河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(一)
河北省邯郸市2017-2018学年高二数学上学期期中试题
河北省邯郸市2017-2018学年高二数学上学期期中试题考试范围 必修五，简易逻辑；考试时间：120分钟；注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x |x 2-2x -3＜0}，集合B={x |12+x ＞1}，则∁B A=（ ） A. [3，+∞） B. （3，+∞）C. （-∞，-1]∪[3，+∞）D. （-∞，-1）∪（3，+∞）2.已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+a 9=20，则4a 5-a 7=（ ）A. 20B. 30C. 40D. 503.在△ABC 中，若acos C+ccos A=bsin B ，则此三角形为（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形4.已知命题p ：（x -3）（x +1）＞0，命题q ：x 2-2x +1＞0，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 5-a 72+2a 9=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则log 2（b 5b 9）=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 86.下列函数中，最小值为4的是（ ）A.y =log 3x +4log x 3B. y =x x e e -+4C. y =sinx +（0＜x ＜π）D. y =x +7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=5，那么2+2的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 2D.8.已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则实数a的取值范围是（）A. {a|-1≤a≤1}B. {a|a≤-1}C. {a|a≤-1或a≥1}D. {a|a≥1}9.若a＜b＜0，则下列不等式：①|a|＞|b|；②；③；④a2＜b2中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b-c=2acos C，sin C=，则△ABC的面积为（）A. B. C.或 D.或11.定义为n个正数P1，P2…P n的“均倒数”，若已知正整数数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A. B. C. D.12.给出下列命题：①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a＞b＞0，则”的逆否命题；④“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为（）A. ①②③B. ①②④C. ②④D. ①②③④第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是 ______ ．14.如图所示，为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为 ______ 米．15.若变量x ，y 满足约束条件，则的最大值为 ______ ．16.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意p 、q ∈N *，都有a p +q =a p +a q ，则f （n ）=（n ∈N *）的最小值为 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 2，a 3+1，a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =a n +log 2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在△ABC 中，已知三内角A ，B ，C 成等差数列，且sin （+A ）=．（1）求tan A 及角B 的值；（2）设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =5，求b ，c 的值．19.（1）若x ＞0，y ＞0，且+=1，求xy 的最小值．（2）已知x ＞0，y ＞0，满足x +2y =1，求的最小值．20.解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax )0(>a ．21.命题p ：不等式x 2-（a +1）x +1＞0的解集是R ．命题q ：函数f （x ）=（a +1）x 在定义域内是增函数．若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，)(212*N n a S n n ∈-=，数列}{n b 满足,11=b 点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上.(1)求数列}{n a ，}{n b 的通项n a ，n b ；(2)令n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n T ；(3)若0>λ，求对所有的正整数n 都有nn a b k 2222>+-λλ成立的k 的范围．答案和解析【答案】1.A2.A3.C4.A5.C6.B7.A 8.A 9.C 10.C 11.C 12.A13.-214.15.316.17.解：（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：a2=2．∴a1==1．∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．（Ⅱ）b n=a n+log2a n+1=2n-1+n，T n=b1+b2+b3+…+b n=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）==．18.解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cos A=，∴sin A==，∴tan A==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A，即25=49+c2-11c，解得c=3或c=8，∵cos A=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．19.解：（1）∵x＞0，y＞0，且+=1∴：1=+=，可得：，当且仅当8x=2y，即x=4，y=16时取等号．那么：xy≥64故：xy的最小值是64：．（2）∵x＞0，y＞0，x+2y=1，那么：=（）（x+2y）=1+≥3+2=3+．当且仅当x=y，即x=，y=时取等号．故：的最小值是：3+．20.解：由ax2-（a+1）x+1＜0，得（ax-1）（x-1）＜0；∵a＞0，∴不等式化为，令，解得；∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜}；当a=1时，原不等式的解集为∅；当a＞1时，原不等式的解集为．21.解：∵命题p：不等式x2-（a+1）x+1＞0的解集是R∴△=（a+1）2-4＜0，解得-3＜a＜1，∵命题q：函数f（x）=（a+1）x在定义域内是增函数．∴a+1＞1，解得a＞0由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可知p，q一真一假，当p真q假时，由{a|-3＜a＜1}∩{a|a≤0}={a|-3＜a≤0}当p假q真时，由{a|a≤-3，或a≥1}∩{a|a＞0}={a|a≥1}综上可知a的取值范围为：{a|-3＜a≤0，或a≥1}22. (1)解:,当时，,,是首项为，公比为2的等比数列.因此,当时,满足,所以.因为在直线上，所以,而,所以.(2)解: ，③因此④③-④得：，.(3)证明:由(1)知,数列为单调递减数列；当时，.即最大值为1.由可得，而当时，当且仅当时取等号，.【解析】1. 解： A={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，B={x|2x+1＞1}={x|x＞-1}，C B A=[3，+∞）．故选A．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得C B A．此题是个基础题．考查对集合的理解和二次函数求值域以及对数函数定义域的求法，集合的补集及其运算．2. 解：∵等差数列{a n}中，a1+a3+a9=20，∴a1+a1+2d+a1+8d=3a1+10d=20，4a5-a7=4（a1+4d）-（a1+6d）=3a1+10d=20．故选：A．利用等差数列通项公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的通项公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3. 解：在△ABC中，由acos C+ccos A=bsin B以及正弦定理可知，sin A cos C+sin C cos A=sin2B，即sin（A+C）=sin B=sin2B．∵0＜B＜π，sin B≠0，∴sin B=1，B=．所以三角形为直角三角形．故选：C．由已知以及正弦定理可知sin A cos C+sin C cos A=sin2B，化简可得sin B=sin2B，结合B的范围可求B=，从而得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．4. 解：由p：（x-3）（x+1）＞0，得x＜-1或x＞3，∴命题q：x2-2x+1＞0，解得x≠1，显然前者可以推出后者，后者不能推出前者．故选：A．先分别化简，再根据定义或者集合之间的包含关系可以求解．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．5. 解：∵公差不为零的等差数列{a n}中，2a5-a72+2a9=0，∴，∴a7=4，∵数列{b n}是等比数列，且b7=a7，∴b7=4，，∴log2（b5b9）=log216=4．故选：C．由已知条件推导出b7=4，，由此能求出log2（b5b9）．