单元二 平面力系
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第二章平面力系
第二章平面力系教学目标：掌握平面力系向一点简化的一般结果和最终结果；掌握平面任意力系的平衡方程；掌握平面特殊力系的平衡方程。
重点、难点：平面力系平衡方程求解力学问题。
学时分配：8学时。
§2-1 平面任意力系的简化一 平面任意力系向一点简化——主矢与主矩设刚体上作用有n 各力1F 、2F 、…、n F 组成的平面任意力系，如图3-2a 所示，在力系所在平面内任取点O 作为简化中心，由力的平移定理将力系中各力矢量向O 点平移，如图3-2b 所示，得到作用于简化中心O 点的平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '，和附加平面力偶系，其矩为1M 、2M 、…、n M 。
图3-2平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '可以合成为力的作用线通过简化中心O 的一个力RF '，此力称为原来力系的主矢，即主矢等于力系中各力的矢量和。
有∑=''''ni 1=+++=+++=1212i n n RF F F F F F F F 平面力偶系1M 、2M 、…、n M 可以合成一个力偶，其矩为o M ，此力偶矩称为原来力系的主矩，即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。
有∑=ni n o (M =M ++M +M =M 1i o 21)F结论：平面任意力系向力系所在平面内任意点简化，得到一个力和一个力偶，如图所示，此力称为原来力系的主矢，与简化中心的位置无关；此力偶矩称为原来力系的主矩，与简化中心的位置有关。
利用平面汇交力系和平面力偶系的合成方法，可求出力系的主矢和主矩。
如图所示，建立直角坐标系oxy ，主矢的大小和方向余弦为212122)F ()F (=F F =F ni yi ni xi Ry RxR ∑∑==+'+'Rn1i yiRRy R n1i xi R RxF FF F cos ,F F F F )cos ∑∑===''=⋅=''=⋅)((j F i F R R主矩的解析表达式为∑=-=ni xi i yi i o )F y F (x M 1)(R F二 平面任意力系简化结果讨论（1）当00≠='o M ,RF 时，简化为一个力偶。
第2章 平面力系
F1
80㎜
y
F2 B
x
解：如图建立坐标系，则
F1 X Y 0 100
2
F2 30 40
F3 50 0
2
Σ 80 140
A
60㎜
C
F3
FR
X Y
7 4
161 .2 N
所以
Y tg X
[例3] 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。 求：在P的作用下AC、BC所受力的大小。 ①选铰链C为研究对象 ②取分离体画受力图 P B C
F1 R sin sin( 180 )
2. 任意个共点力的合成
力多边形法则：把各力矢首尾相接，形成一条有向 折线段（称为力链）。加上一封闭边，就得到一个 多边形，称为力多边形。
F2 F1 F3 F4
结论：RF F F F 1 2 3 4 即：
R F
R
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过各力的汇交点。
平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影 力 投影 X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosβ 投影
2
力
2
F Fx Fy
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
二、合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴 和在y轴投影的和分别为：
Rx X1X2 X4 X
二、平面汇交力系平衡的条件 平面汇交力系平衡的充要条件是：
F2 F1 F3 F5 F4 R
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合 力为零意味着力多边形自行封闭。 所以平面汇交力系平衡的必要与充 分的几何条件是： 力多边形自行封闭
第2章 平面力系(工程力学).
