高等数学(一)模拟题(开卷)
高等数学模拟试题15套
= a-b
C. lim xn = a n yn b
( ) D. lim n
xn × yn
= ab
3.当 x 0 时，下列量中，无穷小的为
A. e x sin x
B. e xcosx
1
C. e x sin x
()
1
D. e x cos x
4.下列描述中错误的是 A.无穷间断点属于第一类间断点 B.初等函数在定义域是连续的 C.闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值
次方程 y¢+ p( x) y = q( x)的通解为
()
A. y = yc + yd
B. y = yc + Cyd
C. y = Cyc - yd
二.计算题（本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分）
21.求极限
lim
p x(
- arctan
x)
2 x®+¥
D. y = Cyc + yd
3
C. -F (sin x) + C
D. F (sin x) + C
ò 13.
(
1 sin 2
x
+1)d
sin
x
=
A. - cot x + x + C B. - cot x + sin x + C
C. - 1 + sin x + C sin x
()
D. - 1 + x + C sin x
1
14.根据定积分的性质，下列各式中成立的是
5.设
f
(x)
=
(x2
-1)(x x3 - x
考研数学一(高等数学)模拟试卷222(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷222(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→1时，f(x)=的极限为( )．A．2B．0C．∞D．不存在但不是∞正确答案：D解析：显然=+∞，而不存在但不是∞，选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)在x=0处可导，则( )．A．f(0)=0B．f’(0)=0C．f(0)=f’(0)D．f(0)=一f’(0)正确答案：A解析：F(0)=f(0)，F－’(0)==f’(0)一f(0)；F＋’(0)==f’(0)+f(0)，因为F(x)在x=0处可导，所以F－’(0)=F＋’(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．知识模块：高等数学3．设平面区域D：1≤x2+y2≤4，f(x，y)是区域D上的连续函数，则等于( )．A．2π∫12rf(r)drB．2π[∫12rf(r)dr一∫01rf(r)dr]C．2π∫12rf(r2)drD．2π[∫02rf(r2)dr—∫01rf(r2)dr]正确答案：A解析：dxdy=∫02πdθ∫12rf(r)dr=2πrf(r)dr，选(A)．知识模块：高等数学4．设k＞0，且级数( )．A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性与k的取值有关正确答案：C解析：因为都收敛，所以绝对收敛，正确答案为(C)．知识模块：高等数学填空题5．=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学6．设函数y=y(x)由e2x＋y—cos(xy)=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为_________．正确答案：y=x＋1解析：当x=0时，y=1，e2x＋y一cos(xy)=e一1两边对x求导得e2x＋y(2+)＋sin(xy)(y+)=0，将x=0，y=1代入得=一2，故所求法线方程为y一1=(x一0)，即y=x+1．知识模块：高等数学7．∫0＋∞x7e－x2dx=_________．正确答案：3解析：∫0＋∞x7x－x2dx=∫0＋∞x6e－x2d(x2)=∫0＋∞t3e－tdt==3．知识模块：高等数学8．过点M0(1，一1，2)且与直线L1：x+2y—z一2=0与L2：x—y—z一4=0都平行的平面为_________．正确答案：π：x+z一3=0解析：所求平面的法向量为n=｛1，2，一1｝×｛1，一1，一1｝=｛一3，0，一3｝=一3｛1，0，1｝，所求的平面为π：(x一1)+0(y+1)+(z一2)=0，即π：x+z一3=0．知识模块：高等数学9．设z=f(x，y)是由e2yz+x+y2+z=确定的函数，则=________．正确答案：解析：将代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，e2yz+x+y2+z=两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将x=，y=，z=0代入得．知识模块：高等数学10．设f(x，y，z)=x2一y2+2z2，则div(gradf)=_________．正确答案：4解析：gradf==｛2x，一2y，4z｝，则div(gradf)==4．知识模块：高等数学11．设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’一6y’+9y=e3x，则y(x)=________．正确答案：y(x)=2xe3x＋x2e3x解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2－6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代入得a=，故通解为y=(C1+C2x)e3x+x2e3x．由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+x2e3x．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高数(1)期末考试模拟题共36页
高数(1)期末考试模拟题
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
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高等数学模拟试题1.doc
3
3
3
B. i j k
1
1
1
C.
