量控制在[]300,330（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]20,22（单位：毫升），此时相应微量元素β的摄入量在[]400,440（单位：微克），不符合医学建议. 另解：“若该病人每天只吃单价较便宜的营养液B ，则为了将微量元素β的摄入量控制在[]250,280（单位：微克），营养液B 的服用量必须控制在[]12.5,14（单位：毫升），此时相应微量元素α的摄入量在[]187.5,210（单位：微克），不符合医学建议”（2）设该病人每天需服用x 毫升营养液A ，y 毫升营养液B ， 则每天的营养液费用为54z x y =+，由题意,x y 满足300301533025010202800,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩，即20222252280,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≥≥⎩可行域如下图所示把54z x y =+变形为4415y x z =-+，得到斜率为54-，在y 轴上截距为14z 的一族平行直线．由图可以看出，当直线4415y x z =-+经过直线220x y +=和直线225x y +=的交点M 时，截距14z 最 小，此时z 最小．解方程组220225x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点M 为()5,10，∴min 545541065z x y =+=⨯+⨯=元，答：推荐病人每天服用5毫升营养液A ，服用10毫升营养液B ，既能符合医学建议又能使每天的营养液费用最少．病人每天服用营养液的最低费用为65元． 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： (1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型； (2)线性规划型应用性问题解题的关键是正确的建立线性规划模型.22．（1）33+；（2）30k -<≤. 【分析】（1）将代数式()123x y +与11x y +相乘，展开后利用基本不等式可求得11x y +的最小值； （2）分0k =和0k ≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数k 的不等式，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】（1）已知x 、y 都是正数且23x y +=，所以，()1111112132333333x y x y y y x y x x ⎛⎛⎫⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎝=+⎝+⎭⎭，当且仅当x =时，等号成立，因此，11x y +的最小值为33+； （2）由于不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立. ①当0k =时，可得308-<，合乎题意； ②当0k ≠时，可得230k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得30k -<<. 综上所述，实数k 的取值范围是30k -<≤. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则00a <⎧⎨∆≤⎩. 23．（1）[]1,2；（2）()(],11,2-∞． 【分析】（1）由p 为真命题，若()[]()220,1f x x x =-∈，只需()2min 3f x m m ≥-恒成立，即可求m 的取值范围；（2）若q 为真时1m ，结合已知条件：讨论p 真q 假、p 假q 真，分别求得m 的范围，取并集即可.【详解】解：（1）对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，令()[]()220,1f x x x =-∈，则()2min 3f x m m ≥-， 当[]0,1x ∈时，()()min 02f x f ==-，即232m m -≤-，解得12m ≤≤．因此，当p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2．（2）当1a =时，若q 为真命题，则存在[]1,1x ∈-，使得m x ≤成立，所以1m ；故当命题q 为真时，1m ．又∵p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由121m m ≤≤⎧⎨>⎩，得12m <≤； 当p 假q 真时，有1m <或2m >，且1m ，得1m <．综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞．【点睛】关键点点睛：（1）函数不等式在闭区间内恒成立，有()2min 3f x m m ≥-求参数范围. （2）由复合命题的真假讨论简单命题的真假组合，并求对应参数范围取并集即可. 24．选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得最高学分为180分【分析】设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，根据题意列出线性约束条件404030140020401000,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩，目标函数54z x y =+，作出可行域，即可求解. 【详解】设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，则404030140020401000,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 目标函数54z x y =+，二元一次不等式组等价于4043140250,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图阴影部分.作直线:540l x y +=，直线l 沿可行域方向平移，当直线过M 点时，目标函数取得最大值.联立4314040x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2020x y =⎧⎨=⎩. 所以点M 的坐标为()20,20，此时max 520420180Z =⨯+⨯=.所以选择A 套选修课学习20次，B 套选修课学习20次，可以使获得的学分最高，最高学分为180分.【点睛】本题主要考查了利用线性规划解决实际问题，属于中档题.25．（1）()()22111x y -+-=；（2）12+【分析】（1）根据圆心和半径，即可直接写出圆C 的方程；（2）联立直线l 方程和圆方程，求得k 的范围，结合弦长公式，求得PQ ，再利用点到直线的距离公式，即可求得点A 到直线l 的距离，结合基本不等式，即可求得面积的最大值.【详解】（1）根据题意可得，圆C 的圆心为()1,1，半径1r =，故圆方程为：()()22111x y -+-=；（2）设直线l 的方程为y kx =，联立圆C 方程可得： ()()2212210k x k x +-++=， 因为直线l 圆交于两点，故可得()()22Δ22410k k=+-+>， 解得0k >；又圆心()1,1到直线l的距离d =故可得PQ ==；又点A 到直线l的距离h =故三角形APQ的面积)()21112212121k S PQ h k k k +=⨯⨯==≤=++++-+. 当且仅当1k =时取得面积的最大值1. 【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及直线截圆的弦长求解，涉及基本不等式的应用，属综合中档题. 26．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120ax a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解.【详解】 解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故()()()()22210221120931120a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =； （2）()f x 的定义域为R ，即()()221120a x a x ---+≥恒成立， 当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知正数a 、b 满足1a b +=，则411a ba b+--的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．82．已知实数x ，y 满足221x y x m-≤-≤⎧⎨≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 3．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．34．若实数x ，y 满足约束条件403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．20C ．28D ．325．若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则25a b+的最小值为（ ） AB ．C．2D ．26．若实数x ，y 满足约束条件21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则2z x y =-的最大值是（ ）A ．1-B ．2C ．3D ．47．已知0x >，0y >，21x y +=，若不等式2212m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<< D ．42m -<<8．若实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A．1[2 B ．1[,13)4C． D ．1[,13)59．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是A ．m ＝nB ．m ＜nC ．m ＞nD ．不确定10．设m 1>，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ） A．(1,1 B．()1++∞ C ．（1，3）D ．（3，+∞）11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________． 14．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.15．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．16．已知a ，b 为正实数，且4a +b ﹣ab +2＝0，则ab 的最小值为_____．17．已知点(3,A ，O 是坐标原点，点(),P x y的坐标满足0200y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩，设z 为OA 在OP 上的投影，则z 的取值范围是__________.18．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则yx 的取值范围为__________．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2c cosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积为12c ，则ab 的最小值为_______．20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________． 三、解答题21．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？22．某地要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成的角为60°，考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米，记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底BC 与两腰长的和）为y （米）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；（2）当防洪堤的腰长x 为多少米时，断面的外周长y 最小？求此时外周长的值．23．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)24．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 25．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3． （1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b aab26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b+与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=，则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2b a =时，等号成立，因此，411a ba b +--的最小值是4. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．C解析：C 【分析】作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨≤≤⎩对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 .