平面向量和直线方程(学生版)
届数学一轮复习第五章平面向量第1节平面向量的概念及线性运算教学案含解析
第1节平面向量的概念及线性运算考试要求1。
了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。
掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。
知识梳理1.向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模).(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3）单位向量:长度等于1个单位的向量.（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量。
规定：0与任一向量平行。
（5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算（1）交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa｜＝｜λ|｜a｜；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λaλ(μa)＝λμa;（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb＝03.共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
［常用结论与微点提醒]1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.2。
中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!(错误!＋错误!).3。
错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ,μ为实数),若点A,B，C共线，则λ＋μ＝1.4.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.诊断自测1。
平面向量的直线方程和平面方程
平面向量的直线方程和平面方程平面向量（也称为二维向量）是指由两个有大小和方向的实数组成的有序对。
在数学中，平面向量常用来描述平面上的几何问题和运动问题。
平面向量的直线方程和平面方程是在解决与平面向量相关的问题时非常重要的工具。
本文将详细介绍平面向量的直线方程和平面方程的定义、求解方法以及应用。
一、平面向量的直线方程平面向量的直线方程是用来描述位于平面上的一条直线的数学表达式。
直线方程通常以参数方程或标准方程的形式给出。
1. 参数方程在平面向量中，直线的参数方程可以表示为：$$\vec{r}=\vec{a}+t\vec{d}$$其中，$\vec{r}$为直线上一点的位置向量，$\vec{a}$为直线上的已知点的位置向量，$\vec{d}$为直线的方向向量，$t$为参数。
2. 标准方程平面向量的直线方程的标准方程可以表示为：$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{a})=0$$其中，$\vec{n}$为直线的法向量，$\vec{r}$为直线上任意一点的位置向量，$\vec{a}$为直线上已知点的位置向量。
二、平面的方程平面的方程用来描述一个平面在空间中的位置和性质。
平面方程通常以一般式、点法式或法向量式给出。
1. 一般式平面的一般式方程可以表示为：$$Ax+By+Cz+D=0$$其中，$A,B,C$是平面的法向量的分量，$D$为常数。
2. 点法式平面的点法式方程可以表示为：$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{a})=0$$其中，$\vec{n}$为平面的法向量，$\vec{r}$为平面上任意一点的位置向量，$\vec{a}$为平面上已知的一点的位置向量。
3. 法向量式平面的法向量式方程可以表示为：$$\vec{n}\cdot\vec{r}=d$$其中，$\vec{n}$为平面的法向量，$\vec{r}$为平面上任意一点的位置向量，$d$为常数。
三、平面向量的直线方程和平面方程的应用平面向量的直线方程和平面方程在解决几何和物理问题时经常用到。
平面向量的平面方程与直线方程
平面向量的平面方程与直线方程平面向量是平面几何中的重要概念，通过平面向量可以描述平面上的点、直线以及平面的方程等。
在本文中，我们将讨论平面向量的平面方程与直线方程，并且通过例题详细介绍其应用。
一、平面向量的平面方程平面向量的平面方程是指通过给定的平面向量，求出该平面上任意一点的坐标，从而得到平面的方程。
具体而言，设平面向量为a⃗，平面上一点为P(x, y)。
根据平面向量与坐标向量的关系，平面上一点的坐标可以表示为a⃗ = O P⃗，即(x, y) = x i⃗ + y j⃗。
将平面向量写成坐标的形式，设a⃗ = (p, q)，其中p、q为常数，则有(x, y) = x i⃗ + y j⃗ = (xp)i⃗ + (yq)j⃗。
由于(x, y)为平面上任意一点的坐标，所以p、q为具体的常数。
因此，通过给定的平面向量a⃗，平面上一点的坐标可以表示为(x, y) = (xp, yq)。
以上述结果为基础，我们可以推导出平面向量的一般形式方程。
将(x, y)代入(x, y) = (xp, yq)中，化简得到px + qy - 1 = 0。
因此，平面向量的平面方程为px + qy - 1 = 0。
二、直线方程与平面向量的关系直线方程与平面向量之间存在一定的关系。
在平面几何中，直线的方程常常通过直线上的一点以及方向向量来确定。
而方向向量与平面向量可以进行等价转化。
设直线方程为L: r⃗ = r0⃗ + λv⃗，其中r⃗表示直线上一点的位置向量，r0⃗表示直线上已知的一点，v⃗表示直线的方向向量，λ为实数。
我们需要将方向向量v⃗转化为平面向量a⃗通过对直线方程进行化简，我们可以得到r⃗ - r0⃗ = λv⃗。
其中，r⃗ - r0⃗表示从已知点r0⃗到直线上任意一点的向量。
我们将该向量记作b⃗，即b⃗ = r⃗ - r0⃗。
由于b⃗与v⃗同向，所以可以将b⃗表示为与v⃗成比例的平面向量。
即存在实数k，使得b⃗ = k v⃗，其中v⃗ = (p, q)，v⃗ = p⃗ i + q⃗j。
平面向量的向量方程与直线方程
平面向量的向量方程与直线方程平面向量在数学中是一个重要的概念，它可以用向量方程和直线方程来表达。
在本文中，我将为您详细介绍平面向量的向量方程与直线方程，并通过几个例子来说明其应用。
一、向量方程的定义和性质向量方程是指用向量的形式来表达等式的方程。
在平面向量中，向量方程可以用向量的形式表示。
设有平面向量 AB ，其中 A 和 B 是起点和终点的位置向量，向量 AB 可以表示为：AB = OB - OA其中 OA 和 OB 分别是向量 AB 的起点和终点的位置向量。
向量方程更常用的表示形式是以向量为变量的形式，即用向量表示向量。
以向量 a 为例，向量方程可以表示为：r = a + λd其中 r 为向量的位置向量，a 为 r 在某一点的位置向量，d 为常向量，λ 为实数。
向量方程r = a + λd 描述了平面上的所有点 r ，这些点可以由起点 a 沿着常向量 d 所组成。
二、直线方程的定义和性质直线方程是指用方程的形式来表达直线的方程。
在平面向量中，直线方程可以用向量的形式表示。
设有平面向量 AB ，其中 A 和 B 是直线上两个不同点的位置向量，那么直线 AB 可以表示为：r = a + λd其中 r 为向量的位置向量，a 为直线上的某一点的位置向量，d 为方向向量，λ 为实数。
直线方程r = a + λd 描述了平面上的所有点 r ，这些点可以由直线上的某一点 a 沿着方向向量 d 所组成。