i
j
k
3
3
3
D. i j k
i jk 解析： a b c 3 1 4 i j k
101
a0 a a
1
1
1
i
j
k ，应选 C。
3
3
3
4. 幂级数
ln n
1
n
x
的收敛区间是（
）
n1 n 1
A. [ 1，1]
B. ( 1， 1)
C. [ 1， 1)
D. ( 1， 1]
*5. 按照微分方程通解的定义， y" sin x 的通解是（
f (u )
1
uu
由 <1>、 <2>得：
a
f ( x2
1
a 2 dx x2 ) x
1a
a 2 dt
f (t )
21
tt
a
ft
1
a 2 dt tt
a
f (t
1
a 2 dt )
tt
a
a 2 dx
f (x )
1
xx
26.
设 f ( x) 为连续函数，且
f ( x)
x3
1
3x f ( x)dx ，求 f ( x) 。
dz .
dt
3. 求微分方程 xy y x cosx 的通解 .
4. 求幂级数
(
n1
1) n n2
1
xn
的收敛域
.
答案
一、填空题：
1. 分析 初等函数的定义域，就是使函数表达式有意义的那些点的全体
2023年高等教育自学考试《高等数学(一)》模拟真题一
2023年高等教育自学考试《高等数学（一）》模拟真题一1. 【单选题】（江南博哥）A. 奇函数B. 偶函数C. 有界函数D. 周期函数正确答案：C参考解析：2. 【单选题】A. （x+y）>1B. ln（x+y）≠0C. （x+y）≠1D. （x+y）>0正确答案：A参考解析：3. 【单选题】A. 1B. lnaC. aD. e a正确答案：C参考解析：4. 【单选题】设f(x)=2x，则f''(x)=A. 2x ln2 2B. 2x ln 4C. 2x·2D. 2x·4正确答案：A参考解析：5. 【单选题】设f(x)在x=0处可导，则f'(0)=A.B.C.D.正确答案：A参考解析：6. 【单选题】设二元函数 f(x，y)在点(x0，y0)处有极大值且两个一阶偏导数都存在，则必有A.B.C.D.正确答案：D参考解析：7. 【单选题】设z=e x sin y，则dz=A. e x cos y(dx+dy)B. e x(sin ydx-cosy dy)C. e x(sin ydx+dy)D. e x(sin ydx+cos ydy)正确答案：D参考解析：8. 【单选题】A. x=-3B. x=-1C. x=1D. x=3正确答案：B参考解析：9. 【单选题】若直线x=1是曲线y=f(x)的铅直渐近线，则f(x)是A.B.C.D.正确答案：C参考解析：10. 【单选题】下列无穷限反常积分发散的是A.B.C.D.正确答案：B参考解析：11. 【简单计算题】我的回答：参考解析：12. 【简单计算题】我的回答：参考解析：13. 【简单计算题】我的回答：参考解析：14. 【简单计算题】我的回答：参考解析：15. 【简单计算题】我的回答：参考解析：16. 【计算题】指出下列函数由哪些函数复合而成?（1）y=(cos x)3：（2）y=e-x（3）我的回答：参考解析：解：（1）y=(cosx)3是由y=u3，u=cosx复合而成。
大一高等数学考试试题
高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分） 1、函数lg(1)y x =-的定义域是；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a =；3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是；4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-=；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '=；8、曲线xy xe =的拐点是；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a =，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xyex y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。
三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰3、40⎰4、221dx a x +四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分）2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数sin 0()20xx f x xa xx ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)xx x →∞+=； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j kλ=--=-++，且a b，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a =，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
专升本(高等数学一)模拟试卷100(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷100(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，无穷小x+sinx是比xA．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：因=2，所以选C。
