15.1.2分数的基本性质3通分
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分数的基本性质是什么
分数的基本性质是什么
在分数的大小比较以及异分母分数的加减计算时，都要依据分数的基本性质，那么下面就和一起来看看分数的基本性质是什么？
分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质。
根据分数与除法的关系，分数的基本性质与商不变性质类似。
用途
分数的基本性质是约分和通分的理论依据。
约分
约分是分式约分，把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值不变，这个过程叫约分，依据是分数的基本性质。
利用约分可以化简分数，当直接约分有困难时，可以将分子分母分解质因数后约分。
约分时，如果能很快看出分子和分母的最大公因数，直接用它们的最大公约数去除比较简便。
通分
根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程，叫做通分。
利用通分可以解决分数大小比较和分数加减计算问题。
通分时，如果能很快看出不同分母的最小公倍数，根据分数的基本性质直接化成同分母分数，比较和计算更方便。
八年级上册数学15.1.2 分式的基本性质
(2) x x
y y
(
x2
x
y2 y )2
;
(3) x2 1 x2 x
x (
x
1; )
(4) a2
2a 1 1 a
1 a;
(5) m2 3m 2 ( m 2 ) .
m2 m
m
2.把下列各式通分.
(1) 2 ， 1 ;(2) x ， 1
;
3a2 6ab2
5abc 5ac2
5ac2 ；
15ab2c
5abc
9 6x
9
（x 3）（x （x 3）2
3)
x 3. x3
（3）6x2 12xy 6 y2 3x 3y
（6 x （3 x
y）2 y）
（2 x
y）.
知识点3 通分
15.1 分式
15.1.2 分式的基本性质
R·八年级上册
新课导入
• 你知道分数的基本性质吗？由此你是否能联 想出分式的基本性质呢？
• 学习目标： 1．能说出分式的基本性质. 2．能利用分式的基本性质将分式变形. 3．会用分式的基本性质进行分式的约分和通分.
• 学习重、难点： 重点：分式的基本性质及运用，分式的符号法则. 难点：分式基本性质的运用——约分和通分.
xy y
6x2
2x
（2）1 a ，2a b 2ab b2 .
ab a2b a2
a2b
观察上题中的两个分式在变形前后的分子、
分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联
想到什么？
人教版数学八年级上册15.1.2分式的基本性质(3)-通分(教案)
-掌握通分的步骤与方法：包括找出分式的最小公倍数作为新的分母，然后分别对分子和分母进行等比例扩大，实现分式的通分。重点讲解如何寻找最小公倍数及其在通分中的应用。
-运用通分解决实际问题：将通分应用于解决具体的数学问题，如分数比较大小、分式加减运算等，强调通分在实际计算中的重要性。
举例：比较两个分式$\frac{2}{3}$和$\frac{5}{4}$的大小，需要先通分，将它们转化为同分母的分式，如$\frac{8}{12}$和$\frac{15}{12}$，从而直观地判断大小。
本节课，我们将学习分式的通分，掌握通分的步骤，并通过实例练习，使同学们能够熟练运用通分解决分式加减的问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分式通分的探究，理解数学知识之间的内在联系，提高解决问题的逻辑思维。
2.培养学生的数学运算能力，掌握通分的具体方法，灵活运用到分式的加减运算中，提升运算速度和准确度。
3.培养学生的数学建模能力，将现实生活中的问题转化为分式计算问题，通过通分解决实际问题，增强数学应用意识。
4.培养学生的数学抽象能力，从具体的分式实例中提炼出通分的概念和性质，体会数学抽象的过程，提高数学素养。
三、教学难点与重母不同的分式化为分母相同的分式，以便进行加减运算。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图示和实际例题，让学生深刻理解通分的意义和作用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质（3）-通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同分母的分数进行比较或运算的情况？”（如购物时比较不同规格商品的价格）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索通分的奥秘。
-运用通分解决实际问题：将通分应用于解决具体的数学问题，如分数比较大小、分式加减运算等，强调通分在实际计算中的重要性。
举例：比较两个分式$\frac{2}{3}$和$\frac{5}{4}$的大小，需要先通分，将它们转化为同分母的分式，如$\frac{8}{12}$和$\frac{15}{12}$，从而直观地判断大小。
本节课，我们将学习分式的通分，掌握通分的步骤，并通过实例练习，使同学们能够熟练运用通分解决分式加减的问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过分式通分的探究，理解数学知识之间的内在联系，提高解决问题的逻辑思维。
2.培养学生的数学运算能力，掌握通分的具体方法，灵活运用到分式的加减运算中，提升运算速度和准确度。
3.培养学生的数学建模能力，将现实生活中的问题转化为分式计算问题，通过通分解决实际问题，增强数学应用意识。
4.培养学生的数学抽象能力，从具体的分式实例中提炼出通分的概念和性质，体会数学抽象的过程，提高数学素养。
三、教学难点与重母不同的分式化为分母相同的分式，以便进行加减运算。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图示和实际例题，让学生深刻理解通分的意义和作用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质（3）-通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同分母的分数进行比较或运算的情况？”（如购物时比较不同规格商品的价格）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索通分的奥秘。