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列、对数性质的合理运用．6. 解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确B．∵e x＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1-＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．x＜0时，y＜0，不正确．故选：B．A.0＜x＜1时，y＜0，即可判断出正误；B．由e x＞0，利用基本不等式的性质即可判断出正误．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，利用导数研究其单调性即可判断出正误．D．x＜0时，y＜0，即可判断出正误．本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 解：由等差数列的前n项和公式S5==5，即a1+a5=2，由＞0，＞0+≥•==22=4，当且仅当=，即a1=a5=1，取“=”，∴+的最小值4，故选：A．根据等差数列的前n项和，S5==5，即a1+a5=2，根据基本不等式的性质知+≥•==22=4，即可求得+的最小值4．本题考查等差数列前n项和公式，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．8. 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足-a≥k BC=-1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k BA=1∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]故选：A．由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．9. 解：对于①，根据不等式的性质，可知若a＜b＜0，则|a|＞|b|，故正确，对于②若a＜b＜0，两边同除以ab，则＜，即＜，故正确，对于③若a＜b＜0，则＞0，＞0，根据基本不等式即可得到；故正确，对于④若a＜b＜0，则a2＞b2，故不正确，故选：C根据不等式的性质即可判断．本题考查不等式的性质，属于基础题．10. 解：∵2b-c=2acos C，∴由正弦定理可得2sin B-sin C=2sin A cos C，∴2sin（A+C）-sin C=2sin A cos C，∴2cos A sin C=sin C，∴cos A=∴A=30°，∵sin C=，∴C=60°或120°A=30°，C=60°，B=90°，a=1，∴△ABC的面积为=，A=30°，C=120°，B=30°，a=1，∴△ABC的面积为=，故选：C．2b-c=2acos C，利用正弦定理，求出A；sin C=，可得C=60°或120°，分类讨论，可得三角形面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．11. 解：∵=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1），∴n≥2时，a n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1．n=1时，a1=3，对于上式也成立．∴a n=4n-1．∴b n==n．∴==．则++…+=+…+=1-=．故选：C．=，可得a1+a2+…+a n=n（2n+1），利用递推关系可得a n=4n-1．可得b n==n.==．再利用裂项求和方法即可得出．本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：①命题“若b2-4ac＜0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题是“若b2-4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根”，是正确的；②命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题是“△ABC是等边三角形，则AB=BC=CA”，是正确的；③命题“若a＞b＞0，则”是正确的，∴它的逆否命题也是正确的；④命题“若m≥1，则mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R”的逆命题是“若mx2-2（m+1）x+（m+3）＞0的解集为R，则m≥1，∵不等式的解集为R时，∴的解集为m＞1，∴逆命题是错误的；∴正确命题有①②③；故选：A根据题意，按照要求写出命题①、②、③、④的否命题、逆命题或逆否命题，再判定它们是否正确．本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判定问题，是基础题．13. 解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤-2，当且仅当，即a=b=-1时取等号，∴a=b=-1时，a+b取最大值-2．故答案为：-2．由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键．14. 解：设AB=hm，则BC=h，BD=h，则h-h=20，∴h=m，故答案为．利用AB表示出BC，BD．让BD减去BC等于20即可求得AB长．本题主要考查了三角函数的定义，根据三角函数可以把问题转化为方程问题来解决．15. 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则的几何意义为动点P到定点Q（-1，-2）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==3，故答案为：3．作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键．16. 解：∵对任意p、q∈N*，都有a p+q=a p+a q，令p=n，q=1，可得a n+1=a n+a1，则-a n=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．∴S n=2n+=n+n2．则f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1-=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．又f（7）=14+，f（8）=14+．∴f（7）＜f（8）．∴f（n）=（n∈N*）的最小值为．故答案为：．对任意p、q∈N*，都有a p+q=a p+a q，令p=n，q=1，可得a n+1=a n+a1，则-a n=2，利用等差数列的求和公式可得S n．f（n）===n+1+-1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.（ I）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，由公比为2，把a3、a4用a2表示，求得a2，进一步求出a1，数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）利用已知条件转化求出数列的通项公式，然后求解数列的和即可．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．18.（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tan A．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．本题考查了正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．19.（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．20.由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．21.由题意可得p，q真时，a的范围，分别由p真q假，p假q真由集合的运算可得．本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法和指数函数的单调性，属基础题．22. 本题考查了数列求和,等差数列的通项公式,错位相减法和不等式恒成立问题. (1)利用数列求和中的的关系得,再利用等差数列的通项公式得结论. (2)利用错位相减法计算得结论. (3)利用不等式恒成立问题得结论.。
河北省邢台市2018年10月2017～2018学年度高二第一学期期中考试文科数学及参考答案教师专用
2017～2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若直线过圆的圆心,则的值为( )A. -1B. 1C. 3D. -3【参考答案】B分析:圆x2＋y2＋2x-4y＝0的圆心为(-1,2)代入直线3x＋y＋a＝0,解方程求得a的值.解答:圆x2＋y2＋2x-4y＝0的圆心为(-1,2),代入直线3x＋y＋a＝0得:-3＋2＋a＝0,∴a＝1,故选C。
本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法,用待定系数法求参数的取值范围2. 设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是( )A. 若方程有实根,则B. 若方程有实根,则C. 若方程没有实根,则D. 若方程没有实根,则【参考答案】D知识考查点:四种命题.3. 命题“存在,”的否定是( )A. 不存在,B. 存在,C. 对任意的,D. 对任意的,【参考答案】D特称命题的否定是全称命题,所以为“对任意的,”,故选D。
4. 若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【参考答案】C由题意可得,解得,选D.直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断:当d>r时,直线与圆相离,当d＝r时,直线与圆相切,当d<r时,直线与圆相交。
5. 设是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【参考答案】B充分性:若,则存在过直线的平面与不平行,所以充分性不成立；必要性:若,则平面内的任意直线都与平行,则必要性成立,所以是必要不充分条件。
故选B。