2．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的—个极小值，则等于A．一2B．0C．1D．2正确答案：B解析：因f(x)在x=x0处取得极值，且可导．于是f’(x0)=0．又3．设函数f(x)=，则f’(x)等于A．B．C．D．正确答案：C4．函数y=x-arctanx在(一∞，+∞)内A．单调增加B．单调减少C．不单调D．不连续正确答案：A解析：因y=x—arctanx，则y’=1一于是函数在(一∞，+∞)内单调增加．5．设∫f(x)dx=ex+C,则∫xf(1一x2)dx为A．B．C．D．正确答案：D解析：6．设ψ(x)=则ψ’(x)等于A．tanx2B．tanxC．sec2x2D．2xtanx2正确答案：D解析：因tantdt是复合函数，于是ψ’(x)=tanx2．2x=2xtanx2．7．下列反常积分收敛的A．B．C．D．正确答案：D解析：当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D.8．级数A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定敛散性正确答案：C解析：级数的通项为此级数为p级数．又因所以级数发散．9．方程x2+y2=R2表示的二次曲面是A．椭球面B．圆柱面C．圆锥面D．旋转抛物而正确答案：D解析：由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．10．曲线A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C填空题11．函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．正确答案：解析：12．设f”(x)连续，正确答案：yf”(xy)+f’(x+y)+yf”(x+y)解析：13．设D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．正确答案：0解析：用极坐标计算．14．设f(x)=ax3一6ax2+b在区间[一1，2]的最大值为2，最小值为一29，又知a＞0．则a，b的取值为_________．正确答案：解析：f’(x)=3ax2一12ax，f’(x)=0，则x=0或x=4．而x=4不在[一1．2]中，故舍去．f”(x)=6ax一12a，f”(0)=一12a．因为a＞0，所以f”(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(一1)=一a一6a+b=b一7a，f(0)=b，f(2)=8a一24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b一16a=一29，即16a=2+29=31．15．设曲线则该曲线的铅直渐近线为_______．正确答案：x=一1解析：16．当p_______时，级数收敛.正确答案：＞1解析：当p＞1时收敛，由比较判别法知p＞1时，17．求正确答案：解析：18．幂级数的收敛半径R=_______．正确答案：1解析：19．方程y”一2y’+5y=exsin2x的特解可没为y*=________．正确答案：xex(Asin2x+Bcos2x)解析：由特征方程为r2一2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)．20．正确答案：解析：解答题21．确定函数f(x，y)=3axy-x3-y3(a＞0)的极值点．正确答案：在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0．且一6a＜0(a＞0)．故(a，a)是极大值点．22．正确答案：23．讨论级数的敛散性．正确答案：因所以级数收敛．24．正确答案：25．证明：ex＞1+x(x＞0)．正确答案：对F(x)=ex在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得F(x)-F(0)=F’(ξ)x，0＜ξ＜x，因F’(ξ)=eξ＞1，即故ex＞x+1(x＞0)．26．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=f(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，则f(x)=lnx+C，再由x=1时．f(1)=1．得C=1，故f(x)=lnx+1．27．求方程y”-2y’+5y=ex的通解．正确答案：y”一2y’+5y=0的特征方程为r2一2r+5=0。