Fy 0, FAy - F sin 30 0 Fx 0, FAx - F cos30 0 M A(F ) 0, M A - Fl sin 30 0
3)求解未知量 将已知条件代入以上平衡方程解得
FAx F cos30 100N cos30 86.6N FAy F sin 30 100N sin 30 50.0N M A Fl sin 30 100N 2m sin 30 100N m
链A的约束力。 解 1）选取横梁AB为研究对象，画受力图；
2）选取投影坐标轴xAy和矩心A，列平衡方程：
Fx 0, FAx - FCD cos 0
Fy 0, FAy - G1 - G2 FCD sin 0
M
A (F
)
0,
FCDl
sin
-
G1
l 2
-
G2
a
x
x1
2x
nx
x
F' F' F' F'
Ry
1y
2y
ny
F ' F F F F
y
1y
2y
ny
y
2.4
§2.1 平面任意力系的简化
主矢大小： FR' (FR'x )2 (FR'y )2 (Fx )2 (Fy )2
主矢方向： tan Fy FX
恒等于零，即 MO MO (F ) 0 。 因此，平
面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程，
即： Fx Fy
0 0
两个平衡方程只能解两个未知量。
3)求解未知量 将已知条件代入以上平衡方程解得
FAx F cos30 100N cos30 86.6N FAy F sin 30 100N sin 30 50.0N M A Fl sin 30 100N 2m sin 30 100N m
链A的约束力。 解 1）选取横梁AB为研究对象，画受力图；
2）选取投影坐标轴xAy和矩心A，列平衡方程：
Fx 0, FAx - FCD cos 0
Fy 0, FAy - G1 - G2 FCD sin 0
M
A (F
)
0,
FCDl
sin
-
G1
l 2
-
G2
a
x
x1
2x
nx
x
F' F' F' F'
Ry
1y
2y
ny
F ' F F F F
y
1y
2y
ny
y
2.4
§2.1 平面任意力系的简化
主矢大小： FR' (FR'x )2 (FR'y )2 (Fx )2 (Fy )2
主矢方向： tan Fy FX
恒等于零，即 MO MO (F ) 0 。 因此，平
面汇交力系独立的平衡方程为两个投影方程，
即： Fx Fy
0 0
两个平衡方程只能解两个未知量。
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
02平面力系
2 平面力系
本章提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计 算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力 系的平衡方程及应用、考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图2.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图2.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 2.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图2.12
图2.13
图2.14
图2.15
2.2.2 合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平 面汇交力系的合力矩定理。 如图2.16
图2.16
【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm, BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力 矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。 【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(2.5)称为平面汇交力系 的平衡方程。
【例2.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图2.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
本章提要
本章主要研究力的投影和力对点之矩的计 算、合力投影定理、合力矩定理、各种平面力 系的平衡方程及应用、考虑摩擦时物体的平衡。
所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面 内的力系。
在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则 称为平面汇交力系(图2.1)； 若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力 系(图2.2)； 若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相 互平行，则称为平面一般力系(图2.3)。
如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则 力F的大小和方向可由下式确定
F Fx2 Fy2 Fx 力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表 2.1)。
如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投 影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分 力是沿该轴的正向还是负向。
tan
图2.12
图2.13
图2.14
图2.15
2.2.2 合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等 于力系中各分力对同一点之矩的代数和。这就是平 面汇交力系的合力矩定理。 如图2.16
图2.16
【例2.8】支架如图2.17所示，已知AB=AC=30cm, BD=15cm,F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力 矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。 【解】（1） 根据力矩定义计算，由式(2.6)得
R ( Fx )2 ( Fy )2
可知：欲使R=0,必须且只需
∑Fx=0
∑Fy=0
于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析 条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上 的投影的代数和都等于零。式(2.5)称为平面汇交力系 的平衡方程。
【例2.3】一梯子AB自重W=100N，重心假定在梯子长度 中点C。梯子的上端A靠在光滑的墙上，下端B放置在与 水平面成40°倾角的光滑斜坡(图2.8(a))。试求梯子在自 身重力作用下平衡时，两端的约束反力。
PPT-静力学-第二章 平面力系
F3 10,0 N F.4 250 N 求：此力系的合力.
