河北省保定市2018届高三第一次模拟考试数学理

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XXX(XXX、XXX等)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案

XXX(XXX、XXX等)2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案2018年XXX一模考试数学理科答案如下：一、选择题：XXX二、填空题：13.1 14.三、解答题：17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）令n=1，得4a1=a1/(2+2a1-3)，且a1>0，解得a1=3.当n≥2时，4Sn-4Sn-1=a_n-a_n-1+2a_n-2-2a_n-3，即4a_n=a_n-a_n-1+2a_n-2-2a_n-3，整理得(a_n+a_n-1)(a_n-a_n-1-2)=1/2，Qa_n>0，故a_n-a_n-1=2，所以数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，故a_n=2n+1.Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=(-1)^n/(2an-14n+4n^2(n+1))。

Qa_n>0.于是Tn=b1+b2+。

+b_n=(1-1/2+1/3-1/4+。

+(-1)^(n-1)/n)/(2n-14n+4n^2(n+1))=(1-1/2+1/3-1/4+。

+(-1)^(n-1)/n)/(2(n-1)^2+2(n-1)+1).18.（本题满分12分）解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300，X的分布列为：X P 100 0.2 200 0.4 300 0.4.2）由已知①当订购200台时，E(Y)=[200×100-50×(200-100)]×0.2+200×200×0.8=(元)。

②当订购250台时，E(Y)=[200×100-50×(250-100)]×0.2+[200×200-50×(250-200)]×0.4+[200×250]×0.4=（元）。

综上所求，当订购250台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。

19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）取AD中点O，连接OE，交MN于点Q，连接FQ，则OP⊥AD。

2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

2018年济宁市高三模拟考试数学（理工类）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-≤≤，{}2log 1N x x =<，则M N = A.{10}x x -≤<B．{01}x x <≤C．{12}x x ≤<D．{12}x x -≤<2.若复数20182(1i)i z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =A．1i+B．iC．12i -D.12i 3.设变量x ，y 满足约束条件02390210x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是A．[6,)+∞B．[5,)+∞C．[0,6]D．[0,5]4.已知命题p ：存在实数α，β，sin()sin sin αβαβ+=+；命题q ：2log 2log 2a a +≥（2a >且1a ≠）.则下列命题为真命题的是A．p q ∨B．p q ∧C.()p q⌝∧D．()p q⌝∨5.执行下列程序框图，若输入的n 等于7，则输出的结果是A．2B．13C.12-D．3-6.将函数()2sin()13f x x π=--的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则g()y x =的图象的一个对称中心为A．(,0)3πB．(,0)12π C.(,1)3π-D．(,1)12π-7.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为A．33B．12C.22D．328.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则(2017)(2018)f f +的值为A．2-B．1- C.0D．19.已知O 是ABC ∆的外心，4AB = ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+=A．10B．9C.8D．610.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示.我们可以通过设计下面的实验来估计π的值：从区间[0,1]随机抽取200个实数对(,)x y ，其中两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 共有56个.则用随机模拟的方法估计π的近似值为A．227B．257C.7225D．782511.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为A．8πB．16πC.32πD．64π12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 3a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为A．5B．5C.3D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线2212x y -=的渐近线方程为．14.观察下列各式：3211=332113+=33321236++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅照此规律，第n 个等式可为．15.在24(23)x x --的展开式中，含有2x 项的系数为．（用数字作答）16.如图所示，已知Rt ABC ∆中，AB BC ⊥，D 是线段AB 上的一点，满足2AD CD ==，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知{}n a 是等比数列，满足12a =，且2a ，32a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足123111223n b b b b n n+++⋅⋅⋅+=*()n N ∈（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设(1)()nn n n c a b =--，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .18.(本小题满分12分)如图，在以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多面体中，90ACB ︒∠=，面ACDE 为直角梯形，//DE AC ，90ACD ︒∠=，23AC DE ==，2BC =，1DC =，二面角B AC E --的大小为60︒.（1）求证：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面ABE 与平面BCD 所成二面角（锐角）的大小；19.(本小题满分12分)为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至多安装4台发电机的水电站.为此搜集并整理了过去50年的水文数据，得如下表：年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥年数103082将年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位:亿立方米）在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年得年入流量相互独立.（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：年入流量X 4080X <<80120X ≤<120160X ≤<160X ≥发电机最多可运行台数1234已知某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，若水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.20.(本小题满分12分)已知抛物线E ：22x py =的(2)p >焦点为F ，点M 是直线y x =与抛物线E 在第一象限内的交点，且5MF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与抛物线E 相交于两点A ，B ，与y 轴相交于点Q ，过点A ，B 分别作抛物线E 的切线，与x 轴分别相交于两点C ，D .判断直线QC 与直线BD 是否平行？直线QC 与直线QD 是否垂直？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()ln 2af x x x x=++()a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数2g()()(2)2ax xf x x x =-+-在其定义域内有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.（二）选考题：共10分。