专升本(高等数学一)模拟试卷121(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷121(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数f(x)=在x=0处【】A．连续且可导B．连续且不可导C．不连续D．不仅可导，导数也连续正确答案：B解析：本题考查了函数在一点处的连续性和可导性的知识点．因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；又因不存在，所以函数在x=0处不可导．2．曲线y=【】A．没有渐近线B．仅有水平渐近线C．仅有铅直渐近线D．既有水平渐近线，又有铅直渐近线正确答案：D解析：本题考查了曲线的渐近线的知识点．因=1，所以y=1为水平渐近线．又因=∞，所以x=0为铅直渐近线．3．=6，则a的值为【】A．—1B．1C．D．2正确答案：A解析：本题考查了洛必达法则的知识点．因为x→0时分母极限为0，只有分子极限也为0，才有可能使分式极限为6，故[(1+x)(1+2x)(1+3x)+a]=1+a=0，解得a= —1，4．设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时f(x)与g(x)是【】A．等价无穷小B．f(x)是比g(x)高阶无穷小C．f(x)是比g(x)低阶无穷小D．f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：本题考查了两个无穷小量阶的比较的知识点．故f(x)与g(x)是同价但非等价无穷小．5．已知∫f(x2)dx=+C，则f(x) 【】A．B．C．D．正确答案：B解析：本题考查了已知积分函数求原函数的知识点．因为f(x2)=，所以f(x)=．6．曲线y=ex与其过原点的切线及y轴所围面积为【】A．∫01(ex—ex)dxB．∫1e(lny—ylny)dyC．∫0e(ex—xex)dxD．∫01(lny—ylny)dy正确答案：A解析：本题考查了曲线围成的面积的知识点．设(x0，y0)为切点，则切线方程为y=ex0x，联立得x0=1，y0=e，所以切线方程为y=ex．故所求面积为∫01(ex—ex)dx7．设函数f(x)=cosx，则= 【】A．1B．0C．D．—1正确答案：D解析：本题考查了一元函数在一点处的一阶导数的知识点．f(x)=cosx，f′(x)= —sinx，= —1．8．设y=exsinx，则y″′= 【】A．cosx.exB．sinx.exC．2ex(cosx—sinx)D．2ex(sinx—cosx)正确答案：C解析：本题考查了莱布尼茨公式的知识点．由莱布尼茨公式，得(exsinx)″′=(ex)″′sinx+3(ex)″(sinx)′+3(ex)′(sinx)″+ex(sinx)″′=exsinx+3excosx+3ex(—sinx)+ex(—cosx)=2ex(cosx—sinx)．9．若级数an(x—1)n在x= —1处收敛，则此级数在x=2处【】A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．不能确定正确答案：C解析：本题考查了级数的绝对收敛的知识点．由题意知，级数收敛半径R≥2，则x=2在收敛域内部，故其为绝对收敛．10．f(x)=∫02x+ln2，则f(x)= 【】A．exln2B．e2xln2C．ex+ln2D．e2x+ln2正确答案：B解析：本题考查了一阶线性齐次方程的知识点．因f′(x)=f(x).2，即y′=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为r=2，所以其通解为y=Ce2x，又当x=0时，f(0)=ln2，所以C=ln2，故f(x)=e2xln2．注：方程y′=2y求解时也可用变量分离．填空题11．=________．正确答案：解析：本题考查了函数的极限的知识点．12．=________．正确答案：解析：本题考查了对∞—∞型未定式极限的知识点．这是∞—∞型，应合并成一个整体，再求极限．13．若x=atcost,y=atsint，则=________．正确答案：解析：本题考查了对由参数方程函数求导的知识点．参数方程为x=φ(t)，y=ψ(t)，则．本题φ(t)=atcost，ψ(t)=atsint，所以14．∫(tanθ+cotθ)2dθ=________．正确答案：tanθ—cotθ+C解析：本题考查了不定积分的知识点．∫(tanθ+cotθ)2dθ=∫(tan2θ+2+cot2θ)dθ=∫(sec2θ+csc2θ)dθ=tanθ—cotθ+C．15．设f(x)=，在x=0处连续，则a=________．正确答案：1解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点．又f(0)=1，所以f(x)在x=0连续应有a=1．注：(无穷小量×有界量=无穷小量)=e，这是常用极限，应记牢．16．=________．正确答案：解析：本题考查了利用换元法求定积分的知识点．令x=sint，则dx=costdt．17．设函数z=x2ey，则全微分dz=________．正确答案：dz=2xeydx+x2eydy解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点．z=x2ey，=2xey，=x2ey，则dz=2xeydx+x2eydy．18．设z=f(x2+y2，)可微，则=________．正确答案：2yf1—解析：本题考查了复合函数的一阶偏导数的知识点．=f1.2y+．19．微分方程y″+6y′+13y=0的通解为________．正确答案：y=e—3x(C1cos2x+C2sin2x)解析：本题考查了二阶线性齐次微分方程的通解的知识点．微分方程y″+6y′+13y=0的特征方程为r2+6r+13=0，特征根为r== —3±2i，所以微分方程的通解为y=e—3x(C1cos2x+C2sin2x)．20．设D为x2+y2≤4且y≥0，则2dxdy=________．正确答案：4π解析：本题考查了二重积分的知识点．因积分区域为圆x2+y2=22的上半圆，则×22=4π．解答题21．设函数y=，求y′．正确答案：对数求导法．因y=，于是，两边取对数，有lny=，两边对x求导，得注：本题另解为复合函数求导法．22．如果f2(x)=∫0xf(t)，求f(x)．