线面垂直的定义与判定
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则CDE是二面角 - AB 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
8
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β
a l
A α
符号语言：
α
Aa
β
a⊥β
B
12
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I bbll Nhomakorabeab 又a
线面垂直
a // b 性质
b
a //
a
面面垂直性质 13
变式：
思考：已知平面，，直线a,且 , AB, a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系
空间问题平面化 面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
16
线l在平面α内，那么直线l与平面β的位
置关系有哪几种可能？
α l
β
平行
α
l
β
相交
α
l β
线在面内
6
知识探究：
思考2:黑板所在平面与地面所在平面垂 直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？ 若存在，怎样画线？
α
β
7
证明问题：
已知： ， AB,CD ,且CD AB. 求证：CD
线面垂直的7种判定方法
线面垂直的7种判定方法
1.看线面的夹角：如果线面的夹角为90度，则可以判定为线面垂直。
2. 使用直角三角形定理：如果一条线与一面相交，且与该面的垂线长度为a，线的长度为b，面的长度为c，则如果a+b=c，则可以判定该线面垂直。
3. 使用垂线的特性：通过绘制垂线来判定线面的垂直关系。
如果垂线与面相交，且垂线与线垂直，则可以判定该线面垂直。
4. 使用水平仪：使用水平仪来测量线面的倾斜角度，如果倾斜角度为0度，则可以判定该线面垂直。
5. 使用测量工具：使用测量工具来测量线面的高度和长度，如果高度和长度相等，则可以判定该线面垂直。
6. 观察图形：观察线面的图形形状，如果线面呈现出一个直角，则可以判定该线面垂直。
7. 使用数学公式：如果线面的斜率相乘为-1，则可以判定该线面垂直。
例如，如果线的斜率为2，面的斜率为-1/2，则2*(-1/2)=-1，因此可以判定该线面垂直。
- 1 -。
线面垂直、面面垂直
线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
证明线面垂直的判定定理
证明线面垂直的判定定理一、引言线面垂直是几何学中一个重要的概念，它指的是一条直线与一个平面相互垂直。
在实际生活和工作中，我们常常需要利用这个概念来解决各种问题。
本文将介绍证明线面垂直的判定定理。
二、定义在证明线面垂直的判定定理之前，我们先来了解一下相关的定义。
1. 直线：在平面上任意两点之间都可以画出一条唯一的直线。
2. 平面：三维空间中任意三点不共线的点所确定的平面称为该空间中唯一确定的平面。
3. 垂直：两个物体相互垂直是指它们之间的夹角为90度。
三、定理下面给出证明线面垂直的判定定理：若过平面内某点P作直线与该平面相交，且该直线与该平面内另一条不经过P点的直线互相垂直，则该直线与该平面相交于P点处。
四、证明为了证明上述定理，我们可以采用反证法。
假设该定理不成立，则有以下两种情况：情况1：若该直线与该平面不相交，则无法与该平面内另一条直线相互垂直，与题意不符。
情况2：若该直线与该平面相交于Q点（Q≠P），则该直线与该平面内另一条不经过P点的直线也应该经过Q点。
因为如果该直线与另一条直线不经过P点，则它们在平面上的投影应该是相交的，而且它们之间的夹角也应该为90度。
因此，在三维空间中，它们必然会相交于某个点，而这个点就是Q点。
但是，由于在三维空间中任意两个非共面的直线只有一个交点或者没有交点，因此这种情况也是不成立的。
综上所述，我们可以得出结论：若过平面内某点P作直线与该平面相交，且该直线与该平面内另一条不经过P点的直线互相垂直，则该直线与该平面相交于P点处。
证毕。
五、总结本文介绍了证明线面垂直的判定定理。
通过本文的学习，我们可以了解到如何利用反证法来证明几何定理，并且掌握了如何判断一条直线和一个平面是否互相垂直。
在实际生活和工作中，我们可以利用这个定理来解决各种问题，例如在建筑工程中确定墙面是否垂直于地面等。
面面垂直线面垂直的判定定理
面面垂直线面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个基本的概念。
当两个平面垂直时，我们称它们是面面垂直的。
本文将介绍面面垂直线面垂直的判定定理。
二、定义1. 面：在三维空间中，由无数条线段组成的平坦曲面。
2. 平行：两条线或两个平面在同一平面内，且不相交。
3. 垂直：两条线或两个平面相交于一个角度为90度的交点。
4. 面面垂直：当两个平面相互垂直时，它们被称为“面面垂直”。
三、定理如果一条直线同时与两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面的交线是另一个平面上的一条直线，则这两个平面是“面面垂直”的。
四、证明假设有两个不同的平面A和B，并且这两个平面相互垂直。
我们需要证明如果一条直线同时与这两个不同的平面相交，并且这条直线与其中一个平面A的交线是另一个平面B上的一条直线，则这两个平面是“ 面面垂直”的。
首先，我们需要证明这条直线存在。
假设这两个平面A和B相交于一条直线L。
因为这两个平面相互垂直，所以它们的交角为90度，因此直线L与平面A和平面B的交线都是垂直的。
接下来，我们需要证明这条直线与平面A和平面B的交线是垂直的。
假设这条直线与平面A的交点为P，与平面B的交点为Q，并且PQ 在平面B上。
我们需要证明AP和BQ是垂直的。
由于PQ在平面B上，所以PQ与平面A的交线PA也在平面B上。
因此，我们可以得到三角形APQ和三角形BPQ共享一个角度PQB，并且它们有一个共同边界PQ。
根据余弦定理：cos(APQ) = (AQ² + PQ² - AP²) / (2 * AQ * PQ)cos(BPQ) = (BQ² + PQ² - BP²) / (2 * BQ * PQ)由于AP = BQ（因为它们都等于L），所以AP² = BQ²。
将其代入上式中可得：cos(APQ) = cos(BPQ)因此，APQ = BPQ因此，AP和BP是垂直的。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
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线面垂直的定义与判定理的“联动”
唐正敏 (重庆市九龙坡区渝西中学 401326)
直线和平面垂直的定义揭示了线线垂直与线面垂直相互转化关系，如果利用定义证明线面垂直，由于涉及的平面内的一条直线具有任意性，加大了证明的难度，因此，定义的利用主要是利用来得到线线垂直，而线面垂直的判定定理则揭示了通过线线垂直可得到线面垂直.由此可见线面垂直的定义与判定定理可以进行线面垂直与线线垂直的相互转化，这种线面问题与线线问题的互相转化是立体几何中的一种重要的思想方法.
