大连理工大学信号与系统02 第二章
大连理工大学信号与系统习题集
（3） ( p 2 + 3 p + 2) y(t) = f (t) ， y(0− ) = 1 ， y ' (0− ) = 0 （4） ( p 2 + 3 p + 2) y(t) = f (t) ， yx (0+ ) = 1 ， yx' (0+ ) = 2 （5） ( p 2 + 3 p + 2) y(t) = f (t) ， yx (0+ ) = 1 ， yx' (0+ ) = 2
三、强化阶段(7 月-8 月)
1、学习目标： 复习第二遍，达到掌握整体，难点、重点集中攻破。以新大纲指定参考书为主，解决第
一遍遗留同时，加强知识前后联系，建整体框架结构，重难点掌握。
2、阶段重点： 这一阶段最重要的任务是抓住重点、掌握重点。要抓住重点，一是要分析试题;二是要
专业化辅导;三是内部资料，如出题老师的论文、讲义、当前学术热点等。对核心概念、基 础概念、重要知识点、要点、常见公式一定要地毯式全面记忆，并反复强化，达到永久记忆。 建议自我检测或者让专业课老师及时检测，不断督促，有压力才能保障效果。
1、学习目标：
跨专业：吃透参考书，地毯式复习，夯实基础训练思维，掌握基本概念和基本模型。
本专业：指定参考书为主，兼顾笔记，第一轮复习。理解为主，不纠缠细节，不懂的知 识点做标记。
2、阶段重点：
对指定参考书目"地毯式"学习一遍，系统性了解各科目，弄清每本书章节分布情况、内 在逻辑结构、重点章节所在等，但不要求记住，达到整体了解内容的效果。
1.1 分别判断图 P1.1 所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否 为数字信号？
f (t)
大连理工大学2008年通信信号真题及解析
2008年通信信号专业真题信号与系统部分一．选择题（5315⨯=）1. 离散时间非周期信号()x n 的频谱是( )的。
A.连续且周期 B.连续但非周期 C.离散且周期 D.离散但非周期2. 有2个陈述： （a ）()2t u t 的拉普拉斯变换在s 平面的任何地方均不收敛（b ）()2te u t 的拉普拉斯变换在s 平面的任何地方均不收敛请在线面的判断中选择一个正确的( ) A.(a)正确(b)正确 B.(a)正确(b)错误C.(a)错误(b)正确D. (a)错误(b)错误3.()()24t u t dt δ+∞-∞++=⎰ A.-1B.0C.1D.24. 若()x t 为一周期为T 的实值信号，且其傅里叶级数的系数为k a ,则( ) A. ()x t 奇部的傅里叶系数为{}Im k j a B. ()x t 奇部的傅里叶系数为{}Im k a C. ()x t 奇部的傅里叶系数为{}Re k j a D. ()x t 奇部的傅里叶系数为{}Re k a5.一右边离散时间序列()x n 的Z 变换为()10721107135415z z z z X z z z z -------++++=-+，则该序列当0n <的取值为( )A.()()()35,21,13x x x -=-=-=B.()()()35,24,11x x x -=-=-=C.()()()33,21,15x x x -=-=-=D.()()()31,24,15x x x -=-=-=二．简答题（4520⨯=）1.已知()1f t 和()2f t 的波形如下，()()()12*g t f t f t =，试求当t 等于多少的时候，()1g t =.2. ()()23tf t e u t -=-的拉普拉斯变换.3.已知因果离散时间系统()22z azH z z bz c+=++，在激励()()x k u k =的作用下，全响应为()()()210132933k k y k u k ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦，且激励信号()()2k x k =-的作用下的响应为0，求a ，b ，c.4. 根据如下系统框图列状态方程和输出方程.e )三．（10分）已知系统结构框图如下图所示，系统输入信号频谱和理想低通滤波器频响分别如图(a)和（b ）所示，采样间隔2T π=，试绘出A ，B ，C 和D 四点信号的频谱图。