【详解】由题意可作图：当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，此时P 符合：2x my x =⎧⎨=-⎩，即(,2)P m m -代入2z y x =-得：m -2-2m =-6,解得m =4 故选：C 【点睛】简单线性规划问题的解题步骤： (1)画出可行域;(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值； (3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值； (4)下结论．3．D解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x -4y 得344z y x =-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4z-最小，z 最大.由03x y m x +-=⎧⎨=⎩，解得A (3，m －3)，故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).4．C解析：C 【分析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，如下图所示的阴影部分：其三角形区域（包含边界），由40340x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点(4,8)A ，由图得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(4,8)A 时，=3+2z x y 取最大值max 342828z =⨯+⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．D解析：D 【分析】应用对数运算得到10ab =，由目标式结合基本不等式有25252a b a b+≥⋅. 【详解】∵lg lg 1a b +=，即lg 1ab =， ∴10ab =，而0,0a b >>， ∴252522a b a b+≥⋅=当且仅当2,5a b ==时等号成立. ∴25a b +的最小值为2. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方6．D解析：D 【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论. 【详解】画出约束条件210110x y x x y -+≥⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩或210110x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域，如图所示，.目标函数2z x y =-，可化为2y x z =-， 由图象可知，当直线2y x z =-经过点A 时， 使得目标函数2z x y =-取得最大值， 又由10210x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得(3,2)A ，所以目标函数的最大值为2324z =⨯-=， 故选：D. 【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于中等题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．D解析：D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥，再解不等式228m m +<即可得答案. 【详解】解：由于0x >，0y >，21x y +=， 所以()21214424428y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y=，即122x y==时等号成立，由于不等式2212m mx y+>+成立，故228m m+<，解得：42m-<<.故实数m的取值范围是：42m-<<.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，考查运算能力，是中档题. 8．D解析：D【详解】根据实数,x y满足121x yy x-+<⎧⎨≥-⎩，画出可行域如图所示22x y+表示可行域内的点与坐标原点O距离的平方，O与直线AB：210x y+-=22001521⨯+-=+，O与(2,3)C222313+=∵可行域不包含(2,3)C∴21135r≤<，即22x y+的取值范围是1[,13)5故选：D【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9．C解析：C 【解析】因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()112222m a a a a =+=-++≥-- ()122242a a +-⋅=-，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综 上可得m ＞n ，故选C ．10．A解析：A 【解析】 试题分析：∵，故直线与直线交于点，目标函数对应的直线与直线垂直，且在点，取得最大值，其关系如图所示：即，解得，又∵，解得，选：A ．考点：简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们可以判断直线的倾斜角位于区间上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键．11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()22332x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．14．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．15．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y xx y=， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤.故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.16．【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化与变形计算能力属解析：10+【分析】利用基本不等式转化为20ab +≤0t =>，转化为关于t 的一元二次不等式，求ab 的最小值. 【详解】0,0a b >>，4a b ∴+≥=，当4a b =时等号成立，20ab ∴+≤，0t =>，2420t t -+≤，2420t t --≥，解得：2t ≥2t ≤-0t >，26t ∴≥+，即()2261046ab ≥+=+，ab ∴的最小值为1046+.故答案为：1046+ 【点睛】本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.17．【分析】作出可行域根据投影的定义得数形结合求出的取值范围即求z 的取值范围【详解】作出可行域如图所示∴当时；当时的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影属于中档题 解析：[]3,3-【分析】作出可行域.根据投影的定义得23cos z AOP =∠，数形结合求出AOP ∠的取值范围，即求z 的取值范围. 【详解】作出可行域，如图所示cos 3OA OP z OA AOP AOP OP⋅==⋅∠=∠.5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，∴当6AOP π∠=时，max 2336z π==；当56AOP π∠=时，min 52336z π==-，z ∴的取值范围是[]3,3-. 故答案为：[]3,3-. 【点睛】本题考查简单的线性规划和向量的投影，属于中档题.18．【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单的线性规解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出可行域，yx表示(),x y与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值即可求解.【详解】如图，不等式组201030yx yx y-⎧⎪--⎨⎪+-⎩表示的平面区域ABC（包括边界），所以yx表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B，，所以122OA OBk k==，，故1,22yx⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题.19．【解析】分析：由正弦定理将2ccosB＝2a＋b转化成由三角形内角和定理将利用两角和的正弦公式展开化简求得的值由余弦定理三角形的面积公式及基本不等式关系求得ab的最小值详解：2ccosB＝2a＋b由解析：13【解析】分析：由正弦定理将2c cosB＝2a＋b转化成2sin cos2sin sinC B A B=+，由三角形内角和定理，将()sin sinA B C=+，利用两角和的正弦公式展开，化简求得sin C的值，由余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式关系，求得ab的最小值.详解：2c cosB＝2a＋b，由正弦定理转化成2sin cos2sin sinC B A B=+∴()2sin cos2sin sinC B B C B=++化简得：2sin cos sin0B C B+=，又0,sin0B Bπ<，得1cos2C=-，0C π<<，得23C π=，则△ABC 的面积为1sin 2S ab C ==，即3c ab =，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，化简得22229a b ab a b ++=，222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等，∴2229ab ab a b +≤，即13ab ≥， 故ab 的最小值是13. 故答案为13. 点睛：本题考查正余弦定理、三角形内角和定理及基本不等式相结合.20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x+-的最值，进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x xx x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题21．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x -'==得，5x =.当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.22．(1)1832,(26)2xy BC x x x =+=+≤<;(2)外周长的最小值为米，此时腰长为.【分析】()1由腰与底边所成的角为60︒，求出2h x =，182x BC x =-，结合限制条件求出定义域26x ≤<，从而得到y 关于x 的函数关系式()2由()1得1832x y x=+，运用基本不等式求出结果【详解】（1）()1932AD BC h =+, 其中32,22x AD BC BC x h x=+⋅=+= ∴18 2x BC x =- 由332,261802h x x x BC x ⎧=≥⎪⎪≤<⎨⎪=->⎪⎩得 ∴1832,(26)2xy BC x x x =+=+≤<. (2)183********x xy x x =+≥⋅=当且仅当[)183232,62x x x ==∈即时等号成立 ∴外周长的最小值为63米，此时腰长为23米. 【点睛】本题是一道函数的应用题，解题时需要理清题目中各数量之间的关系，然后根据题意列出函数表达式，在求最值时一般运用基本不等式来求解，注意等号成立的条件 23．(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论． 试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则由,可得∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出， ∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大． 考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 24．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅-⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽. 【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<；（2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=，当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立．因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ． 【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 25．（1）45；（2）证明见解析 【分析】 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45.（2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.26．（1）25-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，-. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴k <∴k 的取值范围是(6-∞，- 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。
