2020年四川省自贡市中考数学试题 (解析版)
2020年四川省自贡市中考数学试卷(后有解析)
一．选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（4 分）如图，直线 a∥b，∠1＝50°，则∠2 的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
2．（4 分）5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历
史的自贡灯会进入“云游”时代，70 余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”
的璀璨．人数 700000 用科学记数法表示为（ ）
A．70×104
B．0.7×107
C．7×105
D．7×106
3．（4 分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（4 分）关于 x 的一元二次方程 ax2﹣2x+2＝0 有两个相等实数根，则 a 的值为（ ）
A．中位数是 5 B．众数是 7
C．平均数是 4 D．方差是 3
8．（4 分）如果一个角的度数比它补角的 2 倍多 30°，那么这个角的度数是（ ）
A．50°
B．70°
C．130°
D．160°
9．（4 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点 B 为圆心，BC 长
为半径画弧，交 AB 于点 D，连接 CD，则∠ACD 的度数是（ ）
实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．
﹣ ＝40
B．
﹣ ＝40
C． ﹣
＝40
D． ﹣
＝40
12．（4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AD＝2，AB＝ ，∠B 是锐角，AE⊥BC 于点 E，F 是 AB 的中点，连结 DF、EF．若∠EFD＝90°，则 AE 长为（ ）
四川省自贡市2020年数学中考试题及答案
∴ ，
在Rt△PBA中， ，连接AE，可得∠AEB=90°，
∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB，
∴△PEA∽△PAB，
∴ ，
∴ ，
过E作EN⊥PD于N，过B作BH⊥PF于H，如图所示，
∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，
∴四边形BCDH是矩形，
∴BH=CD= ，
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品 数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据．
16.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形 ， ∥ , 长为6米，坡角 为45°， 的坡角 为30°，则 的长为________米（结果保留根号）
17.如图，在矩形 中， 是 上的一点，连接 ,将△ 进行翻折，恰好使点 落在 的中点 处，在 上取一点 ，以点 为圆心， 的长为半径作半圆与 相切于点 ;若 ,则图中阴影部分的面积为____．
其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是 .
故答案为： ， .
23.解：（1）由题意可得，
，
当 时， ，
当 时， ，
由上可得， ；
（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；
A. B. C. D.
7.对于一组数据 ，下列说法正确的是（）
A.中位数是5B.众数是7C.平均数是4D.方差是3
8.如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（）
A.50°B.70°C.130°D.160°
9.如图，在 △ 中， ,以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ,连接 ;则 的度数为（）
2020年四川省自贡市中考数学试题解析
四川省自贡市初2020届毕业生学业考试数 学本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，须将答案答在答题卡上， 在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共48分）注意事项：必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.一、选择题(共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1. 如图，直线a ∥b ，∠1=50º，则∠2的度数为 ( B ) A . 40º B . 50ºC . 55ºD . 60º 第1题图2. 5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯 会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨.人数700000 用科学记数法表示为 ( C )A . 70×104B . 0.7×107C . 7×105D . 7×106 3. 如图所示的几何体的左视图是 ( B )第2题图 A B C D4. 关于x 的一元二次方程ax 2 -2x +2=0有两个相等实数根，则a 的值为 ( A )A . 21B . 21C . 1D . -15. 在平面直角坐标系中，将点(2，1)向下平移3个单位长度，所得点的坐标是 ( A ) A . (-1，1) B . (5，1) C . (2，4) D . (2，-2)6. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ( A )A B C Dba 127. 对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是 ( C )A . 中位数是5B . 众数是7C . 平均数是4D . 方差是3 8. 如果一个角的度数比它的补角的2倍多30º，那么这个角的度数是( C ) A . 50º B . 70º C . 130º D . 160º 9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90º，∠A =50º，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ， 则∠ACD 的度数是 ( D )A . 50ºB . 40ºC . 30ºD . 20º 第9题图 10. 函数xky =与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b kx y -=的大致图象为 ( D )第10题图 A B CD11. 某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务. 设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是 ( A ) A .4080%)351(80=-+x x B .4080%)351(80=-+x x C .40%)351(8080=+-x x D . 40%)351(8080=+-xx 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2，AB =6，∠B 是锐角，AE ⊥BC 于点E ，F 是AB 的中点，连接DF 、EF . 若∠EFD =90º，则AE 长为 ( B ) A . 2 B . 5C .223 D . 233 第12题图 提示：求线段长一般借助全等、相似变换获得数量关系，勾股定理结合方程思想由已知求未知。
2020年四川自贡中考数学试卷(解析版)
2020年四川自贡中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）A. B. C. D.1.如图，，，则的度数为（ ）．A.B.C.D.2.月日晚，中国自贡第届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数用科学记数法表示为（ ）．A.B.C.D.3.如图所示的几何体的左视图是（ ）．主视方向4.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）．A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度，所得点的坐标是（ ）．A.B.C.D.6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）．A.B.C.D.7.对于一组数据，，，，，下列说法正确的是（ ）．A.中位数是B.众数是C.平均数是D.方差是8.如果一个角的度数比它的补角的度数倍多，那么这个角的度数是（ ）．A.B.C.D.9.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；则的度数为（ ）．A.B.C.D.10.函数与的图象如图所示，则的大致图象为（ ）．xyA.x yB.xyC.x yD.xy11.某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）．A.B.C.D.12.如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点，是的中点，连接、；若，则的长为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.分解因式： ．14.与最接近的自然数是 ．15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号） ．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④整理所收集的数据．16.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，，长为米，坡角为，的坡角为，则的长为 米（结果保留根号）．17.如图，在矩形中，是上的一点，连接．将进行翻折，恰好使点落在的中点处，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作半圆与相切于点；若，则图中阴影部分的面积为 ．18.如图，直线与轴交于点，与双曲线在第三象限交于、两点，且，下列等边三角形，，，的边，，，在轴上，顶点，，，在该双曲线第一象限的分支上，则 ，前个等边三角形的周长之和为 ．xy三、解答题（本大题共8小题，共78分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解．21.如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．求证：．（1）（2）22.某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“：文明礼仪；：环境保护；：卫生保洁；：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．主题人数本次调查的学生人数是 人， ．请补全条形统计图．（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是 ；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是 ．（1）（2）23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，节假日期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折，设（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物金额．分别就两家商场的让利方式写出关于的函数解析式．节假日期间如何选择这两家商场去购物更省钱？（1）（2）（3）24.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．发现问题：代数式的最小值是多少？探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，．∵的几何意义是线段与的长度之和，∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，∴的最小值是．解决问题：的最小值是 ．利用上述思想方法解不等式：．当为何值时，代数式的最小值是．25.如图，⊙是的外接圆，为直径，点是⊙外一点，且，连接交于点，延长交⊙于点．（1）（2）（3）证明：．若，证明：是⊙的切线．在（）的条件下，连接交⊙于点，连接；若，求的长．（1）图12（2）26.