高等动力学 第二章 2.3
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高等动力学课后习题答案及考题解答
J ξη =
w
(V )
∫ ρξη dV = ρ ∫ ( x cos θ + y sin θ )( y cos θ − x sin θ )dV
(V )
w w
⎧ξ = x cos θ + y sin θ ⎩η = y cos θ − x sin θ
= ( ∫ ρ y 2 dV −
(V ) z =0
.n
∫ ρ x dV ) sin θ cos θ + (cos
ψ = ψ t = 15t
ω y = ω sinψ = 20sin15t
i
ω x = ω cosψ = 20 cos15t
∴ω = 20 cos15ti + 20sin15t j ⇒ ε = −300sin15ti + 300 cos15t j ⇒ ε = 300
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2 (V )
2 (V )
∫ ρ(x
(V )
∫ ρ(z
∫ ρ(x
tjx
(V )
∵ Jz =
∫ ρ (x
2
+ y 2 )dV
Jx =
∫ ρ (z
2
+ y 2 )dV
Jy =
+ z 2 )dV ⇒
即该刚体为薄片平面
2、 ξ 轴在 xoy 中的方向余弦为 (cos θ ,sin θ )
J ξ = α ξ2 J x + βξ2 J y − 2α ξ βξ J xy = cos 2 θ J x + sin 2 θ J y − 2sin θ cos θ J xy
= ω × j' ⋅ k ' = ω ⋅ ( j' × k ' ) = ω ⋅ i' = p
分子动力学入门第二章
第二章：分子模拟的基本部分2.1模拟的物理体系模拟的最主要组成部分就是所研究物理体系的模型。
对于分子动力学来讲就是选择势能函数：V （r 1，…….r N ）该函数是有关原子核位置的函数，它表示当所有原子的位置组成一特定构型时体系的势能。
该函数是原子的平动和转动的不动点，通常的位置是指原子间的相对位置而不是绝对位置（内坐标表示，而不是笛卡尔坐标）。
原子所受到的力就是势能相对于位移的梯度：F i =-ri ∆V （r 1，…….r N ）（1）。
这种形式暗示存在一种有关总能量E 保守的定律，E=K+V ，这里的K 值得是瞬间动能。
最简单的势能函数V 的写法是表示成成对相互作用的和：：V （r 1，…….r N ）=|)(|j i i j i r r -Φ∑∑>（2）第二个求和下的j>i 的目的是考虑没对原子只能求和一次。
在以前大多数势能函数都是有成对的相互作用构成的，但是现在情况不在是那样啦。
现在已经知道tow —body 近似对一些相关系统非常不合适，例如金属和半导体。
许多种many-body 势能函数在凝聚态模拟中普遍得到运用，这会在第四章简单的做一介绍。
寻找精确的势能函数也是目前重要的一个研究领域。
在第四章会介绍一些目前有关这方面的研究情况。
现在我们来看看目前最普遍运用的相互作用模型：Lennard —Jones 的成对势能函数。
2.1.1 Lennrad —Jones 势能函数Lennrad —Jones 的公式：LJ Φ（r ）=4ε{（r δ）12-（r δ）6}（3）该函数表示一对原子间的势能，而总势能是有（2）决定。
该势能函数在很大r 处具有一个“attractive tail ”（相互吸引），r 能达到的最小为1.122δ，在很短距离能强烈排斥，在r=δ处相互作用为0，随着r 的减小渐渐增大。
1/r 12,在短程起主导作用，模拟当两原子间靠的的非常近时的原子间的排斥作用。
第二章-质点动力学(教学版)-(3)PPT课件
例题2.3 有一轻绳索围绕在圆柱上，绳索绕圆柱的张 角为θ,绳与圆柱间的静摩擦系数为µ，求绳索处于滑动 的边缘时,绳两端的张力间的关系。
Y
B
A
N
f
d 2 X
0
T
d
TB
TA .
T dT
20
例题2.4、从实验知道,当物体速度不大时,可认为空 气阻力正比于物体的速度,问以初速度竖直向上运动 的物体,其速度将如何变化？
理想实验之二：
.