(易错题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ）A ．12B ．45C ．92D ．4192．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．63．实数x ，y 满足约束条件40250270x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则242x y z x +-=-的最大值为（ ）A ．53-B ．15-C ．13D ．954．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）A ．2B．C ．4D．5．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-6．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤ B ．3c 6<≤ C ．6c 9<≤D ．c 9>7．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．275B ．245C ．5D ．68．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．69．设x ，y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A ．5-B ．3C ．5-或3D ．5或3-10．已知集合{}24120A x x x =--≤，{}440B x x =->，则AB =（ ）A ．{}12x x <≤B ．{}2x x ≥-C ．{}16x x <≤D ．{}6x x ≥-11．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．已知实数x y ，，正实数a b ，满足2x y a b ==，且213x y+=-，则2a b +的最小值为__________．14．若实数x ，y 满足约束条件23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x x y +的取值范围是______.15．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则z =__________．16．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.17．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.19．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________. 20．若(0,1)x ∈时，不等式111m x x≤+-恒成立，则实数m 的最大值为________．三、解答题21．设函数2()f x x ax b =-+．（1）若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣，求不等式210bx ax -+<的解集； （2）当3b a =-时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？23．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x =23(1)b a b+--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值.24．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围．25．已知不等式2320ax x -+>解集为{}1 xx x b <>∣或. （1）求a ，b 的值并求不等式230bx ax --<的解集；（2）解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<.26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值； （2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min0213222PM--==，（点M 到直线BC 的距离） ∴()222x y +-的最小值是232922⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y bx a--：两点连线斜率， 2．B解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 114114(5)1(52)123131y x y xx y x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.3．D解析：D 【分析】首先画出可行域，变形24222x y y z x x +-==+--，利用2yx -的几何意义求z 的最大值.【详解】24222x y yz x x +-==+--设2ym x =-，m 表示可行域内的点和()2,0D 连线的斜率， 4250x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得：1,3x y ==，即()1,3C ， 250270x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ ，解得：3,1x y =-=，即()3,1B -， 如图，101325BD k -==---，30312CD k -==--，所以m 的取值范围是13,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，即z 的取值范围是91,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，z 的最大值是95.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是变形242x y z x +-=-，并理解z 的几何意义，利用数形结合分析问题.4．C解析：C 【解析】0,tan 02xx π<∴，()21cos28sin sin2x x f x x++=2222cos 8sin 28tan 114tan 24tan 42sin cos 2tan tan tan x x x x x x x x x x++===+≥⨯=，当且仅当1tan 2x =时取等号，函数()21cos28sin sin2x x f x x ++=的最小值为4，选C.5．C解析：C 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可． 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 由23z x y =-得到233zy x =-， 平移直线233zy x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6．C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．7．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．8．B解析：B 【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b +≥ 4= .当且仅当1a b == 时，等号成立．【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．9．B解析：B 【分析】画出可行域，讨论当0a =时,当0a <时，当0a >时三种情况，分别求出目标函数的最值，即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示，两直线交点坐标为：11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭， 当0a =时，z x ay =+无最小值；当0a <时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值，无最小值． 当0a >时，z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值： 21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得3a =，故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.10．C解析：C 【分析】根据不等式的解法，求得集合{}26A x x =-≤≤，{}1B x x =>，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤，{}{}4401B x x x x =->=>，根据集合交集的概念与运算，可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.11．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()22332x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩ ∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（解析：2【分析】由条件化简可得218a b =，利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ，满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==，所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-，所以218a b =，由均值不等式知，22a b +≥=， 当且仅当2a b =，即a =，4b =时等号成立.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】作出可行域利用表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围再根据函数的单调性可得的范围【详解】作出可行域如图内部（含边界）表示出可行域内点与原点连线斜率由已知得所以记由勾形函数性质知在上递 解析：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】 作出可行域，利用y x 表示可行域内点与原点连线的斜率求得它的取值范围，再根据函数的单调性可得y x x y +的范围． 【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界），y x 表示出可行域内点与原点连线斜率，由已知得(1,2),(2,1)A B ，2OA k =，12OB k =， 所以1,22y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 1y x t x y t +=+，记1()f t t t =+，由勾形函数性质知()f t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[1,2]上递增，1522f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)2f =，5(2)2f =，∴5()2,2f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是 解析：45 【分析】 画出满足条件的平面区域，结合22(4)z x y =++的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．【详解】画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，的平面区域，如图所示：而22(4)z x y =++()40-，的距离， 显然()40-，到直线240x y -+=的距离是最小值， 由844541d -+==+45， 故答案为455． 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．16．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最 解析：1【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b +=+，结合基本不等式的性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有2212||(0)(20)3C C a b R r =++-=+=，变形可得：2249a b +=， 222222222222222222111111414(4)()(5)(52)1999a b a b a b a b a b a b a b b a b a +=+=++=+++⨯=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1； 故答案为：1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．17．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.18．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三 解析：843+ 【分析】 根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可. 【详解】 如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=. ∴3(3)a c a c +=+1132242(423)843c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当33843c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号. 