在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．求抛物线的解析式．如图，连接，点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点，交于点，点是轴上一动点，当取最大值时．求的最小值．如图，点是轴上一动点，请直接写出的最小值．【答案】解析:两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案．故选．解析:由题意，得：．故选．解析:从几何体左面看得到两列正方形的个数分别为、．故选．图B 1.C 2.C 3.解析:由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于，，解得．故选．解析:点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减， ，故选：．解析:将这组数据按从小到大排列为，，，，．①平均值；②数字出现的次数最多，故众数是；③一共个数字，第个数字是，故中位数为；④方差为．故选．解析:设这个角是，则它的补角是，∵这个角的度数比它的补角的度数倍多，∴，解得：，即这个角的度数为．故选．A 4.D 5.A 6.C 7.C 8.D9.解析:∵，可得，∵，∴，∵，∴，∴．故选．解析:∵反比函数过一三象限，∴，由二次函数开口向下可得，又二次函数的对称轴，∴，∴，同号，∴，∴，∴一次函数经过第一、二、三象限．故选．解析:由题意可得原计划的工作效率为，所以原计划的工作时间为，实际的工作时间为，所以原计划的时间减去实际的时间为天，则可得．故选：．解析:D10.A11.B12.延长，交于，连接，如下图所示：∵是的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，且，∴≌ ()，设，由，且知，是线段的垂直平分线，∴，在中，，在中，，∴，解得，∴．故选．13.解析:．14.解析:，可得，∴，∵接近，∴更靠近，故最接近的自然数是．故答案为：．解析:统计的一般步骤，一般要经过收集数据，整理数据，绘制统计图表，分析图表得出结论，故答案为：②④①③．解析:过作于，于，可得矩形和与，∵，∴，∴，∴．故答案为：．解析:连接，过点作于点，设圆与交于点，如下图所示：②④①③15.16.17.设圆的半径为，∵是圆的切线，∴，∴，∴，由翻折前后对应的线段相等可得，∵是的中点，∴，代入数据：∴，∴，∴，∴，∴，∴，且，∴是等边三角形，∴，同理也为等边三角形，∴，且，∴．故答案为：．解析:设，，设直线与轴的交点为，令，则，∴，令，则，∴，又，扇形扇形阴影矩形扇形扇形矩形; 18.∴，，∴，∴，过作轴于，过作轴于，yx∴，，∵，，∴，，∴，联立，得到，∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，过，，，分别向轴作垂线，垂足分别为，，设，由等边三角形的性质得：，，，∴，得：，，（舍去），经检验：符合题意，∴，可得的边长为，同理设，∴，，∴，∴，解得：，（舍去），经检验：符合题意，∴的边长为，同理可得：的边长为，的边长为，∴前个等边三角形的周长之和为．解析:原式．解析:，解不等式组可得，∵，即，且为整数，∴，代入．解析:∵四边形为正方形，∴，，又∵，．19.，．20.证明见解析．21.（1）（2）（3）∴即，在和中，，∴≌，∴．解析:，∴本次调查的学生人数为人，，故．故答案为：，．的人数为： （人），补全图形如下所示：主题人数星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共种情况，符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为；在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共种情况，其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共种情况，所以概率是．故答案为：， ．（1） ; （2）画图见解析．（3）;22.（1）甲商场：，23.（1）（2）（1）解析:甲商场：，乙商场：，即．当时，，此时，选择甲商场更省钱，当时，令，即，解得，此时甲、乙商场一样省钱，令，即，解得，令，即，解得，综上所述，当购物金额不足元时，选择甲商场更省钱，当购物正好元时，两商场一样省钱，当购物金额大于元时，这样乙商场更省钱．解析:设表示的数为，表示的数为，表示的数为，∴表示数轴上的点到的距离，用线段表示，表示数轴上的点到的距离，用线段表示，乙商场：．（2）时甲商场更省钱，时，甲乙两商场一样省钱，时，乙商场更省钱．（1）（2）或．（3）或．24.（2）（3）（1）∴的几何意义表示为，当在线段上时取得最小值为，且线段的长度为，∴的最小值为．故答案为：．设表示，表示，表示，∴线段的长度为，则的几何意义表示为，∴不等式的几何意义是，∴不能在线段上，应该在的左侧或者的右侧，即不等式的解集为或．设表示，表示，表示，则线段的长度为，的几何意义表示为，当在线段上时取得最小值，∴，∴或，即或．解析:如图，连接，在和中，，∴≌，∴，即为的角平分线，∵，∴，，∵为⊙的弦，过圆心，∴为优弧中点，（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）．25.（2）（3）∴．∵是⊙的直径，且弦所对圆心角为，∴，∵，∴，，设⊙的半径为，则，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵是⊙半径，∴是⊙的切线．由（）可得，∴，在中，，连接，可得，∴，又，∴，∴，∴，过作于，过作于，如图所示，∴，∴四边形是矩形，（1）1（2）∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，在中，，∵，∴．解析:将、代入二次函数得，，解之得，∴二次函数的解析式为．将二次函数配方得，∴，设直线的解析式为，将，代入直线可得，，解得，∴直线的解析式为，过作直线，平行于直线，且解析式为，∵在直线上方的抛物线上，∴，当直线与距离最大时，取得最大值，∴当与抛物线只有一个交点时，取得最大值，（1）．12（2）．26.2将直线的解析式代入抛物线得，由题意可得，，经计算得，将代入二次方程可得，，∴，即点的横坐标为，将代入抛物线得，∴，又∵轴，∴，将代入直线，∴,∵，，∴、两点关于轴对称，∴，∴，当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，∴当、、三点共线时取得最小值，在中．，，∴，∴的最小值为．过作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点，使得，，当，，三点共线时，取得最小值，设，则，∵轴，∴，∴，∴的最小值为．。
2020年四川省自贡市中考数学试卷及答案 (解析版)
2020年四川省自贡市中考数学试卷一．选择题（共12个小题）.1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．0.7×107C．7×105D．7×1063．（4分）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣15．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（5，1）C．（2，4）D．（2，﹣2）6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．众数是7C．平均数是4D．方差是38．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°10．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝4012．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝．14．（4分）与﹣2最接近的自然数是．15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．18．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝，前25个等边三角形的周长之和为．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是人，m＝；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是．23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝PC ＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：＝；（2）若tan∠ABC＝2，证明：P A是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．2020年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°解：如图所示：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝∠3＝50°；故选：B．2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．0.7×107C．7×105D．7×106解：700000用科学记数法表示为7×105，故选：C．3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．故选：B．4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣1解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴，∴a＝．故选：A．5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（5，1）C．（2，4）D．（2，﹣2）解：将点P（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3）即（2，﹣2）；故选：D．6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．众数是7C．平均数是4D．方差是3解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5＝4，故本选项正确；D、方差是：[2×（3﹣4）2+（7﹣4）2+（5﹣4）2+（2﹣4）2]＝3.2，故本选项错误；故选：C．8．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°解：设这个角是x°，根据题意，得x＝2（180﹣x）+30，解得：x＝130．即这个角的度数为130°．故选：C．9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．10．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，故选：D．11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝40解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：﹣＝40，即﹣＝40．故选：A．12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2B．C．D．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QF A≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE＝，故选：B．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝3（a﹣b）2．解：3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．14．（4分）与﹣2最接近的自然数是2．解：∵3.5＜＜4，∴1.5＜﹣2＜2，∴与﹣2最接近的自然数是2．故答案为：2．15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：②④①③．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．解：②收集最受学生欢迎菜品的数据；④整理所收集的数据；①绘制扇形图；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；故答案为：②④①③．16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6米（结果保留根号）．解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），故答案为6．