全等三角形判定练习题A4
全等三角形证明题专项练习题Word版
证明三角形全等专项练习姓名 号数1.如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ． (1)求证：ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数．2.如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .3.如图，在△ABC 和△DCB 中，AB = DC ，AC = DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C 作CN ∥BD ，过点B 作BN ∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN的数量关系，并证明你的结论．OCEBDAB CA DMN4.在⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，过E 点作BC 的平行线交AC 于F ，交外角∠ACD 的平分线于G 。
求证：F 为EG 的中点。
5.在⊿ABC 中，∠B ＝60。
，∠BAC 和∠BCA 的平分线AD 和CF 交于I 点。
试猜想：AF 、CD 、AC 三条线段之间有着怎样的数量关系，并加以证明。
6.在直角⊿ABC 中，CA ＝CB ，BD 为AC 上的中线，作∠ADF ＝∠CDB ，如图，连结CF 交BD于E ，求证：CF ⊥BD 。
（提示：作AC 的中线CO ）GOEFDBCA7、以⊿ABC 的边AB 、AC 为边向形外作等边⊿ABM 、⊿CAN ，BN 和CM 交于一点P 。
试判断：第5题 第6题∠APM 、∠APN 的大小关系，并加以证明。
8. 在∆ABC 中，AB=AC ，DE∥BC.（1）试问∆ADE 是否是等腰三角形，说明理由.（2）若M 为DE 上的点，且BM 平分ABC ∠，CM 平分ACB ∠，若ADE ∆的周长20，BC=8.求ABC ∆的周长.9. 如图, 已知: 等腰Rt △OAB 中,∠AOB=900, 等腰Rt △EOF 中,∠EOF=900, 连结AE 、BF. 求证:(1) AE=BF; (2) AE ⊥BF.10. 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证明经典50 题（含答案）1. 已知： AB=4， AC=2， D 是 BC 中点， AD 是整数，求ADAB CD延伸 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又 AD 是整数 ,则 AD=512. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90°，求证：CD AB2ADC B3.已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D证明：连结 BF 和 EF。
由于 BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠ EDF。
因此三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边 )。
因此 BF=EF,∠ CBF=∠ DEF。
连结 BE。
在三角形BEF 中 ,BF=EF。
因此∠ EBF=∠ BEF。
又由于∠ ABC=∠AED。
因此∠ABE=∠AEB。
因此 AB=AE。
在三角形 ABF 和三角形 AEF中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠ AEB+∠ BEF=∠ AEF。
因此三角形 ABF 和三角形 AEF全等。
因此∠ BAF=∠ EAF (∠ 1=∠ 2)。
A4. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC 1 2证明：过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延伸线于 G 则∠ DEG=∠ DCA，F ∠DGE=∠ 2又∵CD=DE∴ ⊿ADC≌ ⊿ GDE（AAS）∴EG=AC∵ EF//AB∴∠ DFE=∠ 1∵ ∠ 1=∠ 2∴ ∠ DFE=∠ DGE∴ EF=C EG∴ EF=AC DEB5.已知：AD均分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C ACB D证明：在 AC上截取AD=AD∴ ⊿ AED≌ ⊿ ABD AE=AB，连结（SASED∵ AD）均分∠ BAC∴ ∠∴ ∠ AED=∠ BEAD=∠ BAD 又∵ AE=AB，，DE=DB∵ AC=AB+BDAC=AE+CE∴ CE=DE∴ ∠ C=∠ EDC∵∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C∴∠ B=2∠C6. 已知： AC 均分∠ BAD，CE⊥ AB，∠ B+∠ D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连结 CF 由于 CE⊥AB 因此∠CEB＝∠ CEF＝ 90 °由于 EB＝ EF， CE＝ CE，所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠ CFE 由于∠ B＋∠ D＝ 180 ，°∠CFE＋∠ CFA＝ 180°因此∠ D＝∠ CFA 由于AC 均分∠ BAD 因此∠ DAC＝∠ FAC 又由于AC＝ AC因此△ ADC≌ △ AFC（ SAS）因此 AD＝ AF 因此 AE＝ AF＋ FE＝ AD＋ BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB∥ DC， BE、 CE 分别均分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD 上。
(完整版)全等三角形判定综合练习题
全等三角形判定练习题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ,BD =CD 。
求证：△ABD ≌△ACD2、如图(2）：AC ∥EF ，AC =EF ，AE =BD 。
求证：△ABC ≌△EDF 。
3、 如图（3）：DF =CE ，AD =BC ,∠D =∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
FE （图2）DCBAFEDC（图1）DCBA4、 如图（4):AB =AC ，AD =AE ,AB ⊥AC ，AD ⊥AE .求证：（1）∠B =∠C ,（2）BD =CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE 。
求证：AC ⊥CE 。
E（图4）DCBAE（图5）DCBA6、如图（6）：CG =CF ，BC =DC ，AB =ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。
求证：（1）AF =EG ,（2）BF ∥DG .7、如图（7）：AC ⊥BC ,BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN =BC 。
求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2)∠A =∠CBM 。
GFE（图6）DC BANM（图7）CBA8、如图（8）:A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC =DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
9、如图（9）AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE =CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
FE（图8）DC B AMFE（图9）CBA10、如图（10）∠BAC =∠DAE ,∠ABD =∠ACE ,BD =CE . 求证:AB =AC 。
11、如图（11)在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。
求证：PA =PD .12、如图(12）AB ∥CD ，OA =OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE =DF . 求证：EB ∥CF 。
(完整版)全等三角形的判定常考典型例题及练习
(完整版)全等三角形的判定常考典型例题及练习-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN全等三角形的判定一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBC E B DEAB∴△ABC ≌△DEF （SAS ）②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA)图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FC EF BC EB∴△ABC ≌△DEF(ASA)③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EFBC F C EB∴△ABC ≌△DEF(AAS)④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中 ⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗两个三角形中对应相等的元素 两个三角形是否全等反例 SSA⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（ ）A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙4.如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE5.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD6.如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL第二部分：考点讲解考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题 4.有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗?考点4：利用“ASA”判定两个三角形全等5.如图，已知AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△AEC≌△ADE．6.如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．求证：△AEC≌△BED；考点6：利用“ASA”与全等三角形的性质解决问题:7.如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC考点7：利用“SSS”证明两个三角形全等8.如图，A、D、B、E四点顺次在同一条直线上，AC=DF，BC=EF，AD=BE，求证：△ABC≌△EDF．考点8：利用全等三角形证明线段（或角）相等9.如图，AE=DF，AC=DB，CE=BF．求证：∠A=∠D．考点9：利用“AAS”证明两个三角形全等10.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，求证：△ABD≌△ACE.考点10：利用“AAS”与全等三角形的性质求证边相等11.（2017秋?娄星区期末）已知：如图所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE与高BD交于点M，BE=4，EM=3．（1）求证：BM=AC；（2）求△ABC的面积．考点11：利用“HL”证明两三角形全等12.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF。