第五章大连理工大学考研信号与系统课件
Kk
lim (s sk )N (s) lim
ssk D(s)
ssk
d ds
(s
sk
)N (s)
d ds
D(s)
N (s) D ( s)
ssk
展开式中每个部分分式对应一个指数函数，即
Kk s sk
K k e skt ε(t)
n
f (t) 1{F (s)} 1{
Kk
}
n
1{
Kk
}
k 1 s sk
拉普拉斯变换分析法的优点：
1、可一次求出全响应； 2、可将微积分运算转换成乘除法运算； 3、可将复杂的函数转换为简单的初等函数； 4、可将卷积运算转换为乘积运算。
同时可以引出系统的一个重要概念：系统函数。 它是描述系统特性的重要概念
§5.2 拉普拉斯变换
若信号本身不满足绝对可积条件，其付立叶变换就不
§5.3 拉普拉斯变换的收敛域
信号 f (t) 与收敛因子 et 相乘是否收敛，
取决于两个因素：
1、信号本身的收敛性； 2、收敛因子中的取值，即复变量 s 实部的取值。
我们把使 f (t)et 满足绝对可积的 的取值
范围叫做信号 f (t)的拉普拉斯变换的收敛域。
只有在此收敛域内取值时，信号的拉氏变换 才存在，即F(s)才有意义，否则信号的拉氏变换 不存在。
存在。为使信号收敛，用一叫做收敛因子的指数函数
e t去乘 f (t)
f (t)
f (t)e t
1
1
t
t
0
0
f
(t )
1 e
t
t 0 t0
f (t)e t
e t
e
t
e
傅里叶理论与信号系统的频域分析
2 m
N
(m
1)
，且
N 和 m 无公因子，则 x[n] 可
确定一个基波周期为N的信号。将 x[n] 改写为：
x[n]
1
jm2 n
e N
1
jm2 n
eN
2j
2j
• 则：
am
1 2j
,
am
1 2j
,
其余 ak 0（在一个周期内）
•
if
N =5, m=3,
then
a3
1 2j
,
a3
1 2j
=a2 ,
35
• 【例2.6】
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§2.4 连续时间信号的傅里叶变换
2 N
–谐波集：
k (n) ejk0n e , jk(2 /N )n k 0, 1, 2,
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26
• 离散谐波的特点
–在谐波集中，所有信号都是周期信号，且所有信号的 基波频率均为 2 / N 的整倍数，因此所有信号之间构 成谐波关系。
–由于离散时间周期性复指数信号关于频率的周期性， 满足
N N m0
2 N1
jk (2 / N ) N1
jk (2 / N )m
m0
• 这样， ak
1 N
2 N1
1 e jk (2 / N ) N1 e 1 e m0
jk 2 (2 N11)/ N jk (2 / N )
1 sin[2 k(N1 1/ 2) / N ] , k 0, N , 2N ,
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9
• 傅里叶理论的出现
– 1807年，Fourier完成有关Fourier级数的论文，由4位科 学家评审。
信号与系统的基本概念与原理
• 信号——信息的载体，常表示为一个数学函数：x(t) 。
– 信号举例：
• 语言交流；
• 烽火台；
• 通信信号；
• 交通信号，......