6. 圆和圆的位置关系是( )A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切【参考答案】A两圆的方程可化为,两圆心距离.由两圆之间位置关系的判定可知两圆相交.故本题答案选.7. 已知直线,平面,且,,给出下列四个命题:①若,则；②若,则；③若,则；④若,则.其中正确的命题个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【参考答案】B【试题解析】对①,若∥,又,所以.又,,正确；对②,、可以平行,也可以相交,故错；对③,若,则、有可能平行,也有可能异面,也有可能相交,故错；对④,若∥,因为,所以.又,所以.正确.知识考查点:空间直线与平面的位置关系.8. 已知条件,条件直线与圆相切,则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【参考答案】B:,解得,所以是的必要不充分条件,根据逆否关系同真假,则是的必要不充分条件。
河北省邢台市2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
2017-2018学年度第一学期高二期中考试文科数学试题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1. 若直线过圆’厂2■■: \ ■的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0,解方程求得a的值.2 2解答：圆x +y +2x-4y=0的圆心为（-1, 2）,代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0,「. a=1,故选Co点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围2. 设：：：E I-;，命题"若•，则方程.■ x' ：■ ■ :■- =「:有实根”的逆否命题是（）A. 若方程:;有实根，则•B. 若方程• J ：…='二有实根，则C. 若方程V- .■- :没有实根，则•D. 若方程:没有实根，则-【答案】D【解析】试题分析：原命题的逆否命题是：若方程/ + x-m = 0没有实根，则m 0 ,故选D.考点：四种命题.3. 命题“存在：-, ”的否定是（）A.不存在 _______________________B.存在儿，C.对任意的!，::叮 ___________D.对任意的!,【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题,所以为对任意的比ER, 故选D。
4. 若直线匚-丫十.-■?与圆：：；/：_「=「有公共点，则实数的取值范围是（）A. | - ■ IB. | 打C. | .■■.! ID. -J'：.-【答案】C|a卜1|厂【解析】由题意可得•，，解得' ：i I，选D.【点睛】直线与圆位置关系一般用圆心到直线距离d与半径关系来判断：当d>r时，直线与圆相离，当d=r时，直线与圆相切，当d<r时，直线与圆相交。
河北省邢台市2017-2018学年高二(上)期中数学模拟试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣23．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=04．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．36．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．7．若有以下说法：①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥．其中正确的说法序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=09．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．19．（12分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，E，F分别为PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；（Ⅱ）求异面直线PC与AE所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF与棱PC交于点M，求的值．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．2017-2018学年河北省邢台市高二（上）期中数学mn试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共11小题，满分55分，每小题5分）1．设圆C1：x2+y2=1 与C2：（x﹣2）2+（y+2）2=1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径之间的关系进行判断即可．【解答】解：圆心C1：（0，0），C2：（2，﹣2），半径R=1，r=1，则|C1C2|===4＞1+1，即圆C1与C2的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题主要考查圆与圆位置关系的判断，结合圆心距和半径之间的关系是解决本题的关键．2．已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．【解答】解：∵空间平面向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．3．过点P（2，1）且被圆C：x2+y2﹣2x+4y=0 截得弦长最长的直线l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0B．3x+y﹣7=0C．x﹣3y+5=0D．x+3y﹣5=0【分析】当过点P的直线过圆心时，截得的弦长正是圆的直径，为弦长最长的情况，进而根据圆的方程求得圆心坐标，根据圆心和点P的坐标求得所求直线的方程．【解答】解：依题意可知过点P和圆心的直线被圆截得的弦长最长，整理圆方程得（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆心为（1，﹣2）．又P（2，1）和圆心（1，﹣2），可求出过点P和圆心的直线的斜率为k==3∴过点P和圆心的直线方程为y﹣1=3（x﹣2），整理得3x﹣y﹣5=0故选：A．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．4．圆（x+1）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．外切C．相交D．相离【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+1）2+y2=4的圆心C（﹣1，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心M（2，1），半径R=3．∴|CM|==，R﹣r=3﹣2=1，R+r=3+2=5．∴R﹣r＜＜R+r．∴两圆相交．故选：C．【点评】本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．5．设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】判断原命题的真假，即可得到逆否命题的真假，判断逆命题的真假即可得到否命题的真假，即可得到结果．【解答】解：命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，显然不正确，如果这无数条直线是平行线，两个平面可能平行；所以原命题是假命题；则逆否命题是假命题；命题的逆命题是：平面α与β平行，则平面α内有无数条直线与平面β平行，是真命题，所以否命题也是真命题，故真命题的个数是2．故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断，四种命题的真假关系，直线与平面，平面与平面平行的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P ﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A．B．C．D．【分析】AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC 上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角．【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC 为球O 的直径，当三棱锥P ﹣ABC 的体积最大时，△ABC 为等腰直角三角形，P 在面ABC 上的射影为圆心O ，过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，连结PD ，则∠PDO 为二面角P ﹣AB ﹣C 的平面角，在△ABC △中，PO=2，OD=BC=，∴，si nθ=．故选：C ．【点评】本题考查了与球有关的组合体，关键是要画出图形，找准相应的线线、线面位置关系．属于难题．7．若有以下说法： ①相等向量的模相等；②若和都是单位向量，则=；③对于任意的和，|+|≤||+||恒成立；④若∥，∥，则∥． 其中正确的说法序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【分析】根据向量相等的定义，可得①正确；根据单位向量的定义，得到②不正确；根据向量加法法则，可得不等式|+|≤||+||恒成立，从而③正确；根据零向量与任意非零向量平行，可得④不正确．由此即可得到本题的答案．【解答】解：根据定义，大小相等且方向相同的两个向量相等． 因此相等向量的模相等，故①正确； 因为单位向量的模等于1，而方向不确定．所以若和都是单位向量，则不一定有=成立，故②不正确；根据向量加法的三角形法则，可得对于任意的和，都有|+|≤||+||成立，当且仅当和方向相同时等号成立，故③正确；若=，则有∥且∥，但是∥不成立，故④不正确．综上所述，正确的命题是①③故选：A．【点评】本题给出关于向量概念的几个命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了向量的定义、单位向量和向量的加减法法则等知识，属于中档题．8．圆x2+y2+4y=0与直线3x+4y+2=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x﹣3y﹣6=0B．