解： 用解析法
FRx
F ix
F1
cos 30
F2
cos 60
F3
cos
45
F4
cos
45
129.3N
FRy
F iy
F1
sin
30
F2
sin
60
F3
sin
45
F4
sin
45
112.3N
FR
F2 Rx
F2 Ry
171.3N
cosθ FRx 0.7548 F
2.方向：转动方向 M O(F) F h
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的 乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为
负.常用单位 N或 m kN m
二、合力矩定理与力矩的解析表达式
合力矩定理：平面汇交力系的合力
对平面内任一点之矩等于所有各分
力对于该点之矩的代数和。
第二章 平面力系
当力力系中各力的作用线处于同一平面时，该力系称 为平面力系。 平面汇交（共点）力系
平面平行力系 平面力偶系 平面任意力系
主要研究：力系的合成、简化与平衡，建立平衡条件 和平衡方程
§2-1 平面汇交力系
一、平面汇交力系合成的几何法－－力多边形规则
FR1 F1 F2
3
FR 2
FR1
M A F
lim x0
qo x x x
l
FR
q0
（ qo l x2dx q0 l 2
l0
3
）
合力作用线的位置为：
C
x B
xc
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
机械工程基础课件 单元二 平面力系
M = F1 d=F'1 d'
F2
d
F2
F
=
d
=
F
M
F1
F1
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
单元二
3.力偶系的平衡条件
平面力系
力偶矩矢多边形自行闭合，即力偶系中各力偶矩
单元二
平面力系
2.1平面汇交力系的合成与平衡
1. 平面汇交力系合成的几何法——力多边形法则
F1 F1 O F2 F4 F3 FR
O
B
F2
C
F3
D
F4
E
表达式：FR = F1+ F2+ F3+ F4
单元二
（1）力多边形法则
平面力系
把各力矢首尾相接，形成一条折线（称为开口
的多边形）。加上一封闭边，就得到一个多边形， 称为力多边形。
平面力系
由力矢F的始端A和末端B向投影平面Oxy引垂线，由垂足 → ' ' A 到B 所构成的矢量A'B' ，就是力F在平面Oxy上的投影，记为 Fxy。 B F
力Fxy的大小：
A y A′ O
Fxy F cos
注意: 力在轴上的投影是一代数量。 力在平面上的投影仍是一矢量。
Fxy
B′
x
单元二
即
M O FR M O Fi
平面汇交力系
M 0 FR M 0 Fi
单元二
2.2.2 平面力偶
1.何为力偶？
平面力系
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F
单元二
1.力偶和力偶矩
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水平线成60°角，不计杆的重量， 已知F=60N,求A,C两点的约束力。
A
F B
D
项目二
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
C
D
31
项目三
已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
32
项目一
边长为a的直角弯杆
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
水平线成60°角，不计杆的重量， 已知F=60N,求A,C两点的约束力。
§1-4 平面力偶系
一、力对点的矩 平面内力F对刚体产生绕O的转动效 应的度量-力对点之矩
记作
M O ( F ) F d
+
说明：① M O ( F )是代数量。
力臂
-
② F↑,d↑转动效应明显。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
矩心
Mo（F）
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。 ④单位Nm，工程单位kgm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
④解方程求出未知数
七、注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
39
40
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
车刀
26
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
3
力在平面坐标轴上的投影
X=Fx=F· cos ： Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2
2
Y Fy cos F F
4
（二）合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
又∵
14
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
15
四、力偶
平面汇交力系的平衡方程
mA ( F ) 0 成为恒等式
A B 连线不平行于力线
X 0 0
38
Y
平面力偶系的平衡方程
mi 0
六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧
投影轴； ① 选研究对象 ① 选坐标轴最好是未知力 ② 画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上； ③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
29
一般力系的平衡方程
①一矩式
一般形式
X
0 Y 0
mO ( Fi ) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
30
项目一
边长为a的直角弯杆
C B
60°
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
3.6
7
（三）汇交力系平衡条件的解析法
FR
F F F
2 2 x y z
2
合力FR为0，必定有根式中的三项同时为0
F
F
x
y
0
0
空间汇交力系 的平衡方程
平面汇交力 系的平衡方 程
8
平面汇交力系有
F
x
0
F
y
0
[例] 已知 P=2kN, 求SCD ,RA 解：①研究AB杆
为该力系的汇交点
F3
O 30° F2 F1
[例] 固定在墙内的螺钉上作用有三
个力，如图示，大小分别为F1=3kN,
F2=4kN, F3=5kN, 求三力的合力.