全等三角形经典题型50题（含问题详解）
全等三角形经典题型50题（含问题详解）全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<ae<ad<2ad2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以∠EBF=∠BEF 。
又因为∠ABC=∠AED 。
所以∠ABE=∠AEB 。
所以AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ）所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)
全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CDAB B A CDF2 1 EAC D E F 21 A D BC A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。
求证：BC=AB+DC 。
13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB15. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BED C B A FE PD A CB16. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．F AEDCB P E D CB A DC B A23．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．证明：25、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
难点突破——三角形全等证明题练习50道(含详细解析)
难点突破——三角形全等证明题练习50道（含详细解析）1．如图所示，90A D ∠=∠=︒，AB DC =，AC ，BD 相交于点M ，求证：（1）ABC DCB ∠=∠；（2）AM DM =．2．如图，点C ，F ，B ，E 在同一条直线上，AC CE ⊥，DF CE ⊥，垂足分别为C ，F ，且AB DE =，CF BE =．求证：A D ∠=∠．3．如图，ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且//BE CF ．（1）求证：DE DF =；（2）若在原有条件基础上再添加AB AC =，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）4．如图，AB AC =，//CD AB ，点E 是AC 上一点，且ABE CAD ∠=∠，延长BE 交AD 于点F ．（1）求证：ABE CAD ∆≅∆；（2）如果65ABC ∠=︒，25ABE ∠=︒，求D ∠的度数．5．如图，已知D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，点E 、F 为垂足，且BE CF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．6．已知：如图，AB AE =，C F ∠=∠，EAC BAF ∠=∠．求证：AC AF =．7．如图所示，AB AD =，12∠=∠，添加一个适当的条件，使ABC ADE ∆≅∆（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．8．如图，BE ，AD 是ABC ∆的高且相交于点P ，点Q 是BE 延长线上的一点．（1）试说明：12∠=∠；（2）若AP BC =，BQ AC =，线段CP 与CQ 会相等吗？请说明理由．9．如图，AB CD =，DE AC ⊥，BF AC ⊥，点E ，F 是垂足，AE CF =，求证：（1）ABF CDE ∆≅∆；（2）//AB CD ．10．如图，点C 在线段AB 上，//AD EB ，AC BE =，AD BC =，CF 平分DCE ∠． 求证：CF DE ⊥于点F ．11．如图：已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，点D 是AB 上任意一点，AE AB ⊥，且AE BD =，DE 与AC 相交于点F ．（1）试判断CDE ∆的形状，并说明理由．（2）是否存在点D ，使AE AF =？如果存在，求出此时AD 的长，如果不存在，请说明理由．12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥⊥于D ，CE AB ⊥于E ．求证：AD AE =．13．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，且AC BD =，若12∠=∠，EC FB =． 求证：ACE DBF ∆≅∆．证明：14．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC + A B A C+（填“>”、“ <”或“=” ) （2）证明（1）中的结论．15．如图，在ABC ∆中，BD 是边AC 上的中线，BD BC ⊥于点B ，AE BD ⊥交BD 的延长线于点E ，30ABD ∠=︒，求证：2AB BC =．16．如图所示，两个形状相同，大小不同的等腰三角形ABC 与ADE 如图放置，A 为它们共同的顶角顶点，B 、C 、D 在同一条直线上，连接CE ．（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？证明你的结论；（2）若35BAC ∠=︒，求ECD ∠的度数．17．已知，如图，直线AB BC ⊥，线段AB BC <，点D 在直线AB 上，且AD BC =，AE AB ⊥，且AE BD =，连接DE 、DC ，ADE α∠=．（1）请在下图中补全图形，并写出CDE ∠的度数 （用含α的代数式表示）；（2）如图，当点D 在点B 下方，点F 在线段BC 的延长线上，且BD CF =，直线AF 与DC交于点P，试问APD∠的度数是否是定值？若是定值，求出并说明理由．18．已知等腰三角形ABC中，点D为BC中点，点E是BA延长线上一动点，点F是AC延长线上一动点连接DE、DF，且180∠+∠=︒．EDF BAC（1）如图1，若90+=；BAC∠=︒，求证：AE AC AF（2）如图2，若120∠=︒，AE、AC、AF三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，BAC则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．19．已知D为ABC⊥，垂足分别为点∆所在平面内一点，且DB DC=，DE AB⊥，DF ACE、F，DE DF=．（1）如图1，当点D在BC边上时，判断ABC∆的形状；并证明你的结论；（2）如图2，当点D在ABC∆内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）．20．如图，在Rt ABC∠=︒，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD APC∆中，90=，当AD AB⊥于E．⊥时，过点D作DE AC（1）求证：CBP ABP∠=∠；（2）若4AB BC -=，8AC =．求AB 的长度和DE 的长度．21．如图（1），8A B c m =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，6AC BD cm ==．点P 在线段AB 上以2/m s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为()t s（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，判断线段PC 与PQ 满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的AC AB ⊥，BD AB ⊥为改“CAB DBA a ∠=∠=︒”，其它条件不变．设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．22．如图，AD AC =，1239∠=∠=︒，C D ∠=∠，点E 在线段BC 上．（1）求证：ABC AED ∆≅∆．（2）求AEC ∠的度数．23．已知：如图，点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD BC =，AE BF =，//AE FB ，求证：//CE DF ．24．如图，点D 在ABC ∆外部，点C 在DE 边上，BC 与AD 交于点O ，若123∠=∠=∠，AC AE =．求证：（1）B D ∠=∠；（2）ABC ADE ∆≅∆．25．已知：如图，AB AC =，AE AF =，连结BF ，CE ，交于O ，连结AO ．求证：（1）B C ∠=∠；（2）AO 平分BAC ∠．26．如图所示，已知ABC ∆中AB AC =，E 、D 、F 分别在AB ，BC 和AC 边上，且BE CD =，BD CF =，过D 作DG EF ⊥于G ． 求证：12EG EF =．27．已知在ABC ∆中，AC BC =，分别过A ，B 两点作互相平行的直线AM ，BN ，过点C 的直线分别交直线AM ，BN 于点D ，E ．（1）如图1，若AM AB ⊥，求证：CD CE =；（2）如图2，60ABC DEB ∠=∠=︒，判断线段AD ，DC 与BE 之间的关系，并说明理由．28．阅读下列材料，并完成任务．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB AD=．对角线AC，BD相交于点O，=，BC CD过点O作0M AB⊥，垂足分别为M，N．⊥，ON AD求证：四边形AMON是筝形．29．如图，在ABC∠=∠，AC与BD交于点=，AED∆中AB AC∆中AE AD=，EAD BACO．（1）试确定ADC∠与AEB∠间的数量关系，并说明理由；（2）若65∠的度数．ACB∠=︒，求BDC30．如图，AD为ABC=．求=，FD CD ∆的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF AC证：（1）BFD ACD ∆≅∆；（2）BE AC ⊥．