(完整word版)数学实验报告 曲线拟合人口增长模型及其数量预测

开课学院、实验室：数统学院DS1407 实验时间 ： 2012 年 5 月 3 日

课程 名称 数学实验 实验项目 名 称 人口增长模型及其数量预

测

实验项目类型

验证

演示 综合 设计 其他

指导 教师

龚劬 成 绩

√

实验目的

[1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程；

[2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；

[3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模

型；

[4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力；

通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

应用实验（或综合实验）

一、实验内容

从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示：

表综2.1

年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106

)

3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106)

31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930

1940

1950

1960

1970

1980

人口(×106)

123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5

用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。

二、问题分析

1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程：

?????==0

)0(d d x x rx

t

x 2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一

定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：

??

?

??=-=0)0()1(d d x

x x x rx t

x

m

三、数学模型的建立与求解

根据Malthus 模型的基本假设，和Logistic 模型，我们可以分别求得微分方程的解析解， y1=x0*exp(r*x);

y2= xm/(1+x0*exp(-r*x))

对于1790—1980年间美国每隔10年的人口记录，分别用matlab 工具箱中非线性拟合函数的命令作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 进行拟合，检验结果进一步讨论模型的改进，预测美国2010年的人口数量。

四、实验结果及分析

对于Malthus 模型 作一般的最小二乘曲线拟合，可利用已有程序lsqcurvefit 得到拟合函数为y=(3.54e-011)*exp(0.0149*x), 当x=2010时，预测的人口为359.4916

由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，运用Logistic 模型对微分方程的解进行拟合，得到y2= 360.4/(1+53.11 *exp(-0.02342*(x-1790)))

到2010年时，预计人口数量为y2 = 275.6894，

作图可以看出两条曲线拟合程度较高相比基本模型，改进模型更接近实际。

1780

1800

1820

1840

1860

1880

1900

1920

1940

1960

1980

0 50

100

150

200 250

x

y

fitted curve

五、附录（程序等）

Malthus 模型 1、

编写拟合函数的文件fitful2.m function y=fitful2(a,x)

y=a(1).*exp(a(2).*x);

2、 运行的脚本文件

clc,clear a0=[50,0.02];

xdata=[1790:10:1980];

ydata=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5];

[a,resnorm,residual,flag,output]=lsqcurvefit('fitful2',a0,xdata,ydata) xi=[1790:10:1980]; yi=fitful2(a,xdata)

plot(xdata,ydata,'r-o',xi,yi,'b-+') xlabel('x'),ylabel('y=f(x)');

Logistic 模型

程序：

x=[1790:10:1980]';

y=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5]';

1780

1800182018401860

188019001920194019601980

050

100

150

200

250x

y

st_ = [500 30 0.2 ];

ft_ = fittype('a/(1+b*exp(-k*(x-1790)))',...

'dependent',{'y'},'independent',{'x'},...

'coefficients',{'a', 'b','k'});

cf_ = fit(x,y,ft_,'Startpoint',st_)

plot(cf_,'fit',0.95);hold on,plot(x,y,'*')

总结与体会

通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。收获颇多

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