F1x 0, F1y 3kN F2 x 4kN, F2 y 0
F3 x 5cos 30 4.33kN, F3 y 5sin 30 2.5kN
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
作用在汽车方向盘和电机转子上的两个力
16
力偶—作用在刚体上的大小相等、方向相反且不共线的力 组成的力系称为力偶
F d F’
力所在的平面—力偶作用面
二力作用线之间的距离—力偶臂
力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。 它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的 乘积，记为 ，简记为
② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0;
③ 平衡
R ' 0,M O 0;
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
37
n
合力矩定理
平面一般力系的平衡方程 三、 平面平行力系的平衡方程 X 0 成为恒等式 一矩式 二矩式 Y 0 m A ( F ) 0
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0
B
C
60°
D
解:
Fx 0, F FA sin 45 FC cos 60 0 Fy 0, FA cos 45 FC sin 60 0
A
y
x
代入已知量求解得
FC 43.92N, FA 53.79N
33
项目二
解：
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
F B
先选取销钉B作为研究对 象，画受力图；再选定 坐标系Bxy, 列平衡方程
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 Y 0
RAcos SCD cos450 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
④解平衡方程
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 解得： 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos 9
由 mA ( Fi ) 0
P2a N B 3a 0, N B
X 0 Y 0
XA 0
2P 3
YB N B P 0,
Y A
P 3
36
本章小结：
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力+力偶
二、平面一般力系的合成结果
① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0;
M F , F '
17
力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。
M F d
力偶对点的矩
M O F M O F ' ... Fd
力偶对任一点之矩等于力偶矩而与矩心位置无关。 · 综上所述，力偶对物体的作用效应，决定于 （1）力偶矩大小； （2）力偶在其作用面（称力偶作用面）内的转向。
18
平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的和等于零。
即
M
i 1
n
i
0
讨
论
怎样确定B、C二处的约束力
19
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
F
对新作用点B的矩。
[证 ] 力 F
力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
22
F
B d A
F’
B
F
d
A
F”
F=F’=F”
F’
M
B d
F
A
M=MB(F)
M=Fd
F”
23
§3-2 平面一般力系向一点简化
F1 A1 O A2 F2 An F1
’ A1 F1 M1 MO An 2 M
Fn F2
F2’
A2
n
Fn’
Fn
O
Mo
FR
24
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ，(作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
25
大小： M O mO ( Fi )
主矩MO （转动效应） 方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关)
MA为限制转动。
27
二、
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系简化的结果
一 般力系
汇交力系
合 力 FR=Fi
力 偶 系
合 力 偶 MO= MO ( Fi )
28
R ' 0 为力平衡条件 由于 M o 0 为力偶平衡条件
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R '和主矩 MO 都等于零，即：
20
§1-5
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫平面任意力系。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
A
F B
D
项目二
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
C
D
31
项目三
已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
32
项目一
边长为a的直角弯杆
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
水平线成60°角，不计杆的重量， 已知F=60N,求A,C两点的约束力。
§1-4 平面力偶系
一、力对点的矩 平面内力F对刚体产生绕O的转动效 应的度量-力对点之矩
记作
M O ( F ) F d
+
说明：① M O ( F )是代数量。
力臂
-
② F↑,d↑转动效应明显。
M O ( F ) =0。 当F=0或d=0时，
矩心
Mo（F）
③ M O ( F )是影响转动的独立因素。 ④单位Nm，工程单位kgm。 ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
④解方程求出未知数
七、注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
39
40
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 固定端（插入端）约束 在工程中常见的
雨搭
车刀
26
固定端（插入端）约束
说明
①认为Fi这群力在同一
平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交
分力YA, XA表示; ④ YA, XA, MA为固定端 约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,
3
力在平面坐标轴上的投影
X=Fx=F· cos ： Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2
2
Y Fy cos F F
4
（二）合力投影定理
由图可看出，各分力在x轴和在y 轴投影的和分别为：
即：
Rx X 1 X 2 X 4 X
又∵
14
[例] 已知：如图 F、Q、l, 求：mO ( F ) 和 mo (Q ) 解：①用力对点的矩法
l mO ( F ) F d F sin
mo (Q ) Ql
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l Fy l ctg
mo (Q ) Ql
15
四、力偶
平面汇交力系的平衡方程
mA ( F ) 0 成为恒等式
A B 连线不平行于力线
X 0 0
38
Y
平面力偶系的平衡方程
mi 0
六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧
投影轴； ① 选研究对象 ① 选坐标轴最好是未知力 ② 画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上； ③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。
R' ( X ) 2 ( Y ) 2 0
M O mO ( Fi ) 0
29
一般力系的平衡方程
①一矩式
一般形式
X
0 Y 0
mO ( Fi ) 0
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
30
项目一
边长为a的直角弯杆
C B
60°
ABC的A段与固定铰链支座联接，
C段与杆CD用销钉联接，而CD与
3.6
7
（三）汇交力系平衡条件的解析法
FR
F F F
2 2 x y z
2
合力FR为0，必定有根式中的三项同时为0
F
F
x
y
0
0
空间汇交力系 的平衡方程
平面汇交力 系的平衡方 程
8
平面汇交力系有
F
x
0
F
y
0
[例] 已知 P=2kN, 求SCD ,RA 解：①研究AB杆
为该力系的汇交点
F3
O 30° F2 F1
[例] 固定在墙内的螺钉上作用有三
个力，如图示，大小分别为F1=3kN,
F2=4kN, F3=5kN, 求三力的合力.