31．在等腰OAB ∆和等腰OCD ∆中，OA OB =，OC OD =，连接AC 、BD 交于点M ．（1）如图1，若40:AOB COD ∠=∠=︒①AC 与BD 的数量关系为 ；②AMB ∠的度数为 ．（2）如图2，若90:AOB COD ∠=∠=︒①判断AC 与BD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由； ②求AMB ∠的度数．32．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AC DF =，BF CE =．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若65A ∠=︒，求AGF ∠的度数．33．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，AD EC AB +=．（1）求证：DE EF =．（2）当36A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．34．在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，AD BC ⊥垂足为D ，点E 在AD 上，ED BD =，连接CE 并延长交AB 于点F ，连接DF ．（1）求证：BAD ECD ∠=∠．（2）求证：45DFE ∠=︒．35．如图，在ABC ∆和BAD ∆中，AC 与BD 相交于点E ，AD BC =，DAB CBA ∠=∠，求证：12∠=∠．36．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，122∠=︒，228∠=︒， 求3∠的度数．37．如图，在直角坐标系中有一点(5,5)P ，(0,)M m 为y 轴上任意一点，N 为x 轴上任意一点，且90MPN ∠=︒．（1）当5m =时，OM ON +的值为 ；（2）当05m <<时，OM ON +的值是否改变？说明你的理由；（3）探索：当0m <时，OM 与ON 的数量关系为 ．38．已知，如图，射线BD 平分锐角ABC ∠，且平分钝角ADC ∠，求证：CD AD =．39．如图所示，BF AC ⊥于点F ，CE AB ⊥于点E ，BF 与CE 交于D ，且BD CD =． 求证：D 在BAC ∠的平分线上．40．如图（1），7A B c m =，AC AB ⊥，BD AB ⊥垂足分别为A 、B ，5AC cm =．点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为()t s （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠=︒”，点Q 的运动速度为/xcm s ，其他条件不变，当点P 、Q 运动到某处时，有ACP ∆与BPQ ∆全等，求出相应的x 、t 的值．41．如图，在ABC∠，CE平分BCA∠，AD、CE交于点F，B∆中，60∠=︒，AD平分BAC=，连结FG．CD CG（1）求证：FD FG=；（2）线段FG与FE之间有怎样的数量关系，请说明理由；（3）若60B∠≠︒，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．42．已知BF平分ABC∆的外角ABE∠，D为射线BF上一动点．（1）如图所示，若DA DC∠=∠；=，求证：ABC ADC（2）在D点运动的过程中，试比较BA BC+的大小，并说明你的理由．+与DC DA43．如图，在ABC=，∠=︒，BD AC⊥于点D，点E在DB的延长线上，DE BCABC∆中，90=．12∠=∠，求证：DF AB44．如图，在ABC ∆和ADE ∆中，点E 在BC 边上，BAC DAE ∠=∠，B D ∠=∠，AB AD =．求证：AEC C ∠=∠．45．如图，AB AC =，E 、D 分别是AB 、AC 的中点，AF BD ⊥，垂足为点F ，AG CE ⊥，垂足为点G ，试判断AF 与AG 的数量关系，并说明理由．46．如图，90ACB ∠=，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）求证：ACD CBE ∆≅∆；（2）已知5AD =，3DE =，求BE 的长．47．如图，AE 、BD 是ABM ∆的高，AE ，BD 交于点C ，且A E B E =，BD 平分ABM ∠．（1）求证：2BC AD =；（2）求M DE ∠的度数．48．在ABC∠交AB于D，E，F在AC，BC∠=︒，CD平分ACBA∆中，AB AC=，36上，且108∠=︒．EDF（1）求ADC∠的度数；（2）求证：AE BF BC+=．49．已知：如图，90∠的角平分线上，且点A到点⊥于点E，点A在FOCF∠=︒，AE OC=．B、点C的距离相等．求证：BF EC50．已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB BD=，⊥，AB CD⊥，DE BD =．CE AF求证：（1）ABF CDE∆≅∆；（2）CE AF⊥．难点突破——三角形全等证明题练习50道（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图所示，90A D ∠=∠=︒，AB DC =，AC ，BD 相交于点M ，求证：（1）ABC DCB ∠=∠；（2）AM DM =．【解答】证明：（1）90A D ∠=∠=︒，ABC ∴∆和DCB ∆都是直角三角形．在Rt ABC ∆和Rt DCB ∆中，BC CB AB DC =⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt DCB(HL)∴∆≅∆，ABC DCB ∴∠=∠；（2）Rt ABC Rt DCB ∆≅∆，AC DB ∴=，ACB DBC ∠=∠，MC MB ∴=，AM DM ∴=．2．如图，点C ，F ，B ，E 在同一条直线上，AC CE ⊥，DF CE ⊥，垂足分别为C ，F ，且AB DE =，CF BE =．求证：A D ∠=∠．【解答】证明：AC CE ⊥，DF CE ⊥，90C DFE ∴∠=∠=︒，CF BE =，CB FE ∴=，AB DE =，Rt ACB Rt DFE(HL)∴∆≅∆，A D ∴∠=∠．3．如图，ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且//BE CF ．（1）求证：DE DF =；（2）若在原有条件基础上再添加AB AC =，你还能得出什么结论．（不用证明）（写2个）【解答】（1）证明：AD 是ABC ∆的中线， BD CD ∴=，//BE CF ，FCD EBD ∴∠=∠，DFC DEB ∠=∠，在CDE ∆和BDF ∆中，FCD EBD DFC DEB CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDF BDE AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=（2）可以得出AD BC ⊥，BAD CAD ∠=∠．（理由等腰三角形三线合一）．4．如图，AB AC =，//CD AB ，点E 是AC 上一点，且ABE CAD ∠=∠，延长BE 交AD 于点F ．（1）求证：ABE CAD ∆≅∆；（2）如果65ABC ∠=︒，25ABE ∠=︒，求D ∠的度数．【解答】（1）证明：//CD AB ，BAE ACD ∴∠=∠，ABE CAD ∠=∠，AB AC =，()ABE CAD ASA ∴∆≅∆；（2）解：AB AC =，65ABC ACB ∴∠=∠=︒，180180656550BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 又25ABE CAD ∠=∠=︒，502575BAD BAC CAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， //AB CD ，180********D BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．5．如图，已知D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，点E 、F 为垂足，且BE CF =．求证：ABC ∆是等腰三角形．【解答】证明：D 为BC 的中点，BD CD ∴=，DE AB ⊥，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒，在Rt BED ∆和Rt CFD ∆中，BD CD BE CF =⎧⎨=⎩，Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆， B C ∴∠=∠，AB AC ∴=，ABC ∴∆是等腰三角形．6．已知：如图，AB AE =，C F ∠=∠，EAC BAF ∠=∠．求证：AC AF =．【解答】证明：EAC BAF ∠=∠， BAC EAF ∴∠=∠，在ABC ∆和AEF ∆中，BAC EAF C F AB AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC AEF AAS ∴∆≅∆，AC AF ∴=．7．如图所示，AB AD =，12∠=∠，添加一个适当的条件，使ABC ADE ∆≅∆（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．【解答】解：条件为AC AE =，理由是： 12∠=∠，12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠， BAC DAE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC ADE SAS ∴∆≅∆．8．如图，BE ，AD 是ABC ∆的高且相交于点P ，点Q 是BE 延长线上的一点．（1）试说明：12∠=∠；（2）若AP BC =，BQ AC =，线段CP 与CQ 会相等吗？请说明理由．【解答】证明：（1）BE ，AD 是ABC ∆的高 190BCA ∴∠+∠=︒，290BCA ∠+=︒， 12∴∠=∠，（2）AP BC =，12∠=∠，BQ AC =， ()APC BCQ SAS ∴∆≅∆CP CQ ∴=．9．如图，AB CD =，DE AC ⊥，BF AC ⊥，点E ，F 是垂足，AE CF =，求证：（1）ABF CDE ∆≅∆；（2）//AB CD ．【解答】证明：（1）AE CF =， AE EF CF EF ∴+=+，即AF CE =． 又BF AC ⊥，DE AC ⊥， 90AFB CED ∴∠=∠=︒．在Rt ABF ∆与Rt CDE ∆中，AB CD AF CE =⎧⎨=⎩， Rt ABF Rt CDE(HL)∴∆≅∆；（2）Rt ABF Rt CDE ∆≅∆， C A ∴∠=∠，//AB CD ∴．10．如图，点C 在线段AB 上，//AD EB ，AC BE =，AD BC =，CF 平分DCE ∠． 求证：CF DE ⊥于点F ．【解答】证明：//AD BE ， A B ∴∠=∠，在ACD ∆和BEC ∆中AD BC A B AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BEC SAS ∴∆≅∆， DC CE ∴=， CF 平分DCE ∠，CF DE ∴⊥．