人教A版高中数学选修2-1课件 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课件2
人教A版选修2-1第三章第五课时同步练习3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示
§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
一、选择题
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
2．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB→＝3i，AD→＝2j，AA1→＝5k，则AC1→( )
A．i＋j＋k B.13i＋12j＋15k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
4．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )
A．a B．b C．c D．无法确定
5．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→ ，OC→不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面． 其中正确的命题是( )
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确
6．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标向量，并且AB→＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定
7．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为( )
高中数学 第三章第1节空间向量及其运算知识精讲 理 新人教版A版选修2-1
高二数学选修2-1第三章第1节空间向量及其运算人教新课标A版（理）
一、学习目标：
1. 理解空间向量的概念，了解共线或平行向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量的加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
2. 理解共线向量的定理及其推论．
3. 掌握空间向量的夹角和模的概念及其表示方法；掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．
4. 掌握空间向量的正交分解，空间向量的基本定理及其坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．
二、重点、难点：
重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律，空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式，点在已知平面内的充要条件，两个向量的数量积的计算方法及其应用，空间向量的基本定理、向量的坐标运算．
难点：由平面向量类比学习空间向量，对点在已知平面内的充要条件的理解与运用，向量运算在几何证明与计算中的应用，理解空间向量的基本定理．
三、考点分析：
本讲知识主要为由平面向量类比学习空间向量的概念及其基本运算，涉及到空间向量中的共线向量和共面向量，以及空间向量的基本定理和空间向量的坐标运算．数量积的运用，是我们学习的重点．
一、空间向量的概念：
模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a．方向相同且模相等的向量称为相等向量．
二、空间向量的加法和减法、数乘运算
1. 求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．
2. 求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．
3. 实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算．当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0．a的长度是a的长度的倍．
【金版优课】高三数学人教A版选修2-1课时作业：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 Word版含解析
1
2第三章 3.1 课时作业27
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
解析：A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；
D项中因为基底不唯一，所以D错．故选C.
答案：C
2．已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，
且＝－i＋j－k，则点B的坐标为( )AB→
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
解析：＝－i＋j－k，只能确定的坐标为(－1,1，－1)，而点A坐标不确定，所以AB→
AB→
点B坐标也不确定．
答案：D
3．[2014·黑龙江省哈尔滨九中模考]已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任
意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为( )OA→
BO→
CO→
DO→
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析：本题主要考查空间向量基本定理及其应用．由题意知A，B，C，D共面的充要
条件是：对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1且OA→
OB→
OC→
OD→
x1＋y1＋z1＝1，因此，2x＋3y＋4z＝－1，故选B.
答案：B
4．如右图所示，在空间四边形OABC中，点M为OA中点，N为AB中点，P在CN1
2上，且CP＝PN，若＝a，＝b，＝c，则＝( )12OA→
OB→
OC→
MP→
A．－a＋b＋c131623
B.a＋b－c131623
C．－a－b＋c131623
D.a－b＋c131623
解析：＝＋＋MP→
MO→
OC→
CP→
＝－＋＋12OA→
OC→
13CN→
＝－a＋c＋×(＋)121312CA→
CB→
＝－a＋c＋(－＋－)1216OA→
2020-2021学年人教A版数学选修2-1配套训练：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
[A组
学业达标]
1．O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则( )
A.OA→，OB→，OC→共线 B.OA→，OB→共线
C.OB→，OC→共线 D．O，A，B，C四点共面
解析：由OA→，OB→，OC→不能构成基底知OA→，OB→，OC→三向量共面，所以一定有O，A，B, C四点共面．
答案：D
2．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且AB→＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
解析：AB→＝－i＋j－k，只能确定AB→的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定．
答案：D
3.如图所示，已知平行六面体OABC-O′A′B′C′，OA→＝a，OC→＝c，OO′→＝b，D是四边形OABC的中心，则( )
A.O′D→＝－a＋b＋c
B.O′D→＝－b－12a－12c
C.O′D→＝12a－b－12c
D.O′D→＝12a－b＋12c
解析：O′D→＝O′O→＋OD→＝O′O→＋12OB→＝O′O→＋12(OA→＋OC→)＝12a－b＋12c.
答案：D
4．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．
答案：A
5．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
2017-2018学年高中数学人教A版选修2-1学业分层测评：3
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
B.空间的基底有且只有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等
【解析】 只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底，基底不唯一，因此A，B，D均不正确，C正确，故选C.
【答案】 C
2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A.向量AB→的坐标与点B的坐标相同
B.向量AB→的坐标与点A的坐标相同
C.向量AB→与向量OB→的坐标相同
D.向量AB→与向量OB→－OA→的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于AB→＝OB→－OA→，故D正确.