正确答案：由题设知两边同时求导得，2f(x).f′(x)=，设f(x)≠0，则f′(x)=．23．设f(x)的一个原函数为，求∫xf′(x)dx．正确答案：注：本题若从=f′(x)，代入积分中计算∫xf′(x)dx运算比较繁琐，不宜采用．24．求．正确答案：25．求方程=0的通解．正确答案：原方程可分离变量，化为两边积分得通解为．26．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=1+∫1xf(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=1+可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf′(x)=1+f(x)，所以f′(x)=，则f(x)=lnx+C，再由x=1时，f(1)=1，得C=1，故f(x)=lnx+1．27．求方程y″—2y′+5y=ex的通解．正确答案：y″—2′+5y=0的特征方程为r2—2r+5=0，故特征根为r=1±2i，非齐次项的特解可设为y=Aex，代入原方程得A=，所以方程的通解为y=ex(C1cos2x+C2sin2x)+28．设f(x)= ∫0a—xey(2a—y)dy，求∫0af(x)dx(提示：利用二重积分交换顺序去计算)．正确答案：将f(x)代入有∫0af(x)dx=∫0adx∫0a—xey(2a—y)dy=∫0ady∫0a —yey(2a—y)dx=∫0a(a—y)ey(2a—y)dy=∫0a(a—y)ea2—(a—y)2dy=∫0aea2e—(a—y)2d(a—y)2=ea2[—e—(a—y)2]｜0a=ea2(e—a2—e0)=(ea2—1)．。
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《高等数学（一）》模拟题（补）一． 填空题1．0sin 2limx xx→= 2 ，2．2lim(1)xx x→∞+= 2e ，3．已知0'()1f x =, 则000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 2 ， 4．函数0()2d x F x t ⎛= ⎝⎰的单调减区间为 1(,)4-∞ ， 5．微分方程 0y y ''+=的通解是12cos sin y C x C x =+ ，6．'1-7．(2)x x d e += 2l n 2xx e + ， 8．21d 1x x =+⎰a r c t a n x C + 。
二．单项选择题 1．设()1, 04f x x =≤≤, 则)(2x f 的定义域是（ B ）。
A ．[ 0 , 4 ] B ．[ -2 , 2 ] C ．[ 0 , 2 ] D ．[ 1 , 3 ]2．设()2,01cos ,0x a x f x x x π⎧+≥=⎨+<⎩在0x =上连续，则a 的值为（ D ）。
A ．-1B ．0C ．1D ．2 3．对于函数()f x x =，下面叙述正确的是（ B ）。
A ．函数连续且一阶导数也连续B ．函数连续但一阶导数不连续C ．函数不连续但一阶导数连续D ．函数不连续且一阶导数也不连续 4．设()F x 是()f x 的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。
A ．⎰=)()(x F dx x fB ．⎰=)()(x f dx x FC ．⎰+=C x F dx x f )()(D ．C x f dx x F +=⎰)()(5．微分方程32()34sin y xy x '+=的 阶 数 为（ B ）。
A ．0B ．1C ．2D ．3 6．函数()ln(1)arcsin f x x x =+的定义域是（ A ）。
A （-1 , 1 ]B [ -1 , 1 ]C （-1 , 2 ]D [-1 , 2 ] 7．当0x →时，()tan sin f x x x =-是x 的（ D ）。
A ．低阶无穷小B ．等阶无穷小C ．同阶但不等阶无穷小D ．高阶无穷小 8．函数()ln f x x =在0x =点（ D ）。
A ．连续且可导B ．连续但不可导C ．不连续但可导D ．不连续且不可导 9．设()F x 是()f x 的一个原函数，则有下面成立的是（ C ）。
A ．dx x f dx x f d b a )()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ．[]c x f dx x f dx d+=⎰)()(C ．dx x f dx x f d x a )()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰D ．c x f dx x f dx d xa+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰)()( 10．下列那一项不是常微分方程（ A ）。
