浅谈数学期望的计算与应用

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解 利用随机变量函数的数学期望公式： ! ! $ （ , ）( $ （ ), ), * & # * ! & ) !& #）( （ . ) *& + ） （ ) *， +） -*-+ ( -+ （ . ) *& +） ・ （ * ) & +） -* $ #. + + # % +, +,
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例 .! 设在规定时间间隔内， 某一电气设备用于最大负荷的时间 ! （ 分） 是一个随机变量， 概率密度 为：
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第 %% 卷& & & & & & & & & & & & & & & 徐丽君： 浅谈数学期望的计算与应用& & & & &
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该题的解法具有典型性， 求解时并没有直接利用 的概率分布， 仅利用数学期望的性质。当然， 也可以 先求 ! 的概率分布， 然后再根据定义求数学期望。然而， 求概率分布需要相当复杂的计算， 并且由此概率 分布求期望并非易事。
!" 数学期望在实际生活中的应用
数学期望在实际中有许多应用。例如， 商店的进货量与需求量服从某些概率分布， 我们关心的利润的 数学期望。又如车站乘客到达时间服从某些概率分布， 车每固定时间一班， 我们关心的是乘客平均等待时 间。解决这一类问题关键在建立利润 （ 时间）" 与进货量 ! ， 需求量 #（ 乘客到达的时间 ! ） 的函数关系， 然后利用已知分布计算相应函数的数学期望， 即可求解。因此， 遇到此类问题时， 首先要分清哪个是基本 的随机变量， 其分布是什么， 再寻找要求的变量与上述随机变量的函数关系， 再求数学期望。 &% ］ 上的均匀分布， 经销商店进货数量为［ $% ， &% ］ 的某 例 #" 设某种商品每周需求量 服从区间［ $% ， 一整数， 商店每销售一单位商品可获利 ’%% 元； 若供大于求， 则削价处理， 每处理一单位商品亏损 $%% 元； 为使商品利润的数学期望最大的进货量。 若供不应求， 则可从外部调剂供应， 此时每单位商品获利 &%% 元， 解" 设进货量为 $， $% ’$’&% " " 设利润为 #， 则 #(
’$$$ （ " ’$$$ ( "）
（ $ ）的数学期望时， 一般不需要先求 & 的概率分布， 而应像例 " 、 例’ 一 计算随机变量 $ 的函数 & ! ’ 样， 直接利用 $ 的概率分布求 # （ &）! # （’ （ $） ）。 " ( % 分布未知时， 数学期望的计算 例- & 一台设备由三大部件构成， 在设备运转中各部件需要调整的概率为 $ ( "$ ， $( % 和 $( ’， 假设各 部件是相互独立， 以 $ 表示同时需要调整的部件数， 试求 $ 的数学期望。 解& 要求 $ 的数学期望， 便要求出 $ 的分布律 & & & & & & 设 )" !｛部件 * 需要调整｝ +｛$ ! $ ｝! + （ )" )% )’ ）! + （ )" ） + （ )% ） + （ )’ ）! $ ( . , $ ( / , $ ( 0 ! $ ( #$! $ ( . , $ ( / , $ ( ’ * $ ( . , $ ( % , $ ( 0 * $ ( " , $ ( / , $ ( 0 ! $ ( ’./ & & + （ )" ）! $ ( " ， + （ )% ）! $ ( % ， + （ )’ ）! $ ( ’& & $ 可能取 $ ， "， %， ’ （ )" )% )’ ）* + （ )" )% )’ ）* + （ )" )% )’ ） & & +｛$ ! " ｝! + （ )" )% )’ ）! $ ( " , $ ( % , $ ( ’ ! $ ( $$1 & & +｛$ ! ’ ｝! + & & +｛$ ! % ｝! + （ )" )% )’ ）* + （ )" )% )’ ）* + （ )" )% )’ ） & & & & ! " ( +｛$ ! $ ｝( +｛$ ! " ｝( +｛$ ! ’ ｝ ! " ( $ ( #$- ( $ ( ’./ ( $ ( $$1 ! $ ( $.%
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第 $$ 卷" " " " " " " " " " " " " " " 徐丽君： 浅谈数学期望的计算与应用" " " " "
" " " " " " " " " 第- 期
例 !" 假设某工厂一部机器一天内发生的故障的概率为 # ! $ ， 机器发生故障每天停止工作， 若一周按 $ 个工作日无故障， 可获利润 %# 万元； 发生一次故障， 利润 & 万元； 发生两次故障所获利润 # 元， 发生三次 或三次以上故障就要亏损 $ 万元， 求一周内利润的数学期望。 解" 设 " 表示发生故障的天数， " ’（ # &， #! $）