4x+3y+6=0C．3x+4y+8=0D．4x﹣3y﹣2=0【分析】由题意可得所求直线为垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得斜率，进而可得方程．【解答】解：由直线和圆的位置关系可得：线段AB的垂直平分线是垂直于直线3x+4y+2=0且过圆心（0，﹣2）的直线，由直线的垂直关系可得所求直线的向量为，故方程为：y﹣（﹣2）=（x﹣0），即4x﹣3y﹣6=0故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，得出直线过圆心且垂直于已知直线，是解决问题的关键，属中档题．9．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△PAB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面PADD．面PAD与面PBC的交线与BC平行【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理判断D的正误．【解答】解：画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△PAB是等腰三角形，BE与PA的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面PAD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选：C．【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．10．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2B．2C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选：A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．11．如图（二），需在正方体的盒子内镶嵌一个小球，使得镶嵌后三视图均为图（一）所示，且面A1C1B 截得小球的截面面积为，则该小球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，根据平面A1BC1是正三角形，所求截面的面积是该正三角形的内切圆面积，由此求出内切圆的半径和面积，即可求出内接球半径a和体积．【解答】解：设正方体盒子的棱长为2a，则内接球的半径为a，平面A1BC1是边长为2a的正三角形，且球与以点B1为公共点的三个面的切点恰为△A1BC1三边的中点，∴所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△A1BC1内切圆的半径是a×tan30°=a，则所求的截面圆的面积是π×a×a=a2=a=1•13=．∴该小球的体积为V球=故选：B．【点评】本题考查了正方体和它的内接球几何结构特征的问题，关键是想象出截面图的形状，是中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）12．直线y=x+1与圆x2+y2+2y﹣3=0交于A，B两点，则|AB|=2．【分析】求出圆的圆心与半径，通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可．【解答】解：圆x2+y2+2y﹣3=0的圆心（0，﹣1），半径为：2，圆心到直线的距离为：=，所以|AB|=2=2．故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查计算能力．13．已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=0，可得tanθ=．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案为：．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．如图甲是一个正三棱柱形的容器，高为2a，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面，则图甲中水面的高度为．【分析】先求出乙图中水的体积，然后求出甲图中水的高度即可．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，将图乙竖起得图丙，V=S•2a﹣（S）•2a=aS．则V水=V柱﹣设图甲中水面的高度为x，则S•x=aS，得x=a．故答案为：【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是基础题．15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为直线l：kx﹣y+4=0上一点，点M，N在圆C：（x﹣1）2+y2=4上运动，且满足|MN|=2，若=，则实数k的取值范围是．【分析】首先由向量相等得到四边形OMPN为平行四边形，可得到线段MN和线段OP的重点重合，并设这两条线段的重点为点Q（x 0，y0），可得出点P的坐标，并将点P的坐标代入直线方程，可得到点Q所在直线方程为kx﹣y+2=0，其次利用勾股定理得到CQ=，转化为圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离小于或等于，利用点到直线的距离公式列有关k的不等式解出k的取值范围即可．【解答】解：易知，圆心C的坐标为（1，0），设线段MN的中点为点Q（x0，y0），由于，所以四边形OMPN为平行四边形，则点Q也是线段OP的中点，则点P的坐标为（2x0，2y0），点P在直线kx﹣y+4=0上，则有2kx0﹣2y0+4=0，化简得kx0﹣y0+2=0，所以，点Q在直线kx﹣y+2=0上，由于点Q是线段MN的中点，所以，CQ⊥MN，且CQ=，可视为圆心C到直线kx﹣y+2=0上一点的距离等于，所以，圆心C到直线kx﹣y+2=0的距离，即，化简得2k2﹣4k﹣1≥0，解得或，故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，主要是将向量的关系进行转化，其次就是将两点间的距离转化为点到直线的距离，是解本题的关键，属于难题．三．解答题（共6小题，满分70分）16．（10分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．【分析】由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的侧棱长4cm，上下底面正三角形的高为2cm，由此能求出该三棱柱的表面积和体积．【解答】解：由正三棱柱的三视图知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA′=BB′=CC′=4cm，（2分）正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2cm．（4分）∴正三角形ABC的边长为|AB|==4．（6分）∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8（cm2）．（10分）AA′|=×42×sin60°×4=16（cm3）．体积为V=S底•|故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2，体积为16cm3．（14分）【点评】本题考查由几何体的三视图求几何体的体积、表面积的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．17．（12分）已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为；③圆心在直线x﹣3y=0上，求圆C的方程．【分析】由题意，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，利用弦长公式求解弦长为；可得a的值，即得求圆C的方程．【解答】解：圆心在直线x﹣3y=0上，与y轴相切，设圆心为（3a，a），半径r=3|a|，圆心到直线y=x的距离d=弦长=2，即9a2﹣2a2=7．∴a2=1，即a=±1，3a=±3．∴圆心的坐标C分别为（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用．结合图形进行求解会收到良好的效果．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；（2）求点D到平面PAM的距离．【分析】（1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC =V P﹣ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．【解答】解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下…（1分）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以，在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）又QM⊄面PAD，AD⊂面PAD所以QM∥面PAD…（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由（Ⅰ）可知PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为三棱锥P ﹣ACD 的体高．…（7分）在Rt △POC 中，，，在△PAC 中，PA=AC=2，，边PC 上的高AM=，所以△PAC 的面积，…（9分）设点D 到平面PAC 的距离为h ，由V D ﹣PAC =V P ﹣ACD 得 …（10分），又，所以，…（11分）解得，所以点D 到平面PAM 的距离为．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）如图，在正四棱锥P ﹣ABCD 中，PA=AB ，E ，F 分别为PB ，PD 的中点． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AE 所成角的余弦值；（Ⅲ）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求的值．【分析】（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，则O 为底面正方形ABCD 中心．