第四部分优选法基础

三、平行线法
在实际工作中常遇到两个因素的问题，且其中一 个因素难以调变，另一个因素却易于调变。比如一个 是浓度，一个是流速，调整浓度就比调整流速困难。 在这种情形下用平行线法就比用纵横对折法优越。假 设试验范围为一单位正方形,
即 0≤x1≤1， 0≤x2≤1
上面两因素的方法，也可以推广到三个或更多个因素的情 形，现以三个因素为例说明之。假设试验范围为一长方体，不 失普遍性，可以假设它是单位立方体：0≤x1≤1， 0≤x2≤1， 0≤x3≤1
第四部分优选法基础
§4－1 概述
• 优选法是尽可能少做试验，尽快地找到生产 和科研的最优方案的方法
• 优选法的应用在我国从70年代初开始，首先 由我们数学家华罗庚等推广并大量应用
• 优选法也叫最优化方法
§4－2 单因素优选法
一、平分法
如果在试验范围内，目标函数单调，则可以选用 此法
f(x)
f(x)
§4－3 多因素方法——降维法
• 例如：有两个因素需要考虑，一个是用量， 其范围（1000，2000），另一个是温度， 其范围（1000℃，2000℃）。
因素2
（1）固定温度于0.618处 2000℃
（2）优选出用量的最佳点A （3）固定用量于点A
DA
（4）优选温度最佳点B
1618℃
（5）固定温度于点B
B1
x1
a1
b1 2
a2 b2 2
A1
x2
a2
2
b2
上用单因素方法求出最优点
a2a1
a1 b1
x (1) 1
b1
x1
2
先将因素x2固定在
a2
2
b2
处，而用单因素方法求出相应于
x2＝a2
2
b2
的最优点数值x1(1)，这样一个两因素的组合记为A1。
同样，固定x1在
a1
2
b1
，而用单因素方法求出相应于
对 于 第 一 种 情 形 ， x1 的 对 称 点 x3 ， 在 x3安 排 第 三 次 试 验 ， 用 对 称 公 式 计 算 有 ：
x3x2bx1
x 2 x 1 x 3 b
对 于 后 一 种 情 形 ， 第 三 个 试 验 点 x3应 是 好 点 x2 的 对 称 点 ， 也 就 是 ：
x3ax1x2
（4）再固定时间为80分钟，又对温度进行优选， 结果还是67℃。此时试验结束，可以认为最优 条件为：
温度：67℃；时间：80分钟
采用此工艺生产，平均收率提高了15％
二、纵横对折法
两因素时，假设试验范围为长方形 x2
a1 x1 b1
b2
a2 x2 b2 在此长方形的纵横两根中线
x (1) 2
平行线加速法:
x1＝
a1
2
b1
的最优点数值x2(1)，这样一个两因素的组合记为B1。
比较A1和B1的结果，去掉不适合的部分，缩小试验范围，继续 进行试验，直至试验结果满意为止
例4－9 某炼油厂试制磺酸钡，其原料磺酸是磺化油经乙醇 水溶液萃取出来的，试验目的是选择乙醇水溶液的合适浓 度和用量，使分离出的白油最多.