？3
当球沿斜面的顶端向下滚后，即沿对面的斜面向上滚，达 到与原来差不多的高度。他推论： ①若无摩擦力，减少后一斜面的斜率，球仍达到同一高度，但 这时球要滚得远些； ②斜率愈小，球滚得愈远； ③若将后一斜面放平，球要永远滚下去。
惯性定律：任物体都要保持其静止或匀速直线运动状 态，直到外力迫使它改变运动状态为止。
③约束方程：物体作约束运动时，受到限制常表现为各坐标 之间 一定的函数关系。
例2.2：如图，求每个物体的加速度?
设动滑轮的中心坐标为x，加速度
为a，由约束条件（绳长不变）给出
0
xx3 l1
x3
x2 xx1 x l2 m 3
x
a3 12a1 a2
x2
x1
m2
m1
x
.
19
三、解题步骤：
①明确题意，确定研究对象； ②隔离物体，受力分析，画受力图； ③选取坐标系，列出分量方程式（包括约束方程）； ④解方程，讨论。
.
2
§2.1、牛顿三定律和伽利略变换
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，把运动规律归纳 为三条定律，现分别叙述如下.
一、第一定律（惯性定律）
该定律最初是伽利略（近代科学之父）提出的，他设计了 两个理想实验：
第二章 刚体运动学与动力学(上)
f1 (t ) ， f1 (t )， f1 (t )
称为刚体定点运动的运 动方程。
地球自转轴与公转轴夹角 23.5°（章动），但这个角度以 约19年为周期变化，幅度约为9″。 章动改变南北回归线的纬度。 自转轴与公转轴构成的平面 （其法线就是节线）绕公转轴转 动，周期约为25600年，称为进 动。进动改变季节的时间。地球 的进动使每年冬至都有微小的提 前。称为“岁差”。
1
0 ห้องสมุดไป่ตู้ 1
1 0 A( , , ) 1 0 1 不难验证，无论怎样的 顺序进行矩阵 A( )，A( )，A( )乘法 转动结果与转动次序无 关。
对于一般情况， ω1 不垂直于ω2 也可以证明： ωa ω2 ω1
cos sin sin θ x ψ
4. 刚体上各点的速度和加速度
刚体内任意一点 M的矢径为r，则该点的速度 v为： v ω r M点的加速度a为： dv dω dr a r ω α r ω v dt dt dt
记：a R α r，称为转动加速度，非 切线方向。 a N ω v，称为向轴加速度，非 法线方向，但垂直且 指向于瞬轴。 a R 不垂直于a N a aR aN (里瓦斯公式)
令： A( , , ) A( ) A( ) A( ) cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 0 cos 0 1 0 sin cos sin sin cos 0 0 sin cos 0 0 0 1
x x y A( , , ) y z z
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
南京理工大学-高等动力学课后习题答案及考题解答
18、设 b, c 接触点为 P ， a, c 接触点为 Q 。因为 C 球作纯滚动，所以 b, c 在接触点上有相同 的速度， a, c 在接触点上也有相同的速度。设沿 OC 方向上的单位矢量为 e 。
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Rω1 Rω Ω × k ' (1) Ω = ω1 k − 1 k ' (2) r r 2 Rω1 ' j 把(2)代入(1) : ε = r
.n
i i
ju s
i
tjx
= p i ' + q j ' + r k ' + ω × ( pi ' + q j ' + rk ' ) = p i ' + q j ' + r k ' + ω × ω
.cn
i
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i i i
7、由题易得：ψ = −2
i
ϕ =4 θ =0
解得： ωC =
aωa − bωb a −b
1 vC = (aωa + bωb ) × e 2
第三篇 刚体动力学 第一章 物体的二次惯量矩（P254） （1） 薄片平面 ⇒ 2011-2 1、
Jz = Jx + J y
∵ 厚度为0, ∴ z = 0 Jz =
(V )
∫ ρ(x
2
+ y 2 )dV (1) J y =
ψ = ψ t = 15t