连接PO ，推导出PO ⊥AC ，BD ⊥AC ，由此能证明AC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）由OA ，OB ，OP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出异面直线PC 与AE 所成角的余弦值．（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，求出平面AEMF的法向量，利用向量法能求出．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）设AC∩BD=O，则O为底面正方形ABCD中心．连接PO．因为P﹣ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD．（1分）所以PO⊥AC．（2分）又BD⊥AC，且PO∩BD=O，（3分）所以AC⊥平面PBD．（4分）（Ⅱ）因为OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．因为PB=AB，所以Rt△POB≌Rt△AOB．所以OA=OP．（6分）设OA=2．所以A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），D（0，﹣2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（0，﹣1，1）．所以=（﹣2，1，1），=（﹣2，0，﹣2）．（7分）所以|cos＜＞|==．即异面直线PC与AE所成角的余弦值为．（9分）（Ⅲ）连接AM．设，其中λ∈[0，1]，则==（﹣2λ，0，﹣2λ），（10分）所以==（﹣2﹣2λ，0，2﹣2λ）．设平面AEMF的法向量为=（x，y，z），又=（﹣2，﹣1，1），所以，即所以y=0．令x=1，z=2，所以=（1，0，2）．（12分）因为AM⊂平面AEF，所以=0，（13分）即﹣2﹣2λ+2（2﹣2λ）=0，解得，所以．（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查线段比值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，考查运用意识，是中档题．20．（12分）求过两圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4的交点．（1）且过M（2，﹣2）的圆C1的方程；（2）且圆心在直线x+y﹣1=0上的圆C2的方程．【分析】（1）设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．由圆C1过点M （2，﹣2），求出λ=1，由此能求出圆C1的方程．（2）设圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，由圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，能求出圆C2的方程．【解答】解：（1）∵圆O1：x2+y2﹣6x=0与O2：x2+y2=4，∴设过两圆交点的圆系方程为（x2+y2﹣6x）+λ（x2+y2﹣4）=0（λ≠﹣1）．∵圆C1过点M（2，﹣2），∴（4+4﹣12）+λ（4+4﹣4）=0，解得λ=1，∴圆C1的方程是x2+y2﹣3x﹣2=0．（2）∵圆C2的方程为（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣6x﹣4λ=0，且圆心C2（，0）在直线x+y﹣1=0上，∴﹣1=0，解得λ=2，∴圆C2的方程是x2+y2﹣2x﹣=0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（III）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DC，PD⊥DC，从而CD⊥平面PAD，由此能证明面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与PB所成角的余弦值．（III）求出平面ACM的法向量和平面BCM的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，∴AD⊥DC，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，∵CD⊂平面PCD，∴面PAD⊥面PCD．解：（Ⅱ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点，∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，2，﹣1），设直线AC与PB所成角为θ，则cosθ===．∴直线AC与PB所成角的余弦值为．（III）A（0，0，0），M（0，1，），C（1，1，0），B（0，2，0），=（1，1，0），=（0，1，），=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，），设平面ACM的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，2），设平面BCM的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，2），设二面角A﹣MC﹣B的平面角为α，则cosα===．∵二面角A﹣MC﹣B是钝二面角，∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。
2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题
年高二上学期期中考试数学试题2017.11本试卷分I 卷选择题（60分）II 卷非选择题（90分）,满分150分，时间120分钟第I 卷（选择题60分）一．选择题：本大题共12个小题每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝()A.15B.59C.53D ．1 2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于()A ．8B ．10C ．12D ．144. 如图从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()1)m －2180(．B 1)m －3240(．A 1)m＋330(．1)m D －3120(．C 5.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin A ＋B sin B＝23，则A ＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知等差数列{a n }的公差为－2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则a 2＝()A ．－4B ．－6C ．－8D ．87．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟8．若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有()A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d9.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝()A ．15B ．12C ．－12D ．－1510. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11. 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则()A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞012. 若直线2ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0的周长，则2a ＋1b 的最小值是()A ．2－2B.2－1C ．3＋22D ．3－2 2第II 卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题横线上 13. 已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.14.已知不等式(k －2)x 2－2(k －2)x －4＜0恒成立，则实数k 的取值范围是________． 15. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．16．在△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 依次成等比数列，则B 的取值范围是________． 三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解不等式f (1)>0 ,求a 的范围(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 18.（本小题满分12分）。
