69.对小学数学有序思考的上下求索

对小学数学“有序思考”的上下求索【内容提要】“有序思考”的教学是当今小学数学教学中“注重数学思想方法渗透”的一个显性体现。

北师大小学数学教材中大量编排了此类题目（有时单独列课）。

这与以往的“老教材”相比是较新的内容和板块。

因此研究“有序思考”教学是有实际意义和战略意义的。

本文试着从有序思考的概念、归类、教材的编排分析以及教学把握上谈些个人的粗浅观点。

【关键词】有序思考有序思考的归类教材编排分析教学把握“有序思考”受到很多数学教师的别样重视，许多文章中都提到说，在数学教学中要培养学生的“有序思考”的能力，有人将“有序思考”称为“数学思想方法”之一1，有人却没有将之归入2。

那么到底什么是“有序思考”？“有序思考”是基于系统科学理论提出的。

由于系统科学是当今科学研究的热点，也是建立“大型工程”的理论基础，所以现行的课改就运用了系统科学原理来研究教育教学。

系统科学有三条基本原理：反馈原理、有序原理和整体原理。

三大原理中最能说明“有序思考”的是“有序原理”。

有序原理：任何系统中有开发，有涨落，远离平衡态，才可能走向有序，没有开放，没有涨落，处于平衡态的系统，要走向有序是不可能的。

所谓有序，是指信息量的增加，组织化程度走向增加，即混乱程度走向减少。

系统由较低级结构变为较高级的结构，是为有序；反之是无序。

开放，是指系统与外界环境系统进行物质、能量与信息的交换，而不是构成一个封闭的系统。

封闭导致无序，开放导致有序。

涨落是指系统对稳定状态的偏离，通过涨落远离平衡态导致有序。

建构主义理论也认为：建构的过程是“不平衡”到“平衡”的不断反复的过程。

《数学新课程标准》就是基于系统科学和建构主义两大理论为支撑的。

而“有序思考”正是两大理论的价值核心。

因此，笔者以为小学数学中的“有序思考”就是基于一个开放的（不平衡的）信息系统（基本上是数学情境和数学问题）中，通过整合有效资源，以寻求建构合理（平衡）的思考方法和解决问题的模型。

下文试着从“有序思考”的归1如《中小学数学》2008.3乔斌的文章《小学数学教学中渗透数学思想方法的探索与思考》。

2如郜舒竹主编的《数学的观念、思想和方法》。

类、教材编排分析和教学把握上谈些自己的粗浅看法。

一、“有序思考”的归类和意义。

数学方法大致分为四个层次：（1）基本的和重大的数学思想方法（如概率统计方法、微积分方法、拓扑方法等）；（2）数学中的逻辑思维方法（如类比联想、分析综合、归纳演绎等）；（3）数学中的特有方法（如模型方法、公理化方法、化归方法等）；（4）数学中的解题方法和技巧（如换元法、递推法、逐步逼近法等）。

那么“有序思考”在其中处于什么地位呢？笔者以为，如果将数学方法看做一棵参天大树的话，“有序思考”则是一种支撑、贯穿数学方法四个层次的“根”和“脉”，它不是单一的数学思想方法，图示如下：为什么说“有序思考”是其中的“根”和“脉”呢？1、“有序思考”是数学产生和发展的重要条件。

人们从最初的感性集合计数的一一对应方法，意识到需要计数，产生了手算、结绳和刻痕记数的方法。

这个过程中人们首先使用的是与手指对应的1——10，再和脚趾联合，可以数到20。

人们正是通过这样有序的数数从而逐步建立数概念的。

这种计数虽然有限，但是其数学方法的产生是建立在数的顺序（逐增）的基础上。

至后来的计算，人为规定的一些算法，不但建立了顺序，还规范了秩序。

2、“有序思考”是数学学科建立的前提条件。

“数学是研究数量关系和空间图形的学科”（恩格斯），其特点有三：第一，数学具有高度的抽象性，许多量的关系和形的关系并不一定能从生活中找到实例，需要人们去想象，去联想，去推理归纳，这个过程中为不使结论产生更多的错误，人们在脑中会产生诸多选项，通过排除，择优而定论。

