矩阵特征值实验报告
数学实验“矩阵主特征值及相应特征向量的乘幂法,原点平移法,Rayleigh商加速法”实验报告(内含matlab程序)
y = A*v; m = max(y); v = y/m; if(abs(m - l)<eps)
l = m;
-1-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，通力根1保过据护管生高线产中敷工资设艺料技高试术中卷0资不配料仅置试可技卷以术要解是求决指，吊机对顶组电层在气配进设置行备不继进规电行范保空高护载中高与资中带料资负试料荷卷试下问卷高题总中2体2资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况1卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可1都关能可于地以管缩正路小常高故工中障作资高；料中对试资于卷料继连试电接卷保管破护口坏进处范行理围整高，核中或对资者定料对值试某，卷些审弯异核扁常与度高校固中对定资图盒料纸位试，置卷编.工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术写5、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高、调动敷中电试作设资气高，技料课中并3术试、件资且中卷管中料拒包试路调试绝含验敷试卷动线方设技作槽案技术，、以术来管及避架系免等统不多启必项动要方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
数学实验特征值与特征向量.
数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程x k+1 = Ax k所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出X k的计算公式）。
猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。
如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三．问题分析将线性变换x Ax k的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。
根据已知信息，找到系统对应的差分方程x k+1 = Ax k，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。
四．实验过程问题对应的差分方程为x k+1 = Ax k，其中A= 0.5 0.4-0.125 1.1 ，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。
利用如下的代码即可获得：A=[0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda =1.00000.6000A 的特征向量pc =-0.6247 -0.9701-0.7809 -0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1= 4 V2= 4 P= 4 4 P﹣1AP= 1.00 05 1 5 1 0 0.60 第二步：V1用和V2表示x0和x K ,k=1,2….因为{ V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得x0= c1 V1+ c2 V2.因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以A V1=λV1，A V2=λV2，于是X1=Ax0=A(c1 V1+ c2 V2)= c1λV1+ c2uV2.X2=Ax1=A(c1λV1+ c2λV2)= c1λ2V1+ c2u2V2.一般地，X k= c1λk V1+ c2u k V2.= c1 (1.0)k 4 + c2 (0.6)k 4 k=0,1,2,3….5 1当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0，假定c1>0,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1 (1.0)k V1，写为X k≈c1(1.0)k 45K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，X k+1≈c1(1.0)k+1 45= X k可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且X k约为 45 的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。
矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
矩阵的特征值与特征向量研究
矩阵的特征值与特征向量研究矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，对于矩阵的性质和应用有着深远的影响。
本文将对矩阵的特征值与特征向量进行研究和探讨。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A中，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值，而x就是对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量的定义可以用矩阵的运算来表示，即Ax=kx。
这个等式可以进一步变形为(A-kI)x=0，其中I为单位矩阵。
这个等式的解空间就是对应于特征值k的特征向量的集合。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值的性质特征值与矩阵的行列式有关，具体来说，矩阵A的特征值是满足方程|A-kI|=0的根。
根据代数学的基本定理，一个n阶矩阵A必然有n个特征值，包括重复的特征值。
2. 特征向量的性质特征向量与特征值有一一对应的关系，即一个特征值对应一个特征向量。
特征向量之间也存在线性相关的关系，即如果x是矩阵A对应特征值k的特征向量，那么对于任意非零常数c，cx也是对应特征值k的特征向量。
特征向量的重要性在于它可以描述矩阵的变换性质。
在某些情况下，特征向量可以表示矩阵的对称性、旋转性等重要特征。
三、特征值与特征向量的计算方法计算矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的基本问题之一。
有多种方法可以用来计算特征值与特征向量，下面介绍两种常用的方法。
