2004年普通高等学校春季招生考试数学(理工)(北京卷)(附解答)
2004年春季高考数学试题及答案(北京文)
2004年普通高等学校春季招生考试数学（文史）（北京卷）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在函数y x y x y x y tg x ====sin sin cos 22，，，中，最小正周期为π的函数是（ ）A. y x =sin 2B. y x =sinC. y x =cosD. y tgx =22. 当m <1时，复数z m i =+-21()在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 双曲线xy22491-=的渐近线方程是（ ）A. y x =±32B. y x =±23C. y x =±94D. y x =±494. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒5. 已知sin()cos()θπθπ+<->00，，则下列不等关系中必定成立的是（ ） A. sin θ<0，cos θ>0 B. sin cos θθ><00， C.sin cos θθ>>00，D. sin cos θθ<<00，6. 在抛物线y px 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A.12B. 1C. 2D. 47. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： <1>若ab bc ad >->00，，则c a d b->0； <2>若ab c a d b>->00，，则bc ad ->0 <3>若bc ad c a d b->->00，，则ab >0其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A.77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，恰有1件次品的不同取法的种数是（ ） A. C C 61942B. C C 61992C. P P 61942D. C C 1003943-10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M:N 为（ ）A.4041B. 1C.4140D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2004年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至5页，第II 卷6至16页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共21题每题6分共126分）注意事项：1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：原子量：H1 C12 N14 O16 Mg24 P31 Cl 35.5 K39 Cu 641．在以下描述中，可以将病毒与其他微生物相区别的是（）A．能够使人或动、植物患病B．没有细胞核，仅有核酸C．具有寄生性D．由核酸和蛋白质装配进行增殖2．新生儿小肠上皮细胞通过消耗ATP，可以直接吸收母乳中的免疫球蛋白和半乳糖。
这两种物质分别被吸收到血液中的方式是（）A．主动运输、主动运输B．内吞、主动运输C．主动运输、内吞D．被动运输、主动运输3．人类21三体综合症的成因是在生殖细胞形成的过程中，第21号染色体没有分离。
若女患者与正常人结婚后可以生育，其女女患该病的概率为（）A．0 B．1/4 C．1/2 D．14．在相同光照和温度条件下，空气中CO2的关系如图所示。
理论上某种C3植物能更有效地利用CO2，使光合产量高于m点的选项是（）A．若a点在a,b点b2时B．若a点在a1，b点在b1时C．若a点在a2，b点在b1时D．若a点在a1，b点在b2时5．转基因抗虫棉可以有效地用于棉铃虫的防治。
在大田中种植转基因抗虫棉的同时，间隔种植少量非转基因的棉花或其他作物，供棉铃虫取食。
这种做法的主要目的是（）A．维持棉田物种多样性B．减缓棉铃虫抗性基因频率增加的速度C．使食虫鸟有虫可食D．维持棉田生态系统中的能量流动6．糖类、脂肪和蛋白质是维持人体生命活动所必需的三大营养物质。
2004年春季高考试题——数学文(北京卷)(附解答)
2004年普通高等学校春季招生考试数学（文史）（北京卷）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在函数y x y x y x y tg x====sin sin cos 22，，，中，最小正周期为π的函数是（ ） A. y x =sin2 B. y x =sin C. y x =cos D. y tg x=22. 当m <1时，复数z m i =+-21()在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 双曲线x y 22491-=的渐近线方程是（ ） A. y x =±32B. y x =±23 C. y x =±94D. y x =±494. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 75︒5. 已知sin()cos()θπθπ+<->00，，则下列不等关系中必定成立的是（ ） A. sin θ<0，cos θ>0 B. sin cos θθ><00， C.sin cos θθ>>00，D. sin cos θθ<<00，6. 在抛物线y px 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A.12B. 1C. 2D. 47. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： <1>若ab bc ad >->00，，则c a d b ->0； <2>若ab c a db>->00，，则bc ad ->0 <3>若bc ad c a db->->00，，则ab >0 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm ，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A.77cmB. 72cmC. 55cmD. 102cm9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，恰有1件次品的不同取法的种数是（ ） A. C C 61942B. C C 61992C. P P 61942D. C C 1003943-10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M:N 为（ ）A.4041B. 1C.4140D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上11. 直线x y a -+=30（a 为实常数）的倾斜角的大小是_________12.sin()sin()cos ααα+︒--︒3030的值为____________13. 若fx -1()为函数f x x ()lg()=-1的反函数，则fx -1()的值域是_______14. 