这就必然产生“有序思考”。

第二，数学的精确性要求在思考中要严密，不能将一切可能性重复和遗漏，“有序思考”贯穿其中。

第三，数学应用的广泛性要求人们将数学知识、思想方法和思考方法有效应用于各门自然科学中。

3、“有序思考”是一切数学方法的发生条件。

列宁说“方法也就是工具”，张奠宙在《数学方法论手稿中》说“数学方法是人们从事数学活动中所使用的方法”。

“有序”，即有秩序，有顺序。

秩序就是要符合题目要求，顺序就是要找到一种解题的方法和策略。

综上所述，小学数学的基础性、普及型和发展性决定了“有序思考”的养成对小学生学习数学具有战略意义。

二、教材3有关“有序思考”内容的编排呈现及简析教材1~~12册中有关“有序思考”共28大题（类），其中比较集中呈现的为：搭配（排列组合）；正比例和反比例；倍数和因数的找寻等三板块。

其余均分散至各册教材中。

其中第十二册总复习中有单独一个板块专门进行归类和复习。

笔者将之一一找出进行了分类与统计如下（由于篇幅有限，只适当举例）：按学段分类：第一学段16道，新授课占其中的25%；第二学段12道，新授课也占其中的25%。

例：一上P87四上P15按课型分类：习题类中作为提高题呈现的是9道，常规题为11道。

3本文提到的教材均指北师大版小学数学教材。

例：二上P53 四下P11按内容分类：计算多于空间与几何，说明小学生学数学的任务还是以数为主。

例：二下P21四下P37按主题分类：租车问题和数的运算是有序思考教学的重点。

其中租车问题除了要进行较复杂的运算外，还注重了学生推理能力的培养。

例：六下P56三上P26通过以上的教材分类统计，笔者得出了这么几个结论：1.“有序思考”题目基于应用题改革而编排。

教材中的“应用题”不单独成章，而是把它融入“数与代数”、“空间与图形、”“统计与概率”等领域之中，并把它作为各领域解决其相应的实际问题的有机组成部分。

它不仅仅是名称改为“解决问题”，而且表现形式也有了全新的变化——图文并茂，生动活泼。

为的是在符合学生的心理特点的基础上，更好地培养学生逻辑推理的思维能力和创造性解决问题的能力。

这样的编排不是减少应用题的题量和类型，也不是减弱应用题所占的比重，而是更加加强了其在小学阶段的基础性、重要性和发展性。

由“有序思考”题即能窥之一斑。

有序思考的题目对小学生而言是很复杂的一类题，不但要求学生能有序地思考，还要有极强的推理归纳能力，还要有缜密的思维品质，更要有较强的计算能力。

2.“有序思考”能力的培养要注重早期的渗透。

从教材的编排看，习题占71%，而新授课只占29%，并且是分散编排。

由此我们说“有序思考”能力培养不是一堂课就能解决的，而是不但要通过小学六年的知识技能上的“量次”的积累，还要随着学生年龄的增长，知识与经验的增多，思考层次的加深，他们才能从“无序”逐步发展到“有序”的水准。

3.“有序思考”能力的培养要关注学生的个别差异“有序思考”题在第一学段基本上是以提高题形式呈现，只到六年级才作为解题策略呈现，说明有序思考的题目具有很大的抽象性。

那么在教学中我们就要关注学生的差异了。

对待优等生，教师可以试图尝试让其建立模型，而对中下生，教师则应当先培养其处理信息的能力，或者可以“纵容”其无序的思考，然后将这种无序的方法与有序思考的方法进行对比，让其感悟有序思考策略的优势。

4.“有序思考题”与“开放题”有一定的区别“有序思考题”与“开放题”都是基于一个“开放”的，“不平衡”的系统，所以自然是有联系的，有时一些题既可以看做“开放题”，也可以看做“有序思考题”，但他们也有区别。