高三数学-2018年高三第一次高考模拟考试(理) 精品

数学试卷（理科农医类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟。

以下公式可供解题时参考：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ），如果事件互相独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ），如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n p p C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．z i z 则,215+== （）A ．i 31035-- B ．i 31035+-C ．1－2iD ．1+2i 2．函数)4(sin )4(cos 22ππ+-+=x x y（）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数3．设)2tan(,21)tan(),2(53sin βαβππαπα-=-<<=则的值等于（）A ．－724B ．－247C ．724D ．2474．正方形ABCD ，沿对角线BD 折成直二面角后不会成立的结论是（）A ．AC ⊥BDB ．△ADC 为等边三角形C ．AB 、CD 所成角为60°D ．AB 与平面BCD 所成角为60°5．已知向量)()53(,2||,3||,60,m -⊥+==若夹角为，则m 的值为（）A ．2332 B ．4223 C ．4229 D ．2942 哈尔滨三中东北育才大连育明天津耀华2018年第一次高考模拟考试6．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（）A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 7．关于直线a ,b,c 以及平面M ，N ，给出下面命题：①若a //M ，b//M, 则a //b ②若a //M, b ⊥M ，则b ⊥a ③若a ⊂M ，b ⊂M,且c ⊥a ，c⊥b,则c ⊥M ④若a ⊥M, a //N ，则M ⊥N ，其中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．用四种不同颜色给正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色，则共有涂色方法（） A ．24种 B ．72种 C ．96种 D ．48种9．已知a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8 各项都大于零的数列，命题①a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8不是等比数列；命题②：a 1+a 8<a 4+a 5则命题②是命题①的（） A ．充分且必要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件10．袋中有编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取3只球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E （ξ）的值是（） A ．5 B ．4.75 C ．4.5 D ．4 11．点P 的曲线323+-=x x y 上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（） A ．]2,0[πB ．),43[)2,0[πππC ．),43[ππD ．]43,2(ππ 12．直线3x+4y －12=0与椭圆C ：191622=+y x 相交于A 、B 两点，C 上点P ，使得△PAB 的面积等于3，这样的点P 共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．若不等式|ax +2|<6的解集为（－1，2），则实数a 等于14．把直线133+-=x y 绕点（1，1）顺时针旋转，使它与圆x 2+y 2－2x =0相切，则直线转动的最小正角是15．已知9)222(-x的展开式的第7项为421，)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 则的值为16．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述命题：①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A （1，0）对称 ②若对x ∈R ，有f (x +1)= f (x －1)，则f (x )的图象关于直线x =1对称 ③若函数f (x －1)的图象关于直线x =1对称，则f (x )为偶函数 ④函数f (1+x )与函数f (1－x )的图象关于直线x =1对称其中正确命题的序号为三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)0,0,0(cos sin )(>>>+=b a x b x a x f ωωω周期为.3)4(,2)(,=≤ππf x f（1）写出f (x )的表达式；（2）写出函数f (x )的单调递增区间；（3）说明f (x )的图象如何由函数y=2sin x 的图象经过变换得到.已知数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是其前n项和，且S3，S9，S6成等差数列（1）求证：a2 , a8, a5也成等差数列（2）判断以a2, a8, a5为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{a n}中的一项，若是求出这一项，若不是请说明理由.如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，D ，E 分别为AC 1，BB 1的中点.（1）求证：DE//平面A 1B 1C 1；（2）求二面角A 1—DE —B 1的大小.E A B B 1CD C 1A 1某职业联赛的总决赛在甲、乙两队之间角逐，采用七局四胜制，即有一队胜四场，则此队获胜，且比赛结束.在每场比赛中，甲队获胜的概率是,32乙队获胜的概率是31.根据以往资料统计，每场比赛组织者可获门票收入为30万元，两队决出胜负后，问：（1）组织者在此决赛中获门票收入为120万元的概率是多少？（2）组织者在此决赛中获门票收入不低于180万元的概率是多少？21．（本小题满分12分）已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅（1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.22．（本小题满分14分）如图所示，曲线段OMB 是函数f (x )=x 2(0<x <6)的图象，BA ⊥x 轴于A ，曲线段OMB 上一点M(t, f (t)处的切线PQ 交x 轴于P ，交线段AB 于Q.（1）试用t 表示切线PQ 的方程；（2）设△QAP 的面积为g(t)，若函数g(t)在（m , n ）上单调递减，试求出m 的最小值；（3）]64,4121[∈∆QAP S ，试求出点P 横坐标的取值范围.数学试卷（理科农医类）答案一、选择题答案1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．B 12．B 二、填空题答案 13．－4 14．3π15．41-16．①③三、解答题答案 17．（1）x x x f 2cos 2sin 3)(+=…………………………………………4分（2）在每个闭区间Z k k k ∈+-],6,3[ππππ…………………………8分（3）将函数y=2sin x 的图象向左平移6π个单位，再将得到的函数图象上的所有的点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21………………………………………………12分18．证明：（1）S 3=3a 1, S 9=9a 1, S 6=6a 1, 而a 1≠0，所以S 3，S 9，S 6不可能成等差数列……2分所以q ≠1，则由公式qq a q q a q q a q q a S n n --+--=----=1)1(1)1(1)1(2,1)1(6131911得……4分即2q 6=1+q 3 ∴2q 6a 1q=a 1q+q 3a 1q , ∴2a 8=a 2+a 5 所以a 2, a 8, a 5成等差数列…………6分（2）由2q 6=1+q 3=－21……………………………………………………………………8分要以a 2, a 8, a 5为前三项的等差数列的第四项是数列{a n }中的第k 项，必有a k －a 5=a 8－a 2,所以1632-=-q q a a k 所以,45)21(,45,453222-=--=-=--k k k q a a 所以所以由k 是整数，所以45)21(32-=--k 不可能成立，所以a 2, a 8, a 5 为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列{a n }中的一项.………………………………………………………12分 19．（1）取A 1C 1中点F ，连结B 1F ，DF ，∵D ，E 分别为AC 1和BB 1的中点，∴DF//AA 1，DF=1AA 1哈尔滨三中东北育才大连育明天津耀华2018年第一次高考模拟考试B 1E//AA 1，B 1E=21AA 1，∴DF//B 1E ，DF=B 1E ，∴DEB 1F 为平行四边形，……………………2分∴DE//B 1F ，又∵B 1F ⊂平面A 1B 1C 1，DE ⊄平面A 1B 1C 1，∴DE//平面A 1B 1C 1.……4分（2）连结A 1D ，A 1E ，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∵平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，A 1C 1是平面A 1B 1C 1与平面ACC 1A 1的交线，又∵B 1F ⊂平面A 1B 1C 1，且B 1F ⊥A 1C 1，∴B 1F ⊥平面ACC 1A 1，又DE//B 1F ，∴DE ⊥平面ACC 1A 1， ∴∠FDA 1为二面角A 1—DE —B 1的平面角，…………8分并且∠FDA 1=21∠A 1DC 1，设正三棱柱的棱长为1，∵∠AA 1C 1=90°，D 是AC 1中点，∴DC 1=22，A 1D=22，∠A 1DC 1=90°∴∠FDA 1=45°，即二面角A 1—DE —B 1为45°.………12分20．（1）①门票收入为120万元的概率为8117)31()32(44=+………………………15分（2）门票收入不低于180万元的概率814031)32()31(32)31()32(31)32()31(32)31()32(3336333623352335=⨯+⨯+⨯+⨯C C C C …12分 21．（1）设动点N 的坐标为（x ,y ），则 ),2,(),0)(2,0(),0,(y x PM x y P x M --=>-…………………2分040),2,1(2=+-=⋅-=y x y 得由，因此，动点的轨迹方程为 ).0(42>=x x y ……4分（2）设l 与抛物线交于点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)，当l 与x 轴垂直时，则由6424||,22,22,421<=-==-=⋅AB y y 得，不合题意，故与l 与x 轴不垂直，可设直线l 的方程为y=k x +b(k ≠0),则由4,42121-=+-=⋅y y x x 得…6分由点A ，B 在抛物线.8,4,4,)0(4212221212-===>=y y x y x y x x y 故有上又y 2=4x , y=k x +b 得ky 2－4y+4b=0,……………………8分所以)3216(1||),21(16.2,8422222++=+=∆-=-=k k k AB k k b k b ……10分因为.480)3216(196,304||64222≤++≤≤≤kk k AB 所以解得直线l 的斜率的取值范围是]1,21[]21,1[⋃--.………………………………………………………………12分22．（1）).60(2),(2,2)(22<<-=-=-∴='=t t tx y t x t t y t t f k 即………2分（2）令y=0得.12,6;22t t y x tx-===令 .124,03664)12)(26(21||||21)(232<<<+-=--==∴t t t t t AQ AP t g 得又0<t<6,∴4<t<6，g(t)在(m, n)上单调递减，故（m, n ）.4)().6,4(min =∴⊆m …………8分)(,0)(,40t g t g t ∴>'<<时,2.61)64,4121(.1)40(41213664,412154)6(,64)4(23t x t S t t t t t g g QAP =≤≤⇔∈∴=<<=+->==∆又点的横坐标得解方程∴P 的横坐标的取值范围为)3,21[.……………………………………………………14分。