– 在电子信息科学技术领域，最常见的信号形式是电信号
形式，即随时间、空间或其他独立变量变化的电压或电
流，也可以是电荷、磁通量或电磁波等。
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8
• 信号的表示
(t)
(t
t0
)]dt
e jt (t)dt
e jt
(t
t0 )dt
1
e jt0
–（2） x(t t0 ) (t t0 )dt
–解：由筛选性质
x(t t0 ) (t t0 )dt x(2t0 )
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33
【例1.4】
(1) 给定一个信号 x(t) 曲线如图，用 u(t)
① 实指数信号：C, 为实数。 波形如下：
0
x(t)
C0
t
0
x(t) 0 C0
t
0
x(t) 0 C0
t
0
x(t) 0 C0 t
0
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② 纯虚指数信号 C=1, =j (r 0)
则 x(t) ejt 。可以证明，该信号是周期信号。 证明：
由欧拉公式，有
ej0t cos0t jsin 0t
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• 谐波举例
Amplitude
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
t
2021/6/6
大连理工大学(已有10试题)
大连理工大学应用数学系数学分析2001——2005，2009（2005有答案）高等代数2000——2005、2007（2005有答案）物理系数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005普通物理2000——2005光学（几何光学与波动光学）2000晶体管原理2000半导体材料2004——2005半导体器件2004——2005半导体物理2001——2002，2004——2005神经科学基础2004——2005生物统计学2004——2005生物物理学2004——2005工程光学2005微电子技术2003——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005模拟电子技术2001——2005工程力学系材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）理论力学1995，1999——2001，2003——2005理论力学（土）2000土力学1999——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005杆系结构静力学1998，2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005机械工程学院机械设计2001——2005（2001——2005有答案）机械原理1999——2000，2003——2005画法几何及机械制图2003——2005控制工程基础2001，2003——2005微机原理及应用（8086）1999——2000微机原理及应用（机）2004——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000模拟电子技术2001——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005过程控制（含计算机控制）2000杆系结构静力学1998，2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002晶体管原理2000系统工程概论1999——2005管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）计算机组成原理（软）2005管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）自动控制原理(含现代20%) 1999——2005材料科学与工程学院材料科学基础2003——2005，2010（2010为回忆版）机械设计2001——2005（2001——2005有答案）模拟电子技术2001——2005微电子技术2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）胶凝材料学2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005杆系结构静力学1998，2000金属学2000金属热处理原理2000金属材料学2000钢筋混凝土结构1999——2000晶体管原理2000土木水利学院材料力学（土）2000，2003——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）土力学1999——2005结构力学2000——2001，2003——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005杆系结构静力学1998，2000理论力学（土）2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005系统工程概论1999——2005工程经济学2004——2005无机化学2003——2005传热学2002，2004——2005工程力学2004——2005工程项目管理2004——2005建筑材料2005工程热力学2001——2002，2004——2005