15.1.2分式的基本性质(三)通分
想一想
分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）
同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：
（ 其中M是不等于零的整式）。
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
2、把下面的分数通分：
3、什么叫分数的通分？ 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，
而不改变分数的的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。
5、通分的关键是确定几个分式的公分母。
例题讲解与练习
例2、 通分
公分母如何确定呢？
最简公分母
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）
作业
将下列各组分别进行通分:
最简公分母
（1）求分式
的公分母。
分析： 对于三个分式的分母中的系数2，
4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式 的分母的字母，字母x为底的幂的因式， 取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式， 取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个 分式的公分母为12x3y4z。
讲解与练习
例、 通分 （1） ， ； （2） ， ；
就是这两个分式的最简公分母。
练 习
通分：
（1）
，
； （2）
，；
（3）
.
2、完成课本练习2。
课堂小结
1、分式的通分运算中， 它的意义是怎 样的？通分运算的关键是什么？
分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）
同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：
（ 其中M是不等于零的整式）。
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
2、把下面的分数通分：
3、什么叫分数的通分？ 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，
而不改变分数的的分式相等的同分母的分式 叫做分式的通分。
5、通分的关键是确定几个分式的公分母。
例题讲解与练习
例2、 通分
公分母如何确定呢？
最简公分母
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含有的因式。 3、各分母所含相同因式的最高次幂。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最 高次幂的积（其中系数都取正数）
作业
将下列各组分别进行通分:
最简公分母
（1）求分式
的公分母。
分析： 对于三个分式的分母中的系数2，
4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式 的分母的字母，字母x为底的幂的因式， 取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式， 取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个 分式的公分母为12x3y4z。
讲解与练习
例、 通分 （1） ， ； （2） ， ；
就是这两个分式的最简公分母。
练 习
通分：
（1）
，
； （2）
，；
（3）
.
2、完成课本练习2。
课堂小结
1、分式的通分运算中， 它的意义是怎 样的？通分运算的关键是什么？
五年级下册《分数的基本性质》知识点整理
五年级下册《分数的基本性质》知识点整理
分数的基本性质
1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数的基本性质知识点
2、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数。
约分时，通常要约成最简分数。
（分子和分母只有公因数1，这样的分数叫最简分数）约分方法：直接除以分子、分母的最大公因数。
例如：
3、通分：把几个分母不同的分数（也叫做异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
通分过程中，相同的分母叫做这几个分数的公分母。
通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。
4、比较异分母分数的方法：1.先通分转化成同分母的分数再比较。
2.化成小数后再比较。
5、球的反弹高度实验的结论：
（1）用同一种球从不同高度下落，表示反弹高度与下落高度关系的分数大致不变，这说明同一种球的弹性是一样的。
（2）用不同的球从同一个高度下落，表示反弹高度与下落高度关系的分数是不一样的，这说明不同的球的弹性是不一样的。
人教版八年级数学上册第15章15.1.2分式的基本性质课件
-
x
1 -
y
y
1 -
x
.
反馈练习： 下列各组分式，能否由左边变形为右边？
(1)
× (2)
×
(3)
√ (4)
√
【小结】：（1）看分母如何变化，想分子如何变化. （2）看分子如何变化，想分母如何变化.
考点二：分式的约分和最简分式
(阅读课本130-131)
1、分式的约分： 把一个分式的分子、分母的_公__因__式__约去， 不改变分式的值.依据是_分__式__的__基__本__性__质__
3.通分和约分
根据：分式的基本性质
4.约分的最后的结果必须是 最简分式或整式
5.通分时关键要找出 最简公分母
y 1.若把分式 x + y 的x和y 都扩大两倍,则分式的值( B)
A．扩大两倍 B．不变 C．缩小两倍 D．缩小四倍
2.若把分式 xy 中的x和y都缩小3倍,那么分式 x+ y
的值( A ).