河北省保定市2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题含解析AlUKqq

2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B I 的子集个数为（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =L L ，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=u u u r u u u r u u u u r L L ，（O 为原点），则a = （） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-r r，则0x <或4x >是向量a r 与b r 夹角为锐角的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知00:,5100np n N ∃∈<，则p ⌝为（） A ．,5100n n N ∀∈< B ．,5100nn N ∀∈≥ C. 00,5100nn N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．43310+ B ．43310- C. 43310-+ D ．43310-- 7.如图所示的程序框图中，输出的S 为（）A．9922 3-B．100223-C.101223-D．102223-8. 已知函数()f x既是二次函数又是幂函数，函数()g x是R上的奇函数，函数()()()11g xh xf x=++，则()()()()()()()()() 201820172016101201620172018h h h h h h h h h++++++-+-+-+-=L L（）A．0 B． 2018 C. 4036 D．40379. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A3263266346 D．53610. 已知向量44sin,cos22x xa⎛⎫= ⎪⎝⎭r，向量()1,1b=r，函数()f x a b=r rg，则下列说法正确的是（）A．()f x是奇函数 B．()f x的一条对称轴为直线4xπ=C.()f x的最小正周期为2π D．()f x在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数11.已知双曲线()222109x ybb-=>的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且Fe与双曲线的渐近线相切，若过点A作Fe的两条切线，切点分别为,M N，则MN=（）A．8 B．2 C. 23．4312.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a =． 14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且22cosB a ac b =-+，则B =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈g g ，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,3,23,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-u u u r.①证明：PP PF'u u u r u u u r 为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值. 21. 已知函数()a f x x x=+. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-e 相交于A B 、两点，且090AOB ∠=. （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N g （2C 为圆心）为定值.23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题13. ±甲 15. 9 16. 6π（或30°）三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =；（2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+g ，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++L ，23111231222222n n n n nT --=+++++L ， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--L ，所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙，22S S <甲乙，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=，另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种，其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D :四边形ABCD ， ∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =，又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =，又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥；（2）解：在ABC ∆中，03,2,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ，则AN ⊥平面11B BCC ，在Rt ABM ∆中可求得AM BM ==5AN =，所以，点A 到平面11B BCC的距离为5. 20.解：（1）由12c a =得2234a b =，把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知221,143x y c +==，142PF x ====-u u u r ，而4PP x '=-u u u r，∴2PP PF'=u u u r u u u r 为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-g ，由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴1244,22x x mAF BF MF ++=-=+= ∵,,AF MF BF 成等差数列， ∴2AF BF MF +=，即42m +=125m =或43m =-，又因为22m -<<，所以43m =-. 21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x -'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数； ②若0a >，则()200f x x a x '>⇒->⇒<x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x=-=+-->，()22211a x x a h x x x x --'=--=，设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数，又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >，所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立，设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==g ，所以22128C M C N t t ==g g 为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩，所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+，当且仅当()()10x x m -++≥g 时取等号，∴110m ++=，得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