17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．解：连接OG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG＝OF＝x，则，解得：x＝，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，S扇形OGQ＝S扇形OQF，∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）＝S矩形OGCH﹣S△OFQ＝×﹣（××）＝．故答案为：．18．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60．解：设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y＝﹣x+b，∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝b，OD＝b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，∴∠ADO＝60°．∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第一象限交于点B、C两点，∴﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，∵＝cos60°＝，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•＝4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝2﹣2，∴E1E2＝4﹣4，即第二个三角形的周长为12﹣12，设D3（4+a，a），由题意（4+a）•a＝4，解得a＝2﹣2，即第三个三角形的周长为12﹣12，…，∴第四个三角形的周长为6﹣6，∴前25个等边三角形的周长之和12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，故答案为4，60．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．解：原式＝2﹣1+（﹣6）＝1+（﹣6）＝﹣5．20．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．解：•（+1）＝＝＝，由不等式组，得﹣1≤x＜1，∵x是不等式组的整数解，∴x＝﹣1，0，∵当x＝﹣1时，原分式无意义，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝﹣．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是60人，m＝30；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是．解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，则m＝30；故答案为：60，30；（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：（3）如果小张同学随机选择连续两天，画树状图如图：共有20个等可能的结果，其中连续两天，有一天是星期一的结果有2个，∴其中有一天是星期一的概率为＝；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，∴其中有一天是星期三的概率为＝；故答案为：，．23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？解：（1）由题意可得，y甲＝0.9x，当0≤x≤100时，y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，由上可得，y乙＝；（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．解：（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＞4的x范围为x＜﹣3或x＞1；③当a为1或5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝PC ＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：＝；（2）若tan∠ABC＝2，证明：P A是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵PC＝P A，OC＝OA，∴OP垂直平分线段AC，∴＝．（2）证明：设BC＝a，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠ABC＝＝2，∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，∵P A＝PC＝AB，∴P A＝PC＝3a，∵∠PDC＝90°，∴PD＝＝＝4a，∵DC＝DA，AO＝OB，∴OD＝BC＝a，∴AD2＝PD•OD，∴＝，∵∠ADP＝∠ADO＝90°，∴△ADP∽△ODA，∴∠P AD＝∠DOA，∵∠DOA+∠DAO＝90°，∴∠P AD+∠DAO＝90°，∴∠P AO＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线．（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．∵BC＝2，由（1）可知，P A＝6，AB＝6，∵∠P AB＝90°，∴PB＝＝＝6，∵P A2＝PE•PB，∴PE＝＝4，∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，∴四边形CDKB是矩形，∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，∵PD＝8，∴PK＝10，∵EJ∥BK，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，PJ＝，∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，∴DE＝＝＝．26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），则tan∠MAC＝＝2，则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，故直线AM的表达式为：y＝2x+6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），则FE＝ED cos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，则BD＝＝；②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，则直线OK的表达式为：y＝x，∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，则直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，故点Q（0，2﹣），由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．。
2020年自贡中考数学试卷-含答案
2020年自贡中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）1.如图，a ∥b ，150∠=，则2∠的度数为 （ ）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数700000用科学记数法表示为（ ）A. 47010⨯B. .⨯70710C. 5710⨯D. 6710⨯3.如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D.4.关于x 的一元二次方程2220ax x -+=有两个相等的实数根，则a 的值为（ ） A. 12 B. 12- C. 1 D. 15.在平面直角坐标系中，将点()2,1向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（ ）A. (),-11B. (),51C. (),24D. (),-226.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.7.对于一组数据3,7,5,3,2，下列说法正确是（ ）A. 中位数是5B. 众数是7C. 平均数是4D. 方差是38.如果一个角度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（ ）A. 50°B. 70°C. 130°D. 160°9.如图，在Rt △ABC 中，∠=∠=C 90,A 50,以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ,连接CD ;则ACD ∠的度数为 （ ）A. 50°B. 40°C. 30°D. 20° 10.函数k y x =与2y ax bx c =++的图象如图所示，则y kx b =-的大致图象为 （ ）A. B. C. D.11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A. ()%+-=801358040x xB. ()%-=+808040135x xC. ()%-=+808040x 135xD. ()%+-=801358040x x12.如图，在平行四边形ABCD 中，==AD 2,AB 6，B 是锐角，AE BC ⊥于点E ，F 是AB 的中点，连接DF EF 、；若90EFD ∠=，则AE 的长为（ ）A. 2B. 5C. 322D. 332二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)13.分解因式：22363a ab b -+= ．14.与-142 最接近的自然数是 ________．15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号）_________________．①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图；④.整理所收集的数据．16.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD ，DC ∥AB ,BC 长为6米，坡角β为45°，AD 的坡角α为30°，则AD 的长为 ________ 米 （结果保留根号）17.如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 上的一点，连接DE ,将△ADE 进行翻折，恰好使点A 落在BC 的中点F 处，在DF 上取一点O ，以点O 为圆心，OF 的长为半径作半圆与CD 相切于点G ;若4=AD ,则图中阴影部分的面积为 ____ ．18.如图， 直线3y x b =-+与y 轴交于点A ，与双曲线k y x= 在第三象限交于B C 、两点，且 ⋅=AB AC 16；下列等边三角形11OD E ，122E D E ，233E D E ，……的边1OE ，12E E ，23E E ，……在x 轴上，顶点123D ,D ,D ,……在该双曲线第一象限的分支上，则k = ____，前25个等边三角形的周长之和为 _______．三.解答题(共8个题，共78分)19.计算：()-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭101256π．20.先化简，再求值：2x111x1x4+⎛⎫⋅+⎪+-⎝⎭，其中x为不等式组10523xx+≥⎧⎨->⎩的整数解．21.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE DF=,连接AE和BF相交于点M．求证：AE BF=．22.某校了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A:文明礼仪；B：环境保护；C；卫生保洁；D:垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与；为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．⑴.本次调查的学生人数是人，m= ；⑵.请补全条形统计图；⑶.学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动，如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中一天是星期三的概率是．23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．⑴.