2017-2018年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣23．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．3204．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=17．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．109．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），则A∩B=（0，3）．故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，故选：C．3．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．320【解答】解：数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，∴{a n}设一3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴a20=320，故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：由于：，则：=，又a=2c，利用正弦定理：，解得：，故选：D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c【解答】解：∵a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，∴a﹣b=（2x2+1）﹣（x2+2x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，即a≥b，b﹣c=（x2+2x）﹣（﹣x﹣3）=x2+3x+3=（x+）2+＞0，即b＞c，综上可得：a≥b＞c，故选：A．6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=1【解答】解：椭圆x2=1在长轴上的顶点（0，±2）．所求椭圆的焦点坐标为：（0，±2），设椭圆M的方程为：（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=4，，解得：m2=6，n2=2，即有椭圆M的方程为：．故选：B．7．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．【解答】解：∵公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1，a2=（3a﹣1）×4+2a×2=16a﹣4，a3=（3a﹣1）×9+2a×3=33a﹣9，∵a1，a2，a3成等差数列，∴2a2=a1+a3，即2（16a﹣4）=（5a﹣1）+（33a﹣9），解得a=，∴d=a2﹣a1=（3a﹣1）×4+4a﹣（3a﹣1+2a）=11a﹣3==．故选：B．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．10【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，∴|PA|+|PF|的最大值为6+，故选：C．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设公差是d，若a2=1，a3＞5，则d＞3，故S3+S9=3a2+9（a2+3d）=12+27d＞12+27×3=12+81=93，充分性成立，反之，令a3=4.5，也能推出S3+S9＞93，故S3+S9＞93时，推不出a3＞5，必要性不成立，故选：A．10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵S n=n（2n﹣1）a n，n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，∴a n=n（2n﹣1）a n﹣（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，化为：=．∴a n=•…•••×1=．∴S n=n（2n﹣1）•=，n=1时也成立．故选：C．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里【解答】解：在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，∴∠ACB=45°，由正弦定理得：，即，解得AC=4+4，设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）×=16+8，∴CD==2（+1）．故选：C．12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为﹣1．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时，此时z最小，由，解得A（1，5），此时z=4×1﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．【解答】解：椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2，椭圆长轴长为：2=2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．【解答】解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，则：A+B+C=180°，解得：B=60°，由于：bsinA=6sinB，则：，解得：a=6．若符合条件的三角形有两解，则：a＞b≥asinB，即：，故答案为：．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16= 11．【解答】解：∵a n+1（S n+S n+1）=n，∴（S n+1﹣S n）（S n+S n+1）=n，∴﹣=n，∴=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+12=+1．则=+1=121，S16＞0．∴S16=11．故答案为：11．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，且焦距为8，即c=4，则椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），又由椭圆经过点A（﹣1，3），则2a=+=6，则a=3，又由c=4，则b2=a2﹣c2=2，则要求椭圆的方程为+=1；（2）根据题意，要求椭圆的短轴长为8，即2b=8，则b=4，离心率为，则有e2===1﹣=，解可得a2=25；则要求椭圆的方程为：+=1．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．【解答】解：令g（x）=﹣cos2x+2sinx+3=（sinx+1）2+1，显然g（x）≥1，故p为真时，m≥1；m=0时，f（x）=lg1有意义，m≠0时，只需，解得：0＜m＜4，故q为真时，0≤m＜4，（1）若p∨q为真，则m≥0；（2）若（￢p）∧q为真，则p假q真，则，故m∈[0，1]．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA，利用正弦定理：sinAsinB=3sinBcosA，解得：tanA=3，则：A=arctan3．（2）由tanA=3，解得：sinA=，cosA=，由于：a=7，b=5，利用正弦定理：，解得：sinB=，则：cosB=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．所以：=．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．【解答】解：硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，设这个纸盒的长，宽各为x和y时，则：4xy=80，解得：xy=20．则表面积S=xy+2（4x+4y）≥20+32，当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足a n=2﹣，则有a n+1=3﹣=，变形可得=+，由于b n=，即b n=b n﹣1+，b1==，数列{b n}为等差数列，其首项为，公差为；（2）有（1）可得：b n=，即=，则a n=﹣1，则a n a n+1+a n+a n+1+1=（﹣1）（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1==9（﹣）；则S n=9（1）+9（﹣）+9（﹣）+…+9（﹣）=9（1﹣）=．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：．（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=∴k BM==∴可设直线BN方程为：y=由得，x B+x N=﹣x1+x N=⇒x N=，y N==，∴，∴=﹣+k2x12==0．∴AB⊥AN，即以线段BN为直径的圆经过点A．。
河北省黄骅市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文
2017－2018 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至 4至6 页。
共150分。
考试时间120分钟。
共60 注意事项：应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。
一、选择题（共12）1．已知命题12,:≤+∈∃x R x p A 、012,>+∈∃x R x012>+x C 、012,≥+∈∃x R x012≥+x 2．抛物线28y x =A ．1 B ．．3．已知条件:|1|2p x +>，条件p ⌝是⌝ ）A ．充分不必要条件BC ．充要条件 D4．函数()22ln f x x x =- ) A. (0,1) B. (1，＋∞)－5．执行如图所示的程序框图，输出的 ）A ．B ．2C ．﹣D 26．某学校有体育特长生25人，用分层抽样的方法从）（单位：厘米）[34，36），36，A.45B.60C.75D.9010．已知函数()y xf x ='的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数））(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) B. 240x y +-= D. 280x y +-= ()f x 满足：()()0xf x f x '+<且(1)1f =，则不等式第Ⅱ卷（共 90分）5分，共20分。