若直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点，则m ，n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆x y 22731+=的公共点有_________个三. 解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分13分） 解不等式21x x ->-16. （本小题满分13分） 在∆ABC 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a c ac bc 22-=-，求∠A 的大小及b Bcsin 的值17.（I （II18. （本小题满分14分） 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行F为一个焦点的椭圆示，椭圆中心在原点近地点A 距地面200km （I ）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（II ）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日56105⨯km （结果精确到1km/s ）（注：km/s 即千米/秒）19. （本小题满分15分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件（I ）设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P f x =()的表达式；（II ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）20. （本小题满分14分） 下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数 （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史）（北京卷）参考解答 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分50分1. A2. D3. A4. C5. B6. C7. D8. C9. A 10. B二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分11. 30︒ 12. 1 13. ()1，+∞ 14. 0322<+<m n2三. 解答题：本大题共6小题，共84分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分 解：原不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：210201x x -≥-<⎧⎨⎩() 或2102021222x x x x -≥-≥->-⎧⎨⎪⎩⎪()()解不等式组(1)得解集{|}x x 122≤< 解不等式组(2)得解集{|}x x 25≤< 所以原不等式的解集为{|}x x 125≤<16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分解：（I ） a b c ，，成等比数列 ∴=b ac 2 又a c ac bc 22-=- ∴+-=b c a bc 222在∆ABC 中，由余弦定理得c o sA b c a bc bc bc =+-==2222212∴∠=︒A 60 （II ）解：在∆ABC 中，由正弦定理得sin sin B b Aa=b ac A 260=∠=︒， ∴=︒=︒=b Bc b ca sin sin sin 260603217.满分15分底面ABCD 是正方形 ∴⊥BC DC SD ⊥底面ABCD ∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影 由三垂线定理得BC SC ⊥（II ）解： SD ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形∴可以把四棱锥S ABCD -补形为长方体A B C S ABCD 111-，如图2 面ASD 与面BSC 所成的二面角就是面ADSA 1与面BCSA 1所成的二面角，SC BC BC A SSC A S⊥∴⊥，//11 又SD A S ⊥1 ∴∠C S D 为所求二面角的平面角本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分 解：（I ）设椭圆的方程为x a y b22221+= 由题设条件得a c OA OF F A a c OB OF F B -=-==+=+=+==+=||||||||||||22226371200657163713506721解得a c ==664675， 所以a 244169316= b a c a c a c 2226721657144163691=-=+-=⨯=()()所以椭圆的方程为x y 2244169316441636911+= （注：由4416369166455768≈.得椭圆的方程为x y 22226646664561+=.，也是正确的） （II ）从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒减去开始的9分50秒，即9×60＋50＝590（秒），再减去最后多计的1分钟，共减去590＋60＝650（秒） 得飞船巡天飞行的时间是 21360065074950⨯-=（秒） 平均速度是600000749508≈（千米/秒） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s 19. 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力满分15分 解：（I ）当0100<≤x 时，P =60当100500<≤x 时，P x x =--=-600021006250.() 所以P f x x xx x N ==<≤-<≤⎧⎨⎪⎩⎪∈()()6001006250100500 （II ）设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，则L P x x x x x x x N =-=<≤-<≤∈⎧⎨⎪⎩⎪()()4020010022501005002当x =450时，L =5850因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元20. 本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分14分解：（I ）a 4549=（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： a j j 1431=+-() 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a j j 2751=+-() ……第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，因此a i i j ij i jij =+-++-=++4312112()()()要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得22008ij i j++=所以jii=-+ 200821当i=1时，得j=669所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列。