F1x 0, F1y 3kN F2 x 4kN, F2 y 0
F3 x 5cos 30 4.33kN, F3 y 5sin 30 2.5kN
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
作用在汽车方向盘和电机转子上的两个力
16
力偶—作用在刚体上的大小相等、方向相反且不共线的力 组成的力系称为力偶
F d F’
力所在的平面—力偶作用面
二力作用线之间的距离—力偶臂
力偶对物体的转动效应用力偶矩度量。 它等于力偶中的力的大小与两个力之间的距离（力偶臂）的 乘积，记为 ，简记为
② 合力偶（主矩） R ' 0,M O 0;
③ 平衡
R ' 0,M O 0;
mO ( R ) mO ( Fi )
i 1
37
n
合力矩定理
平面一般力系的平衡方程 三、 平面平行力系的平衡方程 X 0 成为恒等式 一矩式 二矩式 Y 0 m A ( F ) 0
m A ( F ) 0 m B ( F ) 0
B
C
60°
D
解:
Fx 0, F FA sin 45 FC cos 60 0 Fy 0, FA cos 45 FC sin 60 0
A
y
x
代入已知量求解得
FC 43.92N, FA 53.79N
33
项目二
解：
简易压榨机如图 示，求水平压榨力
A
F B
先选取销钉B作为研究对 象，画受力图；再选定 坐标系Bxy, 列平衡方程
②画出受力图
③列平衡方程
X 0 Y 0
RAcos SCD cos450 0 P RA sin SCD sin450 0
由EB=BC=0.4m，
④解平衡方程
EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 解得： 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ； R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos 9
由 mA ( Fi ) 0
P2a N B 3a 0, N B
X 0 Y 0
XA 0
2P 3
YB N B P 0,
Y A
P 3
36
本章小结：
一、力线平移定理是力系简化的理论基础
力 力+力偶
二、平面一般力系的合成结果
① 合力（主矢） R ' 0,M O 0;或R ' 0,M O 0;
M F , F '
17
力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。
M F d
力偶对点的矩
M O F M O F ' ... Fd
力偶对任一点之矩等于力偶矩而与矩心位置无关。 · 综上所述，力偶对物体的作用效应，决定于 （1）力偶矩大小； （2）力偶在其作用面（称力偶作用面）内的转向。
18
平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的和等于零。
即
M
i 1
n
i
0
讨
论
怎样确定B、C二处的约束力
19
[例]
在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为 m1 m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力? 解: 各力偶的合力偶距为
F
对新作用点B的矩。
[证 ] 力 F
力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
22
F
B d A
F’
B
F
d
A
F”
F=F’=F”
F’
M
B d
F
A
M=MB(F)
M=Fd
F”
23
§3-2 平面一般力系向一点简化
F1 A1 O A2 F2 An F1
’ A1 F1 M1 MO An 2 M
Fn F2
F2’
A2
n
Fn’
Fn
O
Mo
FR
24
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'(主矢) ，(作用在简化中心) 力 偶 系 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
25
大小： M O mO ( Fi )
主矩MO （转动效应） 方向： 方向规定 + — 简化中心： (与简化中心有关)
MA为限制转动。
27
二、
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系简化的结果
一 般力系
汇交力系
合 力 FR=Fi
力 偶 系
合 力 偶 MO= MO ( Fi )
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R ' 0 为力平衡条件 由于 M o 0 为力偶平衡条件
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R '和主矩 MO 都等于零，即：
20
§1-5
平面任意力系
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点
又不相互平行的力系叫平面任意力系。
[例]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）