1、分式的基本性质：
(1)语言叙述：分式的分子与分母乘(或除以)_同__一__个__ _不__等__于__0_的 整式 ，分式的值_不__变__.
(2)字母表示：
A A C (C 0) ，A A C (C 0)
B BC
B BC
其中A，B，C是整式．
2、填空:
(1) 2 x ( 2x (x+y))
2.找字母：所有字母或含字母的式子都要选取.
3.找指数：取所有字母或含字母的式子中指数的最大值.
练：三个分式
1 x
,
x2
y +
x
,
3 的最简公分母是 x2 -1
x(x+1)(x-1)
最新人教版初中数学八年级上册 15.1.2 分式的基本性质及分式的通分课件
所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
每一步变形综合性都较强，计算时要步步
细心；
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4、分式通分的基本步骤： （1）、将各分母分解因式（没有就不用做这一步） （2）、寻找最简公分母（方法要记牢） （3）、根据分式的基本性质，把各分式的分子分母 乘以同一个整式，化异分母为最简公分母。（分子 运算很重要）
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的
1
2x3 y 2 z 12 x3 y 4 z
1
2x2z
4x2 y3
分母为 12x3y4z。
3xyz
12x3 y4 z
6xy 12x y z 4
34
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变式训练
42 x 1、8 , 4 , y 的 2x3
8 8 14x2
112 x 2
3x 3x 14x2 42x3
把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分。
约分知识复习 做一做
1、约分 ：
(1)
2x3y 4x2 y2
x 2y
(2)
x2
x2
xy
x y x
x2 4 (3) x2 4x 4
(x 2)( x 2) (x 2)2
(x 2) (x 2)
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2x 2x(x 5) 2x2 10 x x 5 (x 5)( x 5) x2 25
3x 3x(x 5) 3x2 15 x x 5 (x 5)( x 5) x2 25
得到了最简公分母
每一步变形综合性都较强，计算时要步步
细心；
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4、分式通分的基本步骤： （1）、将各分母分解因式（没有就不用做这一步） （2）、寻找最简公分母（方法要记牢） （3）、根据分式的基本性质，把各分式的分子分母 乘以同一个整式，化异分母为最简公分母。（分子 运算很重要）
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的
1
2x3 y 2 z 12 x3 y 4 z
1
2x2z
4x2 y3
分母为 12x3y4z。
3xyz
12x3 y4 z
6xy 12x y z 4
34
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变式训练
42 x 1、8 , 4 , y 的 2x3
8 8 14x2
112 x 2
3x 3x 14x2 42x3
把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分。
约分知识复习 做一做
1、约分 ：
(1)
2x3y 4x2 y2
x 2y
(2)
x2
x2
xy
x y x
x2 4 (3) x2 4x 4
(x 2)( x 2) (x 2)2
(x 2) (x 2)
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2x 2x(x 5) 2x2 10 x x 5 (x 5)( x 5) x2 25
3x 3x(x 5) 3x2 15 x x 5 (x 5)( x 5) x2 25
15.1.2分式的约分和通分
分式的约分和通分
复习回顾：
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式 分式的值___不__变______
用字母表示为：
A AC A AC （C≠0） B ，BC B BC
2.分式的符号法则：
（1） a a b b
（2）a a a b b b
概念——约分与最简分式
与分数的约分类似，我们利用分数的基本性质，
约去3x2 3xy 的分子和分母的公因式 3x
6 x 2 把 3x 2 3xy 化为 x y
6x2
2x
像这样，把一个分式的分子与分母的公因式约去，
叫做分式的约分。
经过约分后的分式
x y 2x
，其分子与分母没有
公因式
像这样，分子与分母没有公因式的分式，叫做最
A. 4 xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x 2 y 2
3.分式
1, x x2 x 2(x1)