三、平面向量的向量方程与直线方程的应用1. 平面向量的向量方程的应用平面向量的向量方程可以用于表示平面上的一些几何关系。
比如，我们可以通过向量方程来表示平行线的关系。
如果两条直线的方向向量相等，那么这两条直线是平行的。
通过向量方程可以很方便地判断两条直线是否平行。
2. 平面向量的直线方程的应用平面向量的直线方程可以用于表示直线上的一些几何关系。
比如，我们可以通过直线方程来求直线与坐标轴的交点。
将直线方程 r = a +λd 代入坐标轴的方程，就可以求得交点的坐标。
暑期培优：第四章 平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版
专题四、平面向量平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个； 3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图，在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC ＝x OA ＋y OB (x ，y ∈R )，则x －y ＝________.2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |＝________.1．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP ＝12(OA ＋OB )．2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)⇔ OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，若CD ＝x BA ＋y BC ，则x ＋y ＝________. 2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是________．[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB .其中正确的有________个．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值．(2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB ＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[练通考点] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的有________个．2.如图，已知AB ＝a ，AC ＝b ，BD ＝3DC ，用a ，b 表示AD ，则AD ＝________. 3．(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________．4.(2014·“江南十校”联考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD ＝14AC ＋λAB (λ∈R )，则AD 的长为________．5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设a 、b 是两个非零向量，下列结论正确的有________．(填写序号)①若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b ②若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |③若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λa ④若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2．(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．3．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC ，则实数m 的值为________．4．(2013·南通期中)设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝________. 5．(2014·南通期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________.6．(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.7．(2014·苏北四市质检)已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b |b |，则|p |＝________.8．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．9.(2013·苏北四市三调)如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，若AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．设EF 的中点为M ，BC 的中点为N .(1)若A ，M ，N 三点共线，求证：m ＝n ； (2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．10.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB＝a，AC＝b.(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线．第Ⅱ卷：提能增分卷1．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，用a、b表示PR，则PR＝________.2．已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，OD满足等式OA ＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．(2014·南京、盐城一模)若向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝________. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中，已知向量AB ＝(2,1)，AC ＝(3,5)，则向量BC 的坐标为________．2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；[类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．[练通考点]1．(2013·南京二模)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝________.2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于________．3．(2014·苏北四市质检)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(3，－4)，若a ∥b ，则tan 2θ＝________.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论： ①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC ＝CA ； ③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA . 其中正确结论的个数是________．5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB (λ∈R )，则λ的值为________．6．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为________．第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________．2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是________．3．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________． 4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是________．(填写序号)①AC ＝AB ＋AD ②BD ＝AD －AB ③AO ＝12AB ＋12AD④AE ＝53AB ＋AD6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.7．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．第Ⅱ卷：提能增分卷(2013·南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点．设AP ＝αAB ＋βAF (α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝________.2．(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中，AB ＝23，B ＝2π3，BC ＝3BE ，DA ＝3DF ，则EF ·AC ＝________.1．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)． 2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． [练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 2．(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝1，|b |＝2，那么(a ＋b )2的值为________．1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，则a ·b ＝________.2．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为________．3.(2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·BF 的值是________． 4．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是________．[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||ba ，b ．(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积的性质是高考的重点，归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2014·南京一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．角度二 平面向量的夹角2．(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，e ⊥(a －e )，则向量a 与e 的夹角大小为________．(2)(2014·苏北四市一调)设a ，b ，c 是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于________．角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·盐城二模)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．(2)在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.平面向量与三角函数的综合[典例]sin α)，b ＝(cos β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[练通考点]1．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为________．2．在△ABC 中，若AB ·AC ＝AB ·CB ＝2，则边AB 的长等于________．3．已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．若|a ＋b |不超过5，则实数k 的取值范围是________． 4．(2013·淮安二模)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，BD ⊥AC ，D 为垂足，则BC BD ⋅的值为________．5．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝6，O 为BC 的垂直平分线上一点，则AO ·BC ＝________. 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2013·盐城二模)若e 1，e 2是两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝5e 1＋4e 2，且a ⊥b ，则e 1，e 2的夹角为________．2．(2014·南通一模)在△ABC 中，若AB ＝1，AC ＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则BA ·BC|BC |＝________.3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP ·BP 有最小值，则P 点的坐标是________．4．在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D 使BD ＝2DA ，那么CD ·CA ＝________.5．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EMEC ⋅的取值范围是________．6．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.7．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．8．(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．9．(2014·泰州)已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.10．已知△ABC为锐角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)当AB＝p m，AC＝q n(p>0，q>0)，且满足p＋q＝6时，求△ABC面积的最大值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.2．(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sin C的最大值为________．3.(2014·泰州模拟)如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．。