ω y = ω sinψ = 20sin15t
i
ω x = ω cosψ = 20 cos15t
∴ω = 20 cos15ti + 20sin15t j ⇒ ε = −300sin15ti + 300 cos15t j ⇒ ε = 300
大学物理课程指导课 第二章 质点动力学
它所作的功为 （A） F0R2 （B）2F0 R2 （C） 3F0 R2 （D） 4F0R2
y
R
A F d r
[ B ]
0
x
6
6. 对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关。 （2）质点组总动能的改变与内力无关。 （3）质点组机械能的改变与保守内力无关。 在上述说法中 （A）只有（1）是正确的。 （B）（1） （3）是正确的。 （C）（1） （2）是正确的。 （D）（2） （3）是正确的。
冲量是力对时间的积累，由动量定理：
t
t2
1
所以，冲量的方向和动量增量的方向相同，不一定与冲力的方向相同。 2.在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件， 则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否 一定也满足机械能守恒条件？请举例说明． 参考解答：不一定满足守恒条件。 例如在水平面上以速度匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一 小球。以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小 球不作功，则小球＋地系统机械能守恒。 若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为 v ， 则小球对地速度 v v 0 v ，v 与绳张力T 不垂直，故小球摆动过程中绳张 力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件。
O
解：物体因受合外力矩为零，故角动量守恒． 设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、 转动惯量、角速度分别为v0、I0、w0和v、I、w．则
I 0w 0 I w
(1 )
因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动．(1) 式可写成
mR 0 v 0 mR v
整理后得：
R R 0v 0 / v
(2)
y
R
A F d r
[ B ]
0
x
6
6. 对质点组有以下几种说法： （1）质点组总动量的改变与内力无关。 （2）质点组总动能的改变与内力无关。 （3）质点组机械能的改变与保守内力无关。 在上述说法中 （A）只有（1）是正确的。 （B）（1） （3）是正确的。 （C）（1） （2）是正确的。 （D）（2） （3）是正确的。
冲量是力对时间的积累，由动量定理：
t
t2
1
所以，冲量的方向和动量增量的方向相同，不一定与冲力的方向相同。 2.在经典力学范围内，若某物体系对某一惯性系满足机械能守恒条件， 则在相对于上述惯性系作匀速直线运动的其它参照系中，该物体系是否 一定也满足机械能守恒条件？请举例说明． 参考解答：不一定满足守恒条件。 例如在水平面上以速度匀速直线行驶的车厢顶上悬挂一 小球。以车厢为参考系，小球摆动过程中绳子张力对小 球不作功，则小球＋地系统机械能守恒。 若以地面为参考系，小球相对于车厢的摆动速度为 v ， 则小球对地速度 v v 0 v ，v 与绳张力T 不垂直，故小球摆动过程中绳张 力对小球要作功，这时小球＋地系统不满足机械能守恒条件。
O
解：物体因受合外力矩为零，故角动量守恒． 设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、 转动惯量、角速度分别为v0、I0、w0和v、I、w．则
I 0w 0 I w
(1 )
因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动．(1) 式可写成
mR 0 v 0 mR v
整理后得：
R R 0v 0 / v
(2)
结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础