a
b
连续单调
a
b
间断单调
§4－2 单因素优选法
• 平分法的作法为：总是在试验范围的中点 安排试验，中点公式为：
中点＝ a＋b 2
• 根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些）， 就把此试验点（中点）以下的一半范围划去；如 下次试验在低处（取值小些），就把此试验点 （中点）以上的一半范围划去，重复上面的试验， 直到找到一个满意的试验点。
可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍， 随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到 所需精度即可
§4－2 单因素优选法
三、分数法
分数法也是适合单峰函数的方法，该方法要求预 先知道试验总数
f(x)
a
b
单峰函数
§4－3 多因素方法——降维法
• 多因素问题：首先对各个因素进行分析， 找出主要因素，略去次要因素，划“多” 为“少”，以利于解决问题
称点，即：
x1 a 0.618(b a)
(51)
x2 a b x1
(5 2)
也可
x2 a 0.382(b a)
(53)
称a为试验范围的小头，b为试验范围的大头，上述公
式可以表示为：
第一点＝小＋0.618（大－小） (5-1)'
第二点＝大＋小－第一点
(5-2)'
§4－2 单因素优选法
a
x2 x1
(1)
(3)
2000
x3=大＋小－第一点=1383+2000-1618=1764克
§4－2 单因素优选法
第四步 比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3） 处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个 试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分 范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好 的试验结果为止
（6）再次优选用量最佳点C
CB
…………
1000℃ 1000g
因素1 2000g
等高线的一般作法： 假设试验范围为一长方形：
因素2
b2
a1 x1 b1
a2 x2 b2
固定x1在x1(1)处，而用单因素 方法对因素x2进行优选，得
x (1) 2
A1
最优点记为A1
(x1(1) ,
x (1) 2
根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50％－90％ （体积百分比），用量范围为30％～70％（重量百分比）， 精度为±5％。
。 作法：先横向对折，即将用量固定在50％，用单因素 的0．618法选取最优浓度为80％（即图4－10）的点3。而 后纵向对折，将浓度固定在70％，用0．618法对用量进行 优选，结果是点9较好。比较点3与点9的试验结果，点3比 点9好，于是丢掉试验范围左边的一半。在剩下的范围内再 纵向对折，将浓度固定在80％，对用量进行优选，试验点 11、12的结果都不如3好，于是找到了好点，即点3（见表 4－3），试验至此结束。
x (1) 1
x1
b1
x (1) 2
x2
b2
x (2) 2
A3
x (1) 2
x (1) 1
x (2) 1
b1
再 将 x 2 固 定 在 x 2 ( 2 ) 处 ， 而 对 x 1 进 行 优 选 ， 依 此 方 法 继 续 进 行
• 例4－8 阿托品是一种抗胆碱药。为了提高 产量，降低成本，利用优选法选择合适的 酯化工艺条件：
• 根据分析，主要因素为温度于时间，定出其试验 范围：
温度：55℃－75℃ 时间：30－210分钟
（1）参照生产条件，先固定温度为55℃，用单 因素法优选时间，得最优时间为150分钟，其 收率为41.6％
（2）固定时间为150分钟，用单因素法优选温度， 得最优温度为67℃，其收率为51.5％
（3）固定温度为67℃，用单因素法优选时间， 得最优时间为80分钟，其收率为56.9％
§4－2 单因素优选法
• 例4－1 乳化油加碱量的优选（用循序试验法）
高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳 化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需 加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱 过多又会皂化，所以加碱量优选范围为1－4.4％
1%
2.7%
4.4%
• 第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2
2.28%
2.7%
• 乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满
意，试验停止。
§4－2 单因素优选法
二、黄金分割法（0.618法）
对于一般的单峰函数，我们可以采用此法
f(x)
a
b
单峰函数
§4－2 单因素优选法
• 0.618法的作法为：第一个试验点x1设在范围（a，
b）的0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对
§4－2 单因素优选法
• 例4－3 炼某种合金钢，需添加某种化学元 素以增加强度，加入范围是1000－2000克， 求最佳加入量
小
1000 1100
大
1900 2000
§4－2 单因素优选法
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克
又设x3为较难调变的，那么将x3先后固定在0.618和0.382 处，就得到两个平行平面:0≤x1≤1， 0≤x2≤1
X3＝0.618
与0≤x1≤1， 0≤x2≤1
X3=0.382
这两个平行平面把立方体截成三块，对每一平行平面用 （任何）两因素求出最优点，设最优点为A1和A2（见图4－ 15）。然后比较A1和A2上的试验结果。
第二步 第（2）个试验点由公式（4－2）’计算 x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克
第三步 比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在 假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000, 1382]那一段范围。留下[1382,2000]
小
1618 中点
1764
大
1382
A2
x (1) 1
x (2) 1
b1
新
的
试
验
范
围
内
，
将
x
固
1
定
于
x1( 2 )，
而 对 x2进 行 优 选 ， 又 得 到 一 点
A 3 ( x 2 (1) , x 2 ( 2 ) )。 于 是 ， 丢 掉 不 含
A 3的 一 块 ， 而 在 包 含 A 3的 一 块 中