平面向量与直线的关系及直线方程的计算方法
平面向量与直线的关系及直线方程的计算方法在数学中，平面向量与直线的关系非常重要，它们相互影响，在几何图形的分析和计算中都扮演着重要的角色。
本文将探讨平面向量与直线的关系，以及直线方程的计算方法。
一、平面向量与直线的关系在平面直角坐标系中，直线上的每个点都可以用一个坐标表示。
而平面向量可以表示坐标系中一个点的平移。
因此，我们可以通过平面向量与直线之间的关系来描述直线的性质。
1. 平行关系两个向量平行，意味着它们有相同的方向。
同样地，两条直线平行，意味着它们具有相同的斜率。
在平面中，若有一直线L上的两个不同点A和B，它们所对应的向量为→AB和→BA。
若→AB与→BA平行，则可得出直线L的斜率，从而判定直线是否平行。
2. 垂直关系两个向量垂直，意味着它们的内积为零。
同样地，两条直线垂直，意味着它们的斜率乘积为-1。
如果直线L1和直线L2的斜率分别为k1和k2，且k1 * k2 = -1，则可以得出直线L1和直线L2垂直的结论。
二、直线方程的计算方法为了描述直线在平面上的位置和性质，我们需要求解直线的方程。
直线方程的计算方法有多种，下面介绍两种常见的方法。
1. 一般式方程一般式方程是直线方程的一种常见形式，可以表示任何一条直线。
一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
直线的斜率可以通过这个方程的系数A和B来计算，即k = -A/B。
2. 截距式方程截距式方程是描述直线在坐标系中截距关系的一种形式。
直线在x轴和y轴上的截距分别为a和b，截距式方程的形式为x/a + y/b = 1。
直线的斜率可以通过截距式方程的参数来计算，即k = -a/b。
三、实际应用平面向量与直线的关系和直线方程的计算方法在几何图形、物理学等领域有着广泛的应用。
1. 直线的位置关系通过平面向量和直线方程的计算方法，我们可以确定两条直线之间的位置关系，如平行、垂直或相交。
这在几何图形的分析中非常重要，有助于解决与位置相关的问题。
第一章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示[学习目标]1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量3.会求直线的方向向量和平面的法向量．(重点)导语牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？一、空间中点的向量和直线的向量表示问题1在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？提示在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示，我们把向量OP →称为点P 的位置向量．问题2空间中给定一个点A 和一个方向就能唯一确定一条直线l .如何用向量表示直线l ?提示如图1，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得AP →＝t a ，即AP →＝tAB →.如图2，取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，①将AB →＝a 代入①式，得OP →＝OA →＋tAB →.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．知识梳理1．设A 是直线l 上一点，a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，设P 是直线l 上任意一点，(1)点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得AP →＝t a ，即AP →＝tAB →.(2)取定空间中的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP →＝OA →＋t a ，即OP →＝OA →＋tAB →.2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．注意点：(1)空间中，一个向量成为直线l 的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l 平行或重合．(2)与直线l 平行或重合的任意非零向量a 都是直线l 的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个．例1(1)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线BC 1的一个方向向量为________．答案(0,0,1)(0,1,1)(答案不唯一)解析因为DD 1∥AA 1，AA 1—→＝(0,0,1)，故直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；因为BC 1∥AD 1，AD 1—→＝(0,1,1)，故直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．(2)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1，3)，且直线l 过A (0，y ,3)和B (－1,2，z )两点，则y －z 等于()A ．0B ．1C.32D ．3答案A解析∵A (0，y ,3)，B (－1,2，z )，∴AB →＝(－1,2－y ，z －3)，∵直线l 的一个方向向量为m ＝(2，－1,3)，故设AB →＝k m .1＝2k ，－y ＝－k ，－3＝3k .＝－12，＝32，＝32.∴y －z ＝0.反思感悟理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．跟踪训练1(1)(多选)若M (1,0，－1)，N (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是()A ．(2,2,6)B ．(1,1,3)C ．(3,1,1)D ．(－3,0,1)答案AB解析∵MN →＝(1,1,3)，M ，N 在直线l 上，∴向量(1,1,3)，(2,2,6)都是直线l 的一个方向向量．(2)已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3，5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若a ∥b ，则x ，y 的值分别是()A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10答案A解析因为a ∥b ，a ＝(2，－3,5)，则存在唯一的实数λ，使得b ＝λa ，即(－4，x ，y )＝λ(2，－3,5)＝(2λ，－3λ，5λ)，4＝2λ，＝－3λ，＝5λ，＝－2，＝6，＝－10，所以x ，y 的值分别是6和－10.二、空间中平面的向量表示知识梳理1.如图，设两条直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a 和b ，P 为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x ，y )，使得OP →＝x a ＋y b .2.如图，取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.我们把这个式子称为空间平面ABC 的向量表示式．