第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。
N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。
• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。
两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。
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例2.6 在倾角为α 的冰面上运动的冰刀，简化为长度 为l的均质杆AB，其质心0c的速度方向保持与刀刃AB一 致。试利用阿佩尔方程建立冰刀的运动微分方程。
解：将广义坐标中的xc，ϑ的
导数取作准速度，令
，从例1.3给 c，u 2 u1 x 出的约束方程解出 c x c tan (a) y
与广义坐标xc，yc，ϑ对应的广义力依次为
Q1 0，Q2 -mgsin ，Q3 0
代入式（2.3.16），令h11=1，
（b）
h12=tanϑ，h32=1，其余hjv为零， 导出
~ ~ Q1 mgsin tan，Q2 0 (c)
将约束方程（a）对t微分一次，化作
2 yc xc tan xc sec
(c)
将式（a）和（c）代入阿佩尔方程（2.3.19），得到 与例1.10相同的运动微分方程。
3.刚体的加速度能量
刚体内质量为 mi的质点的加速度 ri可分解为 i 质心加速度 rc和由转动引起的相对加 速度 p i c i (2.3.20) r r p
将式（2.3.8）对t再微分一次。得到
ri
l j 1
i r j (与q j无关项 ) （i 1 q ， 2， ，N）（2.3.11 ） j q
利用上式及P20（1.3.16a）导出
i ri ri r j q j qj q (i 1 ， 2， ，N；j 1， 2， ，l ) （2.3.12）
将式（2.3.9），（2.3.10）和（2.3.12）代入动力 学普遍方程（2.3.7），适当改变求和顺序，得到
l N
f
[
(
v 1
j 1
i 1
ri Fi )hjv qj
N l
mi ri (
i 1
j 1
ri hjv)]uv 0 j q
(2.3.13)
(d )
利用式（2.3.23）计算冰刀的加速度能量G，并利用
c，得到 上式消去 y
1 1 2 2 2 2 c c l ） G m( x y 2 12 1 1 2 2 2 2 c 2 t anx c c ) l ] (与加速度无关项 ) (e) m[sec ( x x 2 12
(2.3.18)
由 于 δ uv （ v=1,2, … ， l-s ） 为 独 立 变 分 ， 方 程 （2.3.18）成立的充分必要条件为各变分前的系数为 零，从而导出f个独立的运动微分方程
G ~ Qv (v 1， 2， ，f ) (2.3.19) v u
上式由阿佩尔于1899年导出，称为阿佩尔方程。
则式（2.3.13）化作
l
f
(
Qjhjv
v 1
j 1
N i 1
ri mi ri )uv 0 v u
(2.3.15)
引入以下物理量：
~ Qv
l j 1
Qjhjv (v 1 ， 2， f )（2.3.16）
G
N i 1
1 mi ri ri (2.3.17) 2
~ Qv(v 1 ， 2， ，f )称为与准速度 uv对应的广义力
G称为质点系的加速度能量或吉布斯函数，是系 统的另一类动力学函数。它与动能的表达式形式上相 似，但不具有能量的含意，只是用加速度代替了动能 中的速度。
可将利用上述物理量方程（2.3.15）写作
v 1
f
~ G (Qv )uv 0 v u
例2.5 滑块A及悬挂在滑块上的单摆B组成的系统，摆 长为l，滑块和摆的质量分别为mA，mB，滑块受弹簧 约束且受粘性摩擦力作用，弹簧刚度系数为k,粘性 摩擦系数为c。试用阿佩尔方程建立滑块-单摆系统 的运动微分方程。
解：将广义坐标 x，的导数 ，u 2 取作准速度，令 u1 x ，滑块 A和摆 B的加速度如 图所示。系统的加速度 能量为
为计算广义力，先列出全 部作用力的虚功率，
kx)x P (cx (b) mBgl sin
对于准速度即广义速度的特殊情形，准速度对应的 广义力与广义坐标对应的广义力完全相同。由上式 导出
~ ~ kx)，Q Q mBgl sin Qx Qx (cx
§2.3 阿佩尔方程和凯恩方程