11．如图：已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，1AC BC ==，点D 是AB 上任意一点，AE AB ⊥，且AE BD =，DE 与AC 相交于点F ．（1）试判断CDE ∆的形状，并说明理由．（2）是否存在点D ，使AE AF =？如果存在，求出此时AD 的长，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）CDE ∆是等腰直角三角形．理由如下： 90ACB ∠=︒，AC BC =， 45B BAC ∴∠=∠=︒，AE AB ⊥，904545CAE ∴∠=︒-︒=︒，B CAE ∴∠=∠，在ACE ∆和BCD ∆中，AE BDB CAE AC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE BCD SAS ∴∆≅∆，CD CE ∴=，ACE BCD ∠=∠，90ACD BCD ACB ∠+∠=∠=︒，90DCE ACD ACE ∴∠=∠+∠=︒，CDE ∴∆是等腰直角三角形；（2）存在1AD =．理由如下：AE AF =，45CAE ∠=︒，1(18045)67.52AEF AFE ∴∠=∠=︒-︒=︒，9067.522.5ADE ∴∠=︒-︒=︒，CDE ∆是等腰直角三角形，45CDE ∴∠=︒，22.54567.5ADC ∴∠=︒+︒=︒，在ACD ∆中，1804567.567.5ACD ∠=︒-︒-︒=︒， ACD ADC ∴∠=∠，1AD AC ∴==．12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD AC ⊥⊥于D ，CE AB ⊥于E ．求证：AD AE =．【解答】证明：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BD AC ⊥，CE AB ⊥，90BDC CEB ∴∠=∠=︒，在BCE ∆和CBD ∆中，BEC CDB EBC DCB BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBC ECB AAS ∴∆≅∆，CD BE ∴=，AB AC =，AD AE ∴=．13．如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，且AC BD =，若12∠=∠，EC FB =． 求证：ACE DBF ∆≅∆．证明： 12∠=∠，FBD ECA ∴∠=∠，FB CE =，BD AC =，()DBF ACE SAS ∴∆≅∆．【解答】证明：12∠=∠，FBD ECA ∴∠=∠，FB CE =，BD AC =，()DBF ACE SAS ∴∆≅∆．故答案为：12∠=∠，FBD ECA ∴∠=∠，FB CE =，BD AC =，()DBF ACE SAS ∴∆≅∆．14．已知：如图，点E 是ABC ∆外角CAF ∠平分线上的一点．（1）比大小：BE EC+（填“>”、“<”或“=”)+>AB AC（2）证明（1）中的结论．【解答】解：（1）结论：BE EC AB AC+>+．故答案为>．（2）理由：在AF上截取AH，使得AH AC=．AC AE∠=∠，AE AE=，CAF HAE=，∴∆≅∆，EAC EAH SAS()∴=，EC EH+>，EB EH BH∴+>+．EB EC AB AC15．如图，在ABC⊥于点B，AE BD∆中，BD是边AC上的中线，BD BC⊥交BD的延长线于点E，30=．AB BCABD∠=︒，求证：2【解答】证明：BD是AC上的中线，∴=，AD DCBD BC⊥，AE BD⊥，EBC AEB∴∠=∠=︒，90又ADE CDB∠=∠，∴∆≅∆，ADE CDB AAS()AE CB ∴=，90AEB ∠=︒，30ABD ∠=︒，2AE AB ∴=，即2AB BC =．16．如图所示，两个形状相同，大小不同的等腰三角形ABC 与ADE 如图放置，A 为它们共同的顶角顶点，B 、C 、D 在同一条直线上，连接CE ．（1）你能在图中找到一对全等三角形吗？证明你的结论；（2）若35BAC ∠=︒，求ECD ∠的度数．【解答】解：（1）能，ABD ACE ∆≅∆，理由如下： ABC ∆和ADE ∆是两个形状相同，大小不同的等腰三角形， BAC DAE ∴∠=∠，AB AC =，AD AE =，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆；（2）ABD ACE ∆≅∆，B ACE ∴∠=∠，ACE ECD B BAC ∠+∠=∠+∠，35ECD BAC ∴∠=∠=︒．17．已知，如图，直线AB BC ⊥，线段AB BC <，点D 在直线AB 上，且AD BC =，AE AB ⊥，且AE BD =，连接DE 、DC ，ADE α∠=．（1）请在下图中补全图形，并写出CDE ∠的度数 290α-︒或902α︒-或90︒ （用含α的代数式表示）；（2）如图，当点D 在点B 下方，点F 在线段BC 的延长线上，且BD CF =，直线AF 与DC交于点P ，试问APD ∠的度数是否是定值？若是定值，求出并说明理由．【解答】解：（1）如图1，点D 在点B 上方时，点E 在点A 右侧，AD BC =，DAE DBC ∠=∠，AE BD =， ()ADE BCD SAS ∴∆≅∆ADE BCD α∴∠==∠，90BDC AED α∠=∠=︒-， 290CDE ADE BDC α∴∠=∠-∠=-︒， 点D 在点B 上方时，点E 在点A 左侧， 90CDE ADE BDC ∠=∠+∠=︒；如图11-，点D 在点B 下方时，点E 在点A 右侧，AD BC =，DAE DBC ∠=∠，AE BD =， ()ADE BCD SAS ∴∆≅∆ADE BCD α∴∠==∠，90BDC AED α∠=∠=︒-， 902EDC BDC ADE α∴∠=∠-∠=︒-，点D 在点B 下方时，点E 在点A 左侧， 90CDE ADE BDC ∴∠=∠+∠=︒；故答案为：290α-︒或902α︒-或90︒；（2）APD ∠的度数是45︒，理由是：如图2，过F 作FM x ⊥轴于F ，使FM BC =，连接CM ，DM ，AD BC =，AD FM ∴=，AD x ⊥轴，//AD FM ∴，∴四边形ADM F 是平行四边形，//AF DM ∴，PDM APD ∴∠=∠，FM BC =，90CFM DBC ∠=∠=︒，CF BD =， ()CFM DBC SAS ∴∆≅∆，BCD CMF ∴∠=∠，DC CM =，90FCM CMF ∠+∠=︒，90FCM BCD ∴∠+∠=︒，90DCM ∴∠=︒，DCM ∴∆是等腰直角三角形，45CDM ∴∠=︒，45APD CDM ∴∠=∠=︒．18．已知等腰三角形ABC 中，点D 为BC 中点，点E 是BA 延长线上一动点，点F 是AC 延长线上一动点连接DE 、DF ，且180EDF BAC ∠+∠=︒．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，求证：AE AC AF +=；（2）如图2，若120BAC ∠=︒，AE 、AC 、AF 三条线段还满足（1）中的结论吗？若满足，则直接证明；若不满足，请写出结论并证明．【解答】（1）证明：连接AD ，设AF 交DE 于G ，如图1所示： 90BAC ∠=︒，AB AC =，45B ∴∠=︒，点D 为BC 中点，12AD BC BD CD ∴===，45BAD CAD B ∠=∠=︒=∠，AD BC ⊥， 180EDF BAC ∠+∠=︒，180EAC BAC ∠+∠=︒， EDF EAC ∴∠=∠，AGE DGF ∠=∠，BED AFD ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中，B CAD BED AFD BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE ADF AAS ∴∆≅∆，BE AF ∴=，AB AC =，BE AE AB =+，AE AC AF ∴+=；（2）解：不满足（1）中的结论，12AC AE AF +=；理由如下： 连接AD ，取AC 的中点G ，连接DG ，如图2所示： 120BAC ∠=︒，AB AC =，30ACB ∴∠=︒，60EAC ∠=︒，点D 为BC 中点，AD BC ∴⊥，60CAD ∠=︒，12DG AC AG CG ∴===，120DAE ∠=︒， ADG ∴∆是等边三角形，AD DG ∴=，60AGD ADG EDF ∠=∠=︒=∠， 120DGF DAE ∴∠=︒=∠，ADE GDF ∠=∠， 同（1）得：AED GFD ∠=∠，在ADE ∆和GDF ∆中，DAE DGF AED GFD AD GD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE GDF AAS ∴∆≅∆，AE GF ∴=，AG GF AF +=， ∴12AC AE AF +=；19．已知D 为ABC ∆所在平面内一点，且DB DC =，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ，DE DF =．（1）如图1，当点D 在BC 边上时，判断ABC ∆的形状；并证明你的结论；（2）如图2，当点D 在ABC ∆内部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请举出反例（画图说明，不需证明）．【解答】解：（1）结论：ABC ∆是等腰三角形． 理由：DE AB ⊥，DF AC ⊥，90BED CFD ∴∠=∠=︒．在Rt EBD ∆与Rt FCD ∆中，DE DF DB DC =⎧⎨=⎩， Rt EBD Rt FCD(HL)∴∆≅∆，B C ∴∠=∠AB AC ∴=，ABC ∴∆是等腰三角形．（2）当点D 在ABC ∆内部时，（1）中的结论仍然成立． 理由：如图2，DE AB ⊥，DF AC ⊥， 90BED CFD ∴∠=∠=︒，在Rt EBD ∆与Rt FCD ∆中，DE DF DB DC =⎧⎨=⎩， Rt EBD Rt FCD(HL)∴∆≅∆，EBD FCD ∴∠=∠．DB DC =，DBC DCB ∴∠=∠，EBD DBC FCD DCB ∴∠+∠=∠+∠， 即ABC ACB ∠=∠，AB AC ∴=，ABC ∴∆是等腰三角形．20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点P 为AC 边上的一点，延长BP 至点D ，使得AD AP =，当AD AB ⊥时，过点D 作DE AC ⊥于E ．（1）求证：CBP ABP ∠=∠；（2）若4AB BC -=，8AC =．求AB 的长度和DE 的长度．