2018届高三第一次模拟考试(一模)仿真卷(A卷)理科数学-教师版

2018届高三第一次模拟考试仿真卷理科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·马鞍山一模]已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】 ()1i 2i z -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，213i z =+，13i 22z =+，13i 22z =-，z 的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D ．2．[2018·承德期末]设集合{}2=36M x x <，{}2,4,6,8N =，则M N = （） A ．{}24， B ．{}46， C ．{}26， D ．{}246，，【答案】A【解析】()6,6M =-，故{}2,4M N = ．3．[2018·亳州期末]下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A ．12B ．13C ．41-πD ．42-π【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S π-π-===-ππ，故选C ． 4．[2018·常德期末]将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（） A ．42种 B ．48种 C ．54种 D ．60种【答案】A【解析】最左端排甲时，有44A 24=种排法；最左端排乙时，有333A 18= 种排法，所以共有241842+=种排法，选A ．5．[2018·汕头期末]如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A ．323π B ．643π C ．32π D．3π 【答案】D【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为2r =，由棱柱高为4，可得22OO =，故外接球半径为R ==故外接球的体积为(3433V =π⨯=．选D ． 6．[2018·遵义一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知ABC △的顶点()2,0A ，()0,4B ，AC BC =，则ABC △的欧拉线方程为（） A ．230x y +-= B ．230x y -+= C ．230x y --= D ．230x y -+=【答案】D【解析】线段AB 的中点为M （1，2），k AB =﹣2， ∴线段AB 的垂直平分线为：y ﹣2=12（x ﹣1），即x ﹣2y +3=0． ∵AC =BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线的方程为：x ﹣2y +3=0．故选：D ．7．[2018·乌鲁木齐一模]执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A ．4097B ．9217C ．9729D ．20481【答案】B【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：0129122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则123102122232102S =⨯+⨯+⨯++⨯ ，以上两式作差可得：10191012012222210210212S --=++++-⨯=-⨯- ，则：109219217S =⨯+=．本题选择B 选项．8．[2018·乌鲁木齐一模]已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0A >，0ω>，2ϕπ<）的部分图象如图所示，若()32f α=，则sin 26απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．34-B ．18-C ．18D ．13【答案】B【解析】由函数图象可知：2A =，函数的最小正周期：724263T ππ⎛⎫=⨯-=π ⎪⎝⎭，则21T ωπ==，当23x π=时，()212,2326x k k k ωϕϕϕπππ+=⨯+=π+∴=π-∈Z ，令0k =可得6ϕπ=-，函数的解析式：()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由()32f α=可得：332sin ,sin 6264ααππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则： 2π91sin 2sin 2cos 212sin 1263236168ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题选择B 选项．9．[2018·中山期末]已知实数ln22a =，ln33b =，ln55c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】B【解析】∵ln3ln22ln33ln2ln9ln803266b a ---=-==>，∴b a >；又ln2ln55ln22ln5ln32ln250251010a c ---=-==>，∴a c >， ∴b ac >>，即c a b <<．选B ．10．[2018·佛山一模]如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且AP ∥平面EFDB ，则1t a n APA ∠的最大值是（）A．2B ．1 CD．【答案】D【解析】由题意可得，点P 位于过点A 且与平面EFDB 平行的平面上，如图所示，取1111,A D A B 的中点,G H ，连结,,,GH AH AG GE ，由正方形的性质可知：EF GH ∥，由ABEG 为平行四边形可知AG BE ∥，由面面平行的判定定理可得：平面AGH ∥平面BEFD ，据此可得，点P 位于直线GH 上，如图所示，由1AA ⊥平面1111A B C D 可得11AA A P ⊥，则111tan AA APA A P∠=，当1tan APA ∠有最大值时，1A P 取得最小值，即点P 是GH 的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tan APA ∠的值是本题选择D 选项．11．[2018·防城港一模]已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B 、两点，若1ABF △是等腰三角形，120A ∠=︒．则1ABF △的周长为（）A．)21B4+C4D8+【答案】C【解析】双曲线的焦点在x 轴上，则1,22a a ==；设2AF m =，由双曲线的定义可知：1222AF AF a m =+=+，由题意可得：1222AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：22BF =，又1212,4BF BF BF -=∴=，1ABF △由正弦定理有：11sin120sin30BF AF =︒︒，则11BF =，即：)42m =+，解得：2m =，则△ABF 1的周长为：()422424m ++=+=．本题选择C 选项．12．[2018·南允一模]已知函数()23e x f x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（）A ．1ln22+B ．ln2C ．12ln22+D ．2ln2【答案】A【解析】设()()f m g n t ==，()23e x f x -= ，()1ln 42x g x =+，()231e ln 042m x t t -∴=+=>， 1423ln e2t n m t -∴-==，，ln 32t m +∴=，142e t n -=，()14ln 32e 02t t n m t -+-=->，令()()14ln 32e02t t h t t -+=->，则()()1412e 02t h t t t --'=>，()1'4212e 02t h t t-⎡⎤∴=+>⎣'⎦， ()h t ∴'在()0+∞，上为增函数，且104h ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，当14t >时，()0h t '>，当104t <<时，()0h t '<， ()h t ∴在104⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为减函数，在14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，∴当14t =时，()h t 取得最小值，此时11441ln 31142eln 2422h -+⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+，故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·赣州期末]已知向量()12,a k = ，()1,14b k =- ，若a b ⊥，则实数k =__________．【答案】6-【解析】由题意，()121140k k -+=，则6k =-．14．[2018·福州质检]ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)c o s c o s ,60a C c Ab B -==︒，则A 的大小为__________．【答案】75︒【解析】)cos cos a C c A b -=，)sin cos sin cos sin A C C A B -=，即()i nA C -=，()1sin 2A C -=，1306A C -=π=︒，又180120A CB ︒-=︒+= ，2150A ∴=︒，75A =︒，故答案为75︒．15．[2018·黄山一模]已知直线:l (0)x my n n =+>过点()A ，若可行域00x my nx y +⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≥的外接圆直径为20，则n =_____．【答案】【解析】由题意知可行域为图中△OAB 及其内部，解得(),0,B n AB =又tan 3AOB ∠=，则∠AOB =30°，由正弦定理得2sin 20sin3010AB R AOB =∠=⨯︒=，解得n =．故答案为：16．[2018·沙市中学] “求方程34155x x⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的解”有如下解题思路：设()3455xxf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________．