所以，a +3c 的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.19．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立， 设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-.【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析：4【分析】根据题意，只需m 小于等于111x x +-的最小值即可，利用基本不等式可得111x x +-的最值，进而即可得到结论.【详解】由()0,1x ∈，则()10,1x -∈，11x x +-=， 所以，()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭， 当且仅当11x x x x -=-，即12x =时取等号， 所以，4m ≤，即m 的最大值为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，以及恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于基础题.三、解答题21．（1）13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭；（2）62a -≤≤． 【分析】（1）先由一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系即得结果； （2）开口向上的二次函数大于等于恒成立，只需限定判别式0∆≤，即解得参数范围.【详解】解：（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}|23x x <<，所以 2 3x x ==，是方程20x ax b -+=的解由韦达定理得： 5 6a b ==，， 故不等式210bx ax -+>为26510x x -+>，解不等式26510x x -+>得其解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭ （2）当3b a =-时，2()30f x x ax a =-+-≥恒成立，则2Δ4(3)0a a =--≤，即24120a a +-≤，解得62a -≤≤，所以实数a 的取值范围为62a -≤≤．【点睛】二次函数2()f x ax bx c =++的恒成立问题的解决方法：（1）0a >时()0f x ≥在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立；（2）0a <时()0f x ≤在R 上恒成立等价于对应方程的判别式Δ0≤成立．22．每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【分析】设提价后每本杂志的定价为x 元，根据销售总收入等于销售价格乘以销售量，即可得到销售总收入为 2.58000020000.1x x -⎛⎫-⨯⋅ ⎪⎝⎭，再根据题意列出不等式2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，求解即可． 【详解】设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，即2213200x x -+≤ 解得，2.54x ≤≤所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【点睛】本题主要考查函数在生活中的应用，以及一元二次不等式的解法应用，属于基础题． 23．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18.【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b +=-有意义， 则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥，即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥，又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b +=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞， 所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤， 又13(3)()103()b a a b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 当且仅当1338a b a b +=+=时取“=”，即a =32b +=或a =，b = 所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b a ab a b+=+≤ 所以22a b ab+的最大值为18. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.24．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃．【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解.【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=，整理得5100m +=，解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<． ①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ，则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.25．（1）12a b =⎧⎨=⎩；31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）答案见解析. 【分析】（1）由已知结合二次不等式的解集端点与二次方程的根的关系即可求解；（2）结合二次不等式的求解对a 进行分类讨论即可求解．【详解】（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根， 则312b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩ 不等式230bx ax --<即为2230x x --<，解得312x -<<， ∴31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（2）不等式2()0ax ac b x bc -++<，即为2(2)20x c x c -++<， 即(2)()0x x c --<.①当2>c 时，2x c <<；②当2c <时，2c x <<；③当2c =时，原不等式无解.综上知，当2>c 时，原不等式的解集为{}2xx c <<∣； 当2c <时，原不等式的解集为{}2xc x <<∣； 当2c =时，原不等式的解集为∅.【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系的应用及含参不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．26．（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭，. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =- （2）∵不等式的解集为R∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k 的取值范围是(-∞， 【点睛】 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式 与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(答案解析)
一、选择题1．设x ，y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1，则56a b+的最小值为（ ） A ．64B ．81C ．100D ．1212．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-53．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2B ．1CD ．4．已知函数()()log 31a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．23B ．43C ．2D ．45．已知实数x y 、满足不等式组21010x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4,则实数m 的取值范围是 A．(B．⎡⎣ C．⎡⎤⎣⎦D ．[6．设x ，y 满足约束条件103030x y x y y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．-1B ．2C ．4D ．57．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．a b b a> 8．已知,20a b c a b c >>++=，则ca的取值范围是（ ） A ．31ca-<<- B ．113c a -<<- C ．21ca-<<- D ．112c a -<<-9．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭10．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） A．720+B．720- C．720+ D．720-11．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |12．若实数,x y 满足约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．8D ．12二、填空题13．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 14．已知不等式24xa x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立,则实数a 的范围为_______． 15．已知0,0ab >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________.17．已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是________________.18．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．已知函数245x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图像横过定点P ，若点P 在直线20Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为_________． 三、解答题21．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤)，调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ，技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由. 22．已知函数2(1)2f x x x =++（1）求关于x 的不等式2()(0)f x b b ≥≥的解集；（2）若不等式22[()]2()10f x mf x m -+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立，求m 的取值范围．23．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？24．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？25．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)26．某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（1）设矩形温室的一边长为x 米，请用S 表示蔬菜的种植面积，并求出x 的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最优解，从而得,a b 的关系式561a b +=，然后用“1”的代换，配凑出积为定值，用基本不等式得最小值． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图，ABC 内部（含边界），作直线直线0ax by += ，z ax by =+中，由于0,0a b >>，ab是直线的纵截距，直线向上平移时，纵截距增大， 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时，z 取得最大值， 则561a b +=， 所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当111a b ==时，等号成立，故56a b+的最小值为121． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值．解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式，然后用“1”的代换凑配出定值，再用基本不等式求得最小值．求最值时注意基本不等式的条件：一正二定三相等，否则易出错．