例1已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别是棱AB 、BC 、BB 1上的点，且BE ＝BF ＝BG ，求证：BD 1⊥平面EFG. 分析：欲证BD 1⊥平面EFG ，需证明BD 1垂直平面EFG 的两条相交直线，根
据条件，在正方体中易得EF ∥AC ，而AC ⊥BD 1，故BD 1⊥EF ，同理BD 1⊥EG.
证明：如图，∵ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，BE ＝BF ，∴EF ∥AC ， 又∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥BD ，
又DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥EF ， 而DD 1与BD 为平面BDD 1内的两条相交直线，∴EF ⊥平面BD 1，∴BD 1⊥EF ，
同理BD 1⊥EG ，∴BD 1⊥平面EFG.
点评：证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的.
例2如图，已知四边形ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直SC 的平面分别交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD.
分析：由欲证线线垂直AE ⊥SB ，联想通过线面垂直AE ⊥平面SBC ，这需寻
求AE 垂直面SBC 的两条相交直线，如此不断的联想，即可使结论得证.
证明：∵SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴SA ⊥BC ，
又BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ，又AE ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AE ，
又SC ⊥平面AEFG ，AE ⊂平面AEFG ，∴SC ⊥AE ，
∴AE ⊥平面SBC ，∴AE ⊥SB.
同理可证：AG ⊥SD.
点评：本例首先通过线面垂直(SA ⊥面ABCD)，利用定义得到线线垂直(SA ⊥BC)，再利用判定定理得到线面垂直(BC ⊥面SAB)，又利用定义得到线线垂直(BC ⊥AE)，同时从另一角度可推得SC ⊥AE ，再利用定理得到线面垂直(AE ⊥面AEFG)，再次利用定义得到线线垂直(AE ⊥SB)，体现了“线线”与“线面”垂直的循环互动转化.
例3如图，在空间四面体S-ABC 中，已知∠ABC=90︒，SA ⊥平面ABC ，AN ⊥SB ，AM ⊥SC ，证明：SC ⊥平面AMN. 分析：由结论联想判定定理，要证明SC ⊥平面AMN ，需证明SC 垂直于平面AMN 中的两条相交直线.已知AM ⊥SC ，尚缺条件SC ⊥AN.于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找.
证明：∵SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ， 又由∠ABC=90︒，知BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面SAB ，∴BC ⊥AN ，
又AN ⊥SB ，∴AN ⊥平面SBC ，∴SC ⊥AN ，
又∵AM ⊥SC ，∴SC
⊥平面AMN.
点评：本题在运用判定定理证明线面垂直(SC ⊥平面AMN)时，将问题化为利用定义证明线线垂直(SC ⊥AN)；而证明此线线垂直时，又转化为利用判定定理证明线面垂直(AN ⊥平面A B
C S M N A B C
D F G A B C D 1
111
SBC)，又利用定义转化为证明BC⊥AN.
例4已知空间四边形ABCD的边AC=BC，AD=BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD.
分析：要证AH⊥平面BCD，只需证明AH垂直平面BCD内两条相交直线即可.现已知AH ⊥BE，只需再证平面内与BE相交的一条直线与AH垂直，即转化为证线线垂直.
证明：如图，取AB的中点F，连结CF、DF、AE，
∵AC=BC，∴CF⊥AB，
又∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF，
又CD 平面CDF，∴CD⊥AB，
又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥AH，
又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.
点评：本例证明也是利用线面垂直的定义与判定定理由一个垂直关系联想
下一个垂直关系，这样一环紧扣一环，一系列的垂直关系便相继产生，达到线线垂直与线面垂直的相互转化，这些垂直关系转化便是证明的全过程.
作者：唐正敏
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