1. 特征多项式法特征多项式法是计算特征值与特征向量的一种常用方法。
首先，对于一个n阶矩阵A，定义特征多项式为f(λ)=|A-λI|，其中λ为变量。
特征值就是使得特征多项式f(λ)等于零的根。
计算特征多项式的根可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。
找到特征值后，再通过(A-λI)x=0求解特征向量。
2. 幂法幂法是一种迭代方法，用于计算矩阵的特征值与特征向量。
幂法的基本思想是通过不断迭代，使得向量序列收敛到矩阵A的特征向量。
数学实验 Mathematic实验十四 矩阵的特征值与特征向量
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期矩阵的特征值与特征向量 数学实验 线性代数 2011.12.14班级 学号 姓名 成绩一、实验概述： 【实验目的】学习掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值 和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.【实验原理】(1)命令 Eigenvalues[M]给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M]给出方阵 M 的特征向量.但有时输出中 含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 Eigensystem[M]给出方阵 M 的特征值和特征向量.同样有 时输出的向量中含有零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m 现在对向量组施行正交单位化的命令 GramSchmidt 就可以使用 了.命令 GramSchmidt[A]给出与矩阵 A 的行向量组等价的且已正交化 的单位向量组.【实验环境】Mathematic 4二、实验内容： 【实验方案】1.求方阵的特征值与特征向量; 2.矩阵的相似变换;【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.求方阵的特征值与特征向量1用 命 令 Eigenvalues[M] 立 即 求 得 方 阵 M 的 特 征 值 命 令Eigenvectors[M]立即求得方阵 M 的特征向量命令 Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.例 14.11 2求方阵M 2 31 333 6 的特征值和特征向量.Clear[M];M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]例 14.21 31 31 2 M1 511 3 求方阵 612 的特征值和特征向量.(*Example14.2*)G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；Eigensystem[G]例 14.33 0 0A 1t3 已 知 2 是 方 阵 1 2 3 的 特 征 值 ， 求t.(*Example14.3*)Clear[Aq]；A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；2q=Det[A]；，t] 2 1 2 例 14.4已知x(1,1,1)是方阵A= 5 1a b32 的一个特征向量，求参数 a，b 及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)设特征值为t，输入Clear[A，B，v，a，b，t]；A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；v={1，1，-1}；B=A.v；，，，{a，b，t}]2.矩阵的相似变换若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵 P，使 P1AP 为对角阵.命令EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<<LinearAlgebra＼Orthogonalization.m 的命令.例 14.54 1 22设方阵 A= 2 212 2 ，求一可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵.Clear[A，p]；A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；3Eigenvalues[A]；p=Eigenvectors[A]//Transpose为了验证 P-1AP 为对角阵，输入Inverse[p].A.p解法二 直接用 JardanDecomposition[A]jor=JordanDecomposition[A]jor[[1]]jor[[2]]例 14.6方阵A 1 201 是否与对角阵相似?Clear[A]；A={{1，0}，{2，1}}；Eigensystem[A] 2 0 0 1 0 0 例 14.7A 2已知方阵 3x 12 1 与B 0 02 00 y 相似，求ｘ，ｙ.Clear[x，v]；v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；，x]40 1 1 0A 1010 1 1 0 0例 14.8 对实对称矩阵 0002 ，求一个正交阵P，使P-1AP 为对角阵.<<LinearAlgebra\Orthogonalization.mClear[a，p]；A={{0，1，1，0}，{1，0，1，0}，{1，1，0，0}，{0，0，0，2}}；Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose例 14.9 求一个正交变换，化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 2x42 为标准型 二次型的矩阵为0 1 1 0A 1010 1 1 0 0 0002 f=Table[x[j]，{j，4}].A.Table[x[j]，{j，4}]//Simplify【实验结论】（结果）根据程序的编辑,实验很成功。
数学模型实验报告模板五矩阵运算、分解和特征值
实验报告（五）院（系）数学与统计学院课程名称：数学模型与数学实验日期：2015年5月22日班级学号实验室专业姓名计算机号实验名称矩阵运算、分解和特征值成绩评定所用软件MATLAB指导教师实验目的1．矩阵的基本运算。
2．矩阵的LU、QR和Cholesky分解。
3．矩阵的特征向量和特征值。