2．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫---⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）()()a b a c ++2， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．C解析：C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标，代入直线方程得,m n 的关系，从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值．令31+=x ，2x =-，(2)1f -=-，∴(2,1)A --，点A 在直线40mx ny ++=上，则240m n --+=，即24m n +=， ∵0mn >，24m n +=，∴0,0m n >>，∴121121414(2)4422444n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时等号成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．5．D解析：D 【分析】将2z x y =-+化为2y x z =+,作出可行域和目标函数基准直线2y x =(如图所示),当直线2y x z =+将左上方平移时,直线2y x z =+在y 轴上的截距z 增大,由图象,得当直线2y x z =+过点A 时,z 取得最大值,联立2010x y m x y ⎧-+=⎨+-=⎩,得2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则22112422m m -+-⨯+≤,解得33m -≤≤;故选D.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6．B【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件103030x y x y y -+⎧⎪-⎨⎪-⎩作出可行域如图，化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过点A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值． 联立1030x y x y -+=⎧⎨-=⎩，解得1(2A ，3)2．z ∴的最小值为13222+=．故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．7．C解析：C 【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11a b>，故A 错误；对于B ，当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a bb a=，故D 错误；故选C. 8．A解析：A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--，再代入不等式a b >，b c >，解这两个不等式，即可得a 与c 的比值关系，联立可求ca的取值范围 【详解】解：因为,20a b c a b c >>++=， 所以0,0a c ><，2b a c =--， 因为a b c >>，所以2a c a --<，即3a c >-，解得3ca>-， 将2b a c =--代入b c >中，得2a c c -->， 即a c <-，得1ca<-， 所以31ca-<<-， 故选：A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，考查不等式性质的应用，考查转化思想，属于中档题9．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．11．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的； 当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.12．C解析：C 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将2z x y =+转化为斜截式，即22x zy =-+，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件40400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的可行域，如图所示，将2z x y =+转化为斜截式，即22x z y =-+，平移直线2xy =-，由图可知当直22x zy =-+经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，由4040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，可得40y x =⎧⎨=⎩，所以2z x y =+的最大值为0248+⨯=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查线性规划求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值，属于基础题.二、填空题13．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7【分析】 根据题中条件，由1222()2212y x y x y y xx y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=， 当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】利用基本不等式求得在的最大值即可求得实数的范围【详解】因为则当且仅当时即等号成立即在的最大值为又由不等式对任意的恒成立所以即实数的范围为故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题其中解 解析：1[,)4+∞. 【分析】 利用基本不等式求得24x x +在[]1,3x ∈的最大值，即可求得实数a 的范围. 【详解】 因为[]1,3x ∈，则211444x x x x =≤=++，当且仅当4x x =时，即2x =等号成立， 即24x x +在[]1,3x ∈的最大值为14， 又由不等式24x a x ≤+对任意的[]1,3x ∈恒成立，所以14a ≥ 即实数a 的范围为1[,)4+∞. 故答案为：1[,)4+∞. 【点睛】 本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得24x x +的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()31993336612b a a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当9b a a b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.16．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三解析：8+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.【详解】如图所示，则ABC 的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=. ∴3(3)a c a c +=+1132242(48c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当338c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即22a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩.所以，a +3c 的最小值为8+43.故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.17．【分析】画出可行域再分析直线取最大值的最优解即可【详解】由约束条件作出可行域如图联立目标函数由图可知过A 时直线在y 轴上的截距最小z 有最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题考查解析：12【分析】画出可行域，再分析直线2z x y =-取最大值的最优解即可.【详解】由约束条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，联立11(,)122y x A x y =⎧⇒⎨+=⎩．目标函数22z x y y x z =-⇒=-由图可知，过A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最大值为12． 故答案为：12【点睛】本题主要考查了线性规划求最大值的问题，考查运算求解能力和数形结合思想，属于基础题. 18．【分析】求出的最大值然后解相应的不等式即可得【详解】由得或故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立问题根据参数出现的位置首先求出三角式的最大值然后只要解不等式即可得这实质上就是不等式恒成立问题中的分离 解析：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得． 【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤， 由211322m m ->得13m <-或12m >． 故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了．19．1【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】画出不等式组对应的可行域如图所示由可得数形结合可得当直线过A 时直线在y 解析：1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】画出不等式组对应的可行域，如图所示，由3z x y =-可得3y x z =-，数形结合可得当直线3y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，联立1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得A （1，2），此时z 有最小值为3×1﹣2＝1．故答案为：1【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．20．4【分析】先求出定点的坐标由题得再利用基本不等式求的最小值得解【详解】令所以定点的坐标为所以所以当且仅当时取等号所以的最小值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题考查基本不等式求最 解析：4【分析】先求出定点P 的坐标，由题得22A B +=，再利用基本不等式求12A B +的最小值得解. 【详解】令020,2,451x x y a +=∴=-∴=⨯-=-,所以定点P 的坐标为(2,1)--.所以(2)20,22,0,0,0A B A B A B A B ⨯--+=∴+=⋅>∴>>. 所以121121414(2)()(4)[4]4222A B A B A B A B A B B A B A+=⨯+⨯+=++≥+⋅=. 当且仅当1,12A B ==时取“等号”. 所以12A B+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本题主要考查指数型函数的定点问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题21．（1）最多75人；（2）存在，{}7m ∈.【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由①可得2125x m ≥+，由②可得100325x m x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.【详解】 （1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元，则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >)解得075x ≤≤，4575x ，所以调整后的技术人员的人数最多75人；（2）①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得100325x m x ≤++， 故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤， 又因为4575x ≤≤，当75x =时，225x 取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.22．（1）答案见解析；（2）(,1][5,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）根据条件即[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，再分0b >和0b =两种情况写出不等式的解集.（2）令()t f x =，则[0,4]t ∈，即22210t mt m -+-≥在[0,4]t ∈上恒成立,从而求出答案.【详解】解：（1）由2()f x b ≥得：22210x x b ++-≥，∴[(1)][(1)]0x b x b +++-≥，①当0b >时，11b b -+>--，所以不等式的解集为{1 1}xx b x b ≥-+≤--∣或；②当0b =时，111b b -+=--=-，2(1)0x +≥，所以不等式的解集为R ． （2）函数22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-≥对于任意[2,1]x ∈-都成立等价于min ()0g x ≥，令()t f x =，又∵[2,1]x ∈-，∴[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，由1t m ≥+对[0,4]t ∈恒成立知：1m ≤-，由1t m ≤-对[0,4]t ∈恒成立知：5m ≥， 综上所述，m 的取值范围为(,1][5,)-∞-⋃+∞．