第三章 命题逻辑的推理理论

证明命题公式 的小项。
( A1 ∧ A2 ∧L∧ An ) → B
是否包含所有
8
F =（（ ∨Q）∧（P→R）∧（Q→R））→R， （（P∨ ） ））→ ， （（ → ） → ））
P Q R 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 P∨Q 0 0 1 1 1 1 1 1 P→R 1 1 1 1 0 1 0 1 Q →R 1 1 0 1 1 1 0 1 (P∨Q)∧ (P→R） ∧（ Q →R） 0 0 0 1 0 1 0 1 F 1 1 1 1 1 1 1 1
10
推理实例
→ ∧ → (2) 推理的形式结构 (p→q)∧q→p 推理的形式结构: 用主析取范式法 (p→q)∧q→p → ∧ → ⇔ (¬p∨q)∧q→p ¬ ∨ ∧ → ⇔ ¬ ((¬p∨q)∧q)∨p ¬ ∨ ∧ ∨ ⇔ ¬q∨p ∨ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧¬ ∧¬q)∨ ∧ ⇔ (¬p∧¬ ∨(p∧¬ ∨ (p∧¬ ∨(p∧q) ¬ ∧¬ ⇔ m0∨m2∨m3 结果不含m 是成假赋值， 结果不含 1, 故01是成假赋值，所以推理不正确 是成假赋值
13
例：判定蕴含式P→（Q→R） ⇒（P→Q）→（P→R）是 判定蕴含式P （ 否成立
解
假定结论（ → ） 假定结论（P→Q）→（P→R）为假， → ）为假， 为真， → 为假 为假。 则P→Q为真，P→R为假。 → 为真 由P→R为假,得P为真，R为假。 为假, 为真， 为假。 为真， 为真。 又P→Q为真，故得 为真。 → 为真 故得Q为真 于是P为真， → 为假 为假。 于是 为真，Q→R为假。 为真 从而 P→（Q→R）为假。 → → ）为假。 因此蕴含式成立。 因此蕴含式成立。
1
3.1 推理的形式结构
定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式 若对于每组赋值， 为命题公式. 定义 为命题公式 若对于每组赋值， A1∧A2∧…∧ Ak 为假，或当 1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真， 为假，或当A 也为真， ∧ ∧ 为真时， 也为真 则称由前提 前提A 推出结论 结论B的推理是有效的或 则称由前提 1, A2, …, Ak推出结论 的推理是有效的或正确 并称B是有效结论. 的, 并称 是有效结论
15
注意： 注意： 九条推论中出现的A,B,C等都是元语言符号， A,B,C等都是元语言符号 （1）九条推论中出现的A,B,C等都是元语言符号，他们都代表任 意的命题公式。 意的命题公式。
（2）若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式一致， 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式一致， 则不用证明就可断定这个推理是正确的。 则不用证明就可断定这个推理是正确的。 （3）2.1节给出的16个等值式中的每一个都派生出两条推理定 2.1节给出的16个等值式中的每一个都派生出两条推理定 节给出的16 律。 （4）由九条推理定律可以产生九条推理规则，他们构成了推理 由九条推理定律可以产生九条推理规则， 系统中的推理规则。 系统中的推理规则。
注意: 注意 推理正确不能保证结论一定正确
2
例如 3.1
判断下列推理是否正确
(1)|p,p->q| |-q (2)|p,q->p| |-q 真值表见p43 真值表见p43 (1) p ∧(p->q) (2) p ∧(q->p)
3
符号“ 的区别和联系？ 符号“⇒”和 “→”的区别和联系？ 与符号“ 与符号“⇔”与“↔”的区别和联系类似。 ”的区别和联系类似。 1）“⇒”不是联结词，“A⇒B”不是公式，它表示公式 ） 不是公式， 不是联结词， ⇒ 不是公式 A与B之间存在蕴含关系。A前提 B结论 之间存在蕴含关系。 与 之间存在蕴含关系 是一个公式。 前件 前件B后件 2）“→”是联系词，A→B是一个公式。 A前件 后件 是联系词， → 是一个公式 3） A⇒B当且仅当 →B是永真公式 。 ） ⇒ 当且仅当 当且仅当A→ 是永真公式
公式F对任意的一组真值指派取值均为 ， 是重言式。 公式 对任意的一组真值指派取值均为1，故F是重言式。 对任意的一组真值指派取值均为 是重言式
9
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
7
如何判断由一个前提集合能否推出某个结论 1）真值表法： ）真值表法：
命题公式 的取值是否为永真 永真。 ( A1 ∧ A2 ∧L∧ An ) → B 的取值是否为永真。
2）等值演算方法 ）
证明命题公式 证明命题公式
( A1 ∧ A2 ∧L∧ An ) → B
是否为永真。 是否为永真。 永真
3）主析取范式法 ）