以x （单位：元）表示商品原价，y （单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y 关于x 的函数关系式；⑵.新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？24.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，代数式2x -的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为()+=--x 1x 1，所以1x +的几何意义就是数轴上x 所对应的点与1-所对应的点之间的距离． ⑴. 发现问题：代数式12x x ++-的最小值是多少？⑵. 探究问题：如图，点,,A B P 分别表示的是-1,2,x ，3AB =．∵12x x ++-的几何意义是线段PA 与PB 的长度之和∴当点P 在线段AB 上时，+=PA PB 3;当点点P 在点A 的左侧或点B 的右侧时 +>PA PB 3 ∴12x x ++-的最小值是3．⑶.解决问题：①.-++x 4x 2的最小值是 ；②.利用上述思想方法解不等式：314x x ++->③.当a 为何值时，代数式++-x a x 3的最小值是2．25.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，点P 是⊙O 外一点，且==PA PC 2AB ，连接PO 交AC 于点D ，延长PO 交⊙O 于点F ．⑴证明：AF =CF ；⑵.若tan 22ABC ∠=，证明：PA 是⊙O 的切线；⑶.在⑵的条件下，连接PB 交⊙O 于点E ,连接DE ;若2BC =，求DE 的长．26.在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于()30A -,、()B 1,0，交y 轴于点N ，点M 抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点C ．⑴.求抛物线的解析式；⑵.如图1，连接AM ,点E 是线段AM 上方抛物线上的一动点，EF AM ⊥于点F ；过点E 作EH x ⊥轴于点H ,交AM 于点D .点P 是y 轴上一动点，当EF 取最大值时．①.求PD PC +的最小值；②.如图2，Q 点是y 轴上一动点,请直接写出+1DQ OQ 4的最小值．2020年自贡中考数学试卷答案1. B ．2. C.3. C ．4. A ．5. D ．6. A ．7. C ．8. C ．9. D ．10. D ．11. A ．12. B ． 13. ()23a b -．14. 2．15.②④①③．16. 62．17. 23.18. 43,60. 19.解：原式=11211651()6-+=-=-- 20.解：2121(2)(2)1211114x x x x x x x x x +⎛⎫⋅+= ⎪++-⎝⎭++⋅=-+-， 解不等式组可得11x -≤<，∵10x +≠，即1x ≠-，且x 为整数，∴0x =，代入1122x =--． 21.证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=BC=CD ，∠ABE=∠BCF=90°，又∵CE=DF ，∴CE+BC=DF+CD 即BE=CF ，在△BCF 和△ABE 中，BE CF ABE BCF AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴AE=BF ．22.（1）1220%60÷=，∴本次调查的学生人数为60人，1830%60=，故m=30． 故答案为：60，m=30.（2）C 的人数为：60-18-12-9=21(人)，补全图形如下所示：（3）星期一到星期五连续的两天为（星期一、星期二），（星期二、星期三），（星期三、星期四），（星期四、星期五）共4种情况， 符合题意的只有（星期一、星期二）这一种情况，故概率为14； 在星期一到星期四任选两天的所有情况如下：（星期一、星期二），（星期一、星期三），（星期一、星期四），（星期二、星期三）、（星期二、星期四），（星期三、星期四）共6种情况， 其中有一天是星期三的情况有：（星期一、星期三），（星期二、星期三），（星期三、星期四）共3种情况，所以概率是3162=. 故答案为：14，12. 23.解：（1）由题意可得，0.9y x 甲，当0100x 时，y x =乙，当100x >时，1001000.80.820y x x 乙， 由上可得，01000.820(100)x x y x x 乙；（2）由题意可知，当购买商品原价小于等于100时，甲商场打9折，乙商场不打折，所以甲商场购物更加划算；当购买商品原价超过100元时，若0.8200.9x x ，即200x <此时甲商场花费更低，购物选择甲商场；若0.8200.9x x ，即200x =，此时甲乙商场购物花费一样；若0.8200.9x x ，即200x >时，此时乙商场花费更低，购物选择乙商场；综上所述：当购买商品原价金额小于200时，选择甲商场更划算；当购买商品原价金额等于200时，选择甲商场和乙商场购物一样划算；当购买商品原价金额大于200时，选择乙商场更划算．24.解：(3)①设A 表示的数为4，B 表示的数为-2，P 表示的数为x ，∴|4|x -表示数轴上的点P 到4的距离，用线段PA 表示，|2||(2)|+=--x x 表示数轴上的点P 到-2的距离，用线段PB 表示，∴|4||2|x x -++的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时取得最小值为AB ，且线段AB 的长度为6，∴|4||2|x x -++的最小值为6.故答案为：6.②设A 表示-3，B 表示1，P 表示x ，∴线段AB 的长度为4，则，|3||1|x x ++-的几何意义表示为PA+PB ，∴不等式的几何意义是PA+PB ＞AB ，∴P 不能在线段AB 上，应该在A 的左侧或者B 的右侧， 即不等式的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．③设A 表示-a ，B 表示3，P 表示x ，则线段AB 的长度为3a --，++-x a x 3的几何意义表示为PA+PB ，当P 在线段AB 上时PA+PB 取得最小值， ∴32a --=∴32a +=或32a +=-，即1a =-或5a =-；故答案为：1a =-或5a =-.25.解：（1）证明：如图，连接CO ，在△PCO 和△PAO 中， ,CO AO PO PO PA PC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△PCO ≌△PAO （SSS ），∴∠CPO=∠APO ，即PO 为∠APC 的角平分线，∵PA=PC ，∴CD=AD ，PF ⊥AC ，∵AC 为⊙O 的弦，PF 过圆心O ，∴F 为优弧AC 中点，∴AF =CF ，（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，且弦AB 所对圆周角为∠ACB ， ∴∠ACB=90°，∵tan ∠ABC=，∴sin ∠ABC=3，cos ∠ABC=13， 设⊙O 的半径为r ，则AB=2r ，∴BC=ABcos ∠ABC=23r ，AC=ABsin ∠ABC=3，∴13OD r ==，∵AB ，∴PA=PC=，∴83PD r ==， ∴PO=PD+OD=3r ，∴222PA AO PO +=，即PA ⊥OA ，又∵OA 是⊙O 半径，∴PA 是⊙O 的切线；（3）由（2）可得223BC r ==，∴3r =，在Rt △PBA 中，PB ===，连接AE ，可得∠AEB=90°， ∴∠PEA=∠PAB=90°，又∠APE=∠APB ，∴△PEA ∽△PAB ，∴PE PA PA PB =，∴PE =， 过E 作EN ⊥PD 于N ，过B 作BH ⊥PF 于H ，如图所示， ∴∠BCD=∠CDF=∠BHD=90°，∴四边形BCDH 是矩形，∴BH=CD=3r ，在Rt△BPH中，sin∠BPH=226323rBHPB r==，在Rt△PEN中，sin∠BPH=ENPE，∴42EN r=，∴22209PN PE EN r=-=，∴ND=PD-PN=8204399r r r-=，在Rt△NED中，DE=2243ND EN r+=，∵3r=，∴DE=43．26. （1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数23y ax bx=++得，9330{30a ba b-+=++=解之得1{2ab=-=-，∴二次函数的解析式为223y x x=--+；（2）①将二次函数223y x x=--+配方得2(1)4y x=-++，∴M（-1,4）设直线AM的解析式为y px q=+，将(3,0),(1,4)A M--代入直线可得，30{4p qp q-+=-+=解得2{6pq==，∴直线AM的解析式为26y x=+，过E作直线l，平行于直线AM，且解析式为2y x m=+，∵E在直线AM上方的抛物线上，∴31Ex-<<-；当直线l 与AM 距离最大时，EF 取得最大值，∴当l 与抛物线只有一个交点时，EF 取得最大值，将直线l 的解析式代入抛物线得2430x x m ++-=，由题意可得，△=1641(3)0m -⨯-=，经计算得7m =，将7m =代入二次方程可得， 2440x x ++=，∴2x =-，即E 点的横坐标为-2，将2x =-代入抛物线得3y =，∴(2,3)E -，又∵ED ⊥x 轴，∴2D E x x ==-，将2D x =-代入直线AM ，∴(2,2)D -，∵(1,0),(1,0)C B -，∴B 、C 两点关于y 轴对称，∴PB PC =，∴PC PD PB PD +=+，当P 、B 、D 三点不共线时PB PD BD +>，当P 、B 、D 三点共线时，PB PD BD +=，∴当P 、B 、D 三点共线时PC+PD 取得最小值，在Rt △BHD 中。
2020年四川省自贡市中考数学试卷
2020年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）计算（﹣1）2020的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2020 D．20202．（4分）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼3．（4分）380亿用科学记数法表示为（）A．38×109 B．0.38×1013C．3.8×1011D．3.8×10104．（4分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）A．B． C．D．5．（4分）如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（4分）对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（）A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是68．（4分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．9．（4分）下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若a＞b，则＞；②垂直于弦的直径平分弦；③平行四边形的对角线互相平分；④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°11．（4分）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m 的值为（）A．180 B．182 C．184 D．18612．（4分）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x ＜1二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）计算（﹣）﹣1=．14．（4分）在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为．15．（4分）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组．16．（4分）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是；侧面展开扇形的圆心角是．17．（4分）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD=．18．（4分）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：4sin45°+|﹣2|﹣+（）0．20．（8分）先化简，再求值：（a+）÷，其中a=2．21．（8分）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．22．（8分）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）23．