【答案】()(),12,-∞-⋃+∞【解析】不等式x 6﹣（x +2）＞（x +2）3﹣x 2变形为， x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）；令u =x 2，v =x+2，则x 6+x 2＞（x +2）3+（x+2）⇔u 3+u ＞v 3+v ；考查函数f （x ）=x 3+x ，知f （x ）在R 上为增函数， ∴f （u ）＞f （v ），∴u ＞v ；不等式x 6+x 2＞（x +2）3+（x +2）可化为x 2＞x +2，解得x ＜﹣1或x ＞2； ∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分．17．[2018·梅河口五中]已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且2a ，5a ，10a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若151n n n b a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）25n a n =+；（2）214541449n n nT n +=+．【解析】（1）当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，当1n =时，111a S p ==+，也满足21n a n p =-+，故21n a n p =-+， ∵2510,,a a a 成等比数列，∴()()()23199p p p ++=+，∴6p =．∴25n a n =+．（2）由（1）可得()()155511111252722527n n n b a a n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪⋅++++⎝⎭，∴2511111151454279911252714491449n n n nT n n n n n n +⎛⎫=+-+-+⋯+-=+= ⎪++++⎝⎭． 18．[2018·四川联考]某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有X 人，超过210千卡的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】（1）有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）58．【解析】（1）由题意完成2×2列联表如下：则()224015155510>6.63520202020K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，故有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关．（2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过120千卡的概率为18，超过210千卡的概率为14，所以ξ的分布列为：则数学期望为：()0126464648E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．[2018·长春一模]如图，已知AB BC ⊥，BE CD ∥，90DCB ∠=︒，平面BCDE ⊥平面ABC ，2AB BC BE ===，4CD =，F 为AD 中点．（1）证明：EF ⊥平面ACD ；（2）求直线CE 与平面ABD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】（1）证明：设AC 中点为G ，连,FG BG ，∵F 为AD 中点，∴1,2FG DC FG DC =∥，又由题意BE CD ∥，12BE CD = ∴EB FG ∥，且EB FG =，∴四边形BEFG 为平等四边形，∴，EF BG ∥ ∵90DCB ∠=︒ ∴DC BC ⊥，又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，DC ⊂平面BCDE ， ∴DC ⊥平面ABC ．又BG ⊂平面ABC ，∴DC BG ⊥，∴DC EF ⊥，又AB BC =，∴AC BG ⊥，∴AC EF ⊥，∵AC DC C = ，AC ⊂平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴EF ⊥平面ACD ．（2）以点B 为原点，以BA 方向为x 轴，以BC 方向为y 轴，以BE 方向为z 轴，建立如图所示坐标系()0,0,0B ，()0,0,2E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,4D ，设平面ABD 的法向量(),,n x y z =，则0 0n BA n BD ⋅=⋅⎧⎨⎩=，∴20240x y z =+=⎧⎨⎩取1z =，()021n =- ，，，()0,2,2CE =- ，∴cos ,CE n CE n CE n ⋅〈〉==10=，设直线CE 与平面ABD 所成角为θ，则sin θ=，∴cos θ=，即直线CE 与平面ABD所成角的余弦值．20．[2018·泰安期末]已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点1,2⎛- ⎝⎭，焦距为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线():l y m m =+∈R 与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交y 轴交于点M，若tan AMB ∠=-，求m 的值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1m =或1m =-．【解析】（1）由题意得2c =，所以c =又点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以：222231413a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或234a =（舍），∴21b =， ∴椭圆的标准方程为：2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，由221,4y m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩整理得：229440x m ++-=，∴()()2224944144160m m ∆=-⨯⨯-=->， ∴29m <，又12x x +=212449m x x -⋅=，∴12329x x x +==-，∴339my m =+=， ∴线段AB 的中点C坐标为9m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭又12AB x =-=∴AC =又0MCm y k -==，∴03m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MC==， ∵CM 垂直平分AB ， ∴2AMB AMC ∠=∠，又22tan tan 1tan AMCAMB AMC∠∠==--∠，解得tan AMC ∠=tan 2AMC ∠=-（舍）， ∴在Rt AMC ∆中，AC AMC MC ∠====2298m m -=， ∴1m =或1m =-．21．[2018·河西一模]已知函数()()223e x f x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-；（2）[)e 2,0--．【解析】（1）由()()223e x f x x ax a =+--可得：()()()()222e 23e 23e x x xf x x a x ax a x a x a ⎡⎤=+++--=++--⎣⎦'，∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴()20f '=， ∴()25e 0a +=，计算得出5a =-．代入()()()()()31e 21e x x f x x a x x x =++=--'-，当12x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>， ∴2x =是()f x 的极值点．∴5a =-．（2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，①当5a -≤时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a --≥与5a -≤矛盾，舍去． ②当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()max f x 在()1f 或()2f 处取到，()()12e f a =--，()22e f =，∴只要()()212e e f a =--≤，计算得出e 24a --<-≤． ③当40a -<≤时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()2max 2e f x f ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[2018·皖西质检]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为1 (2x t y =-⎪=⎧⎪⎨⎪⎪⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交点分别为,A B ，点()1,0P ，求11PA PB+的值．【答案】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）3．【解析】（1）:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=；（2）将1 x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩（t为参数）代入曲线C的方程，得23=0t +-，12t t ∴-==，121211t t PA PB t t -∴+==． 23．[2018·湖北联考]已知函数()2121f x x x =-++．（1）求函数()f x 的最小值m ；（2）若正实数,a b满足11a b+=2212m a b +≥．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】（1）()()212121212x x x x -++--+=≥当且仅当1122x -≤≤时，等式成立．（2）2221211112a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥则22122a b +≥，当且仅当2b a =时取，等号成立．。