3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．如图，直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量．给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P |a ·AP →＝0}．注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．课本例1如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2，M 是AB 的中点．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面BCC 1B 1的法向量；(2)求平面MCA 1的法向量．解(1)因为y 轴垂直于平面BCC 1B 1，所以n 1＝(0,1,0)是平面BCC 1B 1的一个法向量．(2)因为AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2，M 是AB 的中点，所以M ，C ，A 1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0,2)．因此MC →＝(－3,2,0)，MA 1—→＝(0，－2,2)．设n 2＝(x ，y ，z )是平面MCA 1的法向量，则n 2⊥MC →，n 2⊥MA 1—→.2·MC →＝－3x ＋2y ＝0，2·MA 1—→＝－2y ＋2z ＝0.＝23z ，＝z .取z ＝3，则x ＝2，y ＝3.于是n 2＝(2,3,3)是平面MCA 1的一个法向量．例2已知四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．解答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即为该平面的法向量)．∵D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)，∴DC →＝(1,2,0)，DS →＝(－1,0,2)，设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，·DC →＝x ＋2y ＝0，·DS →＝－x ＋2z ＝0，令x ＝1，解得y ＝－12，z ＝12，∴n ，－12，即平面SCD 的一个法向量为n ，－12，∵x 轴⊥平面SAB ，∴m ＝(1,0,0)即为平面SAB 的一个法向量．反思感悟求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如AC →，AB →.(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．(3)·AC →＝0，·AB →＝0，并求解．(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．跟踪训练2在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱A 1D 1,A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量．解设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，D 1(0,0,2)，E (1,0,2)，(1)设平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，∵DB →＝(2,2,0)，DD 1—→＝(0,0,2)，·n ＝0，1→·n ＝0，x 1＋2y 1＝0，z 1＝0，令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝0，∴平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(1，－1,0)．(答案不唯一)(2)∵DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)，设平面BDEF 的一个法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)．·m ＝0，·m ＝0，x 2＋2y 2＝0，2＋2z 2＝0，令x 2＝2，则y 2＝－2，z 2＝－1，∴平面BDEF 的一个法向量为m ＝(2，－2，－1)．(答案不唯一)1．知识清单：(1)空间中点、直线、平面的向量表示．(2)直线的方向向量．(3)平面的法向量．2．方法归纳：待定系数法、赋值法．3．常见误区：不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为()A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)答案A解析因为AB →＝(2,4,6)，所以(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．2．(多选)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是()A.AB →B.AA 1—→C.B 1B —→D.A 1C 1—→答案BC3．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是()A ．(0，－3,1)B ．(2,0,1)C ．(－2，－3,1)D ．(－2,3，－1)答案D解析由题意可得要求平面α的一个法向量，即求与n 共线的一个向量．易知(2，－3,1)＝－(－2,3，－1)．4．已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,2，－3)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案x ＋2y －3z ＝0解析由题意得e ⊥OM →，则OM →·e ＝(x ，y ，z )·(1,2，－3)＝0，故x ＋2y －3z ＝0.1．已知向量a ＝(2，－1,3)和b ＝(－4,2x 2,6x )都是直线l 的方向向量，则x 的值是()A ．－1B ．1或－1C ．－3D ．1答案A解析由题意得a ∥b ，x 2＝2，x ＝－6，解得x ＝－1.2．向量n ＝(1，－1,1)为平面α的一个法向量，则下列向量中，也是平面α的一个法向量的是()A ．(－1,0,1)B ．(－1,1，－1)C ．(－1，－1，－1)D ．(1,1，－1)答案B解析非零向量(－1,1，－1)与n 平行，故(－1,1，－1)也是平面α的一个法向量，而A ，C ，D 中向量均不与向量n 平行，所以不能作为平面α的一个法向量．3．已知向量AB →＝(2,4，x )，平面α的一个法向量n ＝(1，y ,3)，若AB ⊂α，则()A ．x ＝6，y ＝2B ．x ＝2，y ＝6C ．3x ＋4y ＋2＝0D ．4x ＋3y ＋2＝0答案C解析由题意可知AB →·n ＝0，可得3x ＋4y ＋2＝0.4．已知A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是()A ．(1,1,1)，33，，13，，33，－答案B解析设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又AB →＝(0，－1,1)，BC →＝(－1,1,0)，·n ＝－y ＋z ＝0，·n ＝－x ＋y ＝0.∴x ＝y ＝z ，又∵单位向量的模为1，故只有B 正确．5．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，它的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是()A ．