教育最新K122018年高中数学课时跟踪检测十六反证法新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（十六）反证法层级一学业水平达标1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③② D．②③①解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②.2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选 B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a ＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠18．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是____________．解析：假设AC与BD共面于平面α，则A，C，B，D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面．答案：异面9．求证：1，3，2不能为同一等差数列的三项．证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则1＝3－md,2＝3＋nd，其中m，n为两个正整数，由上面两式消去d，得n＋2m＝3(n＋m)．因为n＋2m为有理数，而3(n＋m)为无理数，所以n＋2m≠3(n＋m)，矛盾，因此假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项．10．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．解：(1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．同理可得f(b)＜f(－a)．∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，∴a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．层级二 应试能力达标1．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解解析：选D “唯一”的否定是“至少两解或无解”．2．下列四个命题中错误的是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝90°，则∠B 一定是锐角 B.17，13，11不可能成等差数列C ．在△ABC 中，若a ＞b ＞c ，则∠C ＞60°D ．若n 为整数且n 2为偶数，则n 是偶数解析：选C 显然A 、B 、D 命题均真，C 项中若a ＞b ＞c ，则∠A ＞∠B ＞∠C ，若∠C ＞60°，则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°与∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°矛盾，故选C.3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：选C 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，但⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定解析：选B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC ＞∠BAD ，∠ADC ＞∠ABD ，△ABD 与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意． 5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a ＞b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a ＞b ，n ∈N *，则恒有an ＞bn ，从而an ＋2＞bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：06．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数． 解析：据题目要求及解题步骤，∵a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，∴(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数．即(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)为奇数．又∵a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)7．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14. 证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. 因为0＜a ＜1,0＜b ＜1,0＜c ＜1，所以1－a ＞0.由基本不等式，得(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12. 同理，(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞12＋12＋12， 即32＞32，这是不成立的，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．解：(1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )． 令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n . 又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 故1－a 2n ＝34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1⇒a 2n ＝1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. 又a 1＝12＞0，a n a n ＋1＜0， 故a n ＝(－1)n －11－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1， 两边同乘以3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s .由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。