【解答】（1）证明：90C ∠=︒， 90CBP BPC ∴∠+∠=︒， AD AB ⊥，90PBA BDA ∴∠+∠=︒， AD AP =，BDA DPA BPC ∴∠=∠=∠， CBP ABP ∴∠=∠；（2）解：设AB x =，4AB BC -=，4BC x ∴=-，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：222(4)8x x -+=， 解得：10x =，6BC ∴=，10AB =；作PF AB ⊥于F ，如图所示：在BCP ∆和BFP ∆中，90CBP ABP C BFP BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()BCP BFP AAS ∴∆≅∆6BC BF ∴==，DE AC ⊥，90EAD ADE PAF EAD ∴∠+∠=︒=∠+∠，PAF ADE ∴∠=∠，在PAF ∆和ADE ∆中，PFA AED PAF ADE PA AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()PAF ADE AAS ∴∆≅∆，1064DE AF AB BF ∴==-=-=．21．如图（1），8A B c m =，AC AB ⊥，BD AB ⊥，6AC BD cm ==．点P 在线段AB 上以2/m s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为()t s（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，判断线段PC 与PQ 满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的AC AB ⊥，BD AB ⊥为改“CAB DBA a ∠=∠=︒”，其它条件不变．设点Q 的运动速度为/xcm s ，是否存在实数x ，使得ACP ∆与BPQ ∆全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）ACP BPQ ∆≅∆，AC AB ⊥，BD AB ⊥90A B ∴∠=∠=︒2AP BQ ==6BP ∴=BP AC ∴=，在ACP ∆和BPQ ∆中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACP BPQ ∴∆≅∆，C QPB ∴∠=∠，90APC C ∠+∠=︒，90APC QPB ∴∠+∠=︒，PC PQ ∴⊥；（2）存在x 的值，使得ACP ∆与BPQ ∆全等，①若ACP BPQ ∆≅∆，则AC BP =，AP BQ =，可得：682t =-，2t xt =解得：2x =，1t =；②若ACP BQP ∆≅∆，则AC BQ =，AP BP =，可得：6xt =，282t t =-解得：3x =，2t =．22．如图，AD AC =，1239∠=∠=︒，C D ∠=∠，点E 在线段BC 上．（1）求证：ABC AED ∆≅∆．（2）求AEC ∠的度数．【解答】（1）证明：1239∠=∠=︒，12CAE CAE ∴∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠，在ABC ∆和AED ∆中，BAC EAD AC AD C D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABC AED ASA ∴∆≅∆．（2）解：由（1）得：：ABC AED ∆≅∆．AB AE ∴=，11(1801)(18039)70.522B AEB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 13970.5109.5AEC B ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．， 23．已知：如图，点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD BC =，AE BF =，//AE FB ，求证：//CE DF ．【解答】证明：AD BC =，AD DC BC DC ∴+=+，AC BD ∴=，//AE BF ，A B ∴∠=∠，在ACE ∆和BDF ∆中，,,,AC BD A B AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BDF SAS ∴∆≅∆．ACE BDF ∴∠=∠．//CE DF ∴．24．如图，点D 在ABC ∆外部，点C 在DE 边上，BC 与AD 交于点O ，若123∠=∠=∠，AC AE =．求证：（1）B D ∠=∠；（2）ABC ADE ∆≅∆．【解答】证明：（1）13∠=∠，13DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，1803E ACE ∠=∠︒-∠-∠，1802ACB ACE ∠=︒-∠-∠，23∠=∠，ACE ACE ∠=∠，ACB E ∴∠=∠，在ABC ∆与ADE ∆中BAC DAE AC AEE ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC ADE ASA ∴∆≅∆，B D ∴∠=∠．（2）由（1）可得ABC ADE ∆≅∆．25．已知：如图，AB AC =，AE AF =，连结BF ，CE ，交于O ，连结AO ．求证：（1）B C ∠=∠；（2）AO 平分BAC ∠．【解答】证明：（1）在ABF ∆和ACE ∆中，AB AC BAF CAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF ACE SAS ∴∆≅∆，B C ∴∠=∠；（2）AB AC =，AE AF =，BE CF ∴=，在BOE ∆和COF ∆中，B C BOE COF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOE COF AAS ∴∆≅∆，OB OC ∴=，在ABO ∆和ACO ∆中，AB AC B C OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABO ACO SAS ∴∆≅∆，OAB OAC ∴∠=∠，即AO 平分BAC ∠．26．如图所示，已知ABC ∆中AB AC =，E 、D 、F 分别在AB ，BC 和AC 边上，且BE CD =，BD CF =，过D 作DG EF ⊥于G ． 求证：12EG EF =．【解答】证明：连接DE 、DF ，如右图所示，AB AC =，B C ∴∠=∠，在EBD ∆和DCF ∆中，BE CD B C BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EBD DCF SAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=，DG EF ⊥，DG ∴是等腰DEF ∆的中线，12EG EF ∴=．27．已知在ABC ∆中，AC BC =，分别过A ，B 两点作互相平行的直线AM ，BN ，过点C 的直线分别交直线AM ，BN 于点D ，E ．（1）如图1，若AM AB ⊥，求证：CD CE =；（2）如图2，60ABC DEB ∠=∠=︒，判断线段AD ，DC 与BE 之间的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：如图1，延长AC 交BN 于点F ，AC BC =，CAB CBA ∴∠=∠，又AB AM ⊥，90BAM ∴∠=︒，又//AM BN ，180BAM ABN ∴∠+∠=︒，90ABN ∴∠=︒，90BAF AFB ∴∠+∠=︒，90ABC CBF ∠+∠=︒，CBF AFB ∴∠=∠，BC CF ∴=，AC FC ∴=，又//AM BN ，DAF AFB ∴∠=∠，在ADC ∆和FEC ∆中，DAC EFC AC FC ACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADC FEC ASA ∴∆≅∆，DC EC ∴=；（2）解：AD DC BE +=；理由如下：如图2，在EB 上截取EH EC =，连接CH ，AC BC =，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆为等边三角形，60DEB ∠=︒，CHE ∴∆是等边三角形，60CHE ∴∠=︒，60HCE ∠=︒，120BHC ∴∠=︒，//AM BN ，180ADC BEC ∴∠+∠=︒，120ADC ∴∠=︒，60DAC DCA ∴∠+∠=︒，又180DCA ACB BCH HCE ∠+∠+∠+∠=︒，60DCA BCH ∴∠+∠=︒，DAC BCH ∴∠=∠，在DAC ∆与HCB ∆中，DAC HCB ADC CHB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC HCB AAS ∴∆≅∆，AD CH ∴=，DC BH =，又CH CE HE==，∴=+=+，BE BH HE DC AD即AD DC BE+=．28．阅读下列材料，并完成任务．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB AD=．对角线AC，BD相交于点O，=，BC CD过点O作0M AB⊥，ON AD⊥，垂足分别为M，N．求证：四边形AMON是筝形．【解答】证明：在ABC ∆和ADC ∆中AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC ADC SSS ∴∆≅∆，BAC DAC ∴∠=∠，又OM AB ⊥，ON AD ⊥，垂足分别为M ，N ，OM ON ∴=；90AMO ANO ∠=∠=︒，9090BAC DAC ∴︒-∠=︒-∠，AOM AON ∴∠=∠，即OA 平分MON ∠，又AM OM ⊥，AN ON ⊥，AM AN ∴=∴四边形AMON 是筝形．29．如图，在ABC ∆中AB AC =，AED ∆中AE AD =，EAD BAC ∠=∠，AC 与BD 交于点O ．（1）试确定ADC ∠与AEB ∠间的数量关系，并说明理由；（2）若65ACB ∠=︒，求BDC ∠的度数．【解答】解：（1）ADC AEB ∠=∠，理由如下：BAC EAD ∠=∠BAC EAC EAD EAC ∴∠-∠=∠-∠即：BAE CAD ∠=∠在ABE ∆和ACD ∆中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ACD SAS ∴∆≅∆ADC AEB ∴∠=∠（2）BOC ∠是ABO ∆和DCO ∆的外角BOC ABD BAC ∴∠=∠+∠，BOC ACD BDC ∠=∠+∠ABD BAC ACD BDC ∴∠+∠=∠+∠ABD ACD ∠=∠BAC BDC ∴∠=∠65ACB ∠=︒，AB AC =65ABC ACB ∴∠=∠=︒180180656550BAC ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒50BDC BAC ∴∠=∠=︒30．如图，AD 为ABC ∆的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF AC =，FD CD =．求证：（1）BFD ACD ∆≅∆；（2）BE AC ⊥．【解答】证明：（1）AD 为ABC ∆的边BC 上的高，BDF ∴∆和ADC ∆为直角三角形．90BDF ADC ∴∠=∠=︒．在Rt BFD ∆和Rt ACD ∆中，BF AC FD CD=⎧⎨=⎩， Rt ∴△Rt ACD(HL)BFD ∆≅∆；（2）BDF ADC ∆≅∆，DBF DAC ∴∠=∠．AFE ∠与BFD ∠是对顶角，90BDF AEF ∴∠=∠=︒，BE AC ∴⊥．31．