)110"a x -+<是假命题，则实数的取值范围是 ． ()2,0，则k =____________． ()120f x x -+，则()1f '=_______．16．设函数23()252x f x x x =--+，若对任意[1,2]x ∈-，都有()f x m >，则实数m 的取值范围是______________．三、解答题：共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知()():32,:110p x q x m x m -≤-+--≤，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18．某校高三年级进行了一次学业水平测试，用系统抽样的方法抽取了50名学生的数学成绩，准备进行分析和研究．经统计，成绩的频率分布直方图如图：；(1)估计成绩在80分以下的学生比例；(2)请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数(精确到0.01)．19.椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点P ，1F 为椭圆的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，定点A （﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若△AMN 面积为MN 的方程．20．已知函数()22ln f x x a x =+．（1）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（2）若函数()()2g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围．21．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . ⑴求实数a 的取值范围；⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB → ，求a 的值．22．已知函数()()ln 1f x x a x =+-， a R ∈．（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若对任意的()0,x ∈+∞，都有()22f x a ≤-，求实数a 的取值范围．四、附加题(共两题，第一题5分，第二题15分，共20分)23. 已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,1,2,3,2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是( )A. (－∞，1]B. [1，＋∞)C. (－∞，2]D. [2，＋∞)24．设,,,x y R i j ∈分别为直角坐标系中与x 轴、y 轴正半轴同方向的单位向量,若向量(2),a xi y j =++(2),b xi y j =+-且||||8a b +=.(Ⅰ)求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)设抛物线3122+-=x y 的顶点为P ,焦点为F .直线l 过点P 与曲线C 交于B A ,两点,是否存在这样的直线l ,使得以AB 为直径的圆过点F ,若存在,求出直线方程；若不存在,请说明理由？黄骅中学2017－2018年度高中二年级第一学期期中考试数学（文科）参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．1. B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．C7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．B二、填空题：每小题5分，共20分．13． 14．1 15．2e 16．（－∞，27）三、解答题：共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）解：由题意p ：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.∴p ⌝：x ＜1或x ＞5.q ：m －1≤x≤m＋1，∴q ⌝：x ＜m －1或x ＞m ＋1.又∵p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件， ∴或∴2≤m≤4. 因此实数m 的取值范围是[2,4]．18．（本小题满分12分）(1)因为（0.004+0.006+0.02+0.03）×10＝0.6，所以估计成绩在80分以下的学生比例为60%. （6分）(2)由频率分布直方图，可知[70,80)这一组对应的小长方形最高，估计众数为75分．设中位数为(70＋x )分，则0.04＋0.06＋0.2＋0. 03x ＝0.5，解得x ≈6.67，估计中位数为76.67分．45×0.04＋55×0.06＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.24＋95×0.16＝76.2，估计平均数为76.2分． （12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由题意可得：=1， =，又a 2=b 2+c 2，联立解得：a 2=6，b 2=2，c=2．∴椭圆C 的方程为：．………………5分（2）F （2，0）．设直线MN 的方程为：my=x ﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m 2+3）y 2+4my ﹣2=0．∴y 1+y 2=﹣，y 1y 2=，………………8分∴|y 1﹣y 2|===．则S △AMN ==3×=3，解得m=±1．∴直线MN 的方程为：y=±（x ﹣2）．………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）由已知f'（2）=1，解得a=﹣3． …………………4分（2）由得，由已知函数g （x ）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x ）≤0在[1，2]上恒成立， 即在[1，2]上恒成立．…………………6分 即在[1，2]上恒成立 令，在[1，2]上……8分 所以h （x ）在[1，2]为减函数.， 所以…………………12分21．（本小题满分12分） 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0. 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2（1－a 2）＞0， 所以 0＜a ＜2且a ≠1. …………………4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0，1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)． 由此得x 1＝512x 2. …………………8分 由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a 2. 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960. 由a ＞0，解得a ＝1713. …………………12分22．（本小题满分12分）解：（I ）()11'(0)ax f x a x x x-=-=>， 当0a ≤时， ()'0f x >恒成立，则()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()'0f x >，则10x a <<．则()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． …………………4分 （II ） 当0a ≤时，因为()1022f a =>-，所以不会有()0,x ∀∈+∞， ()22f x a ≤-． …………………6分当0a >时，由（I ）知， ()f x 在()0,+∞上的最大值为111ln 1ln 1f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以()0,x ∀∈+∞， ()22f x a ≤-等价于1ln 122f a a a a ⎛⎫=-+-≤- ⎪⎝⎭．即l n 10a a +-≥． …………………8分设()()ln 1ln 1g x x x x x =+-=--，由（I ）知()g x 在()0,+∞上单调递增．又()1ln1110g =+-=，所以ln 10a a +-≥的解为1a ≥．故()0,x ∀∈+∞， ()22f x a ≤-时，实数a 的取值范围是[)1,+∞． …………………12分四、附加题23、A （5分）解：由题意得()()f x g x min min ≥,因为函数4f(x)=x+x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()f x 15min f ==因此252,1a a ≥+≤,选A.24、解：（1）∵||||8a b +=8， 由两点间的距离公式得：（即动点到两定点的距离之和为定值）2211612y x += 5分 （2）因抛物线方程为：)3(122--=y x ，故)0,0(),3,0(F P . 当直线x l ⊥轴时，不合题意。
【学生版】2017-2018学年河北省保定市定州中学承智班高二(上)期中数学试卷.docx
2019秋——全国一考区高二期中考试数学试卷1.执行如图的程序框图，已知输出的．若输入的，则实数的最大值为()A.B.C.D.2.若集合，，则集合()A.B.C.D.3.已知向量，，向量在方向上的投影为．若，则的大小为()A.B.C.D.4.设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为()A. AB. BC. CD. D5.设定义域为的函数若关于的方程有个不同的实数解，则()A.B. 或C. 或D.6.函数的图象中相邻对称中心的距离为，若角的终边经过点，则图象的一条对称轴为()A.B.C.D.7.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为()A.B.C.D.8.函数与的图象所有交点的横坐标之和为()A.B.C.D.9.执行如图的程序框图，则输出的值为()A.B.C.D.10.若变量，满足约束条件，则的最大值为()A.B.C.D.11.九章算术中一文：蒲第一天长尺，以后逐日减半；莞第一天长尺，以后逐日增加一倍，则()天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到．(注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的倍．)A.B.C.D.12.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是()A.B.C.D.13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于________．14.已知是等比数列，，，则________．15.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则角的大小为________．16.若从正八边形的个顶点中随机选取个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是________．17. 在中，，，的对边分别为，，，若．（1）求角；（2）如果，求面积的最大值．18. 已知等差数列满足，．（1）求数列的通项公式．（2）令，求数列的最大项和最小项．19. 已知数列的前项和满足：(为常数，且，)．（1）证明：成等比数列．（2）设，若数列为等比数列，求的值．（3）在满足条件的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．参考答案1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】A13.【答案】14.【答案】115.【答案】16.【答案】17.（1）【答案】见解析17.（2）【答案】见解析18.（1）【答案】见解析18.（2）【答案】见解析19.（1）【答案】见解析19.（2）【答案】见解析19.（3）【答案】见解析。