（10分）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）本次调查学生共人，a=，并将条形图补充完整；（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．24．（10分）【探究函数y=x+的图象与性质】（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展运用]（4）若函数y=，则y的取值范围．25．（12分）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B （0，）．（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．26．（14分）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．2020年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）（2020•自贡）计算（﹣1）2020的结果是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2020 D．2020【分析】直接利用有理数的乘方性质得出答案．【解答】解：（﹣1）2020=﹣1，故选A．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，正确掌握：﹣1的奇数次方为﹣1，﹣1的偶数次方为1是解题关键．2．（4分）（2020•自贡）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．水涨船高B．守株待兔C．水中捞月D．缘木求鱼【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选：B．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（4分）（2020•自贡）380亿用科学记数法表示为（）A．38×109 B．0.38×1013C．3.8×1011D．3.8×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于380亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．【解答】解：380亿=38 000 000 000=3.8×1010．故选：D．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．4．（4分）（2020•自贡）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）A．B． C．D．【分析】首先分别解出两个不等式的解集，然后根据大小小大中间找确定解集，再利用数轴画出解集即可．【解答】解：，解①得：x＞1，解②得：x≤2，不等式组的解集为：1＜x≤2，在数轴上表示为，故选：C．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（4分）（2020•自贡）如图，a∥b，点B在直线a上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=（）A．45°B．50°C．55°D．60°【分析】先根据∠1=35°，a∥b求出∠3的度数，再由AB⊥BC即可得出答案．【解答】解：∵a∥b，∠1=35°，∴∠3=∠1=35°．∵AB⊥BC，∴∠2=90°﹣∠3=55°．故选C．【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．6．（4分）（2020•自贡）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．（4分）（2020•自贡）对于一组统计数据3，3，6，5，3．下列说法错误的是（）A．众数是3 B．平均数是4 C．方差是1.6 D．中位数是6【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，利用平均数和方差的定义可分别求出．【解答】解：A、这组数据中3都出现了3次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为3，此选项正确；B、由平均数公式求得这组数据的平均数为4，故此选项正确；C、S2=[（3﹣4）2+（3﹣4）2+（6﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2]=1.6，故此选项正确；D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是3，故中位数为3，故此选项错误；故选：D．【点评】本题考查了统计学中的平均数，众数，中位数与方差的定义．解答这类题学生常常对中位数的计算方法掌握不好而错选．8．（4分）（2020•自贡）下面是几何体中，主视图是矩形的（）A．B．C．D．【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，符合题意；B、球体的主视图为圆，不合题意；C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；D、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．9．（4分）（2020•自贡）下列四个命题中，其正确命题的个数是（）①若a＞b，则＞；②垂直于弦的直径平分弦；③平行四边形的对角线互相平分；④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据不等式的性质、垂径定理、平行四边形的性质、反比例函数的性质进行判断即可．【解答】解：①若a＞b，则＞；不正确；②垂直于弦的直径平分弦；正确；③平行四边形的对角线互相平分；正确；④反比例函数y=，当k＜0时，y随x的增大而增大；不正确．其中正确命题的个数为2个，故选：B．【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（4分）（2020•自贡）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】由切线的性质得：∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA=50°，最后利用同圆的半径相等得结论．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°﹣40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，故选B．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径是关键．11．（4分）（2020•自贡）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（）A．180 B．182 C．184 D．186【分析】利用已知数据的规律进而得出最后表格中数据，进而利用数据之间关系得出m的值．【解答】解：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，可得最后一个三个数分别为：11，13，15，∵3×5﹣1=14，；5×7﹣3=32；7×9﹣5=58；∴m=13×15﹣11=184．故选：C．【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确得出表格中数据是解题关键．12．（4分）（2020•自贡）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1 C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x ＜1【分析】直接利用两函数图象的交点横坐标得出y1＞y2时，x的取值范围．【解答】解：如图所示：若y1＞y2，则x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜1．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确利用函数图象分析是解题关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）（2020•自贡）计算（﹣）﹣1=﹣2．【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．【解答】解：原式==﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题主要考查了负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算，比较简单．14．（4分）（2020•自贡）在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为1．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=1，故答案为：1．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．15．（4分）（2020•自贡）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组．【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：．故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．16．（4分）（2020•自贡）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是24π；侧面展开扇形的圆心角是216°．【分析】根据底面周长可求得底面半径，由勾股定理求出母线长（扇形的半径），进而可求得圆锥的全面积，根据扇形的弧长公式求出侧面展开扇形的圆心角度数即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开扇形的圆心角为n°；∵圆锥的底面周长为2πr=6πcm，∴r=3，∵圆锥的高为4cm，∴R==5（cm），∴圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×32+×6π×5=24π，∵侧面展开扇形的弧长l=底面周长=6π=，∴n==216，即侧面展开扇形的圆心角是216°；故答案为：24π，216°．【点评】本题考查了圆锥的计算、勾股定理、弧长公式；解决本题的关键是根据底面周长得到圆锥的底面半径和母线长．17．（4分）（2020•自贡）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD=4．【分析】只要证明AD=BC，在Rt△BCD中求出BC即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴==，∴=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=•=4，∴AD=BC=4．故答案为4．【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（4分）（2020•自贡）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．【分析】直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：所画正方形即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）（2020•自贡）计算：4sin45°+|﹣2|﹣+（）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及结合零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：4sin45°+|﹣2|﹣+（）0=4×+2﹣2+1=2﹣2+3=3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）（2020•自贡）先化简，再求值：（a+）÷，其中a=2．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：（a+）÷，=（+）÷，=[+]，=，=，=；当a=2时，原式==3．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（8分）（2020•自贡）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．【分析】根据菱形的性质可得AB=BC，∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF=∠CBE．