2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
2004年普通高等学校招生全国统一考试
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）北京卷考试说明（北京教育考试院编）Ⅰ.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是为高校招生而进行的选拔性考试。
考试的指导思想是：有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育，有助于培养学生的创新精神与实践能力。
试题应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。
Ⅱ.考试要求数学科高考旨在考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析和解决问题的能力。
根据原国家教育委员会1990年颁布的《全日制中学数学教学大纲（修订本）》和有关中学数学教学内容的调整意见，对考试内容的知识要求和能力要求说明如下：1．知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求。
了解、理解、掌握为对知识的基本要求（详见Ⅳ.考试内容），灵活和综合运用不对应具体的考试内容：（1）了解（A）：对所列知识内容有初步的认识，会在有关的问题中进行识别和直接应用。
（2）理解（B）：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列知识解决简单问题。
（3）掌握（C）：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有关问题。
（4）灵活和综合运用（D）系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复杂的或综合性的问题。
2．能力要求（1）逻辑思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能够合乎逻辑、准确、清晰地进行表述。
（2）运算能力：会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程进行变形和运算；能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，并能进行近似计算。
（3）空间想象能力：能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变形。
春季高考数学试题及答案(北京理)
2004年普通高等学校春季招生考试数学（理工）（北京卷）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在函，最小正周期函数是（） C.2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ）A. B.4. ）A. C.5. ）A.C. D.6. ）A. D.7. a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）A.9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（）A. B. C.10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（）A. B. 1 D. 2二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
11. _________。
12. ____________。
13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨。
由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨。
14. m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P点有_________个。
三. 解答题：本大题共6小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分13分）x16. （本小题满分13分）a，b，c知a，b，c17. （本小题满分15分）1的正方形，SD垂直于底面ABCD（I （II ）求面ASD 与面BSC 所成二面角的大小；（III ）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小。
2004年普通高等学校春季招生考试理综北京卷
2004年普通高等学校春季招生考试理综北京卷（旧课程卷）(总分：126 考试时间：103分钟）一、选择题 ( 本大题共 9 题, 共计 54 分)1．在相同的温度和压强下，4个容器中分别装有4种气体。
已知各容器中的气体和容器的容积分别是a.CO2,100 ml; b.O2,200 ml; c.N2,400 ml;d.CH4,600 ml。
则4个容器中气体的质量由大到小的顺序是……（）A．a>b>c>dB．b>a>d>cC．c>d>b>aD．d>c>a>b答案：(6分) C2．答案：(6分) C3．对于某单色光，玻璃的折射率比水的大，则此单色光在玻璃中传播时，……………………（）A．其速度比在水中的大，其波长比在水中的长B.其速度比在水中的大，其波长比在水中的短C.其速度比在水中的小，其波长比在水中的短D.其速度比在水中的小，其波长比在水中的长答案：(6分) C4．图中a、b是两个位于固定斜面上的正方形物块，它们的质量相等。
F是沿水平方向作用于a上的外力。
已知a、b的接触面，a、b与斜面的接触面都是光滑的。
正确的说法是…………………………………（）A.a、b一定沿斜面向上运动B. a对b的作用力沿水平方向C. a、b对斜面的正压力相等D.a受到的合力沿水平方向的分力等于b受到的合力沿水平方向的分力答案：(6分) D5．一简谐横波在x轴上传播，波源振动周期T=0.1s,在某一时刻的波形如图所示，且此时a点向下运动，则……………………………………（）A．波速为20m/s,波向x轴正方向传播B.波速为10m/s,波向x轴负方向传播C.波速为20m/s,波向x轴负方向传播D．波速为10m/s,波向x轴正方向传播答案：(6分) A6．如图，在正六边形的a、c两个顶点上各放一带正电的点电荷，电量的大小都是q1,在b、d两个顶点上，各放一带负电的点电荷，电量的大小都是q2，q1>q2。
2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学试题含答案
A. a (−,1] B. a [2,+) C. a (−,1] [2,+) D. a [1,2]
（8）函数
f
(x)
=
x, x P −x, x M
，其中
P、M
为实数集
R
的两个非空子集，又规定
f ( P) = {y| y = f (x), x P} ， f ( M) = {y| y = f (x), x M} ，给出下列四个判断：
正棱台、圆台的侧面积公式
1
S 台侧
=
(c'+c)l 2
其中 c’，c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长
球体的表面积公式 S球 = 4R2
其中 R 表示球的半径
一.