的最简公分母是__2_x(__x_＋ __1（ _). x－1）
4. 三个分式 1, y , 3 的最简公分母
x x2 x x2 1
是 x(x＋1（ )x－1）
5.通分：
(1) 2 与a-1 3a9 a2 9
3、分式通分与最简公分母：
(1)分数通分：
4 12 8
(1) 7 与 1 12 8
32
最简公分母：
解： 7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 8 3 24
4×3×2=24
（2）观察下列式子，利用分式的基 本性质，仿照分数通分化简：
(1)2a32b与aab2cb
(2) 2x 与3x x5 x5
复习回顾：
1.分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式 分式的值___不__变______
用字母表示为：
A AC A AC （C≠0） B ，BC B BC
2.分式的符号法则：
（1） a a b b
（2）a a a b b b
概念——约分与最简分式
与分数的约分类似，我们利用分数的基本性质，
约去3x2 3xy 的分子和分母的公因式 3x
6 x 2 把 3x 2 3xy 化为 x y
6x2
2x
像这样，把一个分式的分子与分母的公因式约去，
叫做分式的约分。
经过约分后的分式
x y 2x
，其分子与分母没有
公因式
像这样，分子与分母没有公因式的分式，叫做最
A. 4 xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x 2 y 2
3.分式
1, x x2 x 2(x1)
的最简公分母是__2_x(__x_＋ __1（ _). x－1）
4. 三个分式 1, y , 3 的最简公分母
x x2 x x2 1
是 x(x＋1（ )x－1）
5.通分：
(1) 2 与a-1 3a9 a2 9
3、分式通分与最简公分母：
(1)分数通分：
4 12 8
(1) 7 与 1 12 8
32
最简公分母：
解： 7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 8 3 24
4×3×2=24
（2）观察下列式子，利用分式的基 本性质，仿照分数通分化简：
(1)2a32b与aab2cb
(2) 2x 与3x x5 x5
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（2 ）
x 1 , 2 2( x 1) x x
（3）
（4 ）
1 x 5 , 2, 3 2 xy 3 y 9 x y
（5）
四、பைடு நூலகம்理学案 五、布置作业：课本 133 页第 7 题
=
镇安县白塔中学
3、巩固练习：通分：
我学习我进步我成长
(3)
(1)
2c 3ac 与 ,； bd 4b 2
（2)
2 xy x 与 2 ; 2 ( x y) x y2
4、 指出下列分式的最简公分母?并尝试将它们通分. (1)
a 1 6 , 2 a 2a 1 a 1
2
(2)
2 x , 2 4 x x2
,字母取各分母所
（1）
；
（2）
；
（3）
.
2、通分： 1
3 a b 2x 3x 与 2 , (2) 与 . 2 2a b ab c x 5 x 5 解：（1）最简公分母是 . 3 ab = = 2 2a b ab 2 c （2）最简公分母是 . 2x 3x = x5 x5
=
镇安县白塔中学 八年级数学学科导学案
课 题 课时说明 一、学习目标 分式的基本性质 3 通分 一课时 流程及学习内容 题型
我学习我进步我成长 班级：
设计 陈绍强 使用时间 学法
姓名：
审核
新授课
1、经历用类比、观察的方法探索分式通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的意义. 2、能正确熟练地运用分式的基本性质将分式通分. 【学习重点】确定最简公分母 【学习难点】分母是多项式的分式的通分 二、学习流程 （一）知识回顾 1、将异分母分数 ， ， 化成同分母分数为 2 、分数的通分：把 是 。
b c x , , 2 的最简公分母是 a ab 2a b
;
x y , 2 的最简公分母是 x y x y2
.
.
a b a b ab , , 2 , 2 的最简公分母是 2 a b a b a 2ab b a 2ab b 2
(2)最简公分母取法：最简公分母的系数是各分母的系数的 有因式的 的积。 （三）新知运用 1、指出下列各组分式的最简公分母.
3 1 5 2 4 8
3 1 5 ___, ____, _____ . 2 4 8
分母的分数叫做分数的通分。其根据
分母的分数化成
（二）自主学习 1、思考：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢?其根据又是什么? 2、尝试概括：分式通分的定义： 。 分式的通分的根据是 3、 最简公分母： （1）分式
二、当堂检测 1、 判断下列通分是否正确： 解： ∵最简公分母
∴
2.填空
1 a b ， 2 3(a b) 6(a b) 2 (a b)
1 1 1 , , 通分后的结果为 2 a b 12 2 与 （2）分式 2 的最简公分母是 m 9 3 m
（1）将 3、通分 （1 ）
1 3 , y x 2x 2 y