实验内容问题1：求线性方程组123412423412342583692254760x x x xx x xx x xx x x x+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩的解。
问题2：（1）求矩阵123456780A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的LU分解。
（2）求矩阵123456789101112A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭的QR分解。
（3）求5阶pascal矩阵的Cholesky分解问题3：（1）求矩阵3113A-⎛⎫= ⎪-⎝⎭的特征值和特征向量。
（2）求矩阵234584A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭的奇异值分解。
思考：[U,S,V]=svd(A)和[U,S,V]=svd(A,0)结果有什么不同？可以用命令help svd看使用说明。
实验过程问题1：>>A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6];>>inv(A)ans=1.3333-0.66670.3333-1.0000-0.07410.2593 1.1481-0.11110.3704-0.29630.2593-0.44440.2593-0.4074-0.5185-0.1111>>ans=[1.3333,-0.6667,0.3333,-1.0000;-0.0741,0.2593,1.1481,-0.1111;0.3704,-0.2963,0. 2593,-0.4444;0.2593,-0.4074,-0.5185,-0.1111];>>B=[8;9;-5;0];>>ans*Bans=2.9996-3.9996-1.00001.0003所以线性方程组的解是=[2.9996,-3.9996,-1.0000,1.0003]问题2：（1）>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12];>>[L,U]=lu(A)L=0.1000 1.000000.40000.666700.70000.3333 1.00001.000000U=10.000011.000012.000000.9000 1.8000000.0000(2)>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9;10,11,12];>>[Q,R]=qr(A)Q=-0.0776-0.83310.5456-0.0478-0.3105-0.4512-0.69190.4704-0.5433-0.0694-0.2531-0.7975-0.77620.31240.39940.3748R=-12.8841-14.5916-16.29920-1.0413-2.082600-0.0000000(3)>>pascal(5)ans=111111234513610151410203515153570问题3:(1)>>A=[3,-1;-1,3];>>[X,D]=eig(A)X=-0.7071-0.7071-0.70710.7071D=2004(2)>>A=[2,3;4,5;8,4];>>[U,S,V]=svd(A)U=-0.3011-0.4694-0.8301-0.5491-0.62630.5534-0.77960.6224-0.0692S=11.288900 2.561200V=-0.80040.5995-0.5995-0.8004心得对MATLAB又多了一些了解，能解矩阵矩阵运算、分解和特征值。
用幂法求解矩阵特征值和特征向量
x= -0.3930 -0.9774 0.2921 1.0000 第五题 A=[-1 2 1; 2 -4 1; 1 1 -6 ]; v0=[1 1 1]'; tol=1e-4; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -6.4209
第4页
数值分析实验指导
x= -0.0463 -0.3746 000
( 1, 0, 1, 0, 0, 1 )T 105
1 21.30525 6 1.62139 x1 0.8724,0.5401,0.9973,0.5644,0.4972,1.0 T
第1页
数值分析实验指导
2 1 1 2 1 （3） A= 1 2 1 1 2 1 1 2 T 0 104 取 =( 1, 1, 1, 1, 1 ) 参考结果： 3.7321 3 4 2 1 1 3 1 5 （4） A= 3 1 6 2 4 5 2 1 T 2 取 0 =( 1, 1, 1, 1 ) ， 10 。
第3页
数值分析实验指导
x= 0.5000 -0.8660 1.0000 -0.8660 0.5000 第四题 A=[2 1 3 4; 1 -3 1 5; 3 1 6 -2; 4 5 -2 -1 ]; v0=[1 1 1 1]'; tol=1e-2; [lda,x]=mifa(A,v0,tol) lda = -8.0136
下面再考虑主特征值 1 的的计算，用 (vk )i 表示 vk 的第 i 个分量，则
( x ) ( k 1 )i (vk 1 )i 1 1 1 i , (vk )i 1 ( x1 )i ( k )i
故
华工数学实验报告特征值与特征向量
华工数学实验报告特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵论中的重要概念，在数学和工程中有着广泛的应用。
本文将通过实验来探究特征值与特征向量的概念及其特性。
实验原理：特征值与特征向量是矩阵理论中的基本概念，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零列向量X和一个数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为特征向量。
实验步骤：1.选择一个适当的n阶方阵A，确定其特征值和特征向量。
2.编写程序，利用代数解法求解矩阵A的特征值和特征向量。
3.利用程序计算矩阵A的特征值和特征向量，并与代数解法的结果进行对比。
4.对不同的n进行实验，并记录实验结果。
5.分析实验数据，总结特征值与特征向量的特性。
实验结果：1.经过实验，我们发现矩阵的特征值与特征向量具有以下特性：(1)对于一个n阶矩阵A，其特征值的个数等于矩阵的阶数n。
(2)对于相似矩阵，它们具有相同的特征值。
(3)对于特征值相同的矩阵，它们的特征向量可能不同。
(4)对于实对称矩阵，其特征值一定是实数。
(5)对于正交矩阵，其特征向量一定是正交的。
2.实验结果与代数解法的结果基本一致，验证了实验的准确性。