【点睛】关键点睛：本题考查解含参数的二次不等式和二次不等式恒成立求参数的范围问题，解答本题的关键是令()t f x =，[0,4]t ∈，则题意等价于22210t mt m -+-≥，即[(1)][(1)]0t m t m -+--≥，所以1t m ≥+或1t m ≤-，属于中档题.23．每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【分析】设提价后每本杂志的定价为x 元，根据销售总收入等于销售价格乘以销售量，即可得到销售总收入为 2.58000020000.1x x -⎛⎫-⨯⋅ ⎪⎝⎭，再根据题意列出不等式2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，求解即可． 【详解】设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为2.58000020002000000.1x x -⎛⎫-⨯⋅≥ ⎪⎝⎭，即2213200x x -+≤ 解得，2.54x ≤≤所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．【点睛】本题主要考查函数在生活中的应用，以及一元二次不等式的解法应用，属于基础题． 24．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x ，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值.【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则..表面积251002544425S x x x x =++⨯=++.. 100242565x x≥++=.. 当且仅当25x x =，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x-'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x-'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.25．(1)3.(2)5.【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元， 则由,可得 ∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出，∴二手车出售后,小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式26．（1）()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 4400x <<；（2）长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【分析】（1）根据矩形温室的一边长为xm ，求出另一边长，然后根据矩形的面积公式表示即可，再由解析式即可列出关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围；（2）直接利用基本不等式可求出面积的最大值，注意等号成立的条件，进而得出矩形温室的长、宽.【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x 米，则另一边长为800x 米， 因此种植蔬菜的区域面积可表示()80042S x x ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭， 由4080020x x->⎧⎪⎨->⎪⎩得： 4400x <<； （2）()8001600 428082808S x x x x =-⋅-=-+≤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎝⎭⎭2808160648m =-=， 当且仅当1600x x=，即()404,400x =∈时等号成立． 因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40米，20米时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为2648m ．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．。
最新人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案
人教版高中数学必修5第三章不等式单元测试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)5、不等式0322>-+x x 的解集是 （ ）A {x|-1＜x ＜3}B {x|x ＞3或x ＜-1}C {x|-3＜x ＜1}D {x|x>1或x ＜-3}6、二次不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数的条件是 （ ）A ⎩⎨⎧>∆>00aB ⎩⎨⎧<∆>00aC ⎩⎨⎧>∆<00aD ⎩⎨⎧<∆<00a2．下列说法正确的是( )A ．a >b ⇒ac 2>bc 2B ．a >b ⇒a 2>b 2C ．a >b ⇒a 3>b 3D ．a 2>b 2⇒a >b3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2)4．不等式x －1x ＋2>1的解集是( )A ．{x |x <－2}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ∈R } 5．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的平面区域的形状为( )A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．正方形7．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 8.已知集合A ＝{x |x 2-x-2<0}，B ＝{x ｜-1<x <1}，则（ ）A. A B ⊆B.B AC. A = BD. A ∩B ＝∅8、已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A 1B 21C 22D 41 10、设b a ,为实数且,3=+b a 则ba22+的最小值是 ( )A 6B 24C 22D 6211、不等式x -2y +6＞0表示的平面区域在直线x -2y +6=0的 ( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 10. 设U =R ，M ={x |x 2-2x ＞0}，则 C U M =（ ）A.[0，2]B.RC.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）12、在直角坐标系内，满足不等式x 2-y 2≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．对于x ∈R ，式子1kx 2＋kx ＋1恒有意义，则常数k 的取值范围是_________．12．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．13．函数f (x )＝x －2x －3＋lg 4－x 的定义域是__________．14．x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤4所围成的平面区域的周长是________．15、不等式255122x x -+>的解集是 .三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知a >b >0，c <d <0，e <0，比较e a －c 与eb －d的大小．17．(12分)解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0； (2)9x 2－6x ＋1≥0; (3) 0322322≤--+-x x x x18．(12分)已知m ∈R 且m <－2，试解关于x 的不等式：(m ＋3)x 2－(2m ＋3)x ＋m >0.19．(12分)已知非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0.(1)在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域； (2)求z ＝x ＋3y 的最大值．19、当1>x 时,求11222-+-=x x x y 的最小值. （12分）20、已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤，求32a b -的取值范围。
(好题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)
一、选择题1．若实数x ，y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，则()222x y +-的最小值为（ ） A ．12 B ．45 C ．92 D ．4192．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．()0,2 D ．[)0,2 3．已知()()22log 1log 24a b -++=，则+a b 的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．34．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则12a b +的最小值为（ ） A ．15 B．8+C ．16 D．8+5．设x ，y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．6-6．设x ，y 满足约束条件22032600,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为12，则22a b +的最小值为（ ）A ．254B ．499C ．14425D ．225497．设,x y 满足约束条件0{4312x y x x y ≥≥+≤，且231x y z x ++=+，则z 的取值范围是（ ） A ．[]1,5 B ．2,6 C ．[]2,10D ．[]3,11 8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( ) A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9> 9．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ）A．B．C ．6 D ．8 10．已知0,0x y >>，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．14B ．4C ．18D ．811．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．912．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t +=+，那么（ ） A ．M N <B ．M N >C ．M ND ．M 与N 的大小关系和t 有关二、填空题13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．14．若,0x y >满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.15．设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z y x =-的最小值是__________．16．已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________． 17．已知实数x ，y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x 2y =-的最大值为______．18．已知0,0a b >>，若313m a b a b+≥+恒成立，则m 的取值范围是_____． 19．已知,x y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则目标函数z x y =-的最大值为_____.20．当x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩时，|2|x y a -≤恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题21．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求,a b 的值；（2）若(1)2,0,0f a b =>>，求19a b+的最小值．22．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数()f x = （1）若()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求实数a 的值； （2）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.25．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3．（1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b a ab26．