在等腰OAB ∆和等腰OCD ∆中，OA OB =，OC OD =，连接AC 、BD 交于点M ．（1）如图1，若40:AOB COD ∠=∠=︒①AC 与BD 的数量关系为 AC BD = ；②AMB ∠的度数为 ．（2）如图2，若90:AOB COD ∠=∠=︒①判断AC 与BD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；②求AMB ∠的度数．【解答】解：（1）①AOB COD ∠=∠，AOB AOD COD AOD ∴∠+∠=∠+∠，BOD AOC ∴∠=∠，在BOD ∆和AOC ∆中，OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOD AOC SAS ∴∆≅∆，AC BD ∴=；故答案为：AC BD =，②BOD AOC ∆≅∆，OBD OAC ∴∠=∠，40AOB ∠=︒，180********OAB OBA AOB ∴∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，又OAB OBA OAB ABD OBD ∠+∠=∠+∠+∠140OAB OBA OAB ABD OAC ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒，140MAB ABM ∴∠+=︒，在ABM ∆中，180AMB MAB ABM ∠+∠+=︒，40AMB ∴∠=︒；故答案为：40︒；（2）①AC BD =，理由如下：90AOB COD ∠=∠=︒，AOB AOD COD AOD ∴∠+∠=∠+∠，BOD AOC ∴∠=∠，在BOD ∆和AOC ∆中，OB OA BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOD AOC SAS ∴∆≅∆，BD AC ∴=；②BOD AOC ∆≅∆，OBD OAC ∴∠=∠，又90OAB OBA ∠+∠=︒，ABO ABM OBD ∠=∠+∠，MAB MAO OAB ∠=∠+∠，90MAB MBA ∴∠+∠=︒， 又在AMB ∆中，180AMB ABM BAM ∠+∠+∠=︒，180()1809090AMB ABM BAM ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．32．如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AC DF =，BF CE =．（1）求证：ABC DEF ∆≅∆；（2）若65A ∠=︒，求AGF ∠的度数．【解答】（1）证明：AB BE ⊥，90B ∴∠=︒，DE BE ⊥，90E ∴∠=︒，BF CE =，BF CF CE CF ∴+=+，即CB EF =，在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，AC DF BC EF=⎧⎨=⎩， Rt ABC Rt DEF(HL)∴∆≅∆（2）解：65A ∠=︒，AB BE ⊥，906525ACB ∴∠=︒-︒=︒，由（1）知Rt ABC Rt DEF ∆≅∆，25ACB DFE ∴∠=∠=︒，50AGF ACB DFE ∴∠=∠+∠=︒33．如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE CF =，AD EC AB +=．（1）求证：DE EF =．（2）当36A ∠=︒时，求DEF ∠的度数．【解答】（1）证明：AD EC AB +=，AD BD AB +=BD EC ∴=，在BDE ∆和CEF ∆中BD EC B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=；（2）解：ABC ∆中，36A ∠=︒，1(18036)722B C ∴∠=∠=︒-︒=︒，由（1）知：BDE CEF ∆≅∆BDE CEF ∴∠=∠，又DEF CEF B BDE ∠+∠=∠+∠，72DEF B ∴∠=∠=︒．34．在ABC ∆中，45ACB ∠=︒，AD BC ⊥垂足为D ，点E 在AD 上，ED BD =，连接CE 并延长交AB 于点F ，连接DF ．（1）求证：BAD ECD ∠=∠．（2）求证：45DFE ∠=︒．【解答】证明：（1）AD 是ABC ∆的高，45ACB ∠=︒，90ADB CDE ∴∠=∠=︒，ACD ∆是等腰直角三角形，AD CD ∴=，在ABD ∆和CED ∆中，AD CD ADB CDE DE DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CED SAS ∴∆≅∆，BAD ECD ∴∠=∠；（2）如图，在EC 上截取EG BF =，ABD CED ∆≅∆，B CED ∴∠=∠，在BDF ∆和EDG ∆中，EG BF B CED DE DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDF EDG SAS ∴∆≅∆，DF DG ∴=，BDF EDG ∠=∠，90FDG FDE EDG FDE BDF ADB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DFG ∴∆是等腰直角三角形，45DFE ∴∠=︒．35．如图，在ABC ∆和BAD ∆中，AC 与BD 相交于点E ，AD BC =，DAB CBA ∠=∠，求证：12∠=∠．【解答】证明：在ABD ∆和BAC ∆中，AD BC DAB CBA AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABD BAC ∴∆≅∆()SAS ，34∴∠=∠，DAB CBA ∠=∠，12∴∠=∠．36．如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，122∠=︒，228∠=︒， 求3∠的度数．【解答】解：BAC DAE ∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆与ACE ∆中，1AD AE CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆；228ABD ∴∠=∠=︒；31ABD ∠=∠+∠，122∠=︒，350∴∠=︒．37．如图，在直角坐标系中有一点(5,5)P ，(0,)M m 为y 轴上任意一点，N 为x 轴上任意一点，且90MPN ∠=︒．（1）当5m =时，OM ON +的值为 10 ；（2）当05m <<时，OM ON +的值是否改变？说明你的理由；（3）探索：当0m <时，OM 与ON 的数量关系为 ．【解答】解：（1）作PA y ⊥轴于A ，PB x ⊥轴于B ，如图1所示：(5,5)P ，5PA PB OA OB ∴====，(0,5)A ∴，当5m =时，(0,5)M ，A ∴与M 重合，B 与N 重合，5ON OH ∴==，10OM ON ∴+=；故答案为：10；（2）当05m <<时，OM ON +的值不改变，理由如下：作PA y ⊥轴于A ，PB x ⊥轴于B ，如图2所示：则90APB ∠=︒，5PA PB ==，90MPN ∠=︒，APM BPN ∴∠=∠，在APM ∆和BPN ∆中，90PAM PBN PA PB APM BPN∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()APM BPN ASA ∴∆≅∆，AM BN ∴=，10OM ON OA AM OB BN OA OB ∴+=-++=+=；（3）当0m <时，OM 与ON 的数量关系为10OM ON =-，理由如下： 作PA y ⊥轴于A ，PB x ⊥轴于B ，如图3所示： 同（2）得：()APM BPN ASA ∆≅∆，AM BN ∴=，10OM AM OA BN OA ON OB OA ON ∴=-=-=--=-； 故答案为：10OM ON =-．38．已知，如图，射线BD 平分锐角ABC ∠，且平分钝角ADC ∠，求证：CD AD =．【解答】证明：射线BD 平分锐角ABC ∠，且平分钝角ADC ∠， 12∴∠=∠，34∠=∠，ADB CDB ∴∠=∠，在CBD ∆和ABD ∆中，21BD BD CDB ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()CBD ADB ASA ∴∆≅∆，CD AD ∴=．39．如图所示，BF AC ⊥于点F ，CE AB ⊥于点E ，BF 与CE 交于D ，且BD CD =． 求证：D 在BAC ∠的平分线上．【解答】证明：BF AC ⊥于点F ，CE AB ⊥于点E ， 90BED CFD ∴∠=∠=︒，在BDE ∆和CDF ∆中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDE CDF AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=，D ∴在BAC ∠的平分线上．40．如图（1），7A B c m =，AC AB ⊥，BD AB ⊥垂足分别为A 、B ，5AC cm =．点P 在线段AB 上以2/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为()t s （当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当1t =时，ACP ∆与BPQ ∆是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC AB ⊥，BD AB ⊥”改为“60CAB DBA ∠=∠=︒”，点Q 的运动速度为/xcm s ，其他条件不变，当点P 、Q 运动到某处时，有ACP ∆与BPQ ∆全等，求出相应的x 、t 的值．【解答】解：（1）ACP BPQ ∆≅∆， AC AB ⊥，BD AB ⊥90A B ∴∠=∠=︒2AP BQ ==，5BP ∴=，BP AC ∴=，在ACP ∆和BPQ ∆中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACP BPQ ∴∆≅∆；C BPQ ∴∠=∠，90C APC ∠+∠=︒，90APC BPQ ∴∠+∠=︒，90CPQ ∴∠=︒，PC PQ ∴⊥；（2）存在x 的值，使得ACP ∆与BPQ ∆全等， ①若ACP BPQ ∆≅∆，则AC BP =，AP BQ =，可得：572t =-，2t xt = 解得：2x =，1t =；②若ACP BQP ∆≅∆，则AC BQ =，AP BP =，可得：5xt =，272t t =- 解得：207x =，74t =．41．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 平分BAC ∠，CE 平分BCA ∠，AD 、CE 交于点F ，CD CG =，连结FG ．（1）求证：FD FG =；（2）线段FG 与FE 之间有怎样的数量关系，请说明理由；（3）若60B ∠≠︒，其他条件不变，则（1）和（2）中的结论是否仍然成立？请直接写出判断结果，不必说明理由．【解答】（1）证明：EC 平分ACB ∠， FCD FCG ∴∠=∠，CG CD =，CF CF =，()CFD CFG SAS ∴∆≅∆，FD FG ∴=．（2）解：结论：FG FE =．理由：60B ∠=︒，120BAC BCA ∴∠+∠=︒， AD 平分BAC ∠，CE 平分BCA ∠，1()602ACF FAC BCA BAC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 120AFC ∴∠=︒，60CFD AFE ∠=∠=︒， CFD CFG ∆≅∆，60CFD CFG ∴∠=∠=︒，60AFG AFE ∴∠=∠=︒，。