如：例1：（按规律填数）598、（）、（）、601。

例2：找出100以内5的倍数。

类似这两道题的我们叫做“有序但不开放”。

还有一类就是“开放而无序”的题，比如：请用两种方法计算并解答。

因此，“有序思考题”和“开放题”之间的关系是个交集。

三、“有序思考”的教学把握1.找准有序思考的“序点”有序思考的“序点”就是一条能解决有序思考问题的出路和捷径。

找准序点对“有序思考题”的解决往往会产生事半功倍的效果。

因此，在小学数学教学中，教师要根据具体的题目帮助学生找准有序思考的“序点”，这样，学生在思考的时候就会做不重复、不遗漏，从而一一对应地对答案进行分类，这样他们的思考就严密得多。

例如，在北师大小学数学二年级下册第9页有这样一道题（图略）：已知面包车每辆限坐8人，小轿车每辆限坐3人，如果有29人，问：你会怎么派车？怎样派车比较合理？教学中可以用以下表格统计学生的方法：这道题处在“有余数除法”单元，要用到的计算有乘、减、除、减四步，用到的数量关系有“求剩余”问题、“有余数除法”问题、乘法问题等等。

如方案三的思维过程大致是：假如面包车需2辆，能坐下2×8=16（人），还剩下29－16=13（人）；而13÷3=4（辆）……1（人）故小轿车至少需4＋1=5（辆）才够，剩余座位则是2×8+3×5－29=2（个）。

以上过程细数有8步。

至于怎么派车合理，一般学生会认为方案二合理，笔者也认为方案二合理。

现在我们发现很多教师认为只要学生有合理的解释，每个方案都可以，并认为是人文教学。

（这正是数学生活化的弊病之一，限于篇幅，在此文中笔者不想过多展开。

）笔者认为这样的教学是不符合数学学科特点的，我们要教会学生从“学校数学”角度分析去选择方案二。

因为这一道题的序点就是先思考（满足）“面包（大）车的辆数”的条件，再思考小车的符合条件。

而如果从小车入手，问题会很复杂由此我们可以知道，有序思考的题目对小学生而言是很复杂的一类题，不但要求学生能有序地思考，还要有极强的推理归纳能力，还要有缜密的思维品质，更要有较强的计算能力，而在这个过程中，帮助学生找到有序思考的“序点”是很重要的。

2.理清有序思考的“主线”有序思考类的题目，不同的学生会有不同的思考方向，也会有不同的思维方法。

因此，在给学生做完这一类题目时，在反馈时，教师要帮助学生理清有序思考的“主线”，这样，才能有效地培养学生的思维品质和解决问题的能力。

x商是三位数，余数是0，x和y可以怎样填？对于这一例如，要使y24道题，学生做完以后可能出现以下反馈：生1：老师，我发现填法很多的。

比如124÷1，624÷9，224÷2……（一口气说了七八个）生2：老师，我还有……生3、生4、生5：……生6：老师，我发现了规律。

y越大，填法就越少。

生7：老师，我还发现，y是5和9是，没有答案。

生8：y为1时，答案最多，有九种。

……反馈时，让每个想发表观点的学生把自己的观点说完，说透，一个学生说完，其他学生可以就此进行反驳。

教师不要急着抛出答案，要耐心等待学生的阐述，积极评价学生正面的，有价值的反馈。

因为所有的争论和交流都是从无序走向有序的过程，也正是我们充分的进行了交流，学生才能发现我们的无序思维是不严密的，容易重复和遗漏，于是进行有序思考的需求顺理成章了。

3.提供有序思考的“空间”我们经常在口头上说要给学生一个足够的思考时空，但是在教学中我们经常发现有些老师在教学“有序思考”时总是担心学生不会解决此类题目，于是更多的时采取告诉、讲解、包办解题思路的方法，其实教师就是担心学生不会推理归纳，试想学生没有经历一个丰富的推理归纳过程，他们推理归纳的能力能形成吗？这样的效果是可以想见的，日后学生遇到此类题一般是做不出来的。