已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.（1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值；（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】作出可行域，利用()222x y +-的几何意义：表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方．可求得最小值．【详解】作出可行域，如图ABC 内部（含边界）， ()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方，由图可知min 2PM ==，（点M 到直线BC 的距离）∴()222x y +-的最小值是2922⎛= ⎝⎭．故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值．作出可行域是解题的基础．对非线性目标函数，常常利用其几何意义求解，主要有两种类型：（1）22()()x a y b -+-，两点间的距离公式；（2）y b x a--：两点连线斜率， 2．B解析：B【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解.【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4.故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立.3．B解析：B【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=，利用基本不等式可求得+a b 的最小值.【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=，即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1216a b -+=且有10a ->，20b +>，由基本不等式可得()()128a b -++≥=，所以，7a b +≥， 所以(1)(2)16a b -+=，且10a ->，20b +>，当且仅当124a b -=+=时等号成立.因此，+a b 的最小值为7.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．D解析：D 【分析】妙用“1”的代换，利用()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】正实数a ，b 满足231a b +=，则()121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当34b a b a =，即a b ==时等号成立，故12a b +的最小值为8+ 故选：D.【点睛】思路点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用x y +≥，求和的最小值；（2）和定，利用()24x y xy +≤，求积的最大值； （3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.5．C解析：C【分析】作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由23z x y =-得到233z y x =-， 平移直线233z y x =-，当过A 时直线截距最小，z 最大， 由04100y x y =⎧⎨--=⎩ 得到5(,0)2A ， 所以23z x y =-的最大值为max 523052z =⨯-⨯=， 故选C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．6．C解析：C【分析】根据z 的最大值求得,a b 的关系式，结合点到直线的距离公式，求得22a b +的最小值.【详解】由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩. 画出可行域如下图所示，由于0,0a b >>，所以目标函数()0,0z ax by a b =+>>在点()4,3取得最大值4312a b +=.22a b +的最小值等价于原点到直线43120x y +-=的距离的平方，原点到直线43120x y +-=的距离为221212534-=+， 所以22a b +的最小值为212144525⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本小题主要考查根据线性规划的最值求参数，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7．D解析：D【分析】试题分析：作出不等式组0{4312x y x x y ≥≥+≤表示的平面区域，如下图阴影部分所示，目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++表示可行域内的点到()1,1--的连线的斜率，其斜率的最小值为min 1,k =最大值为 ()()max 41501k --==--，所以z 的取值范围是[]3,11，故选D.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.线性规划问题首先要作出准确、清晰的可行域，这是正确解题的前提，其次是找准目标函数的几何意义，常见的有“截距型”、“距离型”和“斜率型”，本题中通过吧目标函数231x y z x ++=+变形可知其表示可行域内的点到点 ()1,1--连线斜率的2倍在加上 1，这样问题就转化为求可行域内的点与定点连线的斜率的范围问题，通过数形结合就容易解答了.8．C解析：C【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜，故选C .【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．D解析：D【分析】 运用基本不等式2422422x y x y +≥=【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D.【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件．10．C解析：C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值．【详解】由题意得，221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立，所以xy 的最大值是18． 故选C ．【点睛】 运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +；,0)2a b a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等．当应用不等式的条件不满足时，要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形，使之满足使用不等式的条件，解题时要特别注意等号成立的条件． 11．D解析：D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ，平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12．A解析：A【分析】对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小.【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()()0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <. 故选：A【点睛】本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.二、填空题13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键解析：9 【分析】由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-,a b 为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即)310≥3≥1≤-（舍去），9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运算能力，属于基础题．14．【分析】化简得到结合基本不等式即可求解【详解】由满足可得则当且仅当时即时等号成立所以的最小值是故答案为：【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常 解析：5【分析】化简35x y xy +=，得到315x y +=，134(34)()531x y x y x y⋅+++=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由,0x y >满足35x y xy +=，可得315x y+=， 则311134(34)()(13123)55y x x y x y y x yx +=⋅++=++⨯11(13(1312)555≥⋅+=+=，当且仅当123y x x y =时，即21x y ==时等号成立，所以34x y +的最小值是5. 故答案为：5.【点睛】通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值.15．【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析：4-【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由z y x =-得y =x+z ，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时，直线y =x+z 的截距最小，此时z 也最小，由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)B ．代入目标函数z y x =-，得044z =-=-． 所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为：4- 【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.16．【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析：【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系，再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣，得0b >，440ab ∆=+=，得1ab =-，又1c b=，所以a c =-，所以0b c +>，由均值不等式得2b c +≥=， 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b cb c =++≥+，当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为：【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.17．-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()（02）目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为：-2点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内解析：-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形，顶点是(0,1) (13,22)（0，2）目标函数2z x y =-，1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0，1)，有最大值-2， 故得到答案为：-2.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．18．【分析】先将问题转化为恒成立再结合基本不等式求解即可得答案【详解】解：根据题意若恒成立等价于恒成立由于当且仅当即时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题是基础题 解析：(],12-∞【分析】 先将问题转化为()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，再结合基本不等式求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，0,0a b >>，若313m a b a b +≥+恒成立等价于()313a b m a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由于0,0a b >>，()3199933366212b a a a b b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b=，即3a b =时等号成立. 所以12m ≤故答案为：(],12-∞ 【点睛】本题考查利用基本不等式解决恒成立问题，是基础题.19．【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示：画出可行域和目标函数则则表示直线在轴的截距的相反数根据图像知当直线过点时即时有最大值为故答案为：【点睛】本题考查了线性规划 解析：2【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，z x y =-，则y x z =-，则z 表示直线在y 轴的截距的相反数，根据图像知当直线过点()2,0时，即2x =，0y =时，z 有最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.20．