(1，－1,1)，3，－31，3答案B解析对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，则PA →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →，－4则PA →·n ，－4＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.6．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，则下列结论正确的是()A ．直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)B ．直线BC 1的一个方向向量为(0，－1，－1)C ．平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)D ．平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)答案ABC解析不妨设正方体的棱长为1，则DD 1—→＝(0,0,1)，故A 正确；C 1(1,1,1)，B (1,0,0)，BC 1—→＝(0,1,1)，向量(0，－1，－1)与向量(0,1,1)平行，故B 正确；AD ⊥平面ABB 1A 1，而AD →＝(0,1,0)，故C 正确；如图，连接BC ，A 1D ，AD 1，则平面B 1CD 即为平面B 1CDA 1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1⊥A 1D ，由CD ⊥平面DAA 1D 1，AD 1⊂平面DAA 1D 1，得CD ⊥AD 1，又CD ∩A 1D ＝D ，CD ，A 1D ⊂平面B 1CDA 1，所以AD 1⊥平面B 1CDA 1，而AD 1—→＝(0,1,1)，即平面B 1CD 的一个法向量为(0,1,1)，而向量(0,1,1)与向量(1,1,1)不平行，故D 错误．7．在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n 1＝(2,1,1)与n 2＝(0,2,1)为其法向量，若α∩β＝l ，则直线l 的一个方向向量为________．(写出一个方向向量的坐标)答案1，－答案不唯一)解析设直线l 的方向向量为d ＝(x ，y ，z )⊥n 1，⊥n 2，x ＋y ＋z ＝0，y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝－2，x ＝12，所以直线l 的一个方向向量为d 1，－8．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，若点P (a ,1,1)在平面ABC 内，则a ＝________.答案－1解析设平面ABC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，又AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，·AB →＝－x ＋y ＝0，·AC →＝－x ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)，因为P (a ,1,1)在平面ABC 内，则n ·AP →＝a －1＋1＋1＝0，解得a ＝－1.9．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)．(1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC →是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内的任意一点，试写出x ，y ，z 满足的关系式．解(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)，∴BC →＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量．(答案不唯一)(2)由题意得AM →＝(x －2，y －2，z －2)，∵BC →⊥平面α，AM ⊂α，∴BC →⊥AM →，则BC →·AM →＝0，∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0.∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0.化简得x －y ＋z －2＝0.10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝1，E 是PC 的中点，求平面EDB 的一个法向量．解建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得D (0,0,0)，，12，B (1,1,0)，于是DE →，12，DB →＝(1,1,0)．设平面EDB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DE →，n ⊥DB →，·DE →＝12y ＋12z ＝0，·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，故平面EDB 的一个法向量为n ＝(1，－1,1)．(答案不唯一)11.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB 的一个法向量的是()，1B ．(1，2，1)C ．(1,1,1)D ．(2，－2,1)答案A 解析因为PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ,1)，·PA →＝0，·AB →＝0，－2＝0，x ＋y ＝0，＝2，＝2，所以n ＝(2,2,1)．，1＝12n ，因此，平面PAB ，112．(多选)已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是()A ．1B ．－1C ．3D ．－3答案AD 解析因为|a |＝22＋42＋x 2＝6，所以x ＝±4.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0，即y ＝－1－12x ，所以当x ＝4时，y ＝－3；当x ＝－4时，y ＝1.所以x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3.13．从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长|AB →|＝34，则B 点的坐标为()A ．(18,17，－17) B.(－14，－19,17)，72， D.2，－112，答案A 解析设B 点坐标为(x ，y ，z )，则AB →＝λa (λ>0)，即(x －2，y ＋1，z －7)＝λ(8,9，－12)，因为|AB →|＝34，即64λ2＋81λ2＋144λ2＝34，解得λ＝2，所以x ＝18，y ＝17，z ＝－17.14．若，2，－1C 2，1α内三点，设平面α的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.答案2∶3∶(－4)解析由已知得，AB →，－3AC →2，－1∵a 是平面α的法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，－3y －74z ＝0，2x －y －74z ＝0，＝23y ，＝－43y ，∴x ∶y ∶z ＝23y ∶y －43y 2∶3∶(－4)．15．