实验结论：通过对特征值与特征向量的实验，我们对于这一概念及其特性有了更深入的了解。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，例如在矩阵的对角化、矩阵求逆等领域都起到了重要的作用。
因此，对于特征值与特征向量的研究具有重要的理论和实际意义。
总结：本实验通过实验数据的记录和分析，深入研究了特征值与特征向量的概念及其特性。
特征值与特征向量在数学和工程中有着广泛的应用，对于矩阵的性质和求解具有重要意义。
实验过程中利用代数解法和编程求解的方法，验证了实验的准确性。
通过本实验，我们对于特征值与特征向量有了更深入的认识，并且对于矩阵的理论和应用有了更加全面的了解。
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一、课题名称
Malab矩阵特征值
二、目的和意义
1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义，如求矩阵谱半径()Aρ=maxλ，稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值；
2、进一步掌握冪法、反冪法及原点平移加速法的程序设计技巧；
3、问题中的题（5），反应了利用原点平移的反冪法可求矩阵的任何特征值及其特征向量。
三、实验要求
1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；
2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI取不同的P值，试求其效果；
3、试取不同的初始向量，观察对结果的影响；()0υ
4、对矩阵特征值的其它分布，如如何计算。
四、问题描述
五、实验程序设计
幂法
function [lamdba,v]=power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
k=0;
y=a*x;
while(k<maxl)
y=y/max(abs(y));
y=a*x;
m=max(abs(y));
x=y/m;
k=k+1;
if abs(y-m)<epsilon
break;
end
end
lambda=m
v=x
方程组1结果
>> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6];
>> x=[1 1 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> maxl=20;
>> power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
lambda =
6.4183
v =
-0.0484
-0.3706
1.0000
方程组2结果
>> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4]; >> x=[1 0 1 0 0 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> maxl=20;
>> power_menthod(a,x,epsilon,maxl)
lambda =
21.3053
v =
0.8724
0.5401
0.9974
0.5644
0.4972
1.0000
反幂法
function [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1)
for i=1:max1
y=x/max(abs(x))
x=a\y
end
v=y;
lambda=1/max(abs(x));
function [lambda,v]=INV_shift1(a,x,epsilon,max1)
for i=1:max1
y=x/max(abs(x));
x=lu1(a,y,3)
end
v=y;
lambda=1/max(abs(x));
方程组1结果
>> a=[-1 2 1;2 -4 1;1 1 -6];
>> x=[1 1 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> max1=20;
>> [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1)
lambda =
0.2880
v =
1.0000
0.5229
0.2422
方程组2结果
>> a=[4 -2 7 3 -1 8;-2 5 1 1 4 7;7 1 7 2 3 5;3 1 2 6 5 1;-1 4 3 5 3 2;8 7 5 1 2 4]; >> x=[1 0 1 0 0 1]';
>> epsilon=0.00005;
>> max1=20;
>> [lambda,v]=INV_shift(a,x,epsilon,max1
lambda =
1.6214
v =
-0.4824
-0.0702
1.0000
-0.6005
0.5211
-0.4588
六、实验结果分析
1.幂法
幂法是一种计算矩阵主特征值(矩阵按模最大的特征值)及对应特征向量的迭代方法, 特别是用于大型稀疏矩阵。
设实矩阵A=[a ij]n×n有一个完全的特征向量组，其特征值为λ1，λ2,…,λn,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n.已知A的主特征值是实根，且满足条件
|λ1|>|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |, (2.1)
幂法的基本思想是任取一个非零的初始向量ν0,由矩阵A构造一向量序列
称为迭代向量。
2.ν0=α1 x1+α2 x2+ … +αn x n(α≠0 ), (2.3)
于是
其中
(2.4)
由假设
从而
这说明序列νk/λ1k越来越接近A的对应于λ1的特征向量, 或者说当k充分大时
故
即两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值。
2、反幂法
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。
设A∈R n×n为非奇异矩阵，A的特征值依次记为
|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |,
相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n , 则A-1的特征值为
|1/λn|≥|1/λn-1|≥…≥|1/λ1 | ,
相应的特征向量为x n,x n-1,…,x1 . 所以计算A的按模最小的特征值λn的问题就是计算A-1的按模最大的特征值问题。
对于A-1应用幂法迭代(称为反幂法)，可求得矩阵A-1的主特征值1/λn，从而求得A的按模最小的特征值λ。