河北省保定市2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题-有解析

2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知00:,5100np n N ∃∈<，则p ⌝为（） A ．,5100n n N ∀∈< B ．,5100nn N ∀∈≥ C. 00,5100nn N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A B D 7.如图所示的程序框图中，输出的S 为（）A ．99223-B ．100223- C.101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A D ．10. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C.()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b-=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （）A ．8B ． C. ．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a =． 14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且227cosB a ac b =-+，则B =．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T . 18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.19. 如图，四棱台1111A B C D ABCD -中，1A A ⊥底面111,2ABCD A B A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点.（1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-.①证明：PP PF'为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.21. 已知函数()a f x x x=+. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题13. ± 14. 甲 15. 9 16. 6π（或30°）三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =；（2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n nb -=， 01221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222nn nn nT --=+++++， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--，所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙， 22S S <甲乙，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=，另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种，其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A B C D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =，又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =，又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥；（2）解：在ABC ∆中，02,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ，则AN ⊥平面11B BCC ，在Rt ABM ∆中可求得AM BM ==AN =所以，点A 到平面11B BCC 的距离为520.解：（1）由12c a =得2234a b =，把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-，由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴21244,122x x mAF BF MF m ++=-=+=+ ∵,,AF MF BF 成等差数列， ∴2AF BF MF +=，即42m +=解得125m =或43m =-，又因为22m -<<，所以43m =-. 21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x-'=-=≠， ①若()0,0af x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数； ②若0a >，则()200f x x ax '>⇒->⇒<或x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x 的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x=-=+-->，()22211a x x a h x x x x --'=--=，设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以200x x a --=， ∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数，又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >，所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l 的参数方程为22222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立，设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==，所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩，所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+，当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=，得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