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．（8分）（2020•自贡）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD 和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠ECD的平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；根据中垂线的性质可知：到A，B的距离相等的点在AB的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂线MN，其交点就是P点．【解答】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，②作线段AB的中垂线MN，③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．【点评】本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键．23．（10分）（2020•自贡）某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：（1）本次调查学生共300人，a=10，并将条形图补充完整；（2）如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？（3）学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率．【分析】（1）用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数，再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值，然后用a%乘以总人数得到B类人数，再补全条形统计图；（2）用2000乘以A类的百分比即可．（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）120÷40%=300，a%=1﹣40%﹣30%﹣20%=10%，∴a=10，10%×300=30，故答案为：300，10；图形如下：（2）2000×40%=800（人），答：估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2，所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率==．【点评】本题考查的是统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．24．（10分）（2020•自贡）【探究函数y=x+的图象与性质】（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是C；（3）对于函数y=x+，求当x＞0时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+ 4∵（﹣）2≥0∴y≥4．[拓展运用]（4）若函数y=，则y的取值范围y≥1或y≤﹣11．【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x≠0；（2）函数y=x+的图象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）①当x＞0，y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（﹣）2+1∵（﹣）2≥0，∴y≥1．②x＜0，y==x+﹣5═﹣[（）2+（）2+5]=﹣（﹣）2﹣11=∵﹣（﹣）2≤0，∴y≤﹣11．故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤﹣11，【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键．25．（12分）（2020•自贡）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B（0，）．（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断．【分析】（1）先求出OA，OB，再用锐角三角函数即可得出结论；（2）根据等边三角形的性质可得AO=AA'，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AO=AB，然后求出AO=OA'，再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A'到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（3）方法1、根据旋转的性质可得BO=OB'，AA'=OA'，再求出∠AON=∠A'OM，然后利用“角角边”证明△AON和△A'OM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=A'M，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．方法2、利用三角形的中线判断出S'=S△B'OC，再判断出△A'OB≌△COB'，即S△AOB=S△COB'，即可．△A'OB【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，），∴OA=1，OB=，在Rt△AOB中，tan∠BAO==，∴∠BAO=60°；（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴CA'=AC=AB，∴OA'=AA'=AO，根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2，（3）S1=S2不发生变化；方法1、理由：如图，过点'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，∴BO=OB'，AO=OA'，∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，∴∠AON=∠A'OM，在△AON和△A'OM中，，∴△AON≌△A'OM（AAS），∴AN=A'M，∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2．方法2、如图2，在x轴正半轴上取一点C，使OC=OA，连接B'C，'=S△B'OC，∴S△AOB由旋转知，AO'=AO，BO=B'O，∴OC=OA'∵∠BOC=∠A'OB'=90°，∴∠A'OB=∠COB'，∴△A'OB≌△COB'，=S△COB'，∴S△A'OB=S△AOB'，∴S△A'OB即S1=S2【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，三角形的面积计算公式，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质的综合应用，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．26．（14分）（2020•自贡）抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．【分析】（1）由tan∠ABC=4，可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），求出m的值即可解决问题；=S△PHC+S△PHB （2）设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H，根据S△PBC构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题；（3）不存在．假设存在，由题意由题意可知，且1＜﹣＜2，首先求出整数a的值，代入不等式组，解不等式组即可解决问题．【解答】解：（1）∵tan∠ABC=4∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），∴y=4x2﹣16x+12，（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．∵B（3，0），C（0，12），∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，∴H（m，﹣4m+12），=S△DHC+S△DHB=•（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）•3=﹣6（m﹣）2+，∴S△DBC∵﹣6＜0，∴m=时，△DBC面积最大，此时D（，﹣3）．（3）不存在．理由：假设存在．由题意可知，且1＜﹣＜2，∴4＜a＜8，∵a是整数，∴a=5 或6或7，当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积，不等式组等整数，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用不等式组解决问题，属于中考压轴题．。
2020年四川省自贡市中考数学试卷解析版
2020年四川省自贡市中考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数为（）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A. 70×104B. 0.7×107C. 7×105D. 7×1063.如图所示的几何体的左视图是（）A.B.C.D.4.关于x的一元二次方程ax2-2x+2=0有两个相等实数根，则a的值为（）A. B. - C. 1 D. -15.在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A. （-1，1）B. （5，1）C. （2，4）D. （2，-2）6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A. B.C. D.7.对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A. 中位数是5B. 众数是7C. 平均数是4D. 方差是38.如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A. 50°B. 70°C. 130°D. 160°9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°10.函数y=与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=kx-b的大致图象为（）A.B.C.D.11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A. -=40B. -=40C. -=40D. -=4012.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD=90°，则AE长为（）A. 2B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.分解因式：3a2-6ab+3b2=______．14.与-2最接近的自然数是______．15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：______．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．16.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为______米（结果保留根号）．17.如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD=4，则图中阴影部分的面积为______．18.如图，直线y=-x+b与y轴交于点A，与双曲线y=在第三象限交于B、C两点，且AB•AC=16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k=______，前25个等边三角形的周长之和为______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：|-2|-（+π）0+（-）-1．20.先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．21.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE=BF．22.