热工基础（含工程热力学和传热学）2003化工学院无机化学2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）有机化学及实验2001，2003——2005高分子化学及物理2002——2005化工原理及化工原理实验2001——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）工程流体力学2001，2004——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005热力学基础2005天然药物化学2005药剂学2005生物化学及生物化学实验1999——2005船舶工程学院船舶动力装置2002——2005船舶设计原理2001——2005水声学原理2002——2005船舶静力学2001——2005杆系结构静力学1998，2000电子与信息工程学院模拟电子技术2001——2005信号与系统（含随机信号20%）1999——2005 自动控制原理(含现代20%) 1999——2005工程光学2005通信原理2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005 计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001高等代数2000——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000能源与动力学院汽车理论2000——2005机械原理1999——2000，2003——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005化工原理及化工原理实验2001——2005普通物理2000高等代数2000——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005运筹学基础及应用2004——2005计算机信息管理1999——2001，2004——2005 微电子技术2003——2005杆系结构静力学1998，2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000信息管理与信息系统2010（回忆版）管理学院计算机信息管理1999——2001，2004——2005 运筹学基础及应用2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）运筹学基础及应用2004——2005公共管理学2005社会保障学2004——2005管理学2010（回忆版）信息管理与信息系统2010（回忆版）人文社会科学学院经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）系统工程概论1999——2002现代科学技术基础知识1999——2000，2004——2005思想政治教育学2004——2005马克思主义哲学原理2004——2005马克思主义哲学2001——2002西方哲学史2005哲学概论2004——2005科学技术史（含命题作文）2004——2005科学史、技术史、命题作文2001——2003政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）传播学2004——2005新闻传播实务2004——2005民法学2004——2005法理学与商法总论2004——2005政治学2004——2005中外教育史2004——2005教育学2005中国近现代史2004——2005世界近现代史2004——2005电气工程及应用电子技术系电路理论2002——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2005晶体管原理2000外国语学院二外德语2002，2004二外俄语2002——2004二外法语2004——2005二外日语2002——2004专业基础英语2003英汉翻译2003，2005英汉翻译与写作2004英语水平测试2004——2005二外英语2002——2005日语水平测试2004——2005翻译与写作（日）2004——2005专业基础日语2002——2003外国语言学与应用语言学（日语）专业综合能力测试2002——2003体育教学部运动生物力学2005人体测量与评价2004——2005生物学基础2005体质学2004——2005建筑艺术学院建筑设计（8小时）2000，2004——2005建筑设计原理1999——2000，2003建筑设计理论综合2004——2005城市建设史2002——2003中国与外国建筑史2000建筑构造与建筑结构1999——2000城市规划历史与理论2004——2005城市规划原理2003城市设计2002规划设计(8小时)2004-2005素描(8小时)2005泥塑(8小时)2005色彩(4小时)2005软件学院离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001环境与生命学院物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）化工原理及化工原理实验2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005基因工程原理2004——2005微生物学2004——2005细胞生物学2005环境化学2004——2005环境工程原理2004——2005，2010（2010为回忆版）分子遗传学2004——2005环境微生物2002经济系经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）高科技研究院数学分析2001——2005，2009（2005有答案）高等代数2000——2005数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）硅酸盐物理化学2001——2002，2005微电子技术2003——2005。