A ．2320y x y -+=B ．2222()d ()d 0x y x x y y ++-=C ．30y y '+=D ．3sin y x y ''=+三．计算题1．lim )x x x →+∞解：lim )x x x →+∞=2lim x →+∞=limx=limx 12 2．设arcsin ln tan y x x x =+，求d d y x解：d d yx=()arcsin ln tan x x x '+ =()()d ln tan d tan arcsin arcsin d tan d x xx x x x x x''++=21arcsin sec tan x x x+=arcsin sec csc x x x3．221d 56x x x x --+⎰解：221535632x x x x x --=+-+--， 所以221d 56x x x x --+⎰=53d 32x x x -⎛⎫+ ⎪--⎝⎭⎰=115d 3d 32x x x x ---⎰⎰ =5ln |3|3ln |2|x x C ---+4．1x ⎰解： t =，那么2x t =， d 2d x t t =， 且00x t ==时，11x t ==时，故 1x ⎰=dt t e t⋅⋅⎰21=2()11d t t tee t -⎰2= 2(10te e -)=25．011limcot sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解： 011limcot sin x x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭=0cos sin lim sin sin x x x x x x x →-⋅=300sin lim cos lim x x x x x x →→- =201cos lim3x xx →-=0sin lim 6x x x →=16 6．设321ln 1x y x +=+，求d d yx解：d d y x=()()()32ln 1ln 1x x '+-+=()()32ln(1)ln(1)x x ''+-+=332232d ln(1)d(1)d ln(1)d(1)d(1)d d(1)d x x x x x x x x++++⋅-⋅++ =23232.11x xx x⋅-++ 7．dx x xx ⎰+++21arctan 1解：dx x x x ⎰+++21arctan 1=dx xxdx x x dx x ⎰⎰⎰+++++2221arctan 111 =)(arctan tan 1)1(21arctan 22x xd arc xx d x ⎰⎰++++=C x x x ++++22)(arctan 21)1ln(21arctan 8．求微分方程)(e d d 3x x xyy +=-的通解。
解：这是变量分离方程，变量分离3()y e dy x x dx =+，两边积分，有3()y e dy x x dx c =++⎰⎰，即241124ye x x c =++为原方程的通解。
四．应用题1．已知曲线)(x y y =满足方程0=+-y x e e xy ，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。
解：在方程两边关于x 求导， 有0='⋅+-'+y e e y x y y x所以xe ye y y x +-=' ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率1)0,0(='=y k 切，故切线方程为x y =。
2．计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积。
解：抛物线与直线相交于点(2,-2,), (8,4), 如图所示。
选取y 为积分变量， 那么422142A y y dy -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰42321141826y y y -⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦。
3．已知曲线)(x y y =满足方程0sin =⋅+y e x y ，试求曲线在点(0，0)处的切线方程。
解：在方程两边关于x 求导， 有0cos ='⋅⋅++'⋅y e x e y y y y所以yyex y e y ⋅+-='cos ， 曲线在(0，0)处的切线的斜率1)0,0(-='=y k 切，故 切线方程为x y -=。
4．计算抛物线2x y =与x y =2所围成的图形的面积。
解：两抛物线与直线相交于点(0,0,), (1,1)。
选取x 为积分变量， 那么⎰-=102)(dx x x s =1031233132x x -=31。
五． 证明题1．)1ln(0x x x +>>时，当解：解法一：利用中值定理。
考虑函数()ln(1)f u u =+，显然函数在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理，所以存在(0,)x ξ∈， 使得()(0)'()(0)f x f f x ξ-=-即1ln(1)1x x ξ+=+，因为111ξ<+， 所以)1ln(0x x x +>>时，当成立。
解法二：利用函数的单调性。
考虑函数()ln(1)f x x x =-+， 那么 1()11f x x'=-+ 当10()101x f x x'>=-+时>，所以()ln(1)f x x x =-+单调递增。
从而 ()ln(1)(0)0f x x x f =-+>=。
命题得证。
2. 当0>x 时，x e x+>1.解：解法一：利用中值定理。
考虑函数()u f u e =，显然函数在[0,]x 上满足拉格朗日中值定理，所以存在(0,)x ξ∈， 使得()(0)'()(0)f x f f x ξ-=-即0x e e e x ξ-=，因为1e ξ>， 所以当0>x 时，x e x+>1成立。
解法二：利用函数的单调性。
考虑函数()x f x e x =-， 那么 ()1x f x e '=-当0()10x x f x e '>=-时>，所以()x f x e x =-单调递增。
从而()(0)1x f x e x f =->=。
命题得证。