§2.3 阿佩尔方程
阿佩尔方程是处理非完整系统的经典方法之一，其 理论基础是以准速度作为系统的独立变量，代替传统使 用的广义坐标。
准速度和准坐标 阿佩尔方程
刚体的加速度能量
1.准速度和准坐标
设质点系由N个质点Pi（i=1,2，…，N）组成，且 存在r 个完整约束和 s个线性非完整约束。选择l=3N-r 个广义坐标qj（j=1,2, …，l）描述系统的位形。 j的非完整约束方程如式 （ 限制广义速度 q 1.1.13 ）所示：
利用上式计算各个质点在同一时间同一位置的速度变 分，得到 l i r i j (i 1 r q ， 2， ，N ) (2.3.9) j q
j 1
j以准速度变分 uv表示为 利用式（ 2.3.4）可将其中的 q j q
v 1
f
hjvuv
(2.3.10)
(v 1 ， 2， ，f ) （2.3.2）
式中系数fvj，fv0均为qj和t的函数。
准速度：具有速度量纲的变量uv。可在形式上写作
v uv (v 1 ， 2， ，f ) (2.3.3)
此方程通常不可积。
变量π v（v=1,2，…，f）通常只具有坐标形式而
无物理意义，称为准坐标。 只有在准速度等于广义速度的特殊情形时，准 坐标才等于广义坐标。一般情况下，不可能用准 坐标表示系统的位形。 注意
N i 1
i 0 ( Fi mi ri ) r
(2.3.7)
(i 1 j完全确定 各质点的速度 r ， 2， ，N )由广义速度 q i r i(q 1，q 2， j；q1，q 2， r ，q ，ql，t ) （i 1 ， 2， ，N）（2.3.8）
l j 1
j Bk 0 0 Bkjq
(k 1,2, ，s）
（2.3.1）
式中系数Bkj，Bk0的定义见式P7（1.1.14）。
在普遍情况下，可构造出f个相互独立的广义速度的 线性组合作为独立变量，记作uv（v=1,2, …，f）
uv
l j 1
j fv 0 fvjq
1 1 2 2 cos ) 2 (l sin ) 2 ] G mAx mB[(l x x 2 2 1 1 2 2l cos 2 sin )] (与加速度无关项 ) (a) 2 mB[l 2 ( (mA mB ) x x 2 2
由于（ 2.3.1 ）和（ 2.3.2 ）各式均相互独立，构 j，得到 成l个线性无关的代数方程组。 从中解出 q
j q
v 1
f
hjvuv hj 0
( j 1 ， 2， ，l ) （2.3.4）
将上式对t再微分一次，得到
j q
v 1
f
v (与u v无关项) （j 1 hjvu ， 2， ，l） （2.3.5）
Hale Waihona Puke imi m ，
i
mii 0 ，
i
mi 2 i Jc
(2.3.22)
导出加速度能量的计算公式 1 2 c Jcw 2 ) (与加速度无关项 ) (2.3.23) G (mv 2
因此作平面运动刚体的加速度能量等于质心运动 与绕质心转动的加速度能量之和，与计算刚体动能 的柯尼希定理相似。 对于作任意运动的刚体，其加速度能量的计算公 式将在第四章§4.3中导出。
将式（c），（e）代入阿佩尔方程（2.3.19），导出 冰刀的运动微分方程
tan g sin cos sin 0 c x c x 0
(f)
例2.4导出的微分方程消去λ 乘子后，可以化作同 样结果。
式中参数hjv应满足
j q j q hjv v uv u
( j 1， 2， ，l；v 1， 2， ，f ) （2.3.6）
2.阿佩尔方程
列出虚功率形式的动力学普遍方程 P15 （ 1.2.6 ）， 限制虚速度为无限小量，将变更符号△改用变分 符号δ 代替。得到
上式第一项圆括号内的求和式即式P18（1.3.4）所 定义的广义力Qj（1,2，…，l）。 将式（2.3.6）代入上式第二项圆括号，化作
l j 1
ri hjv j q
l j 1
j ri q ri j u v u v q
(i 1 ， 2， ，N；v 1 ， 2， ，f ) (2.3.14)
对于刚体作平面运动的特殊情形，刚体的角速度 垂直此平面，质点的相对加速度可分解为切向和 径向分量。设vc为刚体的质心速度，则有
c rc v 2 i w ie t w ie r p
(2.3.21)
式中 et ， er 为质点相对质心 Oc 的切向和径向基矢量。 将式（2.3.21）代入式（2.3.20）和（2.3.17），展 开后考虑 er ， et 正交，设刚体质量为 m ，相对质心的 转动惯量为Jc，令