4_连续信号的离散化与离散信号的连续化
p(t )
1
0
T
t
x(t )
x p (t )
h0 (t )
x0 ( t )
– 零阶保持采样系统实质上是一个单位冲激序列采样系统 与一个零阶保持滤波器的级联。
2016/6/2
大连理工大学
18
• 零阶保持采样系统
• 说明：
• 系统前端为一理想冲激 序列采样系统； • 系统后端级联一个零阶 保持系统，即平滑滤波器；
• 连续时间信号经理想冲
激序列采样后，再经平滑 滤波器保持。
2016/6/2
大连理工大学
19
• （3）零阶保持采样的信号恢复
– 零阶保持采样的信号恢复
p(t )
x(t )
H ( j)
x p (t )
h0 (t )
x0 ( t )
r (t )
hr (t )
– 若虚线框中的 H ( j) 为理想低通滤波器， 则可无失真 恢复原始信号。
1 1 X j * ( k s ) X j ( k s ) T k T k
– 上式说明： – X p j 包含 X j 。
– X p j 是一个关于
X j 的周期性频谱。
2016/6/2
大连理工大学
22
4.3.1
离散时间信号的插值
• （1）信号插值的概念与分类
– 所谓信号的插值（interpolation），是指在离散时 间信号（或称为数据）样本点的基础上补充连续曲 线，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点， 进而估算出曲线在其他点处的近似值。插值是离散 函数逼近的重要方法，也是离散时间信号连续化的 一种常用的重要手段。 – 常用的插值方法：多项式插值、埃尔米特插值、分 段插值与样条插值、三角函数插值等。
信号与系统(大连理工大学)
1、按信号的确定性分类
信号
确定性信号 随机信号
♦ 确定性信号（Determinate Signals）：给定一个时间值，即可得到一个相应的信号值, 记为 f (t) 。 t 例如正弦信号： f (t) = A sin ωt f (t ) = Am (1 − ), t ∈ (−T , T ) 三角波信号： m 2T
（可以包含有若干不连续点）
离散时间信号 --只在某些不连续的规定瞬时给出函数值， 其它时间没有定义的信号
f1 (t)
f 2 (t)
（包含不连续点）
t
t ♦ 离散时间信号 (Discrete-time signals)
f1 (n) = Am sin(ω n)
f 2 ( n)
n
1
5
n 0 12 345
10
e(t )
r (t )
e(t )
H[ ]
r (t )
O T
e( t − t 0 )
t
O
r(t − t 0 )
t
e(t − t0 )
H[ ]
r (t − t0 )
O t0
t0 + T
t
O
t0
t
♦ 时变系统： 响应函数的形状随激励信号施加的时间的而改变的系统。
不满足时不变系统特性的系统 (系统内部含有时变元件)。
转换器
发射机
信道
接收机
转换器
-- 需要掌握关于信号的产生、发射、传输、处理、及接收方面的基础知识； 掌握信号分析的基础理论与方法，系统分析、设计的基础理论与方法。
♦ 本课是电子技术、通信工程、电子信息类专业的技术基础课。 -- 几乎所有电类、信息类的专业课都要用到本课所涉及的内容、以此作为基础知识；
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特征方程为
p n + an−1 p n−1 + + a1 p + a0 = 0 或 D( p) = 0
特征根为特征方程的根（也叫系统的自然频率）。
一、特征根为单根的情况
设 p n + an−1 p n−1 + + a1 p + a0 = 0 的根为
−∞
f (t − t1)δ (t − t0 ) =f (t0 − t1)δ (t − t0 ) sin(t − 3)δ (t −1) =sin(−2)δ (t −1)
= −sin 2δ (t −1)
(d)
ε (t) =
t
∫−∞
δ
(τ
)dτ
1 = 0
(e) δ (t) = dε (t)
dt
t>0 t<0
第二章 连续时间系统的 时域分析
§2.1 引 言
线性连续时间系统的分析，归结为建立 并且求解线性常系数微分方程。
•如果不经过任何变换，直接在时域求解方程， 这种分析方法称为时域分析法。
•如果为了便于求解方程而将时间变量变换成 其它变量，则相应地称为变换域分析法。
•例如，对系统的数学模型先进行傅里叶变换，将 时间变量变换为频率变量去进行求解，这种方法称 为频域分析法。
§2.4 奇异函数
有一类函数有一个或多个间断点，在间断点上的 导数用一般方法无法确定。这样的函数统称为奇异函 数。
奇异函数——函数本身或其导数与积分有不连续点。
一、阶跃函数
阶跃函数可用来表示理想化了的开关接通–信号 源的情况。如下图示：
2
+
A
1
E
-
A′
+
⇒ Eε (t)
-
A A′
接通电压源的模型
ε (t − t0 )
1
0
t0
t
t > t0 t < t0
t0
ε (t − t0 )
1
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
单位阶跃函数的最大特点是单边性。
如任一信号与单位阶跃信号相乘都为单边信号。
f
(t)ε
(t)
=
f 0
(t)
t>0 t<0