【答案】 D
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若A1B1→＝a，A1D1→＝b，A1A→＝c，则B1M→可表示为( )
【导学号：37792117】
A.12a＋12b＋c B.12a－12b＋c
C.－12a－12b＋c D.－12a＋12b＋c 【解析】 由于B1M→＝B1B→＋BM→＝B1B→＋12(BA→＋BC→)＝－12a＋12b＋c，故选D.
【答案】 D
4.正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{AO→1，AO→2，AO→3}为基底，AC′→＝xAO→1＋yAO2→＋zAO→3，则x，y，z的值是( )
A.x＝y＝z＝1 B.x＝y＝z＝12
C.x＝y＝z＝22 D.x＝y＝z＝2
【解析】 AC′→＝AA′→＋AD→＋AB→
＝12(AB→＋AD→)＋12(AA′→＋AD→)＋12(AA′→＋AB→)
＝12AC→＋12AD′→＋12AB′→＝AO1→＋AO3→＋AO2→，
选修2-1第二章3.13.2空间向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2 空间向量基本定理
明目标、知重点 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.理解向量a在向量b上的投影的概念，了解向量的数量积的几何意义.3.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．
1．标准正交基
在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．
2．标准正交分解与向量的坐标
设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，则把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解．(x，y，z)叫作向量a的坐标．
3．向量坐标与投影
(1)一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．
(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
4．空间向量基本定理
(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.
(2)空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底，a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．
探究点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示
思考1 类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分解，请思考此时的基底应满足什么条件．
答 此时可选用单位正交基底，如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i，j，k表示．单位——三个基向量的长度都为1；正交——三个基向量互相垂直．
思考2 在空间直角坐标系中，向量OP→和点P的坐标有何关系？
答 O为坐标原点，OP→与P点的坐标相同．
例1 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求MN→的坐标．
高二数学 3.1 第3课时第3课时 空间向量的正交分解及其坐标表示
第三章 3.1 第3课时
一、选择题
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
[答案] B
[解析] a·b＝0⇒a⊥b，|a|2＝|b|2⇒(a＋b)·(a－b)＝0⇒(a＋b)⊥(a－b)；
a·b＝a·c⇒a⊥(b－c)；故A、C、D均错．
2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB→＝3i，AD→＝2j，AA1→＝5k，则AC1→＝( )
A．i＋j＋k B.13i＋12j＋15k C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
[答案] C
[解析] AC1→＝AB→＋BC→＋CC1→＝AB→＋AD→＋AA1→＝3i＋2j＋5k.
3．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA→，BM→，BN→不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] D
[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由BA→、BM→、BN→共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．
下面证明①④正确．
①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝λka＋μkb，
∴c与a、b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．
同理可证④也是正确的．
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
1 / 3 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计
镇海区龙赛中学 盛华
一、 教材分析
本课时是普通高中新课程标准实验教科书《数学》选修2-1中第三章空间向量与立体几何：第一节“空间向量及其运算”的第四课时。学生之前已经学完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空间几何体和第二章：点、直线、平面之间的位置关系，以及第四章第四节：空间直角坐标系．空间向量是平面向量的推广，是二维概念到三维概念的延伸，是联系代数、几何、三角的重要载体。本节课通过类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理．在此基础之上，通过空间向量的单位正交分解，完成从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，为用空间向量解决立体几何问题做好重要的铺垫．有了空间向量基本定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间中的一个点或者一个向量与一组有序实数建立起一一对应的关系。通过不断与平面向量进行类比来学习空间向量，把三维问题转化为二维问题，充分体现了类比思想和化归思想在研究问题过程中的重要作用。
二、 学情分析
学生已经理解平面向量相关知识，初步学习了空间向量在表示方法、加减运算、数乘运算、数量积运算等内容。在将平面向量推广到空间向量时，学生会感受到维度增加所带来的复杂性。他们虽然理解了平面向量基本定理，也具备一定的分析和解决问题的能力，但可能缺乏冷静、深刻的思考，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
三、 教学目标
1、 知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
2、 过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。
3、 情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 空间向量及其运算
课时分配:
第一课 空间向量及其加减运算 1个课时
第二课 空间向量的数乘运算 1个课时
第三课 空间向量的数量积运算 1个课时
第四课 空间向量运算的坐标表示 1个课时
3. 1.1 空间向量及其加减运算
【教学目标】
1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；
2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；
3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】
点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。
【教学难点】
对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
【学前准备】：多媒体，预习例题
教学课程
第一课
教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 备注
一、复习引入 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
空间向量的运算
2.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
注：（1）空间的一个平移就是一个向量；
（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
（3）空间的两个向量可用同一平面内的两
baABOAOB；baOBOABA；)(RaOP
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。