全等三角形证明经典50题(含答案)
全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形AD BC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）B ACDF21 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180°∴∠D ＝∠CFA∵AC 平分∠BAD∴∠DAC ＝∠FAC∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ）∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD BCAD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
全等三角形的判定练习
全等三角形的判定专项练习一．填空题(每题4分,共24分)1.如图,△ABD ≌△ACE,对应角是_______________________，对应边是__________________．2. 已知:如图,△ABC ≌△FED,且BC=DE.则∠A=__________,A D=_______．3. 如图,△ABD ≌△ACE,则AB 的对应边是_________,∠BAD 的对应角是______． 4．如图，∠1=∠2，由AAS 判定△ABD ≌△ACD ，则需添加的条件是____________.1 2 3 45．如图, 已知：∠1=∠2 , ∠3=∠4 , 要证BD=CD , 需先证△AEB ≌△A EC , 根据是_________再证△BDE ≌△______ , 根据是__________．6．如图，ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，且BD CE ，=DEF B ∠∠ 求证：=ED EF ．证明：∵∠DEC ＝∠B ＋∠BDE （ ），又∵∠DEF ＝∠B （已知），∴∠______＝∠______（等式性质）．在△EBD 与△FCE 中，∠______＝∠______（已证）， ______＝______（已知），∠B ＝∠C （已知）， ∴EBD FCE △≌△( )．∴ED ＝EF ( )． 5 6 二．选择题(每题5分,共40分)7． 下列各条件中，不能作出惟一三角形的是（ ）A ．已知两边和夹角B ．已知两角和夹边C ．已知两边和其中一边的对角D ．已知三边8. 如图,已知:△ABE ≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是 （ ）A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.BE=DCD.AD=DE8 99. 图中全等的三角形是 （ ）A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ10. AD=AE , AB=AC , BE 、CD 交于F , 则图中相等的角共有（除去∠DFE=∠BFC ）A.5对B.4对C.3对D.2对 （ ） 11．如图,OA=OB,OC=OD, ∠O=60°, ∠C=25°则∠BED 的度数是 ( )A.70°B. 85°C. 65°D. 以上都不对A B CD12AD EC B F 4321E D C BA12. 已知:如图,△ABC ≌△DEF,AC ∥DF,BC ∥EF.则不正确的等式是 （ ）A.AC=DFB.AD=BEC.DF=EFD.BC=EF10 11 12 13 14 13．如图 , ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC 的度数为 （ ）A.50°B.30°C.45°D.25° 14. 如图 , ∠ABC=∠DCB=70°, ∠ABD=40°, AB=DC , 则∠BAC= （ ）A.70°B.80°C.100°D.90° 三．解答题(每题9分，共36分)15. 已知:如图 , 四边形ABCD 中 , AB ∥CD , AD ∥BC ．求证：△ABD ≌△CDB.16. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．17.如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．18．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA 和CA 上取BE CG =； ②在BC 上取BD CF =；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米．如果a b =，则说明∠B 和∠C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？七年级全等三角形判定专题训练 (查找隐含着的三角形全等的条件)（一）公共边1、已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB ，你能说明△ADC ≌△CBA 吗？ 证明：FG E D C B A AD E CBFG CEDBO A∵AD ∥BC （已知）∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）在 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠（公共边）＝（已证）（已知）＝ ∴ ≌ （ ）2、如图，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD 证明： ∵AD 平分∠BAC （ ）∴∠ ＝∠ （角平分线的定义） 在△ABD 和△ACD 中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠∠∠=∠（公共边）＝（已证）＝（已知） ∴△ABD △ACD （ ）3、如图，已知AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，求证：AD 是角平分线吗 证明：∵AD 是BC 边上的中线（已知）∴ ＝ （中线的定义） 在 中∴ ≌ （ ）.∴ ＝ （全等三角形的对应角相等） ∴AD 是角平分线（ ）4、如图，已知21∠=∠，AD=AB ，求证：ADC ABC ∆≅∆。
全等三角形判定基础练习(有答案)
全等三角形判定基础练习（有答案）一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA二．解答题（共6小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．全等三角形判定（孙雨欣）初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（）A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看条件是否符合判定定理即可．【解答】解：A、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），正确，故本选项错误；B、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），正确，故本选项错误；C、∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），正确，故本选项错误；D、根据AE=AD，BE=CD和∠A=∠A不能推出△ABE和△ACD全等，错误，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（）A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④【分析】认真分析各选项提供的已知条件，结合全等三角形判定方法对选项提供的已知条件逐一判断．【解答】解：①两边和一角对应相等不正确，应该是两边的夹角，故本选项错误，②两角和一边对应相等，符合AAS，故本选项正确，③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，符合SAS，故本选项正确，④三个角对应相等，可以相似不全等，故本选项错误，故选C．【点评】本题主要考查了对全等三角形的判定方法的理解及运用．常用的判定方法有AAS，SSS，SAS 等，难度适中．3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BDC．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA【分析】根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：根据图形可得公共边：AB=AB，A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．二．解答题（共7小题）4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．【分析】利用∠1=∠2，即可得出∠ABE=∠CBF，再利用全等三角形的判定SAS得出即可．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，在△ABE与△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由．【分析】首先根据∠QAP=90°，AB⊥PQ可证出∠PQA=∠BAC，在加上条件BC=AP，∠C=∠QAP=90°，可利用AAS定理证明△ABC和△QPA全等．【解答】△ABC能和△QPA全等；证明：∵∠QAP=90°，∴∠PQA+∠QPA=90°，∵QP⊥AB，∴∠BAC+∠APQ=90°，∴∠PQA=∠BAC，在△ABC和△QPA中，，∴△ABC≌△QPA（AAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．7．如图AB，CD相交于点O，AD=CB，AB⊥DA，CD⊥CB，求证：△ABD≌△CDB．【分析】首先根据AB⊥DA，CD⊥CB，可得∠A=∠C=90°，再利用HL定理证明Rt△ABD≌Rt△CBD即可．【解答】证明：∵AB⊥DA，CD⊥CB，∴∠A=∠C=90°，在Rt△ABD和Rt△CBD中，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD．【分析】由AB=AC可得∠B=∠C，然后根据BD=CE可证BE=CD，根据SAS即可判定三角形的全等．【解答】证明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BD=EC，∴BE=CD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．【分析】根据全等三角形的判定定理ASA推出即可．【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．10．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．【分析】利用已知得出∠A=∠DBE，进而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可．【解答】证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°，∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°，∴∠A=∠DBE，∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°，在△ABC和△BDE中，∵，∴△ABC≌△BDE（ASA）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用，正确发现图形中等量关系∠A=∠DBE是解题关键．。