【分析】先根据条件作出可行域然后求出的取值范围由恒成立即即可得出答案【详解】由满足作出可行域如图设则表示直线在轴上的截距的相反数则由得当直线过点时有最大值4当直线过点时有最小值所以所以故答案为：【点解析：)4，⎡+∞⎣ 【分析】先根据条件作出可行域，然后求出2z x y =-的取值范围，由|2|x y a -≤恒成立，即max |2|x y a -≤，即可得出答案.【详解】由x ，y 满足270101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪⎩，作出可行域，如图.设2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线2y x z =-在y 轴上的截距的相反数.则()()1,0,1,3A C ,由27010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得()3,2B .当直线2y x z =-过点()3,2B 时，z 有最大值4，当直线2y x z =-过点()1,3C时，z 有最小值-1.所以|2|4x y -≤，所以4a ≤故答案为：[)4+∞，. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题和恒成立求参数的问题，属于中档题.三、解答题21．（1）14a b =-⎧⎨=⎩；（2）16．【分析】（1）由不等式()0f x >的解集(1,3)-．1-，3是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由()12f =，得到1a b +=，将所求变形为1(9)()a ba b ++展开，利用基本不等式求最小值． 【详解】解：（1）∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-，1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根，21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩．（2）由于()12f =，0a >，0b >， 则可知232a b +-+=， 得1a b +=，所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=， 当且仅当9b aa b=且1a b +=， 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立，所以19a b +的最小值为16. 【点睛】易错点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 22．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 【分析】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++>22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x-'==得，5x =. 当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x -'=为增函数；所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 23．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论； 试题（1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<，当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m=，23x =-， 故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m-<<； 当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m>； 若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-； 若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-； 综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0m =时，不等式的解集为{}3x x -； 当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏. 24．(1) 2a = (2) 7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可知不等式()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解. （2）()f x 的定义域为R ，可知不等式()()221120a x a x ---+≥恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即()()221120a x a x ---+≥的解集为2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故()()()()22210221*********a a a a a ⎧-<⎪⎪⎛⎫-⋅---+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪---+=⎩，解得2a =；（2）()f x 的定义域为R ，即()()221120ax a x ---+≥恒成立，当210a -=时，1a =±，经检验只有1a =满足条件；当210a -≠时，()()222101810a a a ⎧->⎪⎨∆=---≤⎪⎩，解得7,19a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭， 综上，7,19a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强. 25．（1）45；（2）证明见解析【分析】 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.【详解】（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，，∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a bb aab，需证2292a b +≥，因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a bb a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 【点睛】本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.26．（1）25-；（2）6⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，-. 【分析】（1）由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】（1）∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k < ∴25k =-（2）∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴k<-6∴k的取值范围是(-∞，【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。
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自我小测
1．如图所示，P是球O的直径AB上的动点，P A＝x，过P点且与AB垂直的截面面积记为y，则y＝f(x)的大致图象是()．
2．乘某种出租车，行程不足4千米时，车票10.40元，行程不足16千米时，大于或等于4千米的部分，每0.5千米车票0.8元，计程器每0.5千米计一次价．例如当行驶路程x(千米)满足12≤x≤12.5时，按12.5千米计价；当12.5≤x＜13时，按13千米计价．若某人乘车从A到B共付费28元，则从A地到B地行驶的路程m(千米)满足()．A．10.5≤m＜11 B．11≤m＜11.5
C．14.5≤m＜15 D．15≤m＜15.5
3．一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下关系：y＝－2x2＋220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产摩托车数量的范围为()．
A．{x|41≤x≤49，x∈N}
B．{x|51≤x≤59，x∈N}
C．{x|61≤x≤69，x∈N}
D．{x|71≤x≤79，x∈N}
4．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：
方案(1)：先降价a%，再降价b%；
方案(2)：先降价b%，再降价a%；
方案(3)：先降价%2a b +，再降价%2
a b +； 方案(4)：一次性降价(a ＋b )%.
其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( )．
A ．方案(1)
B ．方案(2)
C ．方案(3)
D ．方案(4)
5．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n 年维修费用约为0.2n 万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在______年后报废损失最小．
6．定义域为[－1,1]的函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，其值域既有正数也有负数，则实数k 的取值范围是______．
7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝______吨．
8．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110(元)．设购买商品得到的优惠率＝购买商品获得的优惠额商品的标价
.试问： (1)若购买一件标价为1 000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
(2)对于标价在[500,800](元)内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13
的优惠率？
参考答案
1. 答案：A 不妨设球的半径为R (常数)．∵P A ＝x ，∴OP ＝R －x .∴截面圆的半径
r ==∴y ＝πr 2＝2πRx －πx 2(0≤x ≤R )，故选A.
2. 答案：D 可以根据条件首先判断出m 的大致范围，然后代入验证即可．当m ＝15时，付费10.40＋(15－4)×2×0.8＝28元．故选D.
3. 答案：B 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车．根据题意，得－2x 2＋220x ＞6 000.
移项整理，得x 2－110x ＋3 000＜0.因为Δ＝100＞0，所以方程x 2－110x ＋3 000＝0有两个实数根x 1＝50，x 2＝60.由二次函数y ＝x 2－110x ＋3 000的图象得不等式的解集为50＜x ＜60.
因为x 只能取整数值，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在{x |51≤x ≤59，x ∈N }内时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．
4. 答案：C 设原来的价格为1，按四种方案降价后的价格分别为：
方案(1)：(1－a %)(1－b %)，
方案(2)：(1－b %)(1－a %)，
方案(3)：2(1%)2
a b +-， 方案(4)：1－(a ＋b )%.
很明显(1－a %)(1－b %)＝(1－b %)(1－a %)＜
221%1%()(1%)22
a b a b -+-+=-. 又(1－
%2a b +)2－[1－(a ＋b )%]＝(%2a b +)2＞0， ∴按方案(3)降价后的价格最高．
故降价幅度最小的是方案(3)．
5. 答案：12 年平均值14.40.90.2(12)n n y n +++++=…＝14.4n
＋0.1n ＋1≥3.4，
当且仅当14.4
0.1n
n
=，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．
6.答案：(－1，
1
3
-)由已知可得f(x)＝kx＋2k＋1是单调函数，其值域既有正数也有
负数，应有f(－1)·f(1)＜0，且k≠0，即(k＋1)(3k＋1)＜0，且k≠0.所以－1＜k＜
1 3 -.
7.答案：20某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400
x
次，
运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为
(400
x
·4＋4x)万元，而
400
x
·4＋4x≥160，当且仅当
1600
4x
x
=，即x＝20时，一年的总运
费与总存储费用之和最小．
8.答案：解：(1)10000.2130
33%
1000
⨯+
=.
(2)设商品的标价为x元，则500≤x≤800，消费额：400≤0.8x≤640.
由已知，得
0.2601
3 4000.8500
x
x
x
+
⎧
≥
⎪
⎨
⎪≤<
⎩
，
①
或
0.21001
3 5000.8640.
x
x
x
+
⎧
≥
⎪
⎨
⎪≤≤
⎩
，
②
不等式组①无解，
不等式组②的解集为625≤x≤750.
因此，当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时，可得到不少于1
3
的优惠率．。