河北省保定市2018届高考第一次模拟考试数学(文)试题-有答案

2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,1,2A =--，集合{}|B k A y kx R =∈=在上为增函数，则A B 的子集个数为（）A ．1B ． 2C ． 3D ．42. 设a 为1i -的虚部，b 为()21i +的实部，则a b +=（） A ． -1 B ． -2 C ． -3 D ．03.已知具有线性相关的变量,x y ，设其样本点为()(),1,2,,8i i i A x y i =，回归直线方程为1ˆ2yx a =+，若()1186,2OA OA OA +++=，（O 为原点），则a = （） A ．18 B ．18- C ．14 D ．14- 4. 已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-，则0x <或4x >是向量a 与b 夹角为锐角的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.已知00:,5100n p n N ∃∈<，则p ⌝为（）A ．,5100n n N ∀∈<B ．,5100n n N ∀∈≥ C. 00,5100n n N ∃∈≥ D ．00,5100n n N ∃∈>6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则sin cos 23ππθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．410+ B ．410- C. 410-+ D ．410--7.如图所示的程序框图中，输出的S 为（）A ．99223-B ．100223- C. 101223- D ．102223-8. 已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=（）A ．0B ． 2018 C. 4036 D ．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A B C. D ．10. 已知向量44sin ,cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量()1,1b =，函数()f x a b =，则下列说法正确的是（） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的一条对称轴为直线4x π=C. ()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数 11.已知双曲线()222109x y b b-=>的左顶点为A ，虚轴长为8，右焦点为F ，且F 与双曲线的渐近线相切，若过点A 作F 的两条切线，切点分别为,M N ，则MN = （）A ．8B ．．12.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（）A ．2B ．4 C. 6 D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点()2,P a -到焦点的距离为3，则a = ． 14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是．15.已知实数,x y 满足2202200x y x y x y --≥⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，若32z x y =-取得最小值时的最优解(),x y 满足()20ax by ab +=>，则4a bab+的最小值为． 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，3,2a b ==，且227cosB a ac b =-，则B = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()1122,n n n a a a n n N ++-=+≥∈，且121,2a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1121,n n n n a b a b n n N ++=≥∈，且11b =.求数列{}n b 的通项公式，并求其前n 项和n T .18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.19. 如图，四棱台1111A BC D ABCD -中，1A A ⊥底面111,2ABCD AB A A AB AC ====，平面11A ACC ⊥平面11,C CDD M 为1C C 的中点. （1）证明：1AM D D ⊥；（2）若030ABC ∠=，且AC BC ≠，求点A 到平面11B BCC 的距离.20. 椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设(),P x y 为椭圆C 上任一点，F 为其右焦点，点P '满足()4,0PP x '=-.①证明：PP PF'为定值；②设直线12y x m =+与椭圆C 有两个不同的交点A B 、，与y 轴交于点M .若,,AF MF BF 成等差数列，求m 的值.21. 已知函数()a f x x x=+. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）设函数()ln 1g x x =+，证明:当 ()0,x ∈+∞且0a >时，()()f x g x >.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为21x t y t a =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，0a >），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos sin 0l b ρθρθ-+=与2:4cos C ρθ=-相交于A B 、两点，且090AOB ∠=.（1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M N 、，证明：22C M C N （2C 为圆心）为定值. 23. 已知函数()1f x x =+.（1）解关于x 的不等式()210f x x -+>；（2）若函数()()()1g x f x f x m =-++，当且仅当01x ≤≤时，()g x 取得最小值，求()1,2x ∈-时，函数()g x 的值域.试卷答案一、选择题1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB二、填空题13. ± 14. 甲 15. 9 16.6π（或30°）三、解答题17.解：（1）由()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈知数列{}n a 为等差数列，且首项为1，公差为211a a -=，所以n a n =；（2）∵()121n n nb n b +=+， ∴()11112n n b b n n n +=≥+，∴数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111b =为首项，12为公比的等比数列， 112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12n n n b -=，1221123122222n n n n n T ---=+++++，23111231222222n n n n nT --=+++++， ∴2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--，所以1242n n n T -+=-. 18.解：（1）∵90,90x x ==甲乙，2231.6,50S S ==甲乙， 22S S <甲乙， ∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有()87,100和()87,80，()87,100和()84,85，()87,100和()100,95，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()100,95，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()84,85和()92,90，()100,95和()92,90共10个，其中符合条件的事件有()87,100和()84,85，()87,100和()92,90，()87,80和()84,85，()87,80和()92,90，()84,85和()100,95，()100,95和()92,90共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=，另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为()()()()()()()()()()13,7,13,1,13,5,13,2,7,1,7,5,7,2,1,5,1,2,5,2共10种，其中符合条件的情况有()()()()()()13,1,13,2,7,1,7,2,1,5,5,2共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为63105=. 19.（1）证明：连接1AC ，∵1111A BC D ABCD -为四棱台，四边形1111A B C D 四边形ABCD ，∴111112A B ACAB AC==，由2AC =得，111AC =，又∵1A A ⊥底面ABCD ，∴四边形11A ACC 为直角梯形，可求得12C A =，又2,AC M =为1CC 的中点，所以1AM C C ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面11C CDD ，平面11A ACC ⋂平面111C CDD C C =， ∴AM ⊥平面111,C CDD D D ⊂平面11C CDD ， ∴1AM D D ⊥；（2）解：在ABC ∆中，02,30AB AC ABC ==∠=，利用余弦定理可求得，4BC =或2BC =，由于AC BC ≠，所以4BC =，从而222AB AC BC +=，知AB AC ⊥，又∵1A A ⊥底面ABCD ，则平面11A ACC ⊥底面,ABCD AC 为交线，∴AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB CC ⊥，由（1）知1,AM CC AB AM A ⊥⋂=， ∴1CC ⊥平面ABM （连接BM ），∴平面ABM ⊥平面11B BCC ，过点A 作AN BM ⊥，交BM 于点N ，则AN ⊥平面11B BCC ，在Rt ABM ∆中可求得AM BM ，所以AN =所以，点A 到平面11B BCC的距离为5. 20.解：（1）由12c a =得2234a b =，把点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程为221914a b +=，∴221913a a+=得24a =， ∴23b =，椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）由（1）知221,143x y c +==，(142PF x x ====-，而4PP x '=-，∴2PP PF'=为定值；②直线12y x m =+与椭圆C 联立，2212143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2230x mx m ++-=， ()2243022m m m ∆=-->⇒-<<，设112211,,,22A x x m B x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21212,3x x m x x m +=-=-，由①知()()12114,422AF x BF x =-=-，∴1244,22x x mAF BF MF ++=-=+= ∵,,AF MF BF 成等差数列， ∴2AF BF MF +=，即42m +=125m =或43m =-，又因为22m -<<，所以43m =-. 21.解：（1）因为()()22210a x af x x x x -'=-=≠，①若()0,0a f x '≤>，∴()f x 在()(),0,0,-∞+∞为增函数； ②若0a >，则()200f x x a x '>⇒->⇒<或x >())2000f x x a x x '<⇒-<⇒<<≠，∴函数()f x的单调递增区间为(),,-∞+∞，单调递减区间为()(,；（2）令()()()()ln 10ah x f x g x x x x x =-=+-->，()22211a x x a h x x x x--'=--=，设()20p x x x a =--=的正根为0x ，所以2000x x a --=，∵()1110p a a =--=-<，∴01x >，()h x 在()00,x 上为减函数，在()0,x +∞上为增函数， ()()2000000000min00ln 1ln 12ln 2x x ah x h x x x x x x x x x -==+--=+--=--，令()()2ln 21F x x x x =-->，()12120x F x x x-'=-=>恒成立，所以()F x 在()1,+∞上为增函数，又∵()12020F =--=，∴()0F x >，即()min 0h x >，所以，当()0,x ∈+∞时，()()f x g x >.22.（1）解：直线l 和圆2C 的普通方程分别为()220,24x y b x y -+=++=，090AOB ∠=，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，所以20,2b b -+==；（2）证明：曲线()21:0C x ay a =>，可知直线l的参数方程为22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线1C得214022t a t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，21402a a ∆=+>恒成立，设M N 、两点对应的参数分别为12t t 、，则124812t t ==，所以22128C M C N t t ==为定值.23.解：（1）2211011x x x x +-+>⇒+>-，①211211x x x x ≥-⎧⇒-<<⎨+>-⎩，②2111x x x φ<-⎧⇒⎨-->-⎩，所以，不等式的解集为{}|12x x -<<；（2）()1111g x x x m x x m x x m m =+++=-+++≥-+++=+，当且仅当()()10x x m -++≥时取等号，∴110m ++=，得2m =-，∴()1g x x x =+-，故当()1,2x ∈-时，()21101012112x x g x x x x -+-<<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<<⎩，所以()g x 在()1,2x ∈-时的值域为[)1,3.。

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·1· 2018年高三第一次模拟考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2,1,1,2A，集合|BkAykxR在上为增函数，则AB的子集个数为（） A．1 B． 2 C． 3 D．4 2. 设a为1i的虚部，b为21i的实部，则ab（） A． -1 B． -2 C． -3 D．0 3.已知具有线性相关的变量,xy，设其样本点为,1,2,,8iiiAxyi，回归直线方程为1ˆ