选择题：本大题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分 在每小题给出的四个选项中，只有一 新疆 王新敞
奎屯
项是符合题目要求的 新疆 王新敞 奎屯
（1）设 M = {x|−2 x 2}， N = {x| x 1} ，则 M N 等于
A. {x|1 x 2} B. {x|−2 x 1}
C. {x|1 x 2} D. {x|−2 x 1}
（2）满足条件 |z|=|3 + 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
实际运行中，假设列车从 A 站正点发车，在 B 站停留 1 分钟，并在行驶时以同一速度 vkm / h
匀速行驶，列车从 A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站
的运行误差 新疆 王新敞 奎屯
（I）分别写出列车在 B、C 两站的运行误差
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（III）当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1000 个，利
润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
20. （本小题满分 14 分） 下表给出一个“等差数阵”：
16. （本小题满分 13 分） 在 ABC 中，a，b，c 分别是 A，B，C 的对边长，已 知 a，b，c 成等比数列，且 a 2 c2 ac bc ，求 A 的大小及 b sin B 的值
c 17. （本小题满分 15 分） 如图，四棱锥 S ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂 直于底面 ABCD， SB 3
（ ） A. y sin 2x B. y sin x C. y cos x
D. y tg x 2
2.
2
当
m 1 时，复数 z
(3m 2) (m 1)i 在复平面上对应的点位于（
）
3
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.
x2
双曲线
y2
1 的渐近线方程是（
）
49
A. y 3 x B. y 2 x
y B
A x
O FM
C
（I）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标； （II）求线段 BC 中点 M 的坐标； （III）求 BC 所在直线的方程 19. （本小题满分 14 分） 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的 全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元 （I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差数列， aij 表示位于第 i 行第 j 列的数
（I）写出 a45 的值； （II）写出 aij 的计算公式；
（III）证明：正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整
S
C D
A
B
（I）求证 BCSC ； （II）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；
（III）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小
18. （本小题满分 15 分） 已知点 A（2，8），B( x1，y1 )，C( x2 ，y2 ) 在抛物线 y 2 2 px 上， ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合（如图）
C. 5 5cm
D. 10 2cm
9. 在 100 件产品中有 6 件次品，现从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的不同取法的种数 是（ ）
A. C61C924
B. C61C929
C.
C3 100
C934
D.
P3 100
P934
10. 期中考试以后，班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均分为 M，如果把 M 当成一个同
4
7
（ ） （ ） （ ） ……
a1 j
……
7
12 （ ） （ ） （ ） ……
a2 j
……
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ……
a3 j
……
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ……
a4 j
……
……
ai1
……
ai2
……
ai3
……
ai4
……
ai5
…… ……
……
aij
…… ……
……
……
……
……
学的分数，与原来的 40 个分数一起，算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 M:N 为（ ）
40
41
A.
B. 1 C.
D. 2
41
40
二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上
11. 若 f 1 ( x) 为函数 f ( x) lg( x 1) 的反函数，则 f 1 ( x) 的值域是_________
2
3
C. y 9 x 4
D. y 4 x 9
4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A. 30
B. 45
C. 60
D. 75
5. 在极坐标系中，圆心在 ( 2， ) 且过极点的圆的方程为（ ）
A. 2 2 cos
B. 2 2 cos
C. 2 2 sin
x2
____________；以（m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆
y2
1 的公共
73
点有_________个
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 84 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. （本小题满分 13 分） 当 0 a 1时，解关于 x 的不等式 a 2x1 a x2
D. 2 2 sin
6. 已知 sin( ) 0， cos( ) 0 ，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A.
tg
ctg
B.
tg
ctg
C.
sincos Fra bibliotekD.2
2
2
2
2
2
sin
cos
2
2
7. 已知三个不等式： ab 0，bc ad 0， c d 0 （其中 a，b，c，d 均为实数），用 ab
2004 年普通高等学校春季招生考试数学（理工）（北京卷）
一. 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1. 在 函 数 y sin 2x，y sin x，y cos x，y tg x 中 ， 最 小 正 周 期 为 的 函 数 是 2
12.
sin(
30 ) sin( cos
30
)
的值为____________
13. 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b，2003 年产生的垃圾量为 a 吨 由此预
测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008 年的垃圾量为_________吨
14. 若 直 线 mx ny 3 0 与 圆 x 2 y 2 3 没 有 公 共 点 ， 则 m ， n 满 足 的 关 系 式 为
其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的
个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一
个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）
A. 77cm
B. 7 2cm