B样条曲线

Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
  #include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]);  lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) {       if(getch()==17)exit();
Bezier曲线
给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的 直线。这条线由下式给出：
当参数t变化时，其过程如下：
线性贝塞尔曲线函数中的t会 经过由P0至P1的B（t）所描 述的曲线。例如当t=0.25时， B（t）即一条由点P0至P1路 径的四分之一处。就像由0至 1的连续t，B（t）描述一条由 P0至P1的直线。
PowerPoint
B样条曲线
学习进展报告
CONTENTS
01
Part One
Bezier曲线
Bezier曲线 贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线 或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程 序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过 它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节 点组成，节点是可拖动的支点，线段像可 伸缩的皮筋
Bezier曲线
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：
二次曲线看起来是这样的：
为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为 由0至1的t： * 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。 * 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。 * 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔 曲线。
 
B样条曲线
 a0=(px[k]+4*px[k+1]+px[k+2])/6;  a1=(px[k+2]-px[k])/2;  a2=(px[k]-2*px[k+1]+px[k+2])/2;  a3=-(px[k]-3*px[k+1]+3*px[k+2]-px[k+3])/6;  b0=(py[k]+4*py[k+1]+py[k+2])/6;  b1=(py[k+2]-py[k])/2;  b2=(py[k]-2*py[k+1]+py[k+2])/2;  b3=-(py[k]-3*py[k+1]+3*py[k+2]-py[k+3])/6;  for(i=0;i<n;i+=0.1)  { t=i*dt;   x=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t;   y=b0+b1*t+b2*t*t+b3*t*t*t;   if(i==0) moveto(x,y);   lineto(x,y);  } } } void main() { int driver,mode; driver=DETECT; initgraph(&driver,&mode,"..\\bgi"); printf("Press any key to continue except 'Ctrl+Q' to quit.\n"); B_spline(); if(getch()==17)exit(); closegraph(); }
CONTENTS
02
B样条曲线
Part Two
B样条曲线 从Bezier曲线到B样条曲线 Bezier曲线在应用中存在诸多不足：
▲缺乏灵活性 一旦确定了特征多边形的顶点数（m个），也就 确定了曲线的阶次，无法更改； ▲控制性差 当顶点数较高时，曲线的阶次将较高，此时特征多 边形对曲线形状的控制将明显减弱； ▲不易修改 由曲线的混合函数可看出，其值在开区间（0,1）内 均不为零。因此，所定义之曲线在（0<t<1）的区间内的任何一 点均要受到全部顶点的影响，这使得对曲线进行局部修改成为 不可能。