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河北省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（一）
（考试时间120分钟满分150分）
一、单项选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．
1．直线x﹣y=0的倾斜角为（）
A．45°B．60°C．90°D．135°
2．若三点A（0，8），B（﹣4，0），C（m，﹣4）共线，则实数m的值是（）A．6 B．﹣2 C．﹣6 D．2
3．圆x2+y2=4与圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0的位置关系是（）
A．相交B．相离C．内切D．外切
4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，棱锥A1ABCD的体积与长方体AC1的体积
的比值为（）
A．B．C．D．
5．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是（）
A．B．C．D．
6．已知直线l与过点M（﹣，）、N（，﹣）的直线垂直，则直线l 的倾斜角是（）
A．B． C．D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．2π+12 B．π+12 C．2π+24 D．π+24
8．若坐标原点在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，则实数m的取值范围是（）
A
．（﹣1，1）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）
9．点P（7，﹣4）关于直线l：6x﹣5y﹣1=0的对称点Q的坐标是（）A．（5，6） B．（2，3） C．（﹣5，6）D．（﹣2，3）
10．过（2，0）点作圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的切线，所得切线方程为（）A．y=0 B．x=1和y=0 C．x=2和y=0 D．不存在
11．两圆x2+y2+4x﹣4y=0与x2+y2+2x﹣12=0的公共弦长等于（）
A．4 B．2 C．3 D．4
12．已知直线y=kx+2k+1与直线y=﹣x+2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）
A．﹣ B．k或k C．﹣6＜k＜2 D．k
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在z轴上与点A（﹣4，1，7）和点B（3，5，﹣2）等距离的点C的坐标为．14．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为．
15．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程．
16．已知点A（﹣1，﹣2），B（2，3），若直线l：x+y﹣c=0与线段AB有公共点，
则直线l 在y 轴上的截距的取值范围．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知直线l1：ax+by+1=0，（a，b不同时为0），l2：（a﹣2）x+y+a=0，
（1）若b=0且l1⊥l2，求实数a的值；
（2）当b=3且l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离．
18．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B 在A的上方），且|AB|=2．
（1）圆C的标准方程为．
（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为．
19．已知一圆经过点A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），且圆心C在直线l：x﹣2y ﹣3=0上，
（1）求此圆的标准方程；
（2）判断点M1（0，1），M2（2，﹣5）与该圆的位置关系．
20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，
AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
21．已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．
（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．
（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．22．A，B两个工厂距一条河分别为400m和100m，A、B两工厂之间距离500m，且位于小河同侧．把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B 两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？
参考答案
一、单项选择题
1．A2．C．3．C．4．C．5．B．6．C．7．D8．D．9．C10．C．11．D．12．A．
二、填空题
13．答案为：（0，0，）
14．答案为：2x﹣y﹣1=0
15．答案为：x﹣6y±6=0．
16．答案为：[﹣3，5]．
三、解答题
17．解：（1）当b=0，时，l1：ax+1=0，
由l1⊥l2知a﹣2=0，…
解得a=2．…
（2）当b=3时，l1：ax+3y+1=0，
当l1∥l2时，有…
解得a=3，…
此时，l1的方程为：3x+3y+1=0，
l2的方程为：x+y+3=0，
即3x+3y+9=0，…
则它们之间的距离为d==．…
18．解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），
∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；
（2）由（1）知，B（0，1+），
∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，
令y=0可得x=﹣1﹣．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2；﹣1﹣．
19．解：（1）∵圆心C在直线l：x﹣2y﹣3=0，
∴设圆心C（2m+3，m），
∵圆经过点A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），
∴|AC|=|BC|，
即=，
解得m=﹣2，即圆心为C（﹣1，﹣2），
半径r=|AC|===
则圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=10；
（2）|CM1|===．故M1（0，1）在圆上，
|CM2|===3＞，
故M2（2，﹣5）也在圆外．
20．（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB，
∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
（2）∵AC=BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，=，
∴S
△VAB
∵OC⊥平面VAB，
=•S△VAB=，
∴V C
﹣VAB
∴V V ﹣ABC =V C ﹣VAB =．
21．解：（1）设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为y ﹣0=k （x ﹣2），即kx ﹣y ﹣2k=0．
又圆C 的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由=1，解得k=﹣．
所以直线方程为y=﹣（x ﹣2），即3x +4y ﹣6=0．
当l 的斜率不存在时，l 的方程为x=2，经验证x=2也满足条件． 综上所述，直线l 的方程为3x +4y ﹣6=0或x=2；
（2）把直线y=ax +1代入圆C 的方程，消去y ，整理得（a 2+1）x 2+6（a ﹣1）
x +9=0． 由于直线ax ﹣y +1=0交圆C 于A ，B 两点，
故△=36（a ﹣1）2﹣36（a 2+1）＞0，解得a ＜0．则实数a 的取值范围是（﹣∞，0）．
设符合条件的实数a 存在．
由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C （3，﹣2）必在l 2上．所以l 2的斜率k PC =﹣2．
而k AB =a=﹣
，所以a=．
由于∉（﹣∞，0），故不存在实数a ，使得过点P （2，0）的直线l 2垂直平分弦AB ．
22．解：如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，
则点A （0，400），点B （a ，100）． 过点B 作BC ⊥AO 于点C ．
在△ABC 中，AB=500，AC=400﹣100=300， 由勾股定理得BC=400，所以B ．
点A （0，400）关于x 轴的对称点A′（0，﹣400）， 由两点式得直线A′B 的方程为y=x ﹣400． 令y=0，得x=320，即点P ．
故供水站（点P ）在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。