2yxa

，若1186,2OAOAOA，（O为原点），则a （）

A．18 B．18 C．14 D．14 4. 已知非向量,2,,2axxbx，则0x或4x是向量a与b夹角为锐角的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去ABC、、三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（） A． 8 B．7 C. 6 D．5 6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正

方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则sincos23（） ·2·

A．43310 B．43310 C. 43310 D．43310 7.如图所示的程序框图中，输出的S为（）

A．99223 B．100223 C. 101223 D．102223 8. 已知函数fx既是二次函数又是幂函数，函数gx是R上的奇函数，函数11gxhxfx，则

201820172016101201620172018hhhhhhhhh

（） A．0 B． 2018 C. 4036 D．4037 9. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

A．24 B．36 C. 40 D．400 ·3·

10. 已知向量44sin,cos22xxa，向量1,1b，函数fxab，则下列说法正确的是（） A．fx是奇函数 B．fx的一条对称轴为直线4x C. fx的最小正周期为2 D．fx在,42上为减函数

11.已知双曲线222109xybb的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且F与双曲线的渐近线相切，若过点A作F的两条切线，切点分别为,MN，则MN （） A．8 B．42 C. 23 D．43

12. 令11txdx，函数122413321log2xxfxxtx，21422212xxaxaxgxx满足以下两个条件：①当0x时，0fx或0gx；②|0Afxx，|0Bgxx，ABR，则实数a的取值范围是（）

A．11,23 B．11,23 C. 1,3 D．1,3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 13. 511axx的展开式中2x的系数是5，则a ． 14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.” 请问他们三个人中做对了的是． ·4·

15.已知实数,xy满足2202200xyxyxy，若32zxy取得最小值时的最优解,xy满足20axbyab，则4abab的最小值为．

16.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，6b，且227cosBa4acbbc，O为ABC内一点，且满足00,30OAOBOCBAO，则OA ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知数列na满足：1122,nnnaaannN，且121,2aa. （1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足*1121,nnnnababnnN，且11b.求数列nb的通项公式，并求其前n项和nT. 18.某品牌服装店五一进行促销活动，店老板为了扩大品牌的知名度同时增强活动的趣味性，约定打折办法如下：有两个不透明袋子，一个袋中放着编号为1，2，3的三个小球，另一个袋中放着编号为4，5的两个小球（小球除编号外其它都相同），顾客需从两个袋中各抽一个小球，两球的编号之和即为该顾客买衣服所打的折数（如，一位顾客抽得的两个小球的编号分别为2，5，则该顾客所习的买衣服打7折）.要求每位顾客先确定购买衣服后再取球确定打折数.已知ABC、、三位顾客各买了一件衣服. （1）求三位顾客中恰有两位顾客的衣服均打6折的概率；（2）AB、两位顾客都选了定价为2000元的一件衣服，设X为打折后两位顾客的消费总额，求X的分布列和数学期望. 19. 如图，四棱台1111ABCDABCD中，1AA底面111,3,23,2ABCDABAAABAC，平面11AACC平面11,CCDDM为1CC的中点. ·5·

（1）证明：1AMDD；（2）若030ABC，且ACBC，求二面角111BCCD的正弦值.

20. 椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，且过点31,2. （1）求椭圆C的方程；（2）设,Pxy为椭圆C上任一点，F为其右焦点，AB、是椭圆的左、右顶点，点P满足4,0PPx.

①证明：PPPF为定值； ②设Q是直线4x上的任一点，直线AQBQ、分别另交椭圆C于MN、两点，求MFNF的最小值. 21. 已知函数ln1axfxxaRx. （1）讨论函数fx的单调性；

（2）若fx有两个极值点12,xx，证明: 121222fxfxxxf. （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为21xtyta（t为参数，0a），在以O为极点，·6·

x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cossin0lb与2:4cosC相交于

AB、两点，且090AOB.

（1）求b的值；（2）直线l与曲线1C相交于MN、，证明：22CMCN（2C为圆心）为定值. 23. 已知函数1fxx. （1）解关于x的不等式210fxx；（2）若函数1gxfxfxm，当且仅当01x时，gx取得最小值，求1,2x

时，函数gx的值域. 试卷答案一、选择题 1-5: DABBB 6-10: ACDCD 11、12：DB 二、填空题 13. -1 14. 甲 15. 9 16. 3 三、解答题 17.解：（1）由*1122,nnnaaannN知数列na为等差数列，且首项为1，公差为211aa，所以nan；（2）∵121nnnbnb，

∴11112nnbbnnn，∴数列nbn是以111b为首项，12为公比的等比数列， 112nnbn





，从而12nnnb，

01221123122222nnnnnT，23111231222222nnnnnT， ·7·

∴2111111122121222222212nnnnnnnnnT，所以1242nnnT. 18.解：打5，6，7，8折的概率分别为112111,,,32632336，（1）事件A为“三位顾客中恰有两位顾客打6折”，

所以223122339PAC；（2）X的可能取值为2000，2200，2400，2600，2800，3000，3200， 11120006636PX，11122002639PX，

111122400263339PX，

111110526002233663618PX，111122800233369PX ，

11130002639PX，11132006636PX，

所以X的分布列为 X 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200

P 136 19 29 518 29 19 136

1125211200022002400260028003000320026003699189936EX

元. 19.（1）证明：连接1AC， ∵1111ABCDABCD为四棱台，四边形1111ABCD四边形ABCD， ∴111112ABACABAC，由2AC得，111AC，又∵1AA底面ABCD，∴四边形11AACC为直角梯形，可求得12CA，又2,ACM为1CC的中点，所以1AMCC，