某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是______人，m=______；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是______；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是______．23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？24.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x-2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|=|x-（-1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与-1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数-1、2、x，AB=3．∵|x+1|+|x-2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB ＞3．∴|x+1|+|x-2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x-4|+|x+2|的最小值是______；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x-1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x-3|的最小值是2．25.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA=PC=AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：=；（2）若tan∠ABC=2，证明：PA是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC=2，求DE的长．26.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图所示：∵a∥b，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=∠3=50°；故选：B．由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：700000用科学记数法表示为7×105，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．故选：B．根据左视图即从左边观察所得图形．本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．4.【答案】A【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2-2x+2=0有两个相等实数根，∴，∴a=．故选：A．根据一元二次方程的定义及根的判别式△=0，即可得出关于a的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a的值．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：将点P（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1-3）即（2，-2）；故选：D．根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．6.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.【答案】C【解析】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5=4，故本选项正确；D、方差是：[2×（3-4）2+（7-4）2+（5-4）2+（2-4）2]=3.2，故本选项错误；故选：C．根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可．此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]．8.【答案】C【解析】解：设这个角是x°，根据题意，得x=2（180-x）+30，解得：x=130．即这个角的度数为130°．故选：C．若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．9.【答案】D【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=（180°-40°）=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故选：D．根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y=kx-b的大致图象经过一、二、三象限，故选：D．首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．11.【答案】A【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：-=40，即-=40．故选：A．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q=∠BEF，∵AF=FB，∠AFQ=∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ=BE=x，∵∠EFD=90°，∴DF⊥QE，∴DQ=DE=x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE2=DE2-AD2=AB2-BE2，∴（x+2）2-4=6-x2，整理得：2x2+4x-6=0，解得x=1或-3（舍弃），∴BE=1，∴AE=，故选：B．如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x．首先证明DQ=DE=x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】3（a-b）2【解析】解：3a2-6ab+3b2=3（a2-2ab+b2）=3（a-b）2．故答案为：3（a-b）2．先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14.【答案】2【解析】解：∵3.5＜＜4，∴1.5＜-2＜2，∴与-2最接近的自然数是2．故答案为：2．根据3.5＜＜4，可求1.5＜-2＜2，依此可得与-2最接近的自然数．考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．15.【答案】②④①③【解析】解：②收集最受学生欢迎菜品的数据；④整理所收集的数据；①绘制扇形图；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；故答案为：②④①③．根据收据的收集、整理及扇形统计图的制作步骤求解可得．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．16.【答案】6【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE=CF，在Rt△CFB中，CF=BC•sin45°=3（米），∴DE=CF=3（cm），在Rt△ADE中，∵∠A=30°，∠AED=90°，∴AD=2DE=6（米），故答案为6．过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．首先证明DE=CF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17.【答案】【解析】解：连接OG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD=DF=4，BF=CF=2，∵矩形ABCD中，∠DCF=90°，∴∠FDC=30°，∴∠DFC=60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG=OF=x，则，解得：x=，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC=60°，OF=OQ，∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；∴∠GOQ=∠FOQ=60°，OH=OQ=，S扇形OGQ=S扇形OQF，∴S阴影=（S矩形OGCH-S扇形OGQ-S△OQH）+（S扇形OQF-S△OFQ）=S矩形OGCH-S△OFQ=×-（××）=．故答案为：．连接OG，证明△DOG∽△DFC，得出，设OG=OF=x，则，求出圆的半径为，证明△OFQ为等边三角形，则可由扇形的面积公式和三角形的面积公式求出答案．本题考查了扇形面积的计算，切线的性质，翻折变换，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．18.【答案】430【解析】解：设直线y=-x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=-x+b，∴当y=0时，x=b，即点D的坐标为（b，0），当x=0时，y=b，即A点坐标为（0，b），∴OA=b，OD=b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO==，∴∠ADO=60°．∵直线y=-x+b与双曲线y=在第一象限交于点B、C两点，∴-x+b=，整理得，-x2+bx-k=0，由韦达定理得：x1x2=k，即EB•FC=k，∵=cos60°=，∴AB=2EB，同理可得：AC=2FC，∴AB•AC=（2EB）（2FC）=4EB•FC=k=16，解得：k=4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•=4，∴m=2∴OE1=4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n=4，解得n=2-2，∴E1E2=4-4，即第二个三角形的周长为6-12，设D3（4+a，a），由题意（4+a）•a=4，解得a=2-2，即第三个三角形的周长为6-6，…，∴第四个三角形的周长为6-6，∴前25个等边三角形的周长之和12+6-12+6-6+6-6+…+6-6=6=30，故答案为4，30．设直线y=-x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO=60°，可得AB=2BE，AC=2CF，由直线y=-x+b与双曲线y=在第一象限交于点B、C两点，可得-x+b=，整理得，-x2+bx-k=0，由韦达定理得：x1x2=k，即EB•FC=k，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．19.【答案】解：原式=2-1+（-6）=1+（-6）=-5．【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：•（+1）===，由不等式组，得-1≤x＜1，∵x是不等式组的整数解，∴x=-1，0，∵当x=-1时，原分式无意义，∴x=0，当x=0时，原式==-．【解析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据x是不等式组的整数解，然后即可得到x的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21.【答案】解：在正方形ABCD中，AB=CD=CD=AD，∵CE=DF，∴BE=CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE=BF．【解析】根据矩形的性质可证明△AEB≌△BFC（SAS），然后根据全等三角形的判定即可求出答案．本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及判定，本题属于基础题型．22.【答案】60 30【解析】解：（1）12÷20%=60（人），×100%=30%，则m=30；故答案为：60，30；（2）C组的人数为60-18-12-9=21（人），补全条形统计图如图：（3）如果小张同学随机选择连续两天，画树状图如图：共有20个等可能的结果，其中连续两天，有一天是星期一的结果有2个，∴其中有一天是星期一的概率为=；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，∴其中有一天是星期三的概率为=；故答案为：，．（1）根据B组的人数和所占比例求出本次调查的学生人数；求出A组所占的百分数，即可得出m的值；（2）求出C组的人数，补全条形统计图即可；（3）分别画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图以及概率公式：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23.