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全等三角形判定练习题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD =CD 。
求证：△ABD ≌△ACD2、如图（2）：AC ∥EF ，AC =EF ，AE =BD 。
求证：△ABC ≌△EDF 。
3、如图（3）：DF =CE ，AD =BC ，∠D =∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
FE 图图2图DCBAFEDC图图1图DCBA4、如图（4）：AB =AC ，AD =AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。
求证：（1）∠B =∠C ，（2）BD =CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE 。
求证：AC ⊥CE 。
E图图4图D CBAE图图5图DCBA6、如图（6）：CG =CF ，BC =DC ，AB =ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。
求证：（1）AF =EG ，（2）BF ∥DG 。
7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN =BC 。
求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A =∠CBM 。
GFE图图6图D C BANM图图7图CBA8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC =DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。
求证：△ABE ≌△DCF 。
9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE =CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
F E图图8图DC B AM F E图图9图CBA10、如图（10）∠BAC =∠DAE ，∠ABD =∠ACE ，BD =CE 。
求证：AB =AC 。
11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。
求证：PA =PD 。
12、如图（12）AB ∥CD ，OA =OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE =DF 。
求证：EB ∥CF 。
E图图10图D CBAP4321图图11图D B AF13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。
求证：BE =AD 。
14、如图（14）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。
（1）求证：AE =CD ，（2）若BD =5㎝，求AC 的长。
E图图13图DCBAFE图图14图DCBA15、如图(15),△ABC 中，AB =2AC ，∠BAC =90°，延长BA 到D ，使AD =AB ，延长AC 到E ，使12CE =AC 。
求证：△ABC ≌△AED 。
16、如图（16）AD ∥BC ，AD =BC ，AE =CF 。
求证：（1）DE =DF ，（2）AB ∥CD 。
图图15图E DCBAF图图16图EDCBA17、如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，AD =BD ，CD =DE ，E 是AD 上一点，连结BE 并延长交AC 于点F 。
求证：（1）BE =AC ，（2）BF ⊥AC 。
18、如图：在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，D 是AB 上一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 。
求证：AE =EF +BF 。
F图图17图EDCBAF图图18图E D CBA19、如图：AB=DC，BE=CF，AF=DE。
求证：△ABE≌△DCF。
20、如图；AB=AC，BF=CF。
求证：∠B=∠C。
21、如图：AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC。
F图图19图EDCBAFEDC BA22、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：AF=DE。
23、如图：AB=DC，∠A=∠D。
求证：∠B=∠C。
F图图22图EDCB ADA24、如图：AD=BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE=BF。
求证：（1）AF=CE，（2）AB∥CD。
25、如图：CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，OD=OE。
求证：AB=AC。
F图图24图ED CB AO 图图25图EDC BA26、如图：在△ABC 中，AB =AC ，AD 和BE 都是高，它们相交于点H ，且AH =2BD 。
求证：AE =BE 。
27、如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD =AC ，在CF 的延长线上截取CG =AB ，连结AD 、AG 。
求证：（1）AD =AG ，（2）AD ⊥AG 。
H图图26图E DCBAGH F图图27图E DCBA28、如图：AB =AC ，EB =EC ，AE 的延长线交BC 于D 。
求证：BD =DC 。
29、如图：△ABC 和△DBC 的顶点A 和D 在BC 的同旁，AB =DC ，AC =DB ，AC 和DB 相交于O 。
求证：OA =OD 。
E DCBA ODCBA30、如图：AB =AC ，DB =DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF =CF 。
31、如图：AB =AC ，AD =AE ，AB 、DC 相交于点M ，AC 、BE 相交于点N ，∠DAB=∠EAC 。
求证：AM =AN 。
32、如图：AD =CB ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，AE =CF 。
求证：AB =CD 。
FDCBANME DCBAA33、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，F。
求证：EB=FC。
34、如图：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE，CD相交于点O。
求证：（1）当∠BOA=∠COA时，OB=OC。
（2）当OB=OC时，∠BOA=∠COA。
F EDCBAO EDC BA35、如图：在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABD =∠ABC ，BC ⊥DF ，垂足为F ，AF 交BD 于E 。
求证：12AE =EF 。
36、如图：在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。
求证：点O 在∠A 的平分线上。
FED CBAOCBA37、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
求证：点D 在∠A 的平分线上。
38、如图：AD 是△AB C 中∠BAC 的平分线，过AD 的中点E 作EF ⊥AD 交BC 的延长线于F ，连结AF 。
求证：∠B =∠CAF 。
DCBAFE DCBA39、如图：AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F ，且BF =CE ，点P 是AD 上一点，PM ⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N 。
求证：（1）DE =DF ，（2）PM =PN 。
40、如图：在△ABC 中，∠A =60°，∠B ，∠C 的平分线BE ，CF 相交于点O 。
求证：OE =OF 。
41、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。
求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。
PN MFE DCBAFOECBACA42、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC =BC ，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE =BD ，DF ⊥AB 于F 。
求证：CD =DF 。
1243、如图：AB =FE ，BD =EC ，AB ∥EF 。
求证：（1）AC =FD ，（2）AC ∥EF ，（3）∠ADC =∠FCD 。
FE D CBA FEDCBA44、如图：AD=AE，∠DAB=∠EAC，AM=AN。
求证：AB=AC。
45、如图：AB=AC，BD=CE。
求证：OA平分∠BAC。
NME DC BAOEDC BA- 21 -46、如图：AD 是△ABC 的BC 边上的中线，BE 是AC 边上的高，OC 平分∠ACB ，OB =OC 。
求证：△ABC 是等边三角形。
47、如图：在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。
（1）求证：MN =AM +BN 。
（2）若过点C 在△ABC 内作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，则AM 、BN 与MN 之间有什么关系？请说明理由。
O ED CBAN MCBANMC BA。