(多选)已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)，且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)，若c 为平面α的一个法向量，则()A ．m ＝－1B ．m ＝1C ．n ＝2D ．n ＝－2答案AC 解析c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，由c 为平面α·a ＝0，·b ＝0，＋4＋m ＋2n －4＋m －n ＋1＝0，(m ＋2n －4)－(m －n ＋1)＝0，＝－1，＝2.16．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．(1)求证：AP →是平面ABCD 的法向量；(2)求平行四边形ABCD 的面积．(1)证明因为AP →·AB →＝(－1,2，－1)·(2，－1，－4)＝0，AP →·AD →＝(－1,2，－1)·(4,2,0)＝0，所以AP ⊥AB ，AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD .所以AP →是平面ABCD 的法向量．(2)解因为|AB →|＝22＋(－1)2＋(－4)2＝21，|AD →|＝42＋22＋02＝25，AB →·AD →＝(2，－1，－4)·(4,2,0)＝6，所以cos 〈AB →，AD →〉＝621×25＝335，故sin 〈AB →，AD →〉＝3235，S ▱ABCD ＝|AB →|·|AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝8 6.。
平面向量的直线和平面方程
平面向量的直线和平面方程平面向量直线的特征在平面解析几何中，平面直线可以由平面向量表示。
平面向量有大小和方向，可以用来描述平面上的直线。
平面向量的直线特征包括斜率和方向向量。
斜率表示直线的倾斜程度，而方向向量表示直线的方向。
斜率等于直线的纵坐标之差除以横坐标之差。
如果两个向量a和b在平面上，则直线的斜率为 (y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别表示两个向量a和b的坐标。
方向向量是指引导直线方向的向量。
在平面直线AB上，方向向量可以是从A指向B的向量。
方向向量可以通过两个点的坐标之差得到。
例如，如果两点A(x1,y1)和B(x2,y2)在平面上，则方向向量为 (x2-x1,y2-y1)。
平面方程的表示方法平面方程用于描述平面的数学表达式。
在平面解析几何中，有三种常见的平面方程形式：点法式、一般式和截距式。
1. 点法式点法式是由平面上的一个点和垂直于平面的法向量决定的。
设平面上一点为A(x1, y1)，法向量为n=(a, b)，则平面方程可以表示为 a(x-x1) + b(y-y1) = 0。
2. 一般式一般式是由平面上的三个点确定的，该形式下的平面方程一般为Ax + By + Cz + D = 0。
其中，A、B、C为平面法向量的三个分量，D 为常数。
3. 截距式截距式是由平面与x、y、z轴上的截距确定的。
设平面与x轴、y 轴和z轴的截距分别为a、b和c，则截距式下的平面方程为 x/a + y/b + z/c = 1。
应用实例下面通过实例来更详细地说明平面向量的直线和平面方程。
示例1：平面向量直线考虑平面上的两个点A(1, 2)和B(3, 4)。
我们可以通过向量AB来表示平面直线。
向量AB的坐标之差为 (3-1, 4-2) = (2, 2)。
这是平面直线的方向向量。
斜率为 (4-2)/(3-1) = 1。
因此，平面直线的方程为 y = x + 1。
示例2：平面方程考虑平面上的三个点A(1, 2, 3)，B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)。
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高中数学学业水平考试考前复习提纲 5.1向量的概念、加减法、数乘运算 [知识清单]1.向量的概念：既有大小又有方向的量。
大小和方向是向量的两个要素，它带有方向，具有几何意义，向量不能比较大小；2.向量的相关概念：零向量：长度为0的向量；向量的模：表示向量的有向线段的长度； 单位向量：长度等于1的向量；相等向量：长度相等且方向先同的向量；平行向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量3.向量的加减法和数乘运算：向量的加法：三角形法则和平行四边形法则; 向量的减法：既为加上某向量的相反向量；-=的终点指向的终点；向量的数乘：λ为一个向量，规定：①||||||λλ=；②当0>λ时，a λ的方向与a 方向相同， 当0<λ时，a λ的方向与a 方向相反， 当0=λ时，0=a λ。
4.平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数21,λλ,使2211e e λλ+=.基底：不共线的向量21,e e 为一组基底； 向量的夹角：1800≤≤θ； 5.平面向量的坐标表示：,为一组基底,则),(y x y x =+=6.平面向量的坐标运算：①两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；②实数与向量的积的坐标于用这个实数乘原来向量的相应坐标；③一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
7.共线向量的坐标表示：),(),,(2211y x y x ==,其中≠，则01221=-⇔=y x y x b a λ[典型例题] 例题1①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D四②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若|a |=|b |,则a =b 。
⑥若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例题2：设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例题3：凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：).(21+= [课堂练习]1． 下面的几个命题：共线与则b a ==；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量；③若,a b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >； ④由于0方向不定，故不能与任何向量平行； ⑤对于任意向量,,a b 必有+≤+≤-其中正确命题的序号是：（ ）A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2．化简AC -BD +CD -AB 得（ ） A ．AB B ． C ． D ．03．若向量),(33122-+-=x x x a与AB 相等，且A （1，3），B （2，4），则x 为（ ）A ．1B .1或4C .0D .-44．已知向量 a =(x-5,3) , b =(2,x) 且 a b ⊥ 则由x 的值构成的集合是（ ）A .{}2,3B .{}1,6-C .{}2D .{}65. 已知 ()()3,0,,5a b k == 且 a 与 b 的夹角为 34π，k 的值是_______．6. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是______[课后作业]1．点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量=(4,-3),即点P 的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位,设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后P 的坐标为( )A . (-2,4)B . (-30,24)C . (10,-5)D . (5,-10)2设向量a =(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向,的模为25,b =3已知O （0，0），A （1，2），B （4，5） 及t +=求（1）t 为何值时，P 在X 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？ （2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。