【答案】解：（1）由题意可得，y甲=0.9x，当0≤x≤100时，y乙=x，当x＞100时，y乙=100+（x-100）×0.8=0.8x+20，由上可得，y乙=；（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；当0.9x=0.8x+20时，得x=200，即此时两家商场购物一样；当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．【解析】（1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的y关于x的函数解析式；（2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．24.【答案】6【解析】解：（1）发现问题：代数式|x+1|+|x-2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数-1、2、x，AB=3．∵|x+1|+|x-2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞3．∴|x+1|+|x-2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x-4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足|x+3|+|x-1|＞4的x范围为x＜-3或x＞1；③当a为1或5时，代数式|x+a|+|x-3|的最小值是2．观察阅读材料中的（1）和（2），总结出求最值方法；（3）①原式变形-2和4距离x最小值为4-（-2）=6；②根据题意画出相应的图形，确定出所求不等式的解集即可；③根据原式的最小值为2，得到3左边和右边，且到3距离为2的点即可．此题考查了解一元一次不等式，数轴，绝对值，以及数学常识，弄清题中的方法是解本题的关键．25.【答案】（1）证明：连接OC．∵PC=PA，OC=OA，∴OP垂直平分线段AC，∴=．（2）证明：设BC=a，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC==2，∴AC=2a，AB===3a，∴OC=OA=OB=，CD=AD=a，∵PA=PC=AB，∴PA=PC=3a，∵∠PDC=90°，∴PD===4a，∵DC=DA，AO=OB，∴OD=BC=a，∴AD2=PD•OD，∴=，∵∠ADP=∠ADO=90°，∴△ADP∽△ODA，∴∠PAD=∠DOA，∵∠DOA+∠DAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=90°，∴∠PAO=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．∵BC=2，由（1）可知，PA=6，AB=6，∵∠PAB=90°，∴PB===6，∵PA2=PE•PB，∴PE==4，∵∠CDK=∠BKD=∠BCD=90°，∴四边形CDKB是矩形，∴CD=BK=2，BC=DK=2，∵PD=8，∴PK=10，∵EJ∥BK，∴==，∴==，∴EJ=，PJ=，∴DJ=PD-PJ=8-=，∴DE===．【解析】（1）首先证明PF垂直平分线段AC，利用垂径定理可得结论．（2）设BC=a，通过计算证明AD2=PD•OD，推出△ADP∽ODA即可解决问题．（3）如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．想办法求出EJ，DJ即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了垂径定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）抛物线的表达式为：y=a（x+3）（x-1）=a（x2+2x-3）=ax2+2ax-3a，即-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3；（2）由抛物线的表达式得，点M（-1，4），点N（0，3），则tan∠MAC==2，则设直线AM的表达式为：y=2x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b=6，故直线AM的表达式为：y=2x+6，∵∠EFD=∠DHA=90°，∠EDF=∠ADH，∴∠MAC=∠DEF，则tan∠DEF=2，则cos∠DEF=，设点E（x，-x2-2x+3），则点D（x，2x+6），则FE=ED cos∠DEF=（-x2-2x+3-2x-6）×=（-x2-4x-3），∵-＜0，故EF有最大值，此时x=-2，故点D（-2，2）；①点C（-1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC=PD+PB=DB为最小，则BD==；②过点O作直线OK，使sin∠NOK=，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，DQ+OQ=DQ+QK=DK为最小值，则直线OK的表达式为：y=x，∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y=-x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b=2-，则直线DK的表达式为：y=-x+2-，故点Q（0，2-），由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα=，则DQ===，而OQ=（2-），则DQ+OQ为最小值=+（2-）=．【解析】（1）抛物线的表达式为：y=a（x+3）（x-1）=ax2+2ax-3a，即-3a=3，即可求解；（2）①点C（-1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC=PD+PB=DB为最小，即可求解；②过点O作直线OK，使sin∠NOK=，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，则DQ+OQ=DQ+QK=DK为最小，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性、解直角三角形等，综合性强，难度适中．。
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6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
（）
A
B
C
D
【解析】根据轴对称和中心对称的定义，故答案为 A
7.对于一组数据 3, 7, 5, 3, 2 ，下列说法正确的是
（）
A. 中位数是 5
B. 众数是 7
C. 平均数是 4
D. 方差是 3
【解析】将数据按从小到大排列为 2, 3, 3, 5, 7 ，平均值 x 2 3 3 5 7 4 ，众数是 3， 5
B
C
D
【解析】∵反比函数过一三象限，∴ k 0 ，由二次函数图象可得 a 0,b 0, c 0 ，所以
一次函数应该经过第一、二、三象限，故答案为 D.
11.某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的
工作效率比原计划提高了 35%，结果提前 40 天完成了这一任务；设实际工作时每天绿化的
【解析】∵∠A=50°，可得∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC，∵∠B+∠BCD+∠BDC=180°， ∴∠BCD=70°，∴∠ACD=90°-70°=20°，故答案为 D
10.函数 y k 与 y ax2 bx c 的图象如图所示，则 y kx b 的大致图象为 x
（）
A
.
【解析】提公因式得 3(a2 2ab b2 ) ，然后再使用完全平方差公式可得 3(a b)2
14.与 14 2 最接近的自然数是
.
9 14 16 ，可得 3 14 4 ，∴1 14 2 2 ，∵14 接近 16，∴ 14 更靠近 4， 故 14 2 最接近的自然数是 2
15.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢 迎菜品”的调查统计，以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序 （只填番号）
中位数为 3，方差为 s2 (2 4)2 (3 4)2 (3 4)2 (5 4)2 (7 4)2 16 ，故答案为
5
5
C
8.如果一个角的度数比它补角的度数 2 倍多 30°，那么这个角的度数是
A. 50°
B. 70°
C. 130°
（） D. 160°
【解析】设这个角为
，其补角为
故答案为 B
第Ⅱ卷 非选择题 （共 102 分）
注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图 题
可先用铅笔绘出，确认后用 0.5 毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二.填空题(共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分)
13. 分解因式： 3a2 6 ab 3b2 =
2020 年自贡中考数学
满分：150 分 时间：120 分钟 一.选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分；在每题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1. 如图， a ∥ b ， 1 50 ，则 2 的度数为 （）
A.40°
B.50°
C.55°
D.60°
【解析】两平行线同位角相等，再根据对顶角相等即可得到答案.故答案为 B
2.5 月 22 日晚，中国自贡第 26 届国际恐龙灯会开始网络直播，有着近千年历史自贡灯会进
入“云游”时代，70 余万人通过“云观灯”感受“天下第一灯”的璀璨，人数 700000 用科
学记数法表示为
（）
A.70 104
B. 0.7 107
C.7 105
D.7 106
【解析】根据科学记数法规定 a 10N ，要求1 | a | 10 ，可得 C 为正确选项.
面积为 x 万平方米，则下面所列方程中正确的是
（）
A. 80 1 35% 80 40
x
x
C.
80 x
1
80
35%
x
40
B.
1
80
35%
x
80 x
40
D. 80 80 1 35% 40
x
x
x 【解析】由题意可得原计划的工作效率为 1 35% ，所以原计划的工作时间为
80 x
80(1
35%) x
(2)2 4 a 2 4 8a 0 ，得 a 1 ，故答案为 A 2
D. 1
5.在平面直角坐标系中，将点 2, 1 向下平移 3 个单位长度，所得点的坐标是源自（）A. 1, 1
B. 5, 1
C. 2, 4
D. 2, 2
【解析】点的平移规律为上加下减，左减右加，可得横坐标不变，纵坐标减 3，故答案为 D
，实际的工作时间为
80 x
，所以原计划的时间减去实际的时间为
40
1 35%
天可得，答案为 A
12.如图，在平行四边形 ABCD 中，AD 2, AB 6 , B 是锐角，AE BC 于点 E , F
是 AB 的中点，连接 DF、EF ；若 EFD 90 ,则 AE 的长为
（）
A. 2
B. 5
，根据题意可得
180 2 30
130 解之得 50 ，故答案为 C
9.如图，在 Rt △ ABC 中， C 90 ,A 50 ,以点 B 为圆心， BC 长为半径画弧，交 AB 于点 D ,连接 CD ;则 ACD 的度数为 （ ）
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
3.如图所示的几何体的左视图是
（）
A
B
C
D
【解析】根据左视图为，从左往右观看直观图，左视图左边反应空间体后边，左视图右边反 应空间体前边，故答案为 B
4.关于 x 的一元二次方程 ax2 2x 2 0 有两个相等的实数根，则 a 的值为
（）
A. 1 2
B. 1 2
C. 1
【解析】一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于 0 可得，
.
①.绘制扇形图；②.收集最受学生欢迎菜品的数据；③.利用扇形图分析出受欢迎的统计图； ④.整理所收集的数据.
【解析】先收集，再整理，再分析，最后得到结论，故答案为②④①③
16.如图，我市在键高铁的某段路基横断面为梯形 ABCD ， DC ∥ AB , BC 长为 6 米，坡
C. 3 2 2
D. 3 3 2
【解析】延长 EF，DA 交于 G，连接 DE，可得△AFG≌△BFE，设 BE x ，则 AG x ，可得 DF 是线段 GE 的垂直平分线，∴ DG DE 2 x ，在 Rt△GAE 中， AE 2 ( 6)2 x2
在 Rt△AED 中，AE 2 (x 2)2 22 ，所以 (x 2)2 22 6 x2 ，解得 x 1 ，∴ AE 5 ，