f (t=) A[ε (t) − ε (t −τ )]
用单位阶跃信号表示有限时长信号：
代入初始条件
ii(′0(0))==CC1 1+λ1C+2
=0
C2λ2
=1
i(t) = C1e λ1t + C 2 e λ2t
λ1,2
=
−1 2
±
j
3 2
解得 C1,2 = ± j
1 3
∴
i(t) =
2
−1t
e 2 sin
3t
t>0
3
2
i(t)
0
t
零输入响应的求解需要以下几步：
(1) 建立系统的数学模型； (2) 求齐次方程的特征根； (3) 确定零输入响应的模式； (4) 用初始条件确定待定系数。
i (t )
解得
CC01
= =
0 1
0.368
t
01
∴ i(t) = te−t t > 0
2. = i(0) 0= , uc (0) 10V
i(0), i′(0)
由系统结构有：
L
di (t ) dt
+
Ri (t )
+
uc
(t )
=
e(t )
i(t) = (C0 + C1t)e−t
i′(t) = C1e−t − (C0 + C1t)e−t
§2.2 系统数学模型的建立
进行系统分析时，首先要建立系统的数 学模型。对于电路系统而言，建立系统的数 学模型需要掌握两方面的知识：
(1) 构成电路各个元件上的电压和电流的关系。由 于所讨论的电路系统最终可以等效为由理想元件电 阻 R 、电容 C 、电感 L 所构成，因此应掌握这些 元件电压与电流的关系：
+
∗∗
e(t)
LL R
− i1(t)
i2 (t)
L
di1 (t ) dt
+
R ⋅ i1(t) −
M
di2 (t) dt
=e(t)
L
di2 (t) dt
+
R ⋅ i2 (t)
−
M
di1 (t ) dt
=0
整理得
(L2
−M 2)
d 2i2 (t) dt 2
+ 2RL
di2 (t) dt
+ R 2i2 (t) =
C
+−
+
e(t )
−
i (t )
L
R
因为 e(t) = 0 , 所以代入元件值得：
di (t ) dt
+
2i (t )
+
uc
(t )
=
0
= i(0) 0= , uc (0) 10V
令时间 t = 0 并代入初始条件得:
i′(0) = −2i(0) − uc (0) = −10A / S
所以代入 i(0) ，i′(0) 可求得
M
de(t) dt
以上两例均是线性系统，得到的系统的数学模型 是线性常系数微分方程，方程的系数完全取决于系统 的参数。由于系统中只含有两个储能元件，因此微分 方程是二阶的。推广得到n阶系统的数学模型为
d nr(t) dt n
+
an−1
d n−1r(t) dt n−1
++
a1
dr (t ) dt
+
时域分析法就是直接求解微分方程的方法。 解法有经典法，分解解法。
经典法： 全响应=通解+特解
问题：激励是直流、正弦、指数等简单形式；
分解解法： 全响应=零输入响应+零状态响应
§2.3 系统的零输入响应
零输入响应——— 外加激励信号为0，仅仅由系 统的初始条件(状态)所产生的 响应，记为 rzi (t) 。
求零输入响应 izi (t) 。
L d 2i(t) + R di(t) + 1 i(t) = de(t)
dt 2
dt C
dt
解：在此情况下系统的微分方程为
d 2i(t) di(t)
+
+ i(t) = e(t)
dt 2
dt
∴ 特征方程为 P2 + P +1 = 0
λ1,2
=
−1 2
±
j
3 2
i(t) = C1e λ1t + C 2 e λ2t
+
e(t)
−
C
+
−
i (t )
电压，i(t) 为响应电流，
初始条件：
1.= i(0) 0= , i′(0) 1A / S
L
2= . i(0) 0= , uc (0) 10V
R
uc (0) 的正方向与电流方向一致。
求上述两种初始条件下的电路的零输入响应。
解：(1) 列微分方程
L d 2i(t) + R di(t) + 1 i(t) = de(t)
冲激函数的图形表示法为：
δ (t)
δ (t − t0 )
(1)
(1)
t
t
0
0
t0
2. 性质 (a) 抽样性
∞
∫ f (t)δ (t − t0 )dt = f (t0 ) −∞ ∞
∫−∞ f (t − t1)δ (t − t0 )dt = f (t0 − t1)
(b)与函数乘 f (t)δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 ) f (t − t1)δ (t − t0 ) =f (t0 − t1)δ (t − t0 )
f (t)
t1 0
t t2
f (t) f (t) = 0
t1 < t < t2 other
= f (t)[ε (t − t1) − ε (t − t2 )]
二、单位冲激函数 δ (t)
冲激函数可以用来理想化那些作用时间极短、取 值极大的信号，如力学中瞬间作用的冲击力、电学中 的雷击电闪等。
r(0), r′(0), r′′(0), � , r (n−1) (0)
二、特征根有重根的情况 假设 λ1是特征方程的 k 阶重根，即特征方程有 ( p − λ1)k 因子，其余为单根，即特征方程可表示为：
( p − λ1 ) k ( p − λk +1 ) ( p − λn ) = 0
则零输入响应的形式为
dt 2
dt C
dt
d 2i(t) di(t)
de(t)
代入参数：
+ 2 + i(t) =
dt 2
dt
dt
求零输入响应
∴
d 2i(t) di(t) + 2 + i(t) = 0
dt 2
dt
(2) 求特征根
特征方程为： P2 + 2P +1 = 0
∴特征根为 λ = −1 （二阶重根）
(3) 零输入响应
ε (t)
1
τ −2
求 导
0τ
2
1 τ
τ −2
i(t) = (C0 + C1t)e−t