5.2向量的数量积与运算律：[知识清单]1.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）。
并规定0与任何向量的数量积为0。
注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.2.向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.3.两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是单位向量； ① e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； ② a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；③ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a⋅b = -|a ||b |. 特别地a ⋅a = |a |2或||=a ④ cos θ =||||⋅a ba b⑤ |a ⋅b | ≤ |a ||b |。
⑥ cb c a c b a ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=⋅⋅=⋅)()()(λλλ4.平面向量数量积的坐标表示： 若),(),,(2211y x y x == 则①2121y y x x b a +=⋅ ②02121=+⇔⊥y y x x b a③222221212121||||cos y x y x y y x x b a +++==θ[典型例题]例题1。
若 1,2,===+a b c a b 且 ⊥c a ，则向量 a 与b 的夹角为（ ）A 、30B 、60C 、120D 、150例题2：试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和．例题3：设作用于同一点O 的三个力、F 1、F 2、F 3处于平衡状态，如果| F 1|=1，|F 2|=2，F 1与F2的夹角为32π.求①. F3的大小；②.∠F 3OF 2的大小.[课堂练习]1．已知与反向，下列中成立的是（ ） A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+2．若32041||-=-，5||,4||==，则与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ． 102D ．103．已知12||,10||==，且36)51)(3(-=，则与的夹角为（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150° 4．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 5．在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状是6．已知为单位向量，||=4，与的夹角为π32，则在方向上的投影为 -2 [课后作业]1．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( C )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.b a b a b a -+==⊥λ与且23,32垂直，则λ等于233．已知||2,||1,==a b a 与b 的夹角为3π, 若向量2a +k b 与a +b 垂直, 求实数k的值.。
（-5）4．已知,54==的夹角为60，求a -3109310969)3(22=⇒=+⋅-=-5．已知向量a =(cos ,sin αα)，b =(cos ,sin ββ)．(1)求)2(b a a +⋅的取值范围；(2)若3παβ-=，求2a b +．(1)[－1, 3]5.3 直线的斜率和方程 [知识清单]1. 直线的倾斜角和直线的斜率⑴坐标平面内的直线都有倾斜角，且一条直线的倾斜角是唯一的，其范围为[0°，180°）； 直线的斜率有存在和不存在两种：当直线的倾斜角θ≠90°时，存在斜率k ＝tan θ，当直线的倾斜角θ＝90°时，不存在斜率。
⑵经过两定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则斜率存在，k=tan θ=1212x x y y --若x 1＝x 2，则斜率不存在，其倾斜角为900。
2．求直线的斜率和倾斜角的方法 求斜率：① 已知直线上两点，由k=1212x x y y --求出；② 已知倾斜角θ，由k=tan θ求出；③ 已知直线方程，将方程化成斜截式y=kx+b ，则x 项的系数就是斜率k 。
也可能无斜率。
求倾斜角：先求斜率k ，再由k= tan θ求出倾斜角θ.要注意讨论，无斜率则θ=90° 3．直线方程的适用范围 ⑴一般式Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0)：对坐标平面内的任何直线都适用 。
⑵点斜式Y- Y 0=k （X- X 0）、斜截式Y=kX+b 不能表示无斜率（垂直于x 轴）的直线. ⑶两点式121y y y y --=121x x x x --不能表示平行或重合于两坐标轴的直线.⑷截距式a x +by=1不能表示平行或重合于两坐标轴的直线及过原点的直线[典型例题]例题1. 在下列叙述中：①一条直线的倾斜角为θ，则它的斜率k= tan θ；②若直线的斜率k=-1，则它倾斜角为135°； ③经过A （-1，0），B （-1，3）两点的直线的倾斜角为90°；④过点P （2，-3）、倾斜角为135°的直线方程为x-y-5=0；⑤直线y=1的倾斜角为45°。
以上所有正确命题的序号是【解析】①当θ=90°时无斜率k ，故错误； ②与③正确；④k=tan135°=-1，故错误；⑤其实斜率k=0，则倾斜角为0°，故错误。
答案：②③例题2. 求经过两条直线x+3y-10=0和x-2y=0的交点，且到原点的距离为4的直线方程。
【解析】错解 由方程组⎩⎨⎧=-=-+020103y x y x ， 解得两直线交点的坐标为A （4，2）设所求直线方程为y-2=k(x-4) 即 kx-y-4k+2=0则原点到该直线的距离d==4得（2k-1）2=4(k 2+1) ∴k=-43∴所求直线方程为y-2=-43(x-4) 即3x+4y-20=0正解一: 同上两条直线交点的坐标为A （4，2） 当斜率存在时，设所求的直线方程为y-2=k(x-4) 同上得直线方程为3x+4y-20=0当斜率不存在时，过交点A （4，2）的直线方程为x-4=0∴所求直线方程为3x+4y-20=0 和 x-4=0正解二: 过两条直线交点的直线系方程可设为x+3y-10 + m(x-2y)=0即(1+m)x+(3-2m)y-10=0 则原点到该直线的距离=4去分母,两边平方,整理得 4m 2-8m+3=0∴m=21或23∴所求直线方程为3x+4y-20=0 和 x-4=0例题3。