是两个命题公式，如果A 定义 设A和B是两个命题公式，如果A⇒B，即如果命 题公式A 为重言式，则称B是前提A的结论或从A 题公式A→B为重言式，则称B是前提A的结论或从A推 是一些命题公式, 出结论B 一般地设A 出结论B。一般地设A1，A2，…,Ak和B是一些命题公式, ,A 若蕴含式 …∧A A1∧A2∧…∧Ak ⇒ B (*) 成立，则称B 前提集合{ 成立，则称B是前提集合{ A1，A2，…,Ak}的结论，或 ,A 的结论， 称从前提A 结论B 有时也记作： 称从前提A1，A2，…,Ak能推出结论B。有时也记作： ,A 能推出结论 A1，A2，…,Ak ⇒ B ,A
11
假定前提A真 假定前提 真
假定前提A为真，检查在此情况下，其后件B是否也为真。 假定前提A为真，检查在此情况下，其后件B是否也为真。
例6 证明
证明 :
¬Q ∧（P→Q） ⇒ ¬P → ）
令前提¬Q∧（P→Q）为真，则¬Q为真 且P→Q为真。 为真, 为真。 令前提¬ ∧ → ）为真， 为真 → 为真 于是Q为假，因而 也为假 由此¬ 为真 也为假。 为真。 于是 为假，因而P也为假。由此¬P为真。 为假 成立。 故蕴含式 成立。
12
假定结论B假 反证法） 假定结论 假（反证法）
假定结论B为假，检查在此情况下，其前件A是否也为假. 假定结论B为假，检查在此情况下，其前件A是否也 →Q) ∧ (R→S) ⇒ (P∧R) → (Q∧S) → ∧ ∧ 令结论(P∧R)→(Q∧S)为假，则P∧R为真，Q∧S为假 为假， 为真， ∧ 为假 为假, 令结论 ∧ → ∧ 为假 ∧ 为真 于是P、 均为真 均为真， 至少一个为假。 于是 、R均为真，而Q和S至少一个为假。 和 至少一个为假 中至少一个为假, 由此可知 P→Q与R→S中至少一个为假 → 与 → 中至少一个为假 因此(P→ ∧ → 为假 为假. 因此 →Q)∧(R→S)为假 故上述蕴含式成立。 故上述蕴含式成立。
18
4
定理3.1 命题公式A1，A2，…,An推结论B的推理正确当且仅当 命题公式A ,A 推结论B (A1∧A2∧，…, ∧ An）→ B为重言式
证明：首先证明其必要性。 证明：首先证明其必要性。
的推理正确， 若A1，A2，…,An推B的推理正确，则A1，A2，…,An，B中所含命题变 ,A 项的任意一组赋值，不会出现A 为真， 项的任意一组赋值，不会出现 1∧A2∧，…, ∧ An为真，而B为假 为假 的情况，因而在任意赋值下，蕴含式(A 的情况，因而在任意赋值下，蕴含式(A1∧A2∧，…,∧An）→B均为 真，所以它为重言式 再证充分性 若蕴含式(A 若蕴含式(A1∧A2∧，…,∧An）→B为重言式，则对于任何赋值此蕴 为重言式， 含式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况， 含式均为真，因而不会出现前件为真后件为假的情况，即在任何赋 值下，或者A 为假，或者A 值下，或者A1∧A2∧，…, ∧An为假，或者A1∧ A2，∧ …,∧ An和B , 同时为真，这正符合定义3.1 3.1中推理正确的定义 同时为真，这正符合定义3.1中推理正确的定义 5
16
3.2 自然推理系统 自然推理系统P
定义3.2 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： 一个形式系统 由下面四个部分组成： 定义 (1) 非空的字母表，记作 A(I). 非空的字母表， (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). 中符号构造的合式公式集， (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). 中一些特殊的公式组成的公理集， (4) 推理规则集，记作 R(I). 推理规则集， 其中<A(I),E(I)>是 I 的 记I=<A(I),E(I),AX(I),R(I)>, 其中 是 形式语言系统, 形式演算系统. 形式语言系统 <AX(I),R(I)> 是 I 的形式演算系统 自然推理系统: 无公理, 自然推理系统 无公理 即AX(I)=∅ ∅ 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理 公理推理系统 推出的结论是系统中的重言式 称作定理
14
推理定律——重言蕴涵式 推理定律——重言蕴涵式 ——
A ⇒ (A∨B) ∨ 附加律 (A∧B) ⇒ A ∧ 化简律 (A→B)∧A ⇒ B → ∧ 假言推理 (A→B)∧¬ ⇒ ¬A ∧¬B → ∧¬ 拒取式 (A∨B)∧¬ ⇒ A ∧¬B ∨ ∧¬ 析取三段论 (A→B)∧(B→C) ⇒ (A→C) → ∧ → → 假言三段论 (A↔B)∧(B↔C) ⇒ (A↔C) ↔ ∧ ↔ ↔ 等价三段论 (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒ (B∨D) → ∧ → ∧ ∨ ∨ 构造性二难 (A→B)∧(¬A→B) ⇒ B 构造性二难(特殊形式 特殊形式) → ∧¬ → 构造性二难 特殊形式 9. (A→B)∧(C→D)∧( ¬B∨¬ ⇒ (¬A∨¬ ∨¬D) ∨¬C) 破坏性二难 → ∧ → ∧ ∨¬ ¬ ∨¬ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 每个等值式可产生两个推理定律 ⇔¬¬A可产生 ⇒¬¬A ¬¬A⇒ 如, 由A⇔¬¬